近世代数习题解答；第一章基本概念；1集合；1.B?A,但B不是A的真子集,这个情况什么时候；当A?B,但B不是A的真子集,可知凡是属于A而a；2.假定A?B,A?B??,A∩B=?解?此时,；这是因为A∩B=A及由A?B得A?A∩B=A,故；2映射；1.A=?1,2,3,??，100?,找一个A?；2.在你为习题1所找到的映射之下,是不是A的每一；3代数运算
近世代数习题解答
第一章 基本概念
1.B?A,但B不是A的真子集,这个情况什么时候才能出现?
解 ?只有在A?B时, 才能出现题中说述情况.证明 如下
当A?B,但B不是A的真子集,可知凡是属于A而a?B,显然矛盾;
若B?A,但B不是A的真子集,可知凡属于A的元不可能属于B,故A?B
2.假定A?B,A?B??,A∩B=?
此时, A∩B=A,
这是因为A∩B=A及由A?B得A?A∩B=A,故A?B?A,A?B?B, 及由A?B得A?B?B,故A?B?B,
1.A=?1,2,3,??，100?,找一个A?A到A的映射. 解?
此时?1(a1,a2)?1
?2(a1,a2)?a1
易证?1,?2都是A?A到A的映射.
2.在你为习题1所找到的映射之下,是不是A的每一个元都是A?A到A的一个元的的象? 解?容易说明在?1之下,有A的元不是A?A的任何元的象;容易验证在?2之下,A的每个元都是A?A的象.
3 代数运算
1.A={所有不等于零的偶数}.找到一个集合D ,使得普通除法
是A?A到D的代数运算;是不是找的到这样的D?
解?取D为全体有理数集,易见普通除法是A?A到D的代数运算;同时说明这样的D不
2.A??a,b,c?.规定A的两个不同的代数运算.
1.A={所有不等于零的实数}.?是普通除法:a?b?a
.这个代数运算适合不适合结合律?
这个代数运算不适合结合律: b
1?(1?2)?2 ,从而
(1?1)?2?1?(1?2).
2.A={所有实数}.?:
(a,b)?a?2b?a?b这个代数运算适合不适合结合律?
这个代数运算不适合结合律
(a?b)?c?a?2b?2c,a?(b?c)?a?2b?4c (a?b)?c?a?(b?c)
3.A={a,b,c},由表
所给的代数运算适合不适合结合律?
经过27个结合等式后可以得出所给的代数运算适合结合律.
1.A={所有实数}.?是普通减法:a?b?a?b.这个代数运算适合不适合交换律?
一般地a?b?b?a
2.A?{a,b,c,d},由表
所给出代数运算适合不适合交换律?
从而c?d?d?c.故所给的代数运算不适合交换律.
假定:?,?是A的两个代数运算,并且?适合结合律,
?,?适合两个分配律.证明
(a1?b1)?(a1?b2)?(a2?b1)?(a2?b2)
?(a1?b1)?(a2?b1)?(a1?b2)?(a2?b2)
证?(a1?b1)?(a1?b2)?(a2?b1)?(a2?b2)
=[(a1?a2)?b1]?[(a1?a2)?b2]
=(a1?a2)?(b1?b2)
=[a1?(1?b2)]?[a2?(b1?b2)]
?(a1?b1)?(a2?b1)?(a1?b2)?(a2?b2)
7 一 一 映射、变换
1.A={所有?0的实数},A?{所有实数}.找一个A与A间的意义映射.
证 ?:a?a?loga 因为a是大于零的实数,所以loga是实数
a?A,而a?A,而且a?b?loga?logb.因此?是A到A的映射.
又给了一个A的任意元a,一定有一个A的元a,满足loga?a,因此?是A到A的满射.
若 a?b, 则 loga?logb.即
a?b?a?b 因此?又是A到A的单射.总之,
?是A到A的一一映射.
2. A={所有?0的实数},A?{所有实数a,0?a?1}. 找一个A到A的满射.
3.假定?是A与A间的一个一一映射,a是A的一个元.?[?(A)]??
?:a?a?ina,容易验证?是A到A的满射.
?[??1(a)]??若?是A的一个一一变换,这两个问题的回答又该是什么?
解? ?[?(a)]?a,
?[?(a)]?a未必有意义;当?是A的一一变换时,?[?(a)]?a,?[?(a)]?a.
