【外微分浅谈】5. 几何意义 - 科学空间|Scientific Spaces
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【外微分浅谈】5. 几何意义
作者：苏剑林 |
发布时间：November 6, 2016
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下面将围绕着几何诠释进行展开。外积：张成并投影我们考虑两个微分1形式的外积，比如
$$\begin{aligned}\alpha_{\mu}dx^{\mu} \land \beta_{\nu}dx^{\nu} =&\alpha_{\mu}\beta_{\nu} dx^{\mu}\land dx^{\nu}\\
=&\sum_{\mu < \nu} (\alpha_{\mu}\beta_{\nu}-\beta_{\mu}\alpha_{\nu}) dx^{\mu}\land dx^{\nu} \\
=&\frac{1}{2}(\alpha_{\mu}\beta_{\nu}-\beta_{\mu}\alpha_{\nu}) dx^{\mu}\land dx^{\nu}\end{aligned} \tag{34} $$
省略求和符号时，表示$\mu,\nu$各自分别无约束地遍历求和。留意到
$$\alpha_{\mu}\beta_{\nu}-\beta_{\mu}\alpha_{\nu}=\det\begin{pmatrix}\alpha_{\mu}&\alpha_{\nu}\\\beta_{\mu}&\beta_{\nu}\end{pmatrix} \tag{35} $$
那么，如果将$dx^{\mu}$看成基，那么对于选定的一对$\mu,\nu$，$\alpha_{\mu}\beta_{\nu}-\beta_{\mu}\alpha_{\nu}$正好对应于向量$\alpha_{\mu}$和向量$\beta_{\nu}$所张成的平行四边形在$dx^{\mu},dx^{\nu}$平面上的投影的有向面积。对于一般的微分$p$形式和微分$q$形式，它们的外积可以类似地构造，只是高维的更难想象罢了。比如一个微分1形式跟一个微分2形式作外积，可以想象着一个普通向量跟一个“面积向量”（实际上是一个张量）张成了一个立方体，外积结果的每一项，就是该立方体在相应的三维子空间上的投影的体积，等等。特别地，如果在$n$维空间中，有$n$个微分1形式作外积，结果将是
$$\alpha_{\mu_1}^{1} dx^{\mu_1}\land \dots \land \alpha_{\mu_n}^{n} dx^{\mu_n}=\det(\alpha_{\mu}^{\nu}) dx^1 \land \dots \land dx^n \tag{36} $$
即刚好产生了一个矩阵的行列式，这是很神奇的，正好是反对称性的体现。反对称性也存在也行列式中，即交换行列式的两行或者两列，那么行列式反号。设$f$是任意函数，我们有$df=\frac{\partial f}{\partial x^{\mu}} dx^{\mu}$，那么
$$df^1 \land \dots \land df^n = \det\left(\frac{\partial f^{\mu}}{\partial x^{\nu}}\right) dx^1 \land \dots \land dx^n \tag{37} $$
从变换的角度来看，$\det\left(\frac{\partial f^{\mu}}{\partial x^{\nu}}\right)$就是积分变换的雅可比行列式。这使得我们想冲动地把$\land$忽略掉，把$dx^1 \land \dots \land dx^n$直接看成积分元$dx^1\dots dx^n$。事实上正是这样做的！我们定义$dx^{\mu_1}\land \dots \land dx^{\mu_k}=\pm dx^{\mu_1}\dots dx^{\mu_k}$，至于是正还是负，取决于我们想将它诠释为什么具体的几何内容。这样我们就可以用外微分来表示积分理论了。微分算子：绕圈子更值得深刻认识的是式$(25)$，即从一个$p$形式到$p+1$形式，究竟发生了什么，或者说，对应什么几何内容。我们还是从微分1形式出发，考虑$\omega_{\nu} dx^{\nu}$，在算符$d$作用下，有
$$\begin{aligned}d(\omega_{\nu} dx^{\nu}) =& \frac{\partial \omega_{\nu}}{\partial x^{\mu}} dx^{\mu} \land dx^{\nu}\\
=&\sum_{\mu < \nu} \left(\frac{\partial \omega_{\nu}}{\partial x^{\mu}}-\frac{\partial \omega_{\mu}}{\partial x^{\nu}}\right) dx^{\mu} \land dx^{\nu}\\
=&\frac{1}{2} \left(\frac{\partial \omega_{\nu}}{\partial x^{\mu}}-\frac{\partial \omega_{\mu}}{\partial x^{\nu}}\right) dx^{\mu} \land dx^{\nu}\end{aligned} \tag{38} $$
这样的形状的东西有什么几何对应呢？我们可以把$\omega_{\nu} dx^{\nu}$看成是量$\Omega$从$x$到$x+dx$的增量，即
$$\Omega (x+dx) = \Omega (x) + \omega_{\nu}(x) dx^{\nu} \tag{39} $$
那么，如果再从$x+dx$到$x+dx+\delta x$呢？自然有
$$\begin{aligned}\Omega_1 (x+dx+\delta x) =& \Omega (x+dx) + \omega_{\nu}(x+dx) \delta x^{\nu}\\
