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浅析论逻辑真理的范围
内容简介：浅析论逻辑真理的范围&&&&&&
从古希腊逻辑诞生以来，关于逻辑真理的讨论众说纷纭，特别是伴随着近代哲学的认识论转向，逻辑学进入了心理主义占主流的时期，当时对逻辑的观点分为经验主义、唯理主义。经验主义以穆勒为代表，认为逻辑是对经验的归纳总结，比如对矛盾
从古希腊逻辑诞生以来，关于逻辑真理的讨论众说纷纭，特别是伴随着近代哲学的认识论转向，逻辑学进入了心理主义占主流的时期，当时对逻辑的观点分为经验主义、唯理主义。经验主义以穆勒为代表，认为逻辑是对经验的归纳总结，比如对矛盾律的解释，穆勒认为矛盾律是对信仰与不信仰这两种精神状态的总结，而且将这两种精神指向外界，可以在外界发现光明与黑暗、声音与寂静、前行与后继等现象，总之每一个肯定的现象都与其否定处在尖锐的对立之中，穆勒把矛盾律总结为对这些事实的一般化。与此对立的唯理主义却认为逻辑同上帝一样是超验的，不能从经验中得到，他们批评经验主义者，认为从经验中得到的逻辑就不能绝对为真，因为经验总是可错的，比如康德对逻辑的看法就趋向于唯理主义。
在《逻辑学讲义》中，康德区分了一般逻辑和先验逻辑，他认为一般逻辑是其他科学的基础和一切知性的使用入门，不允许从任何一门科学或者任何一种经验中得到它的原理，逻辑的原理是先天的法则，是必然的法则，这种法则的获得方式在它自身那里就可以得到。
在弗雷格发表《概念文字》之后，现代数理逻辑诞生了，对逻辑的看法也发生了革命性的变化。罗素的逻辑真理论是基于逻辑原子论的符合论，他把恒真的命题函项称为逻辑真理，所以他的逻辑真理观具有形式性、客观必然性、先验性等特征。维特根斯坦构造了真值表，从基本命题开始，认为逻辑真理就是析取排列所有的可能，穷尽了这些可能之后就是必然，在二值逻辑系统中，一个基本命题有真假之分，由n 个基本命题构成的复合命题就有2n 种可能性，其中必有一种是重言式，一种是矛盾式，将那些所有重言式命题析取排列就得到了必然的真。逻辑经验主义关于逻辑真理的观点与康德有渊源关系，而且完全贯彻经验主义的立场，坚持命题的意义在于可证实性，但是逻辑命题原则上是不可证实的，那么只有拒斥逻辑了，这明显同逻辑是有意义的相矛盾，所以逻辑经验主义需要一种摆脱困境的方法。他们修改了康德的分析命题和综合命题的定义，认为分析命题是没有任何经验内容的重言式，仅仅依靠符号的定义为真，而当一个命题的真取决于经验时就是综合命题，自然地就取消了先天综合命题的存在。所以，逻辑经验主义认为逻辑命题是分析的命题，它们不包括任何经验内容，证实原则对它们失效，因此这些命题是必然的、先天的。另一方面，涉及经验的命题只能是偶然的，它依靠经验证实。
1951 年，奎因批评了逻辑经验主义关于分析命题和综合命题的观点，逻辑经验主义拒斥了康德的先天综合命题，只承认相互区别的分析命题和综合命题，但是奎因认为不能做出这两种命题的区分，它们其实都是经验命题。他认为分析性通常被定义为: A 是分析的，当且仅当A 是逻辑真理或者A 能通过同义词替换为逻辑真理。奎因的反驳集中在第二点，他认为第二点需要依靠同义性来说明，实际上，同义性概念本身同分析性概念一样模糊，本身也需要进一步被说明，而且用同义性、可替换性、语义规则来刻画同义性的种种尝试都直接或者间接包含逻辑循环，所以分析命题和综合命题之间的区分是做不出来的。
其次逻辑学家对逻辑真理进行的不同解释都是基于莱布尼茨的观点，即逻辑真理与事实真理的区分，奎因又从结构、代换、模型、证明、语法等方面出发对逻辑真理进行了不同以往的解释，认为分析命题是不存在的，逻辑命题不是分析命题而是经验命题，所以逻辑命题就不是先天的、分析的、必然的，而是经验的、偶然的，因此能够被修正。因此奎因就拒斥了逻辑经验主义的分析命题和经验命题的区分。
东方学者关于逻辑真理的解释也做出了杰出的贡献。1957 年以后金岳霖形成了反映性与规范性相统一的新型逻辑真理观，并给出了完整的阐发和论证。梅剑华认为西方哲学史上存在三组基本的哲学概念: 分析与综合、先天与后天、偶然与必然。传统认为分析陈述= 先天陈述= 必然陈述，康德打破了分析陈述与先天陈述的联系; 克里普克打破了先天陈述与必然陈述的关系; 奎因打破了分析陈述与综合陈述的区分; 最近，卡普兰打破了分析陈述与必然陈述的关联，策尔塔打破了必然陈述与逻辑陈述之间的关联，所以，分析命题就是逻辑为真的命题，而非必然为真的命题。
陈波认为逻辑真理不能一般地被定义，只能是相对于一定的逻辑系统而言的，具有系统相对性; 由于分析命题和综合命题之间的区分不成立，逻辑真理不是没有经验内容的分析命题，它或多或少含有经验成分，而且通过一系列中间环节与经验保持联系; 逻辑真理不具有绝对必然性，只有相对必然性; 逻辑真理是可错的。但是，王路认为陈波的论证是站不住脚的，逻辑是可错的是一个很坏的观点。
可以看出，学界对逻辑真理的讨论是不够深入的，甚至可以说是很简单的，都还停留在讨论逻辑真理的定义上，关于逻辑真理的范围、性质基本上都没有涉及到。本文将着眼于逻辑系统的构造与证明，对这个问题提供一个新的看法，即逻辑的真理只限于完全性定理之内，超出了完全性定理的东西就属于归纳逻辑的范围，这些真理不再是逻辑的真理，它们是事实真理。
