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& 天津一中2015届高三下学期5月月考数学试卷（理科） Word版含解析
天津一中2015届高三下学期5月月考数学试卷（理科） Word版含解析
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资料概述与简介
天津一中2015届高三下学期5月月考数学试卷（理科）
一、选择题：
1．若复数z满足z（1+i）=4﹣2i（i为虚数单位），则|z|=(
A． B． C． D．
2．以下说法错误的是(
A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题是“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”
B．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件
C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题
D．若命题p：?x0∈R，使得x02+x0+1＜0，则﹁p：?x∈R，都有x2+x+1≥0
3．若x，y满足则下列不等式恒成立的是(
A．y≥1 B．x≥2 C．x+2y+2≥0 D．2x﹣y+1≥0
4．执行如图的程序框图，若输出的S=48，则输入k的值可以为(
A．4 B．6 C．8 D．10
5．若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，其中左视图是一个边长为2的正三角形，则这个几何体的体积是(
A．2cm2 B．cm3 C．3cm3 D．3cm3
6．已知m∈R，“函数y=2x+m﹣1有零点”是“函数y=logmx在（0，+∞）上为减函数”的(
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．设x1，x2，x3均为实数，且=log2（x1+1），=log3x2，=log2x3，则(
A．x1＜x3＜x2 B．x3＜x2＜x1 C．x3＜x1＜x2 D．x3＜x1＜x2
8．已知正数x、y、z满足x2+y2+z2=1，则S=的最小值为(
A．3 B． C．4 D．2（+1）
二、填空题：
9．已知二项式的展开式中各项二项式系数和是16，则n=__________，展开式中的常数项是__________．
10．曲线y=sinx（0≤x≤π）与x轴围成的封闭区域的面积为__________．
11．如图，在圆内接四边形ABCD中，AB∥DC，过点A作圆的切线与CB的延长线交于点E．若AB=AD=BC=5，AE=6，则DC=__________．
12．已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则|QF|__________．
13．在边长为2的等边三角形ABC中，D是AB的中点，E为线段AC上一动点，则o的取值范围为__________．
14．已知函数g（x）=，若方程g（x）﹣mx﹣m=0有且仅有两个不等的实根，则实数m的取值范围是__________．
三、解答题（共6小题，满分80分）
15．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜|φ|＜为奇函数，且函数y=f（x）的图象的两相邻对称轴之间的距离为．
（Ⅰ）求f（）的值；
（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向右平移个单位后，得到函数y=g（x）的图象，求函数g（x）的单调递增区间．
16．一对父子参加一个亲子摸奖游戏，其规则如下：父亲在装有红色、白色球各两个的甲袋子里随机取两个球，儿子在装有红色、白色、黑色球各一个的乙袋子里随机取一个球，父子俩取球相互独立，两人各摸球一次合在一起称为一次摸奖，他们取出的三个球的颜色情况与他们获得的积分对应如下表：
所取球的情况 三个球均为红色 三个球均不同色 恰有两球为红色 其他情况
所获得的积分 180 90 60 0
（Ⅰ）求一次摸奖中，所取的三个球中恰有两个是红球的概率；
（Ⅱ）设一次摸奖中，他们所获得的积分为X，求X的分布列及均值（数学期望）E（X）．
17．在如图所示的多面体中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，且AC=BC=BD=2AE=2，M是AB的中点．
（Ⅰ）求证：CM⊥EM；
（Ⅱ）求平面EMC与平面BCD所成的锐二面角的余弦值；
（Ⅲ）在棱DC上是否存在一点N，使得直线MN与平面EMC所成的角为60°．若存在，指出点N的位置；若不存在，请说明理由．