1.A={所有实数x},A的代数运算是普通乘法.以下映射是不是A到A的一个子集A的同态满射?
证? a) 显然A?{所有?0的实数}.又由于
可知x?x是A到A的同态满射.
b)由于xy?2xy?(2x)(2y)
( 除非xy?0)所以x?2x不是A到A的同态满射.
c)由于xy?(xy)?(x)(y),易知x?x是A到A的同态满射.这里
?0的实数}.
d)一般来说,?xy?(?x)(?y),:所以x??x不是A到A的同态满射 .
2. 假定A和A对于代数运算?和?来说同态，A和A对于代数运算?和?来说同态，证明 A和A对于代数运算?和?来说同态。
表示A到A的同态满射,?2
表示A到A的同态满射.
令?： a?a??2[?(a)1],容易验证?是A到A的满射
a?b??2[?1(a?b)]??2[(a?b)]?a?b
所以?是A和A的关于代数运算?,?来说的同态满射。
9 同构、自同构
1.A={a,b,c},代数运算?由下表给定
找出所有A的一一变换.对于代数运算?来说,这些一一变换是否是A
证 : 所有A的一一变换有6个
容易验证?1及?2是A的子同构.
2.A={所有有理数},找一个A的对于普通加法来说的子同构
(映射x?x除外)
证 ?:x?2x,对普通加法来说是A的一个子同构,验证这一点是容易的.
3.A?{所有有理数};A的代数运算是普通加法.A?{所有?0的有理数}
A的代数运算是普通乘法.
证明 对于给的代数运算来说,A与A间没有同构映射存在(现决定
0在一个同构映射之下的象)
证: 设A与A间有同构映射?存在,先看在?之下0的象
再看在?之下某一元a的象a?a , 那么 0?a?a0a .
0?a?a. 所以
对?1?A来说,在?之下设有x?0?A, x??1
由于?是一同构映射,于是x?x?2x?1?(?1)(?1)
但又知,0?1,故2x?0,从而x?0,与x?0矛盾.&
10 等价关系与集合的分类
1.A={所有实数},A的元间的关系?以及?是不是等价关系?
, 因为a不大于a ?
不是等价关系, 因为2?1但1不大于等于2.
2.有人说:假如一个关系R适合对称和推移律,那么它也适合
反射律.他的推论方法是:因为R适合对称律
因为R适合推移律
aRb ,bRa?aRa
这个推论方法有什么错误?
这里aRa的a是受对称律,推移律约束的而不是集合中的任意a.今举一例 说明上述推论方法是错误的:
.容易验证这一关系R适合对称律,
推移律,但不适合反射律.
3.仿照例3规定整数间的关系
比如:A={?,?},是” 互补”是A的元间的一个关系
证明你所规定的一个等价关系,并且找出模?5的剩余类.
证 : 规定a?b(?5) 当而且只当?5a?b时, 因为?5a?b
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官方公共微信复习思考题；1-1离散信号就是数字信号吗？；答：离散信号不一定是数字信号，如对连续信号在时间；1-2模拟信号转换成数字信号有哪些基本环节？数字；答：模拟信号转换成数字信号包括采样、保持、量化、；1)数字电路的基本工作信号是用1和0表示的二进制；2)结构简单、设计技术成熟、容易制造，便于集成及；4)可编程数字系统，使用更灵活；6)易于存储、加密、压缩、传输和再
复习思考题
1-1 离散信号就是数字信号吗？
答：离散信号不一定是数字信号，如对连续信号在时间上进行采样，成为时间上离散、幅度上连续的信号就不是数字信号。
1-2 模拟信号转换成数字信号有哪些基本环节？数字系统比模拟系统有哪些优越性？
答：模拟信号转换成数字信号包括采样、保持、量化、编码等基本环节。与模拟电路相比，数字电路具有以下显著的优点：
1) 数字电路的基本工作信号是用1和0表示的二进制的数字信号，反映在电路上就是高电平和低电平，运算简单。
2) 结构简单、设计技术成熟、容易制造，便于集成及系列化生产，通用性强，价格便宜。 3) 数字电路能对输入的数字信号进行各种算术运算和逻辑运算、逻辑判断，具有“逻辑思维”能力。
4) 可编程数字系统，使用更灵活。 5) 速度快，抗干扰性强，可靠性高。
6) 易于存储、加密、压缩、传输和再现，便于和计算机连接。