实在论的代表是弗雷格、早期维特根斯坦、奎因等人。他们认为逻辑不仅仅是思维方式或者形式主义，而且描述事物的存在状态，对实在做出了断定，因此它是一种本体论的研究，所以无论逻辑命题的真假是否被确定，以及是否有能力证明它们的真假，逻辑命题总有一个真假值，那么在这种意义上逻辑是客观的，逻辑是一种发现而不是发明。在实在论内部，从对逻辑的认识是超验的还是经验的区分出发，分为柏拉图主义和经验主义。超验的就意味着可以独立于经验而知道逻辑命题的真假，即柏拉图主义，它的最大问题在于不能说明独立于经验之外如何认识到这些超验命题。经验主义认为通过经验，逻辑可以被认识到，认识的方法就是归纳法，得到的逻辑是一种经验真理，那么关于逻辑推理的绝对保真性只是一种错觉，但是经验主义认为逻辑具有一定程度的保真性，原因是它与经验的联系不是直接的而是间接的，它通过多级抽象使得经验的成分极少，在人的知识体系中具有最高的抽象性，它的作用仅仅是作为一种经验的加工方式，使得它与经验看起来极为不同，对经验主义观点的挑战主要来自于逻辑的高度保真性。
实在论的逻辑观无论是上述哪种观点，它们都是通过符合论来定义的，即语句的真不仅仅在于它同其他语句的关系，更重要的是它与世界的符合关系，符合就为真，不符合就为假。符合论有悠久的传统，起源于亚里士多德，现代有罗素、早期维特根斯坦、奎因、塔斯基等。其中塔斯基真概念的定义是现代符合论的典型代表，塔斯基的基本思想是: 第一，规定对象语言L 的语法结构，真谓词是相对于L 被定义的; 第二，确定元语言L的语法结构，在其中语言L 被定义; 第三，在L中定义语言L 的满足，在L中通过已被定义的满足来定义真。我们首先定义一个对象语言:
1. 定义L 的字母表a. 逻辑符号:( 1) 变项x，y，z( 2) T，F，?，，，，?，( 3) ?，?，( 4) ( ，) b. 非逻辑符号: ( 1) 常项c0，c1( 2) 关系R( 3) 函数F2. L 形成规则a. 项的形成规则:( 1) 任意变项或者常项是L 的项;( 2) t0tn是项，则F( t0tn) 也是项。b. 公式的形成规则:( 1) 如果t0tn是项，那么R( t0tn) 是原子公式;( 2) 如果A 是公式，则?A 也是;( 3) 如果A、B 是公式，则AB 也是;( 4) 如果A 是公式，x 是变项，则?xA，?xA也是;( 5) 任意公式只能由以上规则的有穷多次运用得到。3. 演绎基础a. 公理:( 1) AA( 2) AB( 3) ABA( 4) ( BC) ( ( AB) ( AC) )( 5) ?( x) A( x) A( y)( 6) A( y) ?( x) A( x)b. 推理规则:R1: MPR2: A( y /x) B，得?( x) A( x) B，y 不在?( x) A( x) 和B 中自由出现。R3: AB( y /x) ，得A?( x) B( x) ，y 不在A 和?( x) B( x) 自由出现。以上给出了一个希尔伯特类的一阶语言，现在可以定义经典逻辑中的逻辑真，首先需要定义元语言L，在L中通过定义满足来定义真。令元语言由自然语言加上特定的符号构成，那么与逻辑对应的实在可以用模型M =〈W，R，v 〉来表示，其中W 是任意元素的非空集合，被称为M 的论域，其中的元素被称为个体，R 是W 中的任意n元关系，F 是W 中任何意n 元函数，v 是一个映射，它满足:( 1) 对L 中的每一个n 元符号R，v( R) 是M上的一个n 元关系; ( 2) 对L 中的每一个个体常项c，v( c) 是M上的一个个体;( 3) L 中的每一个变元x，v( x) 把变项映射到M 上的论域上。有了形式语言L 和模型M，就可以确定语言L中的语句对于M 的真假，M 满足L 的任意公式，记为M ，其归纳定义如下:( 1 ) L R ( t0 tn) ?v ( R) ( v ( t0) V( tn) ) 成立，这里v( ti) 定义如下:v( ti) =C 当ti为个体常项时任意W 中元素当ti { 为个体变项时( 2) L ?A?M ?A?M A( 3) L AB?M AB?M A 或者MB( 4) L ?( x) A( x) ?M ?( x) A( x) ?对一切aW，v ( a) 满足A( 5) L ?( x) A( x) ?M ?( x) A( x) ?存在一个aW，v( a) 满足A通过完全性证明可以得到，对任意M 都为真的公式是逻辑为真的公式。
以上定义了经典逻辑的真，实际上逻辑理论还包括哲学逻辑，它与经典逻辑有极大的不同，主要包括两大类: 一是变异逻辑，以否定或者修改一阶逻辑的某些基本假设而建立的逻辑分支，表现为经典逻辑的择代系统，比如直觉主义逻辑、多值逻辑等; 二是应用逻辑，利用经典逻辑去分析具体科学，表现为经典逻辑的扩充系统。这两类逻辑的出现改变了经典逻辑的真概念。
可能世界语义学适用于大部分哲学逻辑分支，特别是扩充系统，甚至可以适用于经典逻辑，这就为比较经典逻辑和应用逻辑提供了基础。在这个意义上，可以把逻辑真分成7 个不同的层次。在上面M =〈W，R，v〉的基础上，把W 定义为可能世界w0，w1的集合，R 为可能世界之间的可通达关系，v 为对象语言L 在某个可能世界wi上的赋值，由于在哲学逻辑中存在可能世界、模型、框架、模型类等不同的层次，那么在哲学逻辑中首先相对于特定的可能世界来定义塔斯基的满足，在此基础之上构造了模型的满足、框架的满足、模型类的满足、框架类的满足，所以由满足定义的逻辑真也相对化了，即或者相对于( 2) 对L 中的每一个个体常项c，v( c) 是M上的一个个体;