=&\Omega (x) + \omega_{\nu}(x) dx^{\nu} + \omega_{\nu}(x) \delta x^{\nu} + \frac{\partial \omega_{\nu}}{\partial x^{\mu}} dx^{\mu} \delta x^{\nu} \end{aligned} \tag{40} $$
这是走了$x\to x+dx\to x+dx+\delta x$这条路径的，交换$dx$和$\delta x$，即走$x\to x+\delta x\to x+\delta x+ dx$这条路径，得到
$$\Omega_2 (x+dx+\delta x) =\Omega (x) + \omega_{\nu}(x) \delta x^{\nu} + \omega_{\nu}(x) d x^{\nu} + \frac{\partial \omega_{\nu}}{\partial x^{\mu}} \delta x^{\mu} d x^{\nu}
\tag{41} $$
$$\label{bihecha}\begin{aligned}\left(\frac{\partial \omega_{\nu}}{\partial x^{\mu}}-\frac{\partial \omega_{\mu}}{\partial x^{\nu}}\right)dx^{\mu} \delta x^{\nu}=&\frac{1}{2}\left(\frac{\partial \omega_{\nu}}{\partial x^{\mu}}-\frac{\partial \omega_{\mu}}{\partial x^{\nu}}\right)(dx^{\mu} \delta x^{\nu}-dx^{\nu} \delta x^{\mu})\\
=&\frac{1}{2}\left(\frac{\partial \omega_{\nu}}{\partial x^{\mu}}-\frac{\partial \omega_{\mu}}{\partial x^{\nu}}\right) \det\begin{pmatrix}dx^{\mu} & \delta x^{\mu}\\ dx^{\nu} & \delta x^{\nu}\end{pmatrix}\end{aligned} \tag{42} $$
就是绕着闭合路径$x\to x+dx\to x+dx+\delta x\to x+\delta x\to x$溜达了一圈之后，所产生的变化量。如果令
$$dx^{\mu} \land dx^{\nu} = \det\begin{pmatrix}dx^{\mu} & \delta x^{\mu}\\ dx^{\nu} & \delta x^{\nu}\end{pmatrix} \tag{43} $$
那么式$(42)$正好是$d(\omega_{\nu} dx^{\nu})$。而$\det\begin{pmatrix}dx^{\mu} & \delta x^{\mu}\\ dx^{\nu} & \delta x^{\nu}\end{pmatrix}$就是$dx$和$\delta x$这两个向量，张成的平行四边形在$x^{\mu},x^{\nu}$平面的投影的面积，它也是反对称的。从这个角度看，就可以将$dx^{\mu} \land dx^{\nu}$解释为有向面积元，而$d(\omega_{\nu} dx^{\nu})$的含义就是一个量在绕了一个小圈子回来之后的变化量！微积分基本定理通过绕圈子的途径，我们解释了从微分1形式到2形式的含义。但遗憾的是，从一般的$p$形式到$p+1$形式，并不那么容易想象，而且，事实上对于超过3维的空间中的积分的几何图像，我们也很难想象出来。所以，我们这里使用了一条“本末倒置”的路径。如果$\omega$是一个微分$p$形式，$D$是一给定区域，那么
$$\int_{\partial D} \omega = \int_{D} d\omega \tag{44} $$
也就是说，$\omega$在边界上的积分，等于$d\omega$在区域内的积分，这就是微分形式中的“斯托克斯公式”（Stokes公式），也可以说是外微分中的微积分基本定理。这个公式为人称颂的地方就是统一了牛顿-莱布尼兹公式、格林公式、高斯定理、斯托克斯公式，并将其一般化。大家可能困惑“什么是微分形式的积分？”，事实上微分形式的积分并没有什么特殊的地方，因为诸如$dx^{\mu}\land dx^{\nu}$的式子除了反对称之外，跟普通的微分元$dx^{\mu}dx^{\nu}$没有什么区别，而积分的定义（比如简单地采用黎曼积分定义）与对称还是反对称无关。这样，我们就能够想象，从一般的$p$形式到$p+1$形式，或者说从$\omega$到$d\omega$，事实上跟1形式到2形式一样，做了类似“绕圈子”的事情，即把$\omega$理解为边界上的运动变化，而$d\omega$则是遍历一个小区域回来之后，所产生的变化，那么很自然在封闭区域$D$就有$\int_{\partial D} \omega = \int_{D} d\omega$了。当然，前面已经说了，这是一条“本末倒置”的途径。这个积分定理其实是“结果”而非“原因”，它需要冗长的证明。而我们这里不加证明地引用了它，反过来用来解释$d\omega$的含义，这只是为了给大家一条尽快并且尽可能清晰的思路。
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微分形式介绍 一
微分形式问题的提出 我们已经学习过四个微积分的重要公式: b Newton-Leibniz 公式 df
f? a ? a ?
X Green 公式 , ?? Xdx ?Ydy ? ??
? dxdy ?D D
x y ? ? ? Gauss 公式 F
?? F dV?? 和 ?? ??? ?? ? ? ? ?
