不等式的解法B1
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立体几何中的向量方法（理）
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正、余弦定理应用举例
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离散型随机变量的均值与方差（理）
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平面向量的基本定理及坐标表示
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基本不等式：根号下ab≤(a+b)/2
不等式和绝对值不等式
证明不等式的基本方法
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推理与证明
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还没有帐号？不等式的解法；梅宁；（数学与信息科学学院2002级7班）；指导教师任芳国教授；[摘要]：本文从解不等式的基本思想入手，应用分类；[关键词]：不等式；解集；[Abstract]：Xiaokidsfromt；approach,theapplicationo；discussions,exchangeYuan；thought,intervalFrance,g；sol
不等式的解法
（数学与信息科学学院2002级7班）
任芳国教授
[摘 要]：本文从解不等式的基本思想入手，应用分类讨论、换元、数形结合、
化归思想、区间法、图解法等多种解法，归纳总结了各种不等式的解法。
[关键词]：不等式；解集
[Abstract]：Xiao kids from the basic idea of this
approach, the application of classification
discussions, exchange Yuan, Shuxingjiehe, the final
thought, interval France, graphics and other types of
solutions, summarized the lessons of inequality Act.
[Keyword]:Inequality 、The solution gather
在高中数学课程中,不等式是求函数的性质和图像、方程的根的基础。解不
等式是历年高考的热点，解不等式的核心问题是不等式的同解变形，不等式的性
质则是不等式变形的理论依据，方程的根、函数的性质和图像都与不等式的解法
密切相关，要善于把他们有机地联系起来，互相转化。在解不等式中，换元法和
图解法是常用的技巧之一，通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单或基本
的不等式，通过构造函数、数形结合，则可将不等式化归为直观、形象的图形关
系，对于含有参数的不等式，运用图解法可以使得分类标准明晰。通常来解不等
式的方法有分类讨论思想、数形结合思想、化归思想、区间法、换元法、图解法
和平方法七种方法。在掌握一元一次不等式和一元二次不等式解法的基础上，还
要会解绝对值不等式、分式不等式以及简单的高次不等式，并会运用分类讨论思
想以及等价转换的思想解某些较复杂的与不等式解法有关的问题。
1.分类讨论思想
分类讨论思想主要运用于含参数的不等式，通过对参数进行分类讨论，最
后总结归纳求解原不等式这一知识点是高中阶段的重点也是难点，下面看具
解关于x的不等式x2+(a+a2)x+a3&0
解:原不等式可变形为(x-a)(x-a)&0
很显然,方程(x-a)(x-a2)=0的两个根为x1=a,x2=a2;
而a-a2=0 =& a1=0,a2=1,于是对a可以分 “a&0,0?a?1况进行分类讨论.
(1)当a&0时,有a&a2,
∴x&a或x&a2,此时原不等式的解集为{x|x&a或x&a2};
(2)当0&a&1时,有a&a2,
∴x&a2或x&a,此时原不等式的解集为{x| x&a2或x&a}
(3)当a&1,有a&a2,故x&a或x&a2,此时原不等式的解集为{x| x&a或
(4)当a=0时,有x≠0,此时原不等式的解集为{(-∞,0)∪(0,+∞)};
(5)当a=1时,有x≠1,此时原不等式的解集为{x|x∈R,且 x≠1}.
注:分类讨论思想是解答不等式问题的重要思想,所有含有参数的不等式,无论
证明还是求解都必须对参数进行分类讨论.分类讨论的原则是 “ ‘子类’
的 ‘并’等于 ‘母类’, ‘子类’之间的 ‘交’等于空集”}
解关于x的不等式 a(x?1)?1 (a≠1)
(a?1)x?(2?a)?0
解:原不等式可化为x?2
∴(x-2)[(a-1)x+(2-a)]&0
a?2(1)当a&1时,有(x-2)(x-)&0.
a?21此时=1-&2,
a?2原不等式解集为{x|x&2或x& };
(2)当a&1时,有(x-2)( x-a?2)&0,
a?2a?2① 若&2,即0&a&1时,原不等式{x|2&x&}
a?2② 若=2,即a=0时,原不等式的解集为空集.
a?2a?2③ 若&2,即a&0时,原不等式{x|&x&2}.