( L 中的每一个变元x，v( x) 把变项映射到M 上的论域上。有了形式语言L 和模型M，就可以确定语言L中的语句对于M 的真假，M 满足L 的任意公式，记为M ，其归纳定义如下:( 1 ) L R ( t0 tn) ?v ( R) ( v ( t0) V( tn) ) 成立，这里v( ti) 定义如下:v( ti) =C 当ti为个体常项时任意W 中元素当ti { 为个体变项时( 2) L ?A?M ?A?M A( 3) L AB?M AB?M A 或者MB( 4) L ?( x) A( x) ?M ?( x) A( x) ?对一切aW，v ( a) 满足A( 5) L ?( x) A( x) ?M ?( x) A( x) ?存在一个aW，v( a) 满足A通过完全性证明可以得到，对任意M 都为真的公式是逻辑为真的公式。以上定义了经典逻辑的真，实际上逻辑理论还包括哲学逻辑，它与经典逻辑有极大的不同，主要包括两大类: 一是变异逻辑，以否定或者修改一阶逻辑的某些基本假设而建立的逻辑分支，表现为经典逻辑的择代系统，比如直觉主义逻辑、多值逻辑等; 二是应用逻辑，利用经典逻辑去分析具体科学，表现为经典逻辑的扩充系统。这两类逻辑的出现改变了经典逻辑的真概念。
可能世界语义学适用于大部分哲学逻辑分支，特别是扩充系统，甚至可以适用于经典逻辑，这就为比较经典逻辑和应用逻辑提供了基础。在这个意义上，可以把逻辑真分成7 个不同的层次。在上面M =〈W，R，v〉的基础上，把W 定义为可能世界w0，w1的集合，R 为可能世界之间的可通达关系，v 为对象语言L 在某个可能世界wi上的赋值，由于在哲学逻辑中存在可能世界、模型、框架、模型类等不同的层次，那么在哲学逻辑中首先相对于特定的可能世界来定义塔斯基的满足，在此基础之上构造了模型的满足、框架的满足、模型类的满足、框架类的满足，所以由满足定义的逻辑真也相对化了，即或者相对于对象语言中的任意语句为真，当且仅当它被或者模型、或者框架、或者模型类、或者框架类等实在所满足，而且能够证明对应于不同实在的完全性，那么就能得到在对象语言与实在之间存在同构，所以通过对象语言L 中的符号的形式推导，就能必然真地得到实在中的真结论。但是对于任意实在，是否都有一个形式语言L 与它同构呢? 答案是否定的。塔斯基的真不可定义性、哥德尔不完全性定理、丘奇-图灵的不可判定性定理证明了在初等算术中任意真的语句不能在形式算术系统中得到证明。这些逻辑的限制性定理表明了形式化思想或者形式系统的边界和最大能力。所以，对于任意的实在，不能找到相对应的形式系统来证明所有的真语句，对于超出了逻辑形式系统之外的推理，没有必然保真的工具可以利用。因此，可以把形式逻辑看成是对休谟问题的处理，逻辑抽象掉了语言中的意义，试图仅仅通过处理形式来得到必然真的结论，这在一定的范围内成功了，但是不完全性定理也证明这种方式解决不了休谟问题，所以逻辑真理必须被限制在一定的范围内。比如一阶逻辑具有可靠性和完全性，能够在一阶形式语言内通过形式证明确定一阶模型中的任意语句的真假; D 系统对应了持续框架; T 系统对应了自返框架; S4 对应了自返传递框架; S5 对应了等价框架等。超出这个范围就不能必然得到真的结论，只能得到或然的结论，所以从这个角度来看可以把演绎逻辑规约到广义归纳逻辑，在归纳逻辑中划出一个界限，逻辑真理属于演绎逻辑，属于必然真理，非逻辑真理是狭义归纳逻辑，属于事实真理。
实在论假设了存在某个东西，逻辑的论断与这个实在都有符合或者不符合的性质，所以实在论接受二值原则。反实在论与实在论不同，它从人的认识出发，认为逻辑必须与人类的认识能力合拍，在不能证明实在存在的情况下，就不能用实在来说明问题，所以反实在论认为逻辑是由其证明条件而确定的，真表明了能够构造它，假表明构造了一个矛盾; 对于任意命题，不能断定它要么真要么假; 另外纯形式的符号被看成是第二位的现象，它们是由于人自身认知能力的限制和出于交流被构造出来的，符号只表明了心理的认识过程。反实在论的代表流派是构造主义，表现为直觉主义逻辑系统[13]，此系统作为经典逻辑的择代系统即变异逻辑而出现，它否定或者修改了经典逻辑的以下假设: ( 1) 外延原则: 经典逻辑在处理语句时只考虑它们的外延，语词的外延是它所指的对象，语句的外延是它的真假值; ( 2) 二值原则; ( 3) 个体域非空，量词具有存在涵义，不允许出现不指称任何个体的空词项; ( 4) 采用实无穷，可以接受非构造对象。查字典[]
