怎么证明二阶混合偏导数在连续的条件下与求偏导的次序无关?
lawihuer649
Happy Chinese New Year ！1、下面的两张图片上的解答，第一张是根据偏导数的定义进行证明；& & & 第二张是根据中值定理进行证明；2、如果看不清楚。请点击放大，图片会更加清晰。
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这是一年前的帖子，LZ现在已经明白了，不用再回帖了。顶坟贴是不对的或者教一下这个谢谢啦
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自顶一下，别沉啊
增加率=e这怎么证明。。。。
的话：增加率=e这怎么证明。。。。可以证明的吧
。。。这不是高数的东西么 同济六版 高等数学 导数那一章有吧
我学的不好 就不现丑了
首先引入一个极限,在分析书里都有证明,关系到了连续函数的极限那一章.然后,有:第二个问题也是分析的教材里找吧...但是为什么是增长率我也不大明白...
的话：首先引入一个极限,在分析书里都有证明,关系到了连续函数的极限那一章.然后,有:第二个问题也是分析的教材里找吧...但是为什么是增长率我也不大明白...其实我想问的就是这个是怎么来的
的话：其实我想问的就是这个是怎么来的
的话：啊…… 其实abc是怎么来的，勿喷
的话：啊…… 其实abc是怎么来的，勿喷书上的一段...直接截图来的你看大图
语言爱好者
要证明它是要从e的定义开始讲起的，lz如果不知道的话，找一本微积分入门书来看吧。
的话：要证明它是要从e的定义开始讲起的，lz如果不知道的话，找一本微积分入门书来看吧。正在看……
不用等价无穷小的公式怎么证明呢？在国内等价无穷小是直接给出来的，是不是很坑啊……？能不能不用等价无穷小的概念来证明？
引用 的话：首先引入一个极限,在分析书里都有证明,关系到了连续函数的极限那一章.然后,有:第二个问题也是分析的教材里找吧...但是为什么是增长率我也不大明白...之所以是增长率，是因为在连续复利的情况下，t-1 期的现值和 t 期现值之比刚好是 e^r （r是利率）。图上之所以没写1/n而是100%/n估计是假设了利率是100%了。
来，这是我见过的最牛的方法了！
引用 的话： 来，这是我见过的最牛的方法了！其实这个问题很早就已经解决了，不过还是谢谢分享。这个方法虽然牛，但其实能证明lnx的导数为1/x的话证明e^x那个也不难了
引用 的话：其实这个问题很早就已经解决了，不过还是谢谢分享。这个方法虽然牛，但其实能证明lnx的导数为1/x的话证明e^x那个也不难了嗯，只是我刚刚也在纠结这个问题，找了几种方法，这个我觉得最好。LNX的导数反倒难证明一些，不过也证出来了~
引用 的话：嗯，只是我刚刚也在纠结这个问题，找了几种方法，这个我觉得最好。LNX的导数反倒难证明一些，不过也证出来了~可以用e^x加chain rule 的方法证lnx（笑）
ln [lim n-inf] (1+1/n)^n= [lim n-inf] nln(1+1/n)=[lim x-0] ln(1+x)/x=[lim x-0] (ln(1+x)-ln1)/x=ln在1的导数=1即[lim n-inf] (1+1/n)^n=e是这样吗
希望能帮到你另外吐槽下word弄公式好不顺手，看了要钻研latex了……
楼上挖坟……其实直接由的定义逐项求导就行了。
引用 的话：楼上挖坟……其实直接由的定义逐项求导就行了。算鸟我删了，早解决的的问题了引用 的话：希望能帮到你另外吐槽下word弄公式好不顺手，看了要钻研latex了……同时谢谢2L的介绍一天后删楼
引用 的话：楼上挖坟……其实直接由的定义逐项求导就行了。我去没注意是坟……不怪我，是果壳推到首页的……
引用 的话：我去没注意是坟……不怪我，是果壳推到首页的……推倒首页！？坑爹啊
(C)2016果壳网&&&&&京ICP备号-2&&&&&关于多元复合函数求偏导数定理证明的一点注记--《出版与印刷》1993年02期
关于多元复合函数求偏导数定理证明的一点注记
【摘要】：正 上海高等专科学校编写组所编《高等数学》(第二版)中册第十章中,关于多元复合函数求偏导数定理的证明,有些不妥现予以注明。定理:设μ=ψ(x,y),μ=ψ(x,y)在点(x,y)处有
【作者单位】：
【关键词】：
【正文快照】：
上海高等专科学校编写组所编《高等数学))(第二版)中册第十章中,关于多元复合函数求偏导数定理的证明,有些不妥现予以注明。 定理:设u~抓x,y),v一沪(x,y)在点(x,y)处有偏导数,z~f(u,v)在相应点(u,v)有连续偏导数,则复合函数z一f【抓x,y),沪(x,y)〕在点(x,y)处有偏导数,且霎一
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京公网安备75号导数公式证明大全
编辑点评：
物理学、几何学、经济学等学科中的一些重要概念都可以用导数来表示。如，导数可以表示运动物体的瞬时速度和加速度、可以表示曲线在一点的斜率、还可以表示经济学中的边际和弹性。
导数的定义：f'(x)=lim &Dy/&Dx &Dx&0（下面就不再标明&Dx&0了）
用定义求导数公式
