等价关系的关系图和关系矩阵范数 特征值 关系有哪些特征

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江西师范大学数学与信息科学学院学士学位论文
矩阵的等价关系及其应用
Equivalence Relations between Matrix
And It’s Applications
院： 数学与信息科学学院
业： 数学与应用数学
指导老师：
矩阵的等价关系及其应用
【摘要】等价关系是指满足自反性、对称性和传递性这三种性质的关系。矩阵的等价关系有三种：矩阵的等价、矩阵的相似、矩阵的合同。由矩阵间的三种等价关系及每种关系各自存在的条件，我们可以得出矩阵的这三种等价关系间的联系。利用矩阵的等价关系及它们之间的联系，可以解决矩阵的许多问题。本文从矩阵的概念入手，论述了矩阵的等价、矩阵的相似、矩阵的合同这三种等价关系的概念及其性质，以及它们之间的联系和区别。在此基础上，还给出了对矩阵的这三种等价关系的一些应用，其中主要是矩阵对角化的应用。
【关键词】矩阵的等价，矩阵的相似，矩阵的合同，对角化
Equivalence Relations between Matrix
And it’s Applications Juan Huang
【Abstract】Equivalence relation is the relationship that satisfy the condition of reflexivity, symmetry and transitive. There are three kinds of equivalence relations between matrix: Equivalent, similarity, congruence of matrix. Through analyzing three equivalence relations between matrix and conditions satisfied by each existed relation, we can find the connection between these relations. Use the equivalence relations between matrix and the connection between them, we can solve many problems about matrix. This article starts from the definition of matrix, and then we illustrate the idea and nature of the three equivalents of matrix, and the connection and difference between them. Base on this, this paper puts some applications of the three equivalent relations of matrix, and th
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毕业于医学院校，在医院工作，有相对丰富的护理经验
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尔雅数学思维方式与创新答案
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尔雅数学思维方式与创新答案
官方公共微信杨　芹　邯郸广播电视大学　056000
摘　要：关系是离散数学中的基本概念，而关系的性质是关系的闭包、等价关系、半序关系的基础，本文给出了关系四种性质的判定方法。
关键词：离散数学　关系性质　判定
&&&&&&& 关系的概念是离散数学中关系的基础，又是集合概念的应用，因此应该真正理解并熟练掌握二元关系的概念及关系矩阵、关系图表示。而关系的性质既是对关系概念的加深理解与掌握，又是关系的闭包、等价关系、半序关系的基础。对于四种性质（自反性、对称性、反对称性、传递性），有如下方法加以判定：
&&&&&&& 一、依据其定义
&&&&&&& 1.自反性：
&&&&&&& 设R是集合A上的二元关系，如果对于每一个a&A，若有（a，a）&R，即aRa，则称R在集合A上具有自反性。
&&&&&&& 2.对称性：
&&&&&&& 设R是集合A上的二元关系，对于任意的a、b&A，若有（a，b）&R，就有（b，a）&R，则称R在集合A上具有对称性。
&&&&&&& 3.反对称性：
&&&&&&& 设R是集合A上的二元关系，对于任意的a、b&A，若（a，b）&R且（b，a）&R时，必有a=b，则称R在集合A上具有反对称性。
&&&&&&& 4.传递性：
&&&&&&& 设R是集合A上的二元关系，对于任意的a、b、c&R，若（a，b）&R，且（b，c）&R，就有（a，c）&R，则称关系R在A上具有传递性。
&&&&&&& 二、依据关系矩阵和关系图的关系
&&&&&&& 1.关系R具有自反性，当且仅当在关系矩阵中，主对角线上元素全为1；或者在关系图中每个结点上都有一条自回路。
&&&&&&& 2.若关系R具有对称性，当且仅当关系矩阵是对称矩阵；或者在关系图中，若两个结点间存在有向弧，必是成对的。
&&&&&&& 3.若关系R具有反对称性，当且仅当关系矩阵中以主对角线为对称轴的对称元素不能同时为1（可以同时为0），而主对角线上的元素是1或者是0；在关系图上，若两个结点间存在有向弧，不可能成对出现，结点可以有自回路。
&&&&&&& 4.若关系R具有传递性，关系矩阵没有明显特征。关系图的特点是：任意两个结点a、b间若能通过一条以上的弧间接连结起来，则必有一条直接从a到b的弧。作为它的一种特殊情况，若两点间各有一条直接从a到b和由b到a的弧连接时，则在这两个结点a、b上必然各有一条自回路。
&&&&&&& 对于传递性的判定，难度稍大一些，要注意两点：一是不破坏传递性定义，可认为具有传递性。如空关系具有传递性，同时空关系具有对称性和反对称性，但是不具有自反性。二是介绍一种判定传递性的&跟踪法&，即若(a1,a2)&R，(a2,a3)&R，L(ai-1,ai)&R，则(a1,ai)&R；如若(a,b)&R，（b，a）&R，则有（a，a）&R，且（b，b）&R。
&&&&&&& 例1、设集合A={a，b，c，d}，判定下列关系哪些是自反的、对称的、反对称的和传递的：R1={(a,a)，(b,a)}，R2={(a,a)，(b,c)，(d,a)}，R3={(c,d)}，R4={(a,a)，(b,b)，(c,c)}，R5={(a,c)，(b,d)}。
&&&&&&& 解：依据关系性质的定义，可判定：均不是自反的；R4是对称的；R1、R2、R3、R5是反对称的；R1、R2、R3、R4、R5是传递的。
&&&&&&& 例2、设集合A={1，2，3}上的关系R1={(1,1)，(2,2)，(3,3)}，R2={(1,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)}，R3={(1,2)，(2,3)，(3,1)}，R4=&，说明每种关系所具有的性质。
&&&&&&& 解：先做出关系矩阵，再依据其规律加以判断。
　　　　1　0　0　　　　　　　　1　0　0
MR1=　0　1　0　　　　 MR2=　0　1　1
　　　　0　0　1　　　　　　　　0　1　1
　　　　0　1　0　　　　　　　　0　0　0
MR3=　0　0　1　　　 　MR4=　0　0　0
　　　　1　0　0　　　　　　　　0　0　0
&&&&&&& 由判定方法二知， R1具有自反性、对称性、反对称性与传递性；R2具有对称性与传递性；R3具有反对称性；R4具有对称性、反对称性与传递性。
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