18．设F1，F2分别为椭圆=1（a＞b＞0）的左、右焦点，点P（1，）在椭圆E上，且点P和F1关于点C（0，）对称．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过右焦点F2的直线l与椭圆相交于A，B两点，过点P且平行于AB的直线与椭圆交于另一点Q，问是否存在直线l，使得四边形PABQ的对角线互相平分？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由．
19．设数列Sn为数列{an}的前n项和，且Sn=2an﹣2n+1，n=1，2，3…
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设2，数列{bn}的前n项和Bn，若存在整数m，使得对任意n∈N*且n≥2都有B3n﹣Bn＞成立，求m的最大值
（Ⅲ）设Cn=﹣1，证明：++…+＜（n∈N*）
20．已知函数f（x）=（其中m为常数）．
（Ⅰ）当m=0时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当0＜m＜时，设函数f（x）的3个极值点为a，b，c，且a＜b＜c．证明：a+c＞．
天津一中2015届高三下学期5月月考数学试卷（理科）
一、选择题：
1．若复数z满足z（1+i）=4﹣2i（i为虚数单位），则|z|=(
A． B． C． D．
考点：复数求模．
专题：数系的扩充和复数．
分析：把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式计算．
解答： 解：由z（1+i）=4﹣2i，得
点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．
2．以下说法错误的是(
A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题是“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”
B．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件
C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题
D．若命题p：?x0∈R，使得x02+x0+1＜0，则﹁p：?x∈R，都有x2+x+1≥0
考点：四种命题．
专题：简易逻辑．
分析：写出原命题的逆否命题，可判断A；根据充要条件的定义，可判断B；根据复合命题真假判断的真值表，可判断C；根据特称命题的否定方法，可判断D．
解答： 解：命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题是“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”，故A正确；
“x=1”时，“x2﹣3x+2=0”成立，故“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分条件；
“x2﹣3x+2=0”时，“x=1或x=2”，即“x=1”不一定成立，故“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的不必要条件，故B正确；
若p∧q为假命题，则p，q存在至少一个假命题，不一定全为假命题，故C错误；
命题p：?x0∈R，使得x02+x0+1＜0，则﹁p：?x∈R，都有x2+x+1≥0，故D正确；
点评：本题考查的知识点是四种命题，充要条件，复合命题，特称命题，是简单逻辑的综合考查，难度不大，属于基础题．
3．若x，y满足则下列不等式恒成立的是(
A．y≥1 B．x≥2 C．x+2y+2≥0 D．2x﹣y+1≥0
考点：简单线性规划．
专题：不等式的解法及应用．
分析：由约束条件作出可行域，然后逐一分析四个选项得答案．
解答： 解：由约束条件作出可行域如图，
由图可知，平面区域内的点不满足不等式y≥1，x≥2，x+2y+2≥0成立，
只有选项D中的不等式2x﹣y+1≥0对平面区域内的点都成立．
点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
4．执行如图的程序框图，若输出的S=48，则输入k的值可以为(
A．4 B．6 C．8 D．10
考点：程序框图．
专题：算法和程序框图．
分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的n，S的值，当S=48时，由题意，此时应该满足条件n=10＞k，退出循环，输出S的值为48，故应有：7＜k＜10．
解答： 解：模拟执行程序框图，可得
不满足条件n＞k，n=4，S=6
不满足条件n＞k，n=7，S=19
不满足条件n＞k，n=10，S=48
由题意，此时应该满足条件n=10＞k，退出循环，输出S的值为48，
故应有：7＜k＜10