（1）f(x)=x^n
证法一：（n为自然数）
=lim [(x+&Dx)^n-x^n]/&Dx
=lim (x+&Dx-x)[(x+&Dx)^(n-1)+x*(x+&Dx)^(n-2)+...+x^(n-2)*(x+&Dx)+x^(n-1)]/&Dx
=lim [(x+&Dx)^(n-1)+x*(x+&Dx)^(n-2)+...+x^(n-2)*(x+&Dx)+x^(n-1)]
=x^(n-1)+x*x^(n-2)+x^2*x^(n-3)+ ...x^(n-2)*x+x^(n-1)
证法二：（n为任意实数）
lnf(x)=nlnx
(lnf(x))'=(nlnx)'
f'(x)/f(x)=n/x
f'(x)=n/x*f(x)
f'(x)=n/x*x^n
f'(x)=nx^(n-1)
（2）f(x)=sinx
=lim (sin(x+&Dx)-sinx)/&Dx
=lim (sinxcos&Dx+cosxsin&Dx-sinx)/&Dx
=lim (sinx+cosxsin&Dx-sinx)/&Dx
=lim cosxsin&Dx/&Dx
（3）f(x)=cosx
=lim (cos(x+&Dx)-cosx)/&Dx
=lim (cosxcos&Dx-sinxsin&Dx-cosx)/&Dx
=lim (cosx-sinxsin&Dx-cos)/&Dx
=lim -sinxsin&Dx/&Dx
（4）f(x)=a^x
=lim (a^(x+&Dx)-a^x)/&Dx
=lim a^x*(a^&Dx-1)/&Dx
（设a^&Dx-1=m，则&Dx=loga^(m+1)）
=lim a^x*m/loga^(m+1)
=lim a^x*m/[ln(m+1)/lna]
=lim a^x*lna*m/ln(m+1)
=lim a^x*lna/[(1/m)*ln(m+1)]
=lim a^x*lna/ln[(m+1)^(1/m)]
=lim a^x*lna/lne
lnf(x)=xlna
[lnf(x)] '=[xlna] '
f' (x)/f(x)=lna
f' (x)=f(x)lna
f' (x)=a^xlna
若a=e，原函数f(x)=e^x
则f'(x)=e^x*lne=e^x
（5）f(x)=loga^x
=lim (loga^(x+&Dx)-loga^x)/&Dx
=lim loga^[(x+&Dx)/x]/&Dx
=lim loga^(1+&Dx/x)/&Dx
=lim ln(1+&Dx/x)/(lna*&Dx)
=lim x*ln(1+&Dx/x)/(x*lna*&Dx)
=lim (x/&Dx)*ln(1+&Dx/x)/(x*lna)
=lim ln[(1+&Dx/x)^(x/&Dx)]/(x*lna)
=lim lne/(x*lna)
=1/(x*lna)
若a=e，原函数f(x)=loge^x=lnx
则f'(x)=1/(x*lne)=1/x
（6）f(x)=tanx
=lim (tan(x+&Dx)-tanx)/&Dx
=lim (sin(x+&Dx)/cos(x+&Dx)-sinx/cosx)/&Dx
=lim (sin(x+&Dx)cosx-sinxcos(x+&Dx)/(&Dxcosxcos(x+&Dx))
=lim (sinxcos&Dxcosx+sin&Dxcosxcosx-sinxcosxcos&Dx+sinxsinxsin&Dx)/(&Dxcosxcos(x+&Dx))
=lim sin&Dx/(&Dxcosxcos(x+&Dx))
=1/(cosx)^2=secx/cosx=(secx)^2=1+(tanx)^2
（7）f(x)=cotx
=lim (cot(x+&Dx)-cotx)/&Dx
=lim (cos(x+&Dx)/sin(x+&Dx)-cosx/sinx)/&Dx
=lim (cos(x+&Dx)sinx-cosxsin(x+&Dx))/(&Dxsinxsin(x+&Dx))
=lim (cosxcos&Dxsinx-sinxsinxsin&Dx-cosxsinxcos&Dx-cosxsin&Dxcosx)/(&Dxsinxsin(x+&Dx))
=lim -sin&Dx/(&Dxsinxsin(x+&Dx))
=-1/(sinx)^2=-cscx/sinx=-(secx)^2=-1-(cotx)^2
（8）f(x)=secx
=lim (sec(x+&Dx)-secx)/&Dx
=lim (1/cos(x+&Dx)-1/cosx)/&Dx
=lim (cosx-cos(x+&Dx)/(&Dxcosxcos&Dx)
=lim (cosx-cosxcos&Dx+sinxsin&Dx)/(&Dxcosxcos(x+&Dx))
=lim sinxsin&Dx/(&Dxcosxcos(x+&Dx))
=sinx/(cosx)^2=tanx*secx
（9）f(x)=cscx
=lim (csc(x+&Dx)-cscx)/&Dx
=lim (1/sin(x+&Dx)-1/sinx)/&Dx
=lim (sinx-sin(x+&Dx))/(&Dxsinxsin(x+&Dx))
=lim (sinx-sinxcos&Dx-sin&Dxcosx)/(&Dxsinxsin(x+&Dx))