当逻辑主义为数学寻找逻辑基础时，直觉主义把直觉作为数学的基础，其基本思想是首先找到自然数的基础是直觉，再构造有理数、实数、直觉主义连续统、分析学，由此建立整个数学，然后在数学的基础上建立逻辑，逻辑位于数学之上，原因是直觉主义认为逻辑这一概念比数学复杂，不能作为数学基础。当把数学基础还原为直觉时，这种直觉是个人的也是人类共有的，在人类蒙昧时期，甚至在动物身上，都能观察到一种基本的能力，即区分外界变化的能力。有了这种能力就能把变化前看成一个整体，把变化后看成一个整体，把这种过程抽象就形成了原始数觉，直觉主义把这个过程定义为贰-壹性，这个过程的核心就是孤立对象，把注意力集中在单个对象上。没有这种区分的能力就没有数觉，注意这里孤立的仅仅是知觉不是实在，把注意力固定在一个知觉上就创造了一个实体，存在就是被构造。仅仅有注意还不能有计数，还需要记忆，它使被注意过的知觉能被比较，判定它们是否同一，这样计数活动就产生了，在这个过程中心理的部分是根本的。于是在心灵中创造了自然数，简单地说就是原始数觉孤立出一列对象，首先固定一个对象，然后在此对象上加入另一对象，然后再加入另一对象，如此反复进行下去便得到了所有自然数，其抽象形式就是从n 到n + 1 的数学归纳法。综上可以得出直觉和构造产生了自然数，在其基础之上利用有序对和类构造出了有理数，再通过戴德金分割构造出实数，如此得到整个数学。在直觉主义数学之上可以建立直觉主义逻辑系统，Heyting 完成了这个工作，他建立了直觉主义逻辑系统HQC。
H1. A( AA)
H2. ( AB) ( BA)
H3. ( AB) ( ( AC) ( BC) )
H4. ( AB) ( BC) ( AC)
H5. A( BA)
H6. A( AB) B
H7. A( AB)
H8. ( AB) ( BA)
H9. ( AC) ( BC) ( ( AB) C)
H10. ?A( AB)
H11. ( AB) ( A?B) ?A
H12. A( y) ?( x) A( x)
H13. ?( x) A( x) A( y)
( 对于H12、H13，y 对A( x) 中的x 自由，A( y)由将A( x) 中x 的每次自由出现变为y 得到)
变形规则:R1: MP
R2: 从A 和B 得到AB
R3: A( y /x) B，得?( x) A( x) B，y 不在?( x) A( x) 和B 中自由出现
R4: AB( y /x) ，得A?( x) B( x) ，y 不在A和?( x) B( x) 自由出现
以上给出了HQC 的形式系统，Heyting1930 年给出了证明论语义:
1. pq 被断定?p 和q 都被断定。
2. pq 被断定?p 和q 中至少一个被断定。
3. ?p 被断定?拥有一个构造，从假定p 的构造出发导致一个矛盾。
4. pq 被断定?拥有一个构造r，加到证明p的任何构造上将得到q 的构造。
5.?( x) A( x) 被断定?对论域中的任意a，拥有一个一般性的构造方法产生A( a) 。
6. ?( x) A( x) 被断定?对论域中的某个a，能构造出A( a) 。
对于直觉主义的构造概念，Kleene 提出了一种可实现的解释，即把它等同于部分递归函数[13]。但是Kleene 的可实现性解释并不完全，把构造与部分可递归同等对待也不合理。Gedel 用泛函解释与构造相比较，但是也证明了HQC 对泛函解释不完全[13]。这些都表明了HQC 的构造概念非常弱，可构造类非常大，已经证明Dale 语义、Beth 语义、Kripke 语义、代数语义、拓扑语义对HQC 都是完全的，这几种语义也都是等价的。事实上HQC依据的构造概念是布劳威尔后期的思想，此时除了哲学方面的立场差异，直觉主义数学与经典数学几乎没有什么区别了。
虽然反实在论从人的认识出发，建立了数学进而建立了逻辑，但是从上面可以看到直觉主义逻辑同经典逻辑一样，对于不同的语义，也存在完全和不完全的现象，结果趋同于实在论，这说明了它们之间不是完全不同的，差别仅仅是出发点不一样。实在论首先假定了实在，然后产生了符合不符合问题，整体上偏向于模型论的思路; 相反，反实在论首先从认识出发，坚持只有被构造出来的才是实在的，整体上偏向于证明论的思路。但是，它们都同属于认识论的主客二分的思维方式，所以限制性定理做出的否定性结论都是适用于它们的。对于逻辑的推理，只有限制在完全性定理的范围之内才能得出必然真的判断，超出这个范围逻辑将不再提供必然真的保证。虽然已经确立了完全性能够作为一个标准去划分逻辑真理和非逻辑真理，但是仍然不清楚如何达到这个临界点，下面将采用Henkin 的方法来实现这个目标。首先需要注意的是Henkin 方法是一种构造模型的办法，所以对于反实在论的直觉主义逻辑系统也是适合的，那么这种方法当然也就是一种考察全部逻辑系统的合适方法。首先假定一个逻辑系统序列L1，L2Li由于初始符号和公理集的不同，任意的Li可能是经典逻辑的系统，也可能是直觉主义逻辑系统，或者是哲学逻辑系统，可以发现这个序列穷尽了所有的逻辑系统。对于任意的系统Li，通过Henkin 的方法可以找出这个系统的逻辑真理集。
