切线加速度 微分几何 切线 数学

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2016-04-23 17:58 标签： 几何画板切线
切线的判据与一几何题的纯几何证明
一道北京联赛高手们曾经研究过的题目，给同学研究后，他们的反应还是沿着过去高手的足迹，试图使用三角法做这个题目（如过去IMO高手，如北京联赛前十名等高手采用的方法一样）。
这里给个纯几何的证明，用以体会初等几何的方法学。
直角三角形ABC中∠A=90°，AB&AC,E是A关于AC的对称点，做AX&AE，Y是XA的中点，连接BY交ABC的外接圆O于Z。过A做O的切线交BC于D，求证：BC外切过AZD的圆。
利用的主要的平面几何定理包括：
①四点共圆的判据：一圆上一个弦的圆周角相等的充分必要条件是其上的圆周角互补或者相等。
②过一弦的端点做切线的画法：以弦为边，该端点为顶点向圆外做一个角等于其上的圆周角，则该角的另外一边所在的直线是过这个端点的圆的切线。
令α=∠ABC，β=∠ZBC
由AD与圆O相切，∠ZAD=∠ZBA（②）
设BD与AE相交于L，连接L，Y；L，Z，LY是⊿AEX的中位线，所以LY//BE
∠LYZ=∠EBZ=∠LZA，所以Y，L，Z，A四点共圆（①），且∠LYZ=90°。
∠LZA=180°-∠LYZ=90°（四点共圆对角互补）
∠ELZ=90°+∠LAZ=90°+α+β（三角形外角等于不相邻内角和）
∠ZLD=∠ELZ-90°=α+β
又∠ZED=∠ZBE=α+β
∠ZLD=∠ZED
所以E，L，Z，D四点共圆
所以∠LDZ=∠ZEA=∠ZAD，这就证明了BD与圆AZD相切（①）。
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连接OA、OB∵PA、PB是圆切线∴OA⊥PA,OB⊥PB那么∠PAO=∠PBO=90°∴四边形OAPB中：∠AOB+∠P=180°∵C是C为优弧AB上一点,D为劣弧AB上一点∴∠C=1/2∠AOB,即∠AOB=2∠C∠D=1/2(360°-∠AOB),∠AOB=360°-2∠D∴2∠C+∠P=180°∠C=90°-1/2∠P∴360°-2∠D+∠P=180°∠D=90°+1/2∠P
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