注:(1)解分式不等式,移项,通分是必要步骤,不能省略.如本题切勿 “不等
式两边都乘 ‘x-2’”,这样做结果会出现错误.
(2) 本题对a实施了两次分类讨论,第一次就 “a&1,a&1”分类讨论,第二次
在 “a&1”的前提下,又就 “a?2a?2a?2&2, &2, =2”进行了再分类讨a?1a?1a?1
2.数形结合思想
数和形是初等数学中被研究的最多的对象，数形结合是一种极富数学特征信
息转换，数学上总是用抽象性质来说明形象的事实，同时又用图形的性质来说明
数的事实，数形结合是一个重要的数学思想和一柄双刃的解题利剑。在解一些特
殊不等式中，应用数形结合的思想更具优越性。
解不等式（x-2）（x+1）（x+3）（x+5）&0
解：如图（1）所示，曲线f（x）=（x-2）（x+1）（x+3）（x+5）依开区间
（-∞，-5），（-5，-3），（-3，-1），（-1，2），（2，+∞）的顺序，上下不相
间地分布在
X轴两侧，且（2，+∞）上的曲线分布在x轴上侧，原不等式的解集是f（x）〉0
所对应的x 的集合。
∴原不等式的解集是{x| x〈-5，或-3〈x〈-1，或x〉2 }
解关于x的不等式2x+9a2?x2&0
解：原不等式可化为9a2?x2〉-2x
设y=9a2?x2
y=-2x作出函数图象如图（2），
不等式的解集是直线y=-2x在半圆y=9a2?x2 （a≠0）下方的部分
所对应的x的集合
（1）当a≠0时，解方程 9a2?x2=-2x，得x1 =?33|a| x2= |a|(舍去)
又∵9a2-x2≥0，
∴-|3a|≤x≤3|a|,
∴当a≠0时，?35|a|x≤ 3|a|
35|a|x≤ 3|a|
5这时原不等式的解集为{x|?
（2）当a=0时，原不等式为2x+ ?x2
由-x2 ≤0，而x2≥0恒成立，所以必有x=0，这时原不等式为“0〈0”，此
∴当a=0时，原不等式无解
3.化归思想
化归思想是解不等式的一种重要思想。从考虑一个对象过渡到考虑包含该
对象的一个集合，比如说：把维数较低或抽象水平较底的有关问题转换为维数较
高，整体性较强的问题，通过对整体性质和关系的考察，使问题获得解决。
x2?9x?11?7
解不等式2x?2x?1
解：原不等式化为(4?3x)(1?2x)?0
41??(x?)(x?)?0?32
它等价于 ?
∵(x?)(x?)?0的解为??x?
1? ∴原不等式的解集为?x|??x?1或1?x?2?4??
解不等式2x?1?x?2
分析：本题属于“f(x)?g(x)”型不等式的求解问题。不等式
?f(x)??g(x)?2
?f(x)?g(x)与不等式组?f(x)?0 同解
?2x?1?0?x?2?0 解：原不等式等价于?
?2x?1?(x?2)2?
解得?x?2 ，即x5
?x?1或x?5??
∴原不等式的解集为?x|x?5?
例7 解关于x的不等式logax?1?3?logax
解：首先，logax?1≥0，logax≥1
设logax=t，则t≥1，
原不等式化为?1?3?t，它等价于?3?t?0
?t?1?(3?t)2?