假设序列A0，A1是Li中所有的wf. 的枚举，那么可以用下述方法构造Li的扩张序列J0，J1，J2令J0 = Li，如果能够在J0中证明A0，那么J0 = J1，如果不能够在J0中证明A0，那么把?A1作为一个新公理加入到J0中而得到J1。一般地，对n1，由Jn - 1构造Jn: 如果在Jn - 1中证明了An - 1，那么Jn - 1 = Jn; 如果在Jn - 1中不能证明了An - 1。那么Jn是增加了?An - 1作为新公理而得到的Jn - 1的扩张。最后令Ti = N Ji，那么就得到了逻辑系统Li的逻辑真理集Ti。通过以上的构造可以发现集合Ti穷尽了Li的所有的逻辑真理，也就是说如果再往Ti中加入一个其他元素，那么Ti就包含了非逻辑真理。综上所述，Ti中只包含逻辑真理不包含非逻辑真理。相对于逻辑系统Li得到了它的逻辑真理集Ti，如果对逻辑系统序列L1，L2中的所有系统重复这一过程，那么就得到了一个逻辑真理集的序列T1，T2令T = NTi，那么可以得到一个包含了所有逻辑系统的真理的集合，这个集合T 中的元素全是逻辑真理，没有非逻辑真理，而且所有的逻辑真理都在其中，无一遗漏。通过集合论还可以考察集合T 中元素的个数，已知Ti的基数是无穷的，令Ti的基数为i，那么T 的基数就是所有i中最大的那一个。
这里需要说明几点: 首先，尽管不同的逻辑系统所承认的对象不同，例如直觉主义逻辑系统不承认经典逻辑系统中的排中律，但是在完全性作为划分逻辑真理和非逻辑真理的标准之下，把直觉主义逻辑系统的逻辑真理集与经典逻辑系统的逻辑真理集并起来并不会有矛盾; 其次，不同的哲学逻辑系统由于刻画的对象不同，那么初始符号和公理集也会不同，所以集合T 中不会出现矛盾，尽管可能会出现重复的元素，但是不影响结论。上述考察了建立逻辑系统的不同进路。实在论从假设实在出发，通过满足定义了逻辑真，得出逻辑真理满足完全性定理，不满足完全性定理的是非逻辑真理; 反实在论从假设人的认识能力出发，最后得到了相同的结果。可以看出，虽然他们出发点不同，但殊途同归，即逻辑真理具有完全性这个性质。在建立一个逻辑系统的过程中，当一步一步地往系统中加入新的公理时就需要去证明新系统的完全性，但是这个过程是不可能永远进行下去的。当逐渐加入新的公理时，这个系统将在某个时刻不再具有完全性，那么我们说这就是一个界限，一个临界点，在具有完全性的这个极大系统中的就是逻辑真理，超出其外的就是事实真理。
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有限扰动模糊命题逻辑系统的Σ-广义矛盾式命题逻辑的推理理论
博客专家
命题逻辑的推理理论
【Discrete Mathematics】
主要内容1.
推理的形式结构：①推理的前提②推理的结论③推理正确④有效结论2.
判断推理是否正确的方法： ①真值表法②等值演算法③主析取范式法3.
对于正确的推理，在自然推理系统P中构造证明4.
①自然推理系统P的定义 ②自然推理系统P的推理规则：&&&
前提引入规则、结论引入规则、置换规则、假言推理规则、附加规则、化简规则、拒取式规则、假言三段式规则、构造性二难规则、合取引入规则。 ③附加前提证明法 ④归谬法& 学习要求1.
理解并记住推理的形式结构的三种等价形式，即①{A1,A2,…,Ak}├B②A1∧A2∧…∧Ak→B③前提与结论分开写：&前提：A1,A2,…,Ak&结论：B在判断推理是否正确时，用②；在P系统中构造证明时用③。2.
熟练掌握判断推理是否正确的三种方法（真值表法，等值演算法，主析取范式法）。3.
牢记P系统中的各条推理规则。4.
对于给定的正确推理，要求在P系统中给出严谨的证明序列。5.
会用附加前提证明法和归谬法。====================================================推理的形式结构有效推理数理逻辑的主要任务是用数学的方法来研究数学中的推理。所谓推理是指从前提出发推出结论的思维过程，而前提是已知命题公式集合，结论是从前提出发应用推理规则推出的命题公式。要研究推理就应该给出推理的形式结构，为此，首先应该明确什么样的推理是有效的或正确的。定义3.1
设A1,A2,…,Ak和B都是命题公式，若对于A1,A2,…,Ak和B中出现的命题变项的任意一组赋值，或者A1∧A2
∧…∧Ak为假，或者当A1∧A2 ∧…∧Ak为真时，B也为真，则称由前提A1,A2,…,Ak推出B的推理是有效的或正确的，并称B是有效结论。关于定义3.1还需要做以下几点说明： 1.由前提A1,A2,…,Ak推结论B的推理是否正确与诸前提的排列次序无关。因而前提的公式不一定是序列，而是一个有限的公式集合，若将这个集合记为Г，可将由Г推B的推理记为Г├
B。若推理是正确的，则记为ГB，否则记为ГB。这里，可以称Г├B和{
A1,A2,…,Ak}├ B 为推理的形式结构。2.设A1,A2,…,Ak，B中共出现n个命题变项，对于任何一组赋值α1,α2,…,αn(αi
=0或者1，i=1,2,…,n)，前提和结论的取值情况有以下四种：(1) A1∧A2 ∧…∧Ak为0，B为0.(2) A1∧A2 ∧…∧Ak为0，B为1.(3) A1∧A2 ∧…∧Ak为1，B为0.(4) A1∧A2 ∧…∧Ak为1，B为1.由定义3.1可知，只要不出现(3)中的情况，推理就是正确的，因而判断推理是否正确，就是判断是否会出现(3)中的情况。3．由以上的讨论可知，推理正确，并不能保证结论B一定为真，这与数学中的推理是不同的。 例3.1 判断下列推理是否正确：
&&&&(1){p,p→q}q
&&&&(2){p,q→p}q &&&&解 只要写出前提的合取式与结论的真值表，看是否出现前提合取式为真，而推论为假的情况。
&&&&(1)由表3.1可知，没有出现前提合取式为真，而结论为假的情况，因而(1)中推理正确，即{p,p→q}q.