点评：本题主要考查了程序框图和算法，根据退出循环的条件分析k的取值范围是解题的关键，属于基础题．
5．若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，其中左视图是一个边长为2的正三角形，则这个几何体的体积是(
A．2cm2 B．cm3 C．3cm3 D．3cm3
考点：由三视图求面积、体积．
专题：空间位置关系与距离．
分析：由几何体的三视图得到原几何体的底面积与高，进而得到该几何体的体积．
解答： 解：由几何体的三视图可知，该几何体为底面是直角梯形，高为的四棱锥，
其中直角梯形两底长分别为1和2，高是2．
故这个几何体的体积是××=（cm3）．
点评：本题考查由几何体的三视图求原几何体的体积问题，属于基础题．
6．已知m∈R，“函数y=2x+m﹣1有零点”是“函数y=logmx在（0，+∞）上为减函数”的(
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．
专题：简易逻辑．
分析：根据函数的性质求出m的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
解答： 解：若函数y=f（x）=2x+m﹣1有零点，则f（0）=1+m﹣1=m＜1，
当m≤0时，函数y=logmx在（0，+∞）上为减函数不成立，即充分性不成立，
若y=logmx在（0，+∞）上为减函数，则0＜m＜1，此时函数y=2x+m﹣1有零点成立，即必要性成立，
故“函数y=2x+m﹣1有零点”是“函数y=logmx在（0，+∞）上为减函数”的必要不充分条件，
点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据函数零点和对数函数的性质求出等价条件是解决本题的关键．
7．设x1，x2，x3均为实数，且=log2（x1+1），=log3x2，=log2x3，则(
A．x1＜x3＜x2 B．x3＜x2＜x1 C．x3＜x1＜x2 D．x3＜x1＜x2
考点：对数值大小的比较．
专题：函数的性质及应用．
分析：利用指数函数与对数函数的图象与性质画出图象，即可得出结论．
解答： 解：如图所示，
由图象可知：x1＜x3＜x2．
点评：本题考查了指数函数与对数函数的图象与性质，属于基础题．
8．已知正数x、y、z满足x2+y2+z2=1，则S=的最小值为(
A．3 B． C．4 D．2（+1）
考点：基本不等式；二维形式的柯西不等式．
专题：不等式的解法及应用．
分析：由题意可得1﹣z2=x2+y2≥2xy，从而可得≥，由基本不等式和不等式的性质可得≥≥4
解答： 解：由题意可得0＜z＜1，0＜1﹣z＜1，
∴z（1﹣z）≤（）2=，
当且仅当z=（1﹣z）即z=时取等号，
又∵x2+y2+z2=1，∴1﹣z2=x2+y2≥2xy，
当且仅当x=y时取等号，∴≥1，
∴≥1，∴≥，
当且仅当x=y=且z=时取等号，
∴S=的最小值为4
点评：本题考查基本不等式，涉及不等式的性质和配凑的方法，属中档题．
二、填空题：
9．已知二项式的展开式中各项二项式系数和是16，则n=4，展开式中的常数项是24．
考点：二项式系数的性质．
专题：计算题；二项式定理．
分析：由题意知：得2n=16，即可求出n；利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数为0，求出r的值，将r的值代入通项求出常数项．
解答： 解：由题意知：得2n=16，∴n=4；
展开式的通项为Tr+1=，令4﹣2r=0得r=2
∴展开式中的常数项为24
故答案为：4，24
点评：本题考查二项式系数和问题、考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．
10．曲线y=sinx（0≤x≤π）与x轴围成的封闭区域的面积为2．
考点：定积分．
专题：导数的概念及应用．
分析：先确定积分区间，进而求定积分，即可求得曲线y=sinx（0≤x≤π）与x轴围成的封闭图形的面积．
解答： 解：曲线y=sinx（0≤x≤π）与x轴围成的封闭区域的面积为==﹣cosπ+cos0=2．
故答案为：2．
点评：本题考查了定积分，关键是求出被积函数的原函数，是基础题．
11．如图，在圆内接四边形ABCD中，AB∥DC，过点A作圆的切线与CB的延长线交于点E．若AB=AD=BC=5，AE=6，则DC=．
考点：与圆有关的比例线段．
专题：选作题；推理和证明．
分析：利用切割线定理求出BE，进而根据三角形相似对应边成比例，求出DC．
解答： 解：设BE=x，
∵BC=5，AE=6，AE是切线，
故AE2=BEoCE，即36=x（x+5），
解得：x=4，或x=﹣9（舍），
∵AB=AD=5，
∴∠ABD=∠ADB，
∵AB∥DC，
∴∠ABD=∠CDB，∠C=∠ABE，
又∵∠BAE=∠ADB，
∴∠BAE=∠CBD，
∴△BCD∽△EBA，
∴DC：AB=BC：BE，