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不等式的解法
作者：佚名 教案来源：网络 点击数： &&&
不等式的解法
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文 章来源莲山 课件 w w w.5Y k J.C om 6.5& 不等式的解法（二）
●知识梳理1.|x|＞a x＞a或x＜－a（a＞0）；|x|＜a －a＜x＜a（a＞0）.2.形如|x－a|+|x－b|≥c的不等式的求解通常采用“零点分段讨论法”.3.含参不等式的求解，通常对参数分类讨论.4.绝对值不等式的性质：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.思考讨论1.在|x|＞a x＞a或x＜－a（a＞0）、|x|＜a －a＜x＜a（a＞0）中的a＞0改为a∈R还成立吗?2.绝对值不等式的性质中等号成立的条件是什么?●点击双基1.设a、b是满足ab＜0的实数，那么A.|a+b|＞|a－b|B.|a+b|＜|a－b|C.|a－b|＜||a|－|b||D.|a－b|＜|a|+|b|解析：用赋值法.令a=1，b=－1，代入检验.答案：B2.不等式|2x2－1|≤1的解集为A.{x|－1≤x≤1}&&&&&&&B.{x|－2≤x≤2}C.{x|0≤x≤2}&&&&&&&&D.{x|－2≤x≤0}解析：由|2x2－1|≤1得－1≤2x2－1≤1.∴0≤x2≤1，即－1≤x≤1.答案：A3.不等式|x+log3x|＜|x|+|log3x|的解集为A.（0，1）&&&&&&&&B.（1，+∞）C.（0，+∞）&&&&&&&&D.（－∞，+∞）解析：∵x＞0，x与log3x异号，∴log3x＜0.∴0＜x＜1.答案：A4.已知不等式a≤ 对x取一切负数恒成立，则a的取值范围是____________.解析：要使a≤ 对x取一切负数恒成立，令t=|x|＞0，则a≤ .而 ≥ =2 ，∴a≤2 .答案：a≤2 5.已知不等式|2x－t|+t－1＜0的解集为（－ ， ），则t=____________.解析：|2x－t|＜1－t，t－1＜2x－t＜1－t，2t－1＜2x＜1，t－ ＜x＜ .∴t=0.答案：0●典例剖析【例1】 解不等式|2x+1|+|x－2|＞4.剖析：解带绝对值的不等式，需先去绝对值，多个绝对值的不等式必须利用零点分段法去绝对值求解.令2x+1=0，x－2=0，得两个零点x1=－ ，x2=2.解：当x≤－ 时，原不等式可化为－2x－1+2－x＞4，∴x＜－1.当－ ＜x≤2时，原不等式可化为2x+1+2－x＞4，∴x＞1.又－ ＜x≤2，∴1＜x≤2.当x＞2时，原不等式可化为2x+1+x－2＞4，∴x＞ .又x＞2，∴x＞2.综上，得原不等式的解集为{x|x＜－1或1＜x}.深化拓展若此题再多一个含绝对值式子.如：|2x+1|+|x－2|+|x－1|＞4，你又如何去解？分析：令2x+1=0，x－2=0，x－1=0，得x1=－ ，x2=1，x3=2.解：当x≤－ 时，原不等式化为－2x－1+2－x+1－x＞4，∴x＜－ .当－ ＜x≤1时，原不等式可化为2x+1+2－x+1－x＞4，4＞4（矛盾）.当1＜x≤2时，原不等式可化为2x+1+2－x+x－1＞4，∴x＞1.又1＜x≤2，∴1＜x≤2.当x＞2时，原不等式可化为2x+1+x－2+x－1＞4，∴x＞ .又x＞2，∴x＞2.综上所述，原不等式的解集为{x|x＜－ 或x＞1}.【例2】 解不等式｜x2－9｜≤x＋3.剖析：需先去绝对值，可按定义去绝对值，也可利用|x|≤a －a≤x≤a去绝对值.解法一：原不等式 （1） 或（2） 不等式（1）&& x＝－3或3≤x≤4；不等式（2）&& 2≤x＜3.∴原不等式的解集是｛x｜2≤x≤4或x＝－3｝.解法二：原不等式等价于&& 或x≥2 x=－3或2≤x≤4.∴原不等式的解集是｛x｜2≤x≤4或x＝－3｝.【例3】 （理）已知函数f（x）=x|x－a|（a∈R）.