证明初等数论 潘承洞37页定理1.3.9

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第五节初等数论中的几个重要定理
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你可能喜欢皮埃尔·德·费马（Pierre de Fermat），1601年生于法国，是一个律师和业余数学家。他在数学多个分支上都有贡献，成就甚至超过了许多职业的数学家，被誉为“业余数学家之王”。在费马的所有成就当中，最被大家津津乐道的莫过于“费马大定理”了。
皮埃尔·德·费马（）
这个定理本身并不是很重要，但由于其证明太过于困难，直到被提出来358年之后，才在1994年被英国数学家安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles）所证明，因而被许多数学领域之外的人所熟知。不过，我们今天要谈的是费马小定理。这个定理对大家来说，可能就有点陌生了。实际上它是数论中的一个十分重要的定理，是初等数论四大定理（威尔逊定理，欧拉定理，中国剩余定理和费马小定理）之一。
在正式讨论费马小定理之前，我们先来了解一下同余的概念和它的几个基本性质。同余所描述的是两个整数的一种等价关系，如果两个整数a和b除以同一个整数p所得的余数相等，我们就说这两个整数模p同余。记作
同余的重要性体现在它保持了普通等式的许多性质。我们知道普通等式有以下性质：
如果a = b, b - a = 0
如果a = b, b = c，那么a = c
如果a = a', b = b'，那么a + b = a' + b'
同上，a - b = a' - b'
同上，ab = a'b'
相应的，同余有类似的性质：
恒有a ≡&a(mod p)
如果a&≡&b(mod p), b - a ≡ 0(mod p)
如果a&≡&b(mod p), b&≡&c(mod p)，那么a&≡&c(mod p)
如果a&≡&a'(mod p), b&≡&b'(mod p)，那么a + b ≡ a' + b'(mod p)
同上，a - b ≡ a' - b'(mod p)
同上，ab ≡ a'b'(mod p)
这几个性质的证明是十分容易的，因此不再赘述。
费马小定理正是在同余性质的基础上被发现的：如果p是任意一个不能整除整数a的素数，那么
这就是说a的(p - 1)次方除以p余1。例如：令p = 7, a = 10，可知p为素数且与a互素，那么根据费马小定理，有
即1000000除以7余数为1。经计算可知：
读者可以验证是否正确，也可以自行列举几个例子来体验一下这个神奇的定理。
我们知道，数学在各个领域的应用是人类社会发展的主要推动力量，但是它的真正魅力并不在于此，甚至可以说数学的发展并不是为了应用。因此，让我们来看看真正有价值的东西——费马小定理的证明。
在给定了素数p和与p互素的整数a之后，我们考虑如下p - 1个数：
显然，任意一个都不能被p整除。而且不难发现，这p - 1个数中任意两个除以p得到的余数都不相同。否则存在s和t()，使得，根据同余性质(2.)，得出能被p整除，这显然是不可能的。
由于任何数除以p所得的余数必然等于中的一个，因此上述p
- 1个数分别与模p同余。根据同余性质(6.)有：
再根据同余性质(2.)有：
p为素数，显然不整除，由此p整除，即：
到此，费马小定理得到证明。
此证明的过程虽然简单，但是需要对同余性质和整除性质的深刻理解，这可能是需要专门下一番功夫的地方。最后，我们将给出费马小定理有一个更加一般性的推论，它放开了p是素数的限制。
我们先定义一个关于正整数n的函数
例如：10以内与10互素的有4个：1、3、7、9，因此。有了这个函数之后，我们可以给出费马小定理的如下推论：如果n是任意一个与整数a互素的整数，那么
实际上，对于素数p有。由此可见，费马小定理是这个推论的一个特例。
此推论的证明过程与费马小定理的证明过程类似，只是涉及到一些额外的逻辑，我们在这里并没有给出。回复“费马小定理推论”，即可得到一份作者手写的关于推论的证明！
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初等数论关于最小公倍数定理证明的问题学初等数论时，有如下定理：aj|c(1
攻°习受067
懒得去翻潘老的这本书了。太厚了。也就不管在这之前讲过哪些了，总之避开算数基本定理和带余数除法吧。以下证明分为几步，我用分隔线来书写。————————————————————————————————引理：lcm运算满足结合律。（此引理若需证明，追问。）————————————————————————————————首先，易证n=2时，a(1)|c，a(2)|c的充要条件是lcm{a(1)，a(2)}|c用短除法、整除的传递性等方法都可以证明。（如需证明，追问。）————————————————————————————————假若以下成立：当n=k时，a(1)|c、a(2)|c、a(3)|c、...、a(n)|c的充要条件是lcm{a(1)、a(2)、...、a(n)}|c，那么当n=k+1时，lcm{a(1)、a(2)、...、a(n+1)}=lcm{lcm{a(1)、a(2)、...、a(n)}、a(n+1)}因为lcm{a(1)、a(2)、...、a(n)}|c，于是lcm{lcm{a(1)、a(2)、...、a(n)}、a(n+1)}相当于lcm{b(n)、a(n+1)}此时对应n=2的情况，于是满足。得证。————————————————————————————————根据皮亚诺公理，n∈Z均成立。【经济数学团队为你解答！】
lcm运算满足结合律 就是这一步我一直没证出来，麻烦再写下吧~
上面我写的引理，通过短除法很容易证明三个数的结合律，由三个数满足，再将四个数化为3,1的形式（lcm{lcm{1、2、3}、4}），实际上就是1,1，再次用完全归纳法即可证明。证毕。——————————————————————————————————不过突然发现一个问题。实际上，短除法成立的前提条件就是代数基本定理或者带余数除法，因而抛弃代数基本定理以及带余数除法的话，上面我的证明都是废话。话说回来，你说的【可以用gcd和lcm的基本定理】，基本上来说，这些定理也是建立在代数基本定理和带余数除法之基础上的。因而，暂时，我想不出更好的办法。抱歉，没帮上你。
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