故答案为：．
点评：本题考查的知识点是切割线定理，三角形相似的判定及性质，难度中档．
12．已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则|QF|5．
考点：抛物线的简单性质．
专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：运用抛物线的定义，设Q到l的距离为d，求出斜率，求得直线PF的方程，与y2=8x联立可得x=3，利用|QF|=d可求．
解答： 解：设Q到l的距离为d，则由抛物线的定义可得，|QF|=d，
∵=4，则Q在PF的延长线上，
∴|PQ|=5d，
∴直线PF的斜率为﹣=﹣2，
∵F（2，0），
∴直线PF的方程为y=﹣2（x﹣2），
与y2=8x联立可得x=3，（由于Q的横坐标大于2）
∴|QF|=d=3+2=5，
故答案为：5
点评：本题考查抛物线的定义和简单性质，考查直线与抛物线的位置关系，属于中档题．
13．在边长为2的等边三角形ABC中，D是AB的中点，E为线段AC上一动点，则o的取值范围为．
考点：平面向量数量积的运算．
专题：平面向量及应用．
分析：由题意可得和 的夹角为60°，设||=x，x∈，根据的向量的之间的关系得到o的表达式，借助于二次函数求出最值，即得它的取值范围．
解答： 解：由题意可得和 的夹角为60°，设||=x，x∈，
∵o=（﹣）o（﹣）=﹣﹣+=2×1﹣2xcos60°﹣xcos60°+x2
=x2﹣x+2=+，
故当x=时，o取得最小值为，当x=2时，o取得最大值为3，
故o的取值范围为 ，
点评：本题题主要考查两个向量的加减法的法则、其几何意义、两个向量的数量积的定义以及二次函数配方求最值，属于基础题．
14．已知函数g（x）=，若方程g（x）﹣mx﹣m=0有且仅有两个不等的实根，则实数m的取值范围是．
考点：利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系．
专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．
分析：g（x）﹣mx﹣m=0可化为g（x）=m（x+1），从而化为函数y=g（x）与y=m（x+1）的图象有两个不同的交点；再讨论以确定实数m的取值范围．
解答： 解：由g（x）﹣mx﹣m=0得g（x）=m（x+1），
原方程有两个相异的实根等价于两函数y=g（x）与y=m（x+1）的图象有两个不同的交点．
当m＞0时，易知临界位置为y=m（x+1）过点（0，2）和（1，0），
分别求出这两个位置的斜率k1=2和k2=0，
由图可知此时m∈的图象作切线的切点为（x0，y0），
则由函数的导数为g′（x）=﹣得：
得切线的斜率为k1=﹣，而过点（﹣1，0），（0，﹣2）的斜率为k1=﹣2，
故可知m∈（﹣，﹣2]，
则m∈（﹣，﹣2]∪
专题：三角函数的图像与性质．
分析：（Ⅰ）由函数的奇偶性求出φ，由周期求出ω，可得函数的解析式，从而求得f（）的值．
（Ⅱ）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，再根据正弦函数的单调性，求得函数g（x）的单调递增区间
解答： 解：（Ⅰ）==．
因为f（x）为奇函数，所以，又，可得．
所以f（x）=2sinωx，由题意得，所以ω=2．
故f（x）=2sin2x，因此．
（Ⅱ）将f（x）的图象向右平移个单位后，得到的图象，
当（k∈Z），即（k∈Z）时，g（x）单调递增，
因此g（x）的单调递增区间为（k∈Z）．
点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性，属于基础题．由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，属于基础题．
16．一对父子参加一个亲子摸奖游戏，其规则如下：父亲在装有红色、白色球各两个的甲袋子里随机取两个球，儿子在装有红色、白色、黑色球各一个的乙袋子里随机取一个球，父子俩取球相互独立，两人各摸球一次合在一起称为一次摸奖，他们取出的三个球的颜色情况与他们获得的积分对应如下表：
所取球的情况 三个球均为红色 三个球均不同色 恰有两球为红色 其他情况
所获得的积分 180 90 60 0
（Ⅰ）求一次摸奖中，所取的三个球中恰有两个是红球的概率；
（Ⅱ）设一次摸奖中，他们所获得的积分为X，求X的分布列及均值（数学期望）E（X）．
考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．
专题：概率与统计．
分析：（Ⅰ）由条件利用相互独立事件的概率乘法公式，互斥事件的概率加法公式求得所取的三个球中恰有两个是红球的概率．
（Ⅱ）由题意可得X可以取180，90，60，0，再求得X取各个值得概率，可得X的分布列及均值．
解答： （Ⅰ）解：设所取三个球恰有两个是红球为事件A，