（1）判断f（x）的奇偶性；（2）解关于x的不等式：f（x）≥2a2.解：（1）当a=0时，f（－x）=－x|－x|=－x|x|=－f（x），∴f（x）是奇函数.当a≠0时，f（a）=0且f（－a）=－2a|a|.故f（－a）≠f（a）且f（－a）≠－f（a）.∴f（x）是非奇非偶函数.（2）由题设知x|x－a|≥2a2，∴原不等式等价于 &&&&&&&&&&&①或 &&&&&&&&&&&&&&&②由①得 x∈ .由②得 当a=0时，x≥0.当a＞0时， ∴x≥2a.当a＜0时， 即x≥－a.综上a≥0时，f（x）≥2a2的解集为{x|x≥2a}；a＜0时，f（x）≥2a2的解集为{x|x≥－a}.（文）设函数f（x）=ax+2，不等式| f（x）|＜6的解集为（－1，2），试求不等式 ≤1的解集.解：|ax+2|＜6，∴（ax+2）2＜36，即a2x2+4ax－32＜0.由题设可得 解得a=－4.∴f（x）=－4x+2.由 ≤1，即 ≤1可得 ≥0.解得x＞ 或x≤ .∴原不等式的解集为{x|x＞ 或x≤ }.&●闯关训练夯实基础1.已知集合A={x|a－1≤x≤a+2}，B={x|3＜x＜5}，则能使A B成立的实数a的取值范围是A.{a|3＜a≤4}&&&&&&&B.{a|3≤a≤4}C.{a|3＜a＜4}&&&&&&&D. 解析：由题意知 得3≤a≤4.答案：B2.不等式|x2+2x|＜3的解集为____________.解析：－3＜x2+2x＜3，即 ∴－3＜x＜1.答案：－3＜x＜13.不等式|x+2|≥|x|的解集是____________.解法一：|x+2|≥|x| （x+2）2≥x2 4x+4≥0 x≥－1.解法二： 在同一直角坐标系下作出f（x）=|x+2|与g（x）=|x|的图象，根据图象可得x≥－1.&解法三：根据绝对值的几何意义，不等式|x+2|≥|x|表示数轴上x到－2的距离不小于到0的距离，∴x≥－1.答案：{x|x≥－1}评述：本题的三种解法均为解绝对值不等式的基本方法，必须掌握.4.当0＜a＜1时，解关于x的不等式a ＜ax－2.解：由0＜a＜1，原不等式可化为 ＞x－2.这个不等式的解集是下面不等式组①及②的解集的并集. &&&&①或 &&&&&&&&&&&&&&②解不等式组①得解集为{x| ≤x＜2}，解不等式组②得解集为{x|2≤x＜5}，所以原不等式的解集为{x| ≤x＜5}.5.关于x的方程3x2－6（m－1）x+m2+1=0的两实根为x1、x2，若|x1|+|x2|=2，求m的值.解：x1、x2为方程两实根，∴Δ=36（m－1）2－12（m2+1）≥0.∴m≥ 或m≤ .又∵x1•x2= ＞0，∴x1、x2同号.∴|x1|+|x2|=|x1+x2|=2|m－1|.于是有2|m－1|=2，∴m=0或2.∴m=0.培养能力6.解不等式 ≤ .解：（1）当x2－2＜0且x≠0，即当－ ＜x＜ 且x≠0时，原不等式显然成立．（2）当x2－2＞0时，原不等式与不等式组 等价．x2－2≥｜x｜，即｜x｜2－｜x｜－2≥0.∴｜x｜≥2.∴不等式组的解为｜x｜≥2，即x≤－2或x≥2．∴原不等式的解集为（－∞，－2］∪（－ ，0）∪（0， ）∪［2，＋∞）．7.已知函数f（x）= 的定义域恰为不等式log2（x+3）+log x≤3的解集，且f（x）在定义域内单调递减，求实数a的取值范围.解：由log2（x+3）+log x≤3得& x≥ ，即f（x）的定义域为［ ，+∞）.∵f（x）在定义域［ ，+∞）内单调递减，∴当x2＞x1≥ 时，f（x1）－f（x2）＞0恒成立，即有（ax1－ +2）－（ax2－ +2）＞0 a（x1－x2）－（ － ）＞0&（x1－x2）（a+ ）＞0恒成立.∵x1＜x2，∴（x1－x2）（a+ ）＞0&a+ ＜0.∵x1x2＞& － ＞－ ，要使a＜－ 恒成立，则a的取值范围是a≤－ .8.有点难度哟！已知f（x）=x2－x+c定义在区间［0，1］上，x1、x2∈［0，1］，且x1≠x2，求证：（1）f（0）=f（1）；（2）| f（x2）－f（x1）|＜|x1－x2|；（3）| f（x1）－f（x2）|＜ ；（4）| f（x1）－f（x2）|≤ .