1-3 为什么数字电路采用二进制作为其基本工作信号？
答：数字电路采用二进制作为其基本工作信号，主要原因是： 1） 技术实现容易。二进制信号只有1和0两种信号，反映在电路上就是高电平和低电平，在电路上很容易由电子器件的开关特性实现。
2） 运算规则简单。二进制的数值运算规则简单，在实现上可以简化电路结构、提高系统的运行速度。
3） 与逻辑运算吻合。数字电路中采用1和0表示高低电平的方式和逻辑运算的数学方法―布尔代数，采用1和0表示不同的逻辑状态不谋而合，一方面可以将布尔代数广泛应用于开关电路和数字电路的设计中，设计方法简单；另一方面，可以由数字电路实现逻辑运算，而采用其它进制是很难实现的。
1-4 逻辑函数有哪两种标准表达式？
答：逻辑函数有与-或表达式（最小项和的形式）和或-与表达式（最大项积的形式）两种标准表达式。
1-5 何为最小项？简述其编号方法。
答：设m为包含n个变量的乘积项，且这n个变量以原变量形式或者反变量形式在m中出现且只出现一次，称m为n变量的一个最小项。最小项的编号规则：把最小项m中的原变量取值为1 ，反变量取值为0，所构成二进制数对应的十进制数即为该最小项的编号i，记作mi。
1-6 什么是真值表？如何得到一个逻辑函数的真值表？
答：所谓真值表是指描述逻辑关系的图表。将输入变量所有可能组合的逻辑函数的值依序对应列于一张二维表中，即可得到该逻辑函数的真值表。
1-7 与、或、非三种基本逻辑运算可以实现其它任何复杂的逻辑函数吗？ 答：任何复杂的逻辑函数都可以由与、或、非三种基本逻辑运算实现。
1-8 何为约束项和任意项？为什么在卡诺图化简中，约束项和任意项的值既可以取“1”，又可以取“0”？
答：约束项是指不能出现的输入变量取值所对应的最小项，约束条件可以用全部约束项之和等于0表示。因为约束项对应的输入变量组合不可能出现，所以，在化简时其对应的最小项既可以看成“0”，也可以看成“1”。
在某些输入变量取值下，函数值是“0”还是“1”都不影响电路的逻辑功能，这些输入变量取值所对应的最小项称为任意项。因为任意项的值是“0”还是“1”都不影响电路的逻辑功能，所以既可以取“1”，又可以取“0”。
1-1 实现下列不同进制数之间的转换(不能精确转换时，小数点后保留4位有效数字)，并写出其8421BCD码。
(1) (=( 90 )10=( 132 )8=( 5A )16=(
(2) (0.10101)2=( 0.65625 )10=( 0.32 )8=( 0.A8 )16=(01 01 )8221BCD (3) (=( 29.625 )10=( 35.5 )8=( 1D.A )16=( 10
)8221BCD (4) (125)10=(111 1101 )2=( 175 )8=( 7D )16=( 01 )8221BCD (5) (0.25)10=( 0.01 )2=( 0.2 )8=( 0.4 )16=( 01 )8221BCD
(6) (12.4)10=(
)2=( 14.3146 )8=(C.6666 )16=( 00 )8221BCD (7) (26)8=( 22 )10=( 10110 )2=( 16 )16=(
(8) (0.02)8=( 0.0.00001)2=( 0.08 )16=( 11 01 )8221BCD (9) (2.5)8=(2.625)10=(10.101)2=(2.A)16=(10 BCD (10) (1A)16=(26)10=(32)8=(10 BCD
(11) (0.1)16=(0..04)8=(0.00. 10 BCD
(12) (AB.5)16=(171.3.24)8=(01)2=(01. 10 BCD
1-2 根据给定的条件，写出下列函数的真值表。 (1) 已知函数F的逻辑图如图1.28所示。
图1.28 习题1-2(1)逻辑图
m(1,2,5,7)
M(2,3,6,7,10,12)
(4) F?AB?BC?CA
(5) F?A?BA?C?B?D?C?
(6) 函数F的卡诺图如图1.29所示。
图1.29 习题1-2(6)的卡诺图
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