则事件A包含两类基本事件：父亲取出两个红球，儿子取出一个不是红球，其概率为；
父亲取出两球为一红一白，儿子取出一球为红色其概率为，
（Ⅱ）解：X可以取180，90，60，0，取各个值得概率分别为：
P（X=60）=+=
P（X=0）=1﹣﹣﹣，
故X的分布为：
X 180 90 60 0
X的均值为 ．
点评：本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，互斥事件的概率加法公式的应用，离散型随机变量的分布列和均值，属于中档题．
17．在如图所示的多面体中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，且AC=BC=BD=2AE=2，M是AB的中点．
（Ⅰ）求证：CM⊥EM；
（Ⅱ）求平面EMC与平面BCD所成的锐二面角的余弦值；
（Ⅲ）在棱DC上是否存在一点N，使得直线MN与平面EMC所成的角为60°．若存在，指出点N的位置；若不存在，请说明理由．
考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的性质；直线与平面所成的角；二面角的平面角及求法．
专题：空间位置关系与距离；空间角．
分析：（I）证明CM⊥AB．CM⊥EA．即可证明CM⊥平面AEM，利用直线与平面垂直的性质定理证明CM⊥EM．
（Ⅱ）以M为原点，分别以MB，MC为x，y轴，如图建立坐标系M﹣xyz，求出相关点的坐标以及
平面EMC的一个法向量，设面DBC的一个法向量，通过空间向量的数量积求解平面EMC与平面BCD所成的锐二面角的余弦值．
（Ⅲ）设N（x，y，z），，0≤λ≤1，利用若直线MN与平面EMC所成的角为60°，列出方程求出λ，即可得到点的位置．
解答： （本小题共14分）
（I）证明：∵AC=BC，M是AB的中点∴CM⊥AB．
又EA⊥平面ABC，CM⊥EA．∵EA∩AB=A∴CM⊥平面AEM
∴CM⊥EM…
（Ⅱ）以M为原点，分别以MB，MC为x，y轴，如图建立坐标系M﹣xyz，
设平面EMC的一个法向量，则
设平面DBC的一个法向量，则
取x1=1，y1=1，z1=0，所以
所以平面EMC与平面BCD所成的锐二面角的余弦值．…
（Ⅲ）在棱DC上存在一点N，
设N（x，y，z）且，0≤λ≤1，
若直线MN与平面EMC所成的角为60°，则
解得：，所以符合条件的点N存在，为棱DC的中点．…
点评：本题考查直线与平面垂直的判断与性质定理的应用，二面角的平面角以及直线与平面所成角的处理方法，空间向量的数量积的应用．
18．设F1，F2分别为椭圆=1（a＞b＞0）的左、右焦点，点P（1，）在椭圆E上，且点P和F1关于点C（0，）对称．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过右焦点F2的直线l与椭圆相交于A，B两点，过点P且平行于AB的直线与椭圆交于另一点Q，问是否存在直线l，使得四边形PABQ的对角线互相平分？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由．
考点：椭圆的简单性质．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：（1）先求F1（﹣1，0），再根据椭圆定义求得a、b即可；
（2）设直线l的方程为y=k（x﹣1）、直线PQ的方程为y﹣=k（x﹣1），分别与椭圆方程联立，消去y，设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x3，y3），由韦达定理及PB与AQ的中点重合，可解得，从而直线l方程为3x﹣4y﹣3=0时，四边形PABQ的对角线互相平分．
解答： 解：（1）∵点P（1，）和F1关于点C（0，）对称，∴F1（﹣1，0），
∴椭圆E的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），
由椭圆定义，得2a=|PF1|+|PF2|=4，
从而a=2，b==，
故椭圆E的方程为；
（2）结论：存在直线l，使得四边形PABQ的对角线互相平分．
理由如下：
由题可知直线l、直线PQ的斜率存在，
设直线l的方程为y=k（x﹣1）、直线PQ的方程为y﹣=k（x﹣1），
得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，
根据题意可知△＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），
由韦达定理可知x1+x2=，x1x2=，
得（3+4k2）x2﹣（8k2﹣12k）x+4k2﹣12k﹣3=0，
由△＞0，可知，设Q（x3，y3），又P（1，），
则1+x3=，1ox3=，
若四边形PABQ的对角线互相平分，则有PB与AQ的中点重合，
所以，即x1﹣x2=1﹣x3，
所以（）2﹣4o=（1﹣）2，