&&&&(2)由表3.1可知，在赋值为10情况下，出现了前提合取式为真，而结论为假的情况，因而(2)推理不正确，即{p,q→p}q.表3.1
&&&&对于本例这样简单的推理，不用写真值表也可以判断推理是否正确。在(1)中，当q为假时，无论p是真是假，p∧(p→q)均为假，因而不会出现前提合取式为真，结论为假的情况，因而推理正确。而在(2)中，当q为假，p为真时，出现了前提合取式为真，结论为假的情况，因而推理不正确。有效推理的等价定理定理3.1 命题公式A1,A2,…,Ak推B的推理正确当且仅当
&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&(A1∧A2∧…∧Ak
为重言式。&&&&证 首先证明其必要性。若A1,A2,…,Ak推B的推理正确，则对于A1,A2,…,Ak,B中所含命题变项的任意一组赋值，不会出现A1∧A2∧…∧Ak为真，而B为假的情况，因而在任何赋值下，蕴涵式(A1∧A2∧…∧Ak
)→B均为真，故它为重言式。&&&&&&& 再证明其充分性。若蕴涵式(A1∧A2∧…∧Ak)→B为重言式，则对于任何赋值此蕴涵式均为真，因而不会出现前件为真后件为假的情况，即在任何赋值下，或者A1∧A2∧…∧Ak为假，或者A1∧A2∧…∧Ak和B同时为真，这正符合定义3.1中推理正确的定义。由此定理知，推理形式：
&&&&前提：A1,A2,…,Ak &&&&
&&&&结论：B
是有效的当且仅当(A1∧A2∧…∧Ak)→B为重言式。(A1∧A2∧…∧Ak)→B称为上述推理的形式结构。从而推理的有效性等价于它的形式结构为永真式。于是，推理正确&&&&&&&&&&&&&&&
{A1,A2,…,Ak}B可记为&&&&&&&&&&&&&&&&
A1∧A2∧…∧AkB其中同一样是一种元语言符号，用来表示蕴涵式为重言式。而判断命题公式永真性有三个方法： 1． 真值表法 2． 等值演算法&3． 主析取范式法
重言蕴涵式由上小节可以看出：形如A→B的重言式在推理中十分重要。若A→B为重言式，则称B为A的推论，记为AB，下面是几个重要的重言蕴涵式及其名称1. A(A∨B)
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&附加律2. (A∧B)A
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& & & 化简律&3. (A→B)∧AB
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
假言推理4. (A→B)∧┐B┐A
&&&&&&&&&&&&&
&&&&& &&&拒取式&5. (A∨B)∧┐BA
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&析取三段论 6. (A→B)∧(B→C)(A→C)
&&&&&&&&&& && &&&假言三段论7. (AB)∧(BC)(AC)
&&&&&&&&& && &&等价三段论&8. (A→B)∧(C→D)∧(A∨C)(B∨D)&&& &&&&& 构造性二难&&& (A→B)∧(┐A→B)∧(A∨┐A)B&&
&&&&&&& 构造性二难 (特殊形式)&9. (A→B)∧(C→D)∧(┐B∨┐D)(┐A∨┐C)
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&破坏性二难这几个蕴涵式在下节中将起重要的作用。自然推理系统 P形式推理系统我们将前述推理用更严谨的形式推理系统描述出来。
一个形式系统I由下面四个部分组成：
&&& （1） 非空的字符表集，记作A(I)。
&&& （2） A(I)中符号构造的合式公式集，记作E(I)。
&&& （3） E(I)中一些特殊的公式组成的公理集，记作AX(I)。
&&& （4） 推理规则集，记作R(I)。
可以将I记为&A(I),E(I),AX(I),R(I)&.其中&A(I),E(I)&是I的形式语言系统，&AX(I),R(I)&为I的形式演算系统。 &&&&形式系统一般分为两类。一类是自然推理系统，它的特点是从任意给定的前提出发，应用系统中的推理规则进行推理演算，得到的最后命题公式是推理的结论（有时称为有效的结论，它可能是重言式，也可能不是）。另一类是公理推理系统，它只能从若干给定的公理出发，应用系统中推理规则进行推理演算，得到的结论是系统中的重言式，称为系统中的定理。自然推理系统 PP是一个自然推理系统，因而没有公理。故P只有三个部分。定义3.3
自然推理系统P定义如下：
&&& 1．字母表
&&&&（1） 命题变项符号：p，q，r，…,pi，qi，ri，…
&&&&（2） 联结词符号：┐,∧,∨,→,
&&&&（3） 括号和逗号：( , )，，&&& 2．合式公式 同定义1.6&&&&3．推理规则
&&&&（1） 前提引入规则：在证明的任何步骤上都可以引入前提。
&&&&（2） 结论引入规则：在证明的任何步骤上所得到的结论都可以作为后继证明的前提。
&&&&（3） 置换规则：在证明的任何步骤上，命题公式中的子公式都可以用与之等值的公式置换，得到公式序列中的又一个公式。
&&&&由九条推理定律和结论引入规则还可以导出以下各条推理定律。
&&&&（4） 假言推理规则（或称分离规则）：若证明的公式序列中已出现过A→B和A，则由假言推理定律(A→B)∧AB可知，B是A→B和A的有效结论。由结论引入规则可知，可将B引入到命题序列中来。用图式表示为如下形式：
&&以下各条推理定律直接以图式给出，不再加以说明。
&&&&（5） 附加规则：
&&&&（6） 化简规则：
&&&&（7） 拒取式规则：
&&&&（8） 假言三段论规则：
&&&&（9） 析取三段论规则：
&&&&（10） 构造性二难推理：