=lim -sin&Dxcosx/(&Dxsinxsin(x+&Dx))
=-cosx/(sinx)^2=-cotx*cscx
（10）f(x)=x^x
lnf(x)=xlnx
(lnf(x))'=(xlnx)'
f'(x)/f(x)=lnx+1
f'(x)=(lnx+1)*f(x)
f'(x)=(lnx+1)*x^x
（12）h(x)=f(x)g(x)
=lim (f(x+&Dx)g(x+&Dx)-f(x)g(x))/&Dx
=lim [(f(x+&Dx)-f(x)+f(x))*g(x+&Dx)+(g(x+&Dx)-g(x)-g(x+&Dx))*f(x)]/&Dx
=lim [(f(x+&Dx)-f(x))*g(x+&Dx)+(g(x+&Dx)-g(x))*f(x)+f(x)*g(x+&Dx)-f(x)*g(x+&Dx)]/&Dx
=lim (f(x+&Dx)-f(x))*g(x+&Dx)/&Dx+(g(x+&Dx)-g(x))*f(x)/&Dx
=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
（13）h(x)=f(x)/g(x)
=lim (f(x+&Dx)/g(x+&Dx)-f(x)g(x))/&Dx
=lim (f(x+&Dx)g(x)-f(x)g(x+&Dx))/(&Dxg(x)g(x+&Dx))
=lim [(f(x+&Dx)-f(x)+f(x))*g(x)-(g(x+&Dx)-g(x)+g(x))*f(x)]/(&Dxg(x)g(x+&Dx))
=lim [(f(x+&Dx)-f(x))*g(x)-(g(x+&Dx)-g(x))*f(x)+f(x)g(x)-f(x)g(x)]/(&Dxg(x)g(x+&Dx))
=lim (f(x+&Dx)-f(x))*g(x)/(&Dxg(x)g(x+&Dx))-(g(x+&Dx)-g(x))*f(x)/(&Dxg(x)g(x+&Dx))
=f'(x)g(x)/(g(x)*g(x))-f(x)g'(x)/(g(x)*g(x))
=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/(g(x)*g(x))x
（14）h(x)=f(g(x))
=lim [f(g(x+&Dx))-f(g(x))]/&Dx
=lim [f(g(x+&Dx)-g(x)+g(x))-f(g(x))]/&Dx
（另g(x)=u，g(x+&Dx)-g(x)=&Du）
=lim (f(u+&Du)-f(u))/&Dx
=lim (f(u+&Du)-f(u))*&Du/(&Dx*&Du)
=lim f'(u)*&Du/&Dx
=lim f'(u)*(g(x+&Dx)-g(x))/&Dx
=f'(u)*g'(x)=f'(g(x))g'(x)
(反三角函数的导数与三角函数的导数的乘积为1，因为函数与反函数关于y=x对称，所以导数也关于y=x对称，所以导数的乘积为1)
（15）y=f(x)=arcsinx
(siny)'=cosy
(arcsinx)'=1/(siny)'=1/cosy
=1/&1-(siny)^2
即f'(x)=1/&1-x^2
(16)y=f(x)=arctanx
(tany)'=1+(tany)^2=1+x^2
(arctanx)'=1/1+x^2
即f'(x)= 1/1+x^2
（x^n）'=nx^(n-1)
（sinx）'=cosx
（cosx）'=-sinx
（a^x）'=a^xlna
（e^x）'=e^x
（loga^x）'=1/(xlna)
（lnx）'=1/x
(tanx)'=(secx)^2=1+(tanx)^2
(cotx)'=-(cscx)^2=-1-(cotx)^2
(secx)'=tanx*secx
(cscx)'=-cotx*cscx
(x^x)'=(lnx+1)*x^x
(arcsinx)'=1/&1-x^2
(arctanx)'=1/1+x^2
[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
[f(x)/g(x)]'=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/(g(x)*g(x))
[f(g(x))]'=f'(g(x))g'(x)
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导数的定义：当x=x0时，f‘(x0)是一个确定的数。这样，当x变化时，f'(x)便是x的一个函数，我们称他为f(x)的导函数（derivative function）（简称导数）。
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修改的建议：偏导数的连续性一般需要如何证明
ckDU01WE25
连续性的求法是相通的.都是左端点值=右端点值就能证明他是连续的.这里需要你做得就是找出那个特殊的点,然后做出这个点从左边求得偏导数,和从右边做得偏导数,看是否相等.
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