证明：（1）f（0）=c，f（1）=c，∴f（0）=f（1）.（2）| f（x2）－f（x1）|=|x2－x1||x2+x1－1|.∵0≤x1≤1，∴0≤x2≤1，0＜x1+x2＜2（x1≠x2）.∴－1＜x1+x2－1＜1.∴| f（x2）－f（x1）|＜|x2－x1|.（3）不妨设x2＞x1，由（2）知| f（x2）－f（x1）|＜x2－x1.&&&&&&&&&&&&&①而由f（0）=f（1），从而| f（x2）－f（x1）|=| f（x2）－f（1）+f（0）－f（x1）|≤| f（x2）－f（1）|+| f（0）－f（x1）|＜|1－x2|+|x1|＜1－x2+x1.&&&&&&&&&&&&&②①+②得2| f（x2）－f（x1）|＜1，即| f（x2）－f（x1）|＜ .（4）|f（x2）－f（x1）|≤fmax－fmin=f（0）－f（ ）= .探究创新9.（1）已知|a|＜1，|b|＜1，求证：| |＞1；（2）求实数λ的取值范围，使不等式| |＞1对满足|a|＜1，|b|＜1的一切实数a、b恒成立；（3）已知|a|＜1，若| |＜1，求b的取值范围.（1）证明：|1－ab|2－|a－b|2=1+a2b2－a2－b2=（a2－1）（b2－1）.∵|a|＜1，|b|＜1，∴a2－1＜0，b2－1＜0.∴|1－ab|2－|a－b|2＞0.∴|1－ab|＞|a－b|，&= ＞1.（2）解：∵| |＞1 |1－abλ|2－|aλ－b|2=（a2λ2－1）（b2－1）＞0.∵b2＜1，∴a2λ2－1＜0对于任意满足|a|＜1的a恒成立.当a=0时，a2λ2－1＜0成立；当a≠0时，要使λ2＜ 对于任意满足|a|＜1的a恒成立，而 ＞1，∴|λ|≤1.故－1≤λ≤1.（3）| |＜1 （ ）2＜1 （a+b）2＜（1+ab）2 a2+b2－1－a2b2＜0 （a2－1）（b2－1）＜0.∵|a|＜1，∴a2＜1.∴1－b2＞0，即－1＜b＜1.●思悟小结1.解含有绝对值的不等式的指导思想是去掉绝对值.常用的方法是：（1）由定义分段讨论；（2）利用绝对值不等式的性质；（3）平方.2.解含参数的不等式，如果转化不等式的形式或求不等式的解集时与参数的取值范围有关，就必须分类讨论.注意：（1）要考虑参数的总取值范围.（2）用同一标准对参数进行划分，做到不重不漏.●教师下载中心点睛1.绝对值是历年高考的重点，而绝对值不等式更是常考常新.在中要从绝对值的定义和几何意义来分析，绝对值的特点是带有绝对值符号，如何去掉绝对值符号，一定要教给学生方法，切不可以题论题.2.无理不等式在新课程书本并未出现，但可以利用不等式的性质把其等价转化为代数不等式.3.指数、对数不等式能利用单调性求解.拓展题例【例1】 设x1、x2、y1、y2是实数，且满足x12+x22≤1，证明不等式（x1y1+x2y2－1）2≥（x12+x22－1）（y12+y22－1）.分析：要证原不等式成立，也就是证（x1y1+x2y2－1）2－（x12+x22－1）（y12+y22－1）≥0.证明：（1）当x12+x22=1时，原不等式成立.（2）当x12+x22＜1时，联想根的判别式，可构造函数f（x）=（x12+x22－1）x－2（x1y1+x2y2－1）x+（y12+y22－1），其根的判别式Δ=4（x1y1+x2y2－1）2－4（x12+x22－1）（y12+y22－1）.由题意x12+x22＜1，函数f（x）的图象开口向下.又∵f（1）=x12+x22－2x1y1－2x2y2+y12+y22=（x1－y1）2+（x2－y2）2≥0，因此抛物线与x轴必有公共点.∴Δ≥0.∴4（x1y1+x2y2－1）2－4（x12+x22－1）（y12+y22－1）≥0，即（x1y1+x2y2－1）2≥（x12+x22－1）（y12+y22－1）.&文 章来源莲山 课件 w w w.5Y k J.C om
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