从而直线l方程为3x﹣4y﹣3=0时，四边形PABQ的对角线互相平分．
点评：本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意积累解题方法，联立方程组后利用韦达定理是解题的关键．
19．设数列Sn为数列{an}的前n项和，且Sn=2an﹣2n+1，n=1，2，3…
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设2，数列{bn}的前n项和Bn，若存在整数m，使得对任意n∈N*且n≥2都有B3n﹣Bn＞成立，求m的最大值
（Ⅲ）设Cn=﹣1，证明：++…+＜（n∈N*）
考点：数列的求和．
专题：点列、递归数列与数学归纳法．
分析：（Ⅰ）利用an=Sn﹣Sn﹣1，计算整理可得，两边同时除以2n，可得数列{}的公差，进而可得结论；
（Ⅱ）通过，利用对数的运算性质可得bn=，记f（n）=，利用放缩法可得f（n+1）﹣f（n）＞0，进而可知当n≥2时，f（n）的最小值为f（2），计算即得结论；
（Ⅲ）通过，利用放缩法可得＜o，设，则，进而可得结论．
解答： （Ⅰ）解：∵Sn=2an﹣2n+1，
∴Sn﹣1=2an﹣1﹣2n（n≥2），
两式相减得：an=2an﹣2an﹣1﹣2n，
两边同时除以2n，可得：，
∴a1=4，=2，
∴=2+（n﹣1）=n+1，
（Ⅱ）解：∵，
则f（n+1）﹣f（n）=++﹣
即f（n+1）＞f（n），
∴数列f（n）为递增数列，
当n≥2时，f（n）的最小值为，
由题意知，
∴m的最大整数值为18；
（Ⅲ）证明：∵，
点评：本题是一道关于数列的综合题，考查通项、对数的运算性质、放缩法等基础知识，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．
20．已知函数f（x）=（其中m为常数）．
（Ⅰ）当m=0时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当0＜m＜时，设函数f（x）的3个极值点为a，b，c，且a＜b＜c．证明：a+c＞．
考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．
专题：导数的综合应用．
分析：（Ⅰ） 令f'（x）=0可得．从而求出函数的单调区间，
（Ⅱ）由题，对于函数，有，从而函数h（x）在（0，m）上单调递减，在（m，+∞）上单调递增
从而hmin（x）=h（m）=2lnm+1＜0，所以，进而函数f（x）的递增区间有（a，2m）和（c，+∞），递减区间有（0，a），（2m，1），（1，c），解方程组求出函数g（x）=2xlnx﹣x在上递减，在上递增，构造函数，只需要证明单调递减即可，从而解决问题．
解答： 解：（Ⅰ）
令f'（x）=0可得．列表如下：
x （0，1）
f'（x） ﹣ ﹣ 0 +
f（x） 减 减 极小值 增
单调减区间为（0，1），；增区间为．
（Ⅱ）由题，
对于函数，有
∴函数h（x）在（0，m）上单调递减，在（m，+∞）上单调递增
∵函数f（x）有3个极值点a＜b＜c，
从而hmin（x）=h（m）=2lnm+1＜0，所以，
当时，h（2m）=2ln2m＜0，h（1）=m﹣1＜0，
∴函数f（x）的递增区间有（a，2m）和（c，+∞），
递减区间有（0，a），（2m，1），（1，c），
此时，函数f（x）有3个极值点，且b=2m；
∴当时，a，c是函数的两个零点，
即有，消去m有2alna﹣a=2clnc﹣c
令g（x）=2xlnx﹣x，g'（x）=2lnx+1有零点，且
∴函数g（x）=2xlnx﹣x在上递减，在上递增
∵g（a）=g（c），
构造函数，
只需要证明单调递减即可．
∴F'（x）在上单调递增，
点评：本题考察了函数的单调性，函数的极值问题，导数的应用，不等式的证明，本题是一道综合题．
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已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5，5]．(1)当a＝－1时，求函数f(x)的最大值和最小值；(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－5，5]上是单调函数．
主讲：吴野
(1)当a＝－1时，f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，∵x&I[－5，5]，故当x＝1时，f(x)的最小值为1．当x＝－5时，f(x)的最大值为37．(2)函数f(x)＝(x＋a)2＋2－a2图象的对称轴为x＝－a．∵f(x)在[－5，5]上是单调的，故－a≤－5或－a≥5．即实数a的取值范围是a≤－5或a≥5．
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