&&&&（11） 破坏性二难推理规则：
&&&&（12） 合取引入规则：
本条规则说明，若证明的公式序列中已出现A和B ，则可将A∧B引入序列中。这就完成了P的定义。P中的证明P中的证明就是由一组P中公式作为前提，利用P中的规则，推出结论。当然此结论也为P中公式。例3.3
在自然推理系统P中构造下面推理的证明：
&&& (1)前提：p∨q,q→r,p→s,┐s
&&&&&&&结论：r∧(p∨q)
&&&&(2)前提：┐p∨q, r∨┐q ,r→s
&&&&&&&结论：p→s
&&&解&&(1)证明：
&&&&① p→s&&& &&前提引入
&&&&② ┐s &&&&&&前提引入
&&&&③ ┐p &&&&&&①②拒取式
&&&&④ p∨q&& &&&前提引入
&&&&⑤ q &&&&&&&&③④析取三段论
&&&&⑥ q→r&&& &&前提引入
&&&&⑦ r &&&&&&&&⑤⑥假言推理
&&&&⑧ r∧(p∨q) ⑦④合取
&&&&此证明的序列长为8，最后一步为推理的结论，所以推理正确，r∧(p∨q)是有效结论。
&&&&(2)证明：
&&&&① ┐p∨q& &&前提引入
&&&&② p→q &&&&&①置换
&&&&③ r∨┐q& &&前提引入
&&&&④ q→r &&&&&③置换
&&&&⑤ p→r &&&&&②④假言三段论
&&&&⑥ r→s &&&&&前提引入
&&&&⑦ p→s &&&&&⑤⑥假言三段论
&&&&从最后一步可知推理正确，p→s是有效结论。 可以在自然推理系统P中构造数学和日常生活中的一些推理，所得结论都是有效的，即当各前提的合取式为真时，结论必为真。例3.4
在自然推理系统P中构造下面推理的证明：
&&&&若数a是实数，则它不是有理数就是无理数；若a不能表示成分数，则它不是有理数；a是实数且它不能表示成分数。所以a是无理数。
&&&&解 首先将简单命题符号化：
&&&&设 p：a是实数。&&&&& q：a是有理数。& r：a是无理数。&&&& s：a能表示成分数。
&&&&前提：p→(q∨r), ┐s→┐q, p∧┐s
&&&&结论：r
&&&&证明：
&&&&① p∧┐s &&&前提引入
&&&&② p&&&&&&&&
&&&&③ ┐s&&&&&& ①化简
&&&&④ p→(q∨r) 前提引入
&&&&⑤ q∨r &&&&&②④假言推理
&&&&⑥ ┐s→┐q& 前提引入
&&&&⑦ ┐q &&&&&&③⑥假言推理
&&&&⑧ r &&&&&&&&⑤⑦析取三段论
&&&&P中证明的两个常用技巧：
&&&& 1．附加前提证明法
&&&& 2．归谬法附加前提法有时推理的形式结构具有如下形式&&&&&&（A1∧A2∧…∧Ak)→(A→B)&&&&&&&&
（3.5）式中结论也为蕴涵式。此时可将结论中的前件也作为推理的前提，使结论只为B。即，将（3.5）化为下述形式 &&&&& (A1∧A2∧…∧Ak∧A)→B&&&&&&&&&&&
（3.6）其正确性证明如下： &&&&&&&&（A1∧A2∧…∧Ak)→(A→B)）
&&&&&&┐(A1∧A2∧…∧Ak)∨(┐A∨
&&&&&&┐(A1∧A2∧…∧Ak∨┐A)∨B
&&&&&&┐(A1∧A2∧…∧Ak∧A)∨B
&&&&&&(A1∧A2∧…∧Ak∧A)→B&
&&&&因为（3.5）式与（3.6）式是等值的，因而若能证明（3.6）式是正确的，则（3.5）式也是正确的。用形式结构（3.6）式证明，将A称为附加前提，并称此证明法为附加前提证明法。 例3.5
在自然推理系统P中构造下面推理的证明。
&&&&如果小张和小王去看电影，则小李也去看电影；小赵不去看电影或小张去看电影；小王去看电影。所以，当小赵去看电影时，小李也去看电影。
&&&&解 将简单命题符号化：
&&&&设 p:小张去看电影。 &&&&&& q:小王去看电影。 &&&&&& r:小李去看电影。 &&&&&& s:小赵去看电影。
&&&&前提：(p∧q)→r,┐s∨p,q
&&&&结论：s→r
&&&&证明：用附加前提证明法。
&&&&① s &&&&&&&&附加前提引入
&&&&② ┐s∨p&&& 前提引入
&&&&③ p &&&&&&&&①②析取三段论
&&&&④ (p∧q)→r 前提引入
&&&&⑤ q &&&&&&&&前提引入
&&&&⑥ p∧q&&&&& ③⑤合取
&&&&⑦ r &&&&&&&&④⑥假言推理
&&&&思考：不用附加前提证明法构造例3.5的证明归谬法在构造形式结构为&&&&&&&&(A1∧A2∧…∧Ak)→B 的推理证明中，如果将┐B作为前提能推出矛盾来，比如说得出(A∧┐A)，则说明推理正确。其原因如下：&&&&&&&&(A1∧A2∧…∧Ak)→B &&&&&&┐(A1∧A2∧…∧Ak)∨B &&&&&&┐(A1∧A2∧…∧Ak∧┐B) 若(A1∧A2∧…∧Ak∧┐B)为矛盾式，正说明(A1∧A2∧…∧Ak)→B为重言式，即
(A1∧A2∧…∧Ak)B, 故推理正确。&例3.6
在中构造下面推理的证明。
&&&&如果小张守第一垒并且小李向B队投球，则A队将取胜；或者A队未取胜，或者A队获得联赛第一名；A队没有获得联赛的第一名；小张守第一垒。因此，小李没有向B队投球。 &&&&解 先将简单命题符号化。
&&&&设 p:小张守第一垒。
&&&&&& q:小李向B队投球。
&&&&&& r:A队取胜。
&&&&&& s:A队获得联赛第一名。
&&&&前提：(p∧q)→r,┐r∨s,┐s ,p
&&&&结论：┐q
&&&&证明：用归谬法
&&&&① q &&&&&&&&结论的否定引入
&&&&② ┐r∨s &&&前提引入
&&&&③ ┐s &&&&&&前提引入
&&&&④ ┐r &&&&&&②③析取三段论
&&&&⑤ (p∧q)→r 前提引人
&&&&⑥ ┐(p∧q)& ④⑤拒取式
&&&&⑦ ┐p∨┐q &⑥置换