? Stokes 公式 F
. ? ?? ?S S 它们都反映了类似的规律： 函数 或者向量函数 的 “微分”在 区域上的 “积分”, 可 以用函数 或者向量函数 在该区域边界上的“积分”来表示。当然，这里的微分与积分， 都是有特定定义的，因而我们加上了引号。 既然四个公式反映了类似规律，那么能否将这四个公式统一起来?
解决这些问题需要 引进“微分形式”这一工具. 系统地讨论微分形式需要较深的代数和拓扑知识. 所以这里 我们只是在R3
的范围中以尽可能通俗的方式叙述微分形式的积分,并且特别注意联系已经 学过的知识. 二
流形及其定向 在三维空间中,我们给曲线、曲面和区域一个统一的名称：“流形”. “一维流形” 指满足一定条件的曲线 包括直线 ; “二维流形” 指满足一定条件的曲面 包括平面 ; “三维流形” 指R3
中满足一定条件的区域. 流形都是有向的. 其定义是前面关于曲线、曲面和区域定向的一般化。 L 1
对于曲线.设曲线
有参数方程: x
?? ? ? ??, ???t
z t ? 其中三个函数都是连续可微的,并且满足条件 ? 2
z t0. ? ? ? L 在这个条件下,曲线
在其上每个点都有非零的切向量. ? ??
? ? ?? ?? ??? x t
y t? z , t , ? t 规定? 就是曲线在这点处切线的正方向, 或者说确定为曲线的正向；这就意味着：参数 增 加方向确定了曲线正方向。 x?t ???? ? ? ? 这时，弧微分向量 : ??? dl
t dt ? ? z??t ?????
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　　又称微分形式，是上定义的反对称协变张量场。为了在流形上引进积分理论，必须推广“被积函数”的概念。例如，平面上沿曲线C的曲线积分
可理解为一个一次外微分形式pdx+Qdy在C上的积分。类似地，空间的曲面积分和体积分可理解为二次和三次外微分形式的积分。
　　外微分形式理论与方法是研究近代微分几何的重要工具，它在数学的其他分支以及物理、力学中也有广泛的应用。
　　设M是微分流形，T*M是它的余切丛，作它的p次反对称张量积丛∧pT*M，那么，该丛的一个截面称为p 次外微分形式(简称p 形式)。设x是M上任意一点，在它近旁引进局部坐标系(x1，x2，…，xn)，那么，在x点的余切空间T懜M中可取基dx1，dx2，…，dxn。对任何 由所张成的线性空间就是∧pT懜M，在中对换一个次序就改变一次符号。这样，p形式ω在局部坐标系下可表示为
式中是p阶反对称张量场。如果在此式中不是反对称的，或者i1，i2，…，ip不依大小次序排列，仍然可以利用的反对称性而把它改写成为标准形式。
　　一般地，设E是M上的向量丛，那么∧pT*M与E作张量积丛∧pT*M圱E，它的任一截面称为取值于E的向量值微分形式。
　　任一p形式，它在流形上每点作为余切空间反对称张量积空间的元素自然可引进向量空间的运算，由此得到p形式的加法运算以及p形式与函数的相乘运算，其结果仍是p形式。此外还可引进下列的外积运算：设
分别是p形式与q形式。那么ω∧σ为(p+q)形式，定义为
这样，对所有r形式（r=1，2，…，n）作它们的直和，记为∧T*M，它在流形M上的每一点x构成外代数(格拉斯曼代数)。
　　在∧T*M上还存在外微分算子，它是满足下列性质的惟一算子：
　　② 若ω1是r形式
　　③ 若?是函数，在局部坐标下有
　　④ d(d?)=0。设
那么dω有如下表达式
　　设ω是任一微分形式，如果dω=0，那么ω称为闭形式。对ω，如果存在σ，使ω=dσ，那么ω称为正合形式。一次微分形式也称为普法夫形式。
　　设有r个普法夫形式那么方程组
称为普法夫方程组。
　　如果一个由 r个独立的普法夫形式ωα产生的普法夫方程组具有r个独立初积分，则称为完全可积普法夫方程组。弗罗贝尼乌斯定理表明普法夫方程组ωα=0是完全可积的充要条件为存在1形式ω(α，β = 1， 2，…， r)，使
　　为在微分流形M上定义积分，还要推广“积分区域”的概念。在欧氏空间中有单形的概念，p维单形是不在同一p维平面上的p+1个有序点Q0，Q1，…，Qp的闭凸包，即由
张成的点集。对p 维单形Δp的某邻域U，若有可微映射φ：U→M，那么φ(Δp)称为流形M上的可微分奇异单形。有限个p 维单形的常系数形式和C 称为p维链。对任一p维链C，它的边界дC是一个p-1维链。这样，可以利用高维欧氏空间中的普通重积分来定义任何p形式ω在p维链C上的积分。如果ω是微分流形M上的p形式，C是M上的(p+1)维链，那么斯托克斯定理给出
据此可建立德o拉姆的上同调理论（见）。
　　参考书目
　　H.Flanders，Differential Forms with Applications to the Physical Sciences， Academic Press，New York， 1963.
　　S.Sternberg，Lectures on Differential Geometry，Prentice-Hall， Englewood Clliffs， N. J. 1964.