&&&&⑧ p &&&&&&&&前提引入
&&&&⑨ ┐q&&&&&& ⑦⑧析取三段论
&&&&⑩ q∧┐q&&& ①⑨合取
&&&&由于最后一步q∧┐q0，即(((p∧q)→r)∧(┐r∨s)∧┐s∧p)∧q0，所以推理正确。
&&&&思考：不用归谬法证明例3.6习题 1．判断下面推理是否正确。先将简单命题符号化，再写出前提、结论、推理的形式结构（以蕴涵式的形式给出）和判断过程（至少给出两种判断方法）：
&&（1）若今天是星期一，则明天是星期三；今天是星期一。所以明天是星期三。
&&（2）若今天是星期一，则明天是星期二；明天是星期二。所以今天是星期一。
&&（3）若今天是星期一，则明天是星期三；明天不是星期三。所以今天不是星期一。
&&（4）若今天是星期一，则明天是星期二；今天不是星期一。所以明天不是星期二。
&&（5）若今天是星期一，则明天是星期二或星期三。
&&（6）今天是星期一当且仅当明天是星期三；今天不是星期一。所以明天不是星期三。
2．在自然推理系统P中构造下面推理的证明：
&&（1）前提：p→(q→r), p, q
&&&&&&&结论：r∨s
&&（2）前提：p→q, ┐(q∧r), r
&&&&&&&结论：┐p
&&（3）前提：p→q
&&&&&&&结论：p→(p∧q)
&&（4）前提：q→p, qs,
&&&&&&&结论：p∧q
&&（5）前提：p→r, q→s, p∧q
&&&&&&&结论：r∧s
&&（6）前提：┐p∨r, ┐q∨s, p∧q
&&&&&&&结论：t→(r∨s)
3．在自然推理系统P中用附加前提法证明下面各推理：
&&（1）前提：p→(q→r), s→p, q
&&&&&&&结论：s→r
&&（2）前提：(p∨q)→(r∧s), (s∨t)→u
&&&&&&&结论：p→u
4．在自然推理系统P中用归谬法证明下面推理：
&&（1）前提：p→┐q, ┐r∨q, r∧┐s
&&&&&&&结论：┐p
&&（2）前提：p∨q, p→r, q→s
&&&&&&&结论：r∨s
5．在自然推理系统P中构造下面推理的证明。
&&（1）如果小王是理科学生，他必学好数学；如果小王不是文科生，他必是理科生；小王没学好数学。所以，小王是文科生。
&&（2）明天是晴天，或是雨天；若明天是晴天，我就去看电影；若我看电影，我就不看书。所以，如果我看书，则明天是雨天。==========答案 1．设p：今天是星期一，q：明天是星期二，r：明天是星期三。
&&（1）推理的形式结构为&&&& (p→r)∧p→r
&此形式结构为重言式，即&&&& (p→r)∧pr
&所以推理正确。
&&（2）推理的形式结构为&&&& (p→q)∧q→p
&此形式结构不是重言式，故推理不正确。
&&（3）推理形式结构为&&&& (p→r)∧┐r→┐p
&此形式结构为重言式，即&&&& (p→r)∧┐r┐p
&故推理正确。
&&（4）推理形式结构为&&&& (p→q)∧┐p→┐q
&此形式结构不是重言式，故推理不正确。
&&（5）推理形式结构为&&&& p→(q∨r)
&它不是重言式，故推理不正确。
&&（6）推理形式结构为&&&& (pr)∧┐p→┐r
&此形式结构为重言式，即&&&& (pr)∧┐p┐r
&故推理正确。　& 推理是否正确，可用多种方法证明。证明的方法有真值表法、等式演算法。证明推理正确还可用构造证明法。& 下面用构造证明法证明（6）推理正确。
& 前提: pr, ┐p
&&结论: ┐r
&&证明:&① pr
&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&前提引入
&&&&&&&&② (p→r)∧(r→p)&&&&&&& &&&
&&&&&&& ③ r→p &&&&&&&&&&&&&&& &&&&
&&&&&&& ④ ┐p &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 前提引入
&&&&&&& ⑤ ┐r &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&③④拒取式
&&所以，推理正确。
2． （1）证明：
①p→(q→r)
①②假言推理
③④假言推理
& （2）证明：
①┐(q∧r)
②┐q∨┐r
②③析取三段论
④⑤拒取式
& （3）证明：
③(┐p∨q)∧(┐p∨p)
④┐p∨(p∧q)
⑤p→(p∧q)
& 也可以用附加前提证明法，更简单些。
&&（4）证明：
②(s→t)∧(t→s)
③⑤假言推理
⑧(s→q)∧(q→s)
⑥⑨假言推理
⑩假言推理
&&（5）证明：
①④假言推理
②⑤假言推理
&&（6）证明：
附加前提引入
②④析取三段论
&&说明：证明中，附加提前t，前提┐q∨s没用上。这仍是正确的推理。
3．& （1）证明：
附加前提引入
①②假言推理
④p→(q→r)
③④假言推理
⑤⑥假言推理
& （2）证明：
附加前提引入
③(p∨q)→(r∧s)
②③假言推理
⑦(s∨t)→u
⑥⑦假言推理
4．（1）证明：
结论否定引入
①②假言推理
③④析取三段论
&&⑧为矛盾式，由归谬法可知，推理正确。&&（2）证明：
①┐(r∨s)
结论否定引入
②③④构造性二难
⑥┐(r∨s)∧(r∨s)
&&⑥为矛盾式，所以推理正确。
5．（1）&&& 令p：小王是理科生，q：小王是文科生，r：小王学好数学。&&&&前提：p→r, ┐q→p, ┐r&&&&结论：q&&&&证明：
①②拒取式
③④拒取式
& （2）&& 令p：明天是晴天，q：明天是雨天，r：我看电影，s：我看书。&&&前提： p∨q, p→r, r→┐s&&&结论： s→q&&&证明：
附加前提引入
①②拒取式
③④拒取式
⑤⑥析取三段论
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