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刘徽割圆术与其切割方法
刘徽割圆术与其切割方法
作者：张莹莹
来源：《学校教育研究》2014年第21期
一、刘徽割圆术
刘徽是我国古代数学家，他在数学上的重大贡献是对《九章算术》的详细整理，从此之后，这本书才有了实本。 他在《九章算术》中求圆周率是由圆内接六边形起算，用语言概括就是：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”我们把它称为刘徽割圆术。 他的思想后来得到祖冲之父子的推广，从而使得中国古代数学绽放出夺目的光彩。
把刘徽割圆术用现代数学语言来表达，就是：有一个半径是1的圆O，作内接正六边形（如图1），ABCDAEF正六边形的面积是三角形ABO的面积的六倍，由于AB=DA=1,OT=
二、不同的分割法
上面我们都把X轴上的距离等分，然后来进行计算。但有时候，应用等分来计算反而很困难。通过以下的例子，可以更清楚的了解这一点。
我们提出一个和前面类似但更一般的问题，来研究曲线y=xm在X轴上所盖的面积，这里m是不等于-1的实数，如图10。
当m是整数，例如m=3，4，…，我们可以利用杨辉三角求出，但当m不是整数时，要写出这个和的具体表达式是十分困难的。 因此我们运用其他的方法。在刘徽割圆是时，是用正多边形来作为圆的近似图形，而在求抛物线在X轴上所盖的面积时，就用了很多矩形拼凑起来的折线图形作为近似图形了。 因此，不同的分割方法是不影响问题的结果的。我们可以不用等分的方法来进行求解。
这样一来，CD这件并不是等分了，而是越靠近C的分得越小 ，越靠近D的分的越大图
11。但是当分点越来越稀释，每一段得长都趋于零。
照这样分割以后，矩形Mk-1Nk-1PkMk的面积是 aqk-1(q-1)(aqk-1)m=(q-1)(aqk-1)m+1。
把这些矩形拼凑起来得到的图形成为ABCD的近似图形，这个图形的面积是
Sn=(q-1)(aq1-1)m+1 +(q-1)(aq2-1)m+1+…+(q-1)(aqn-1)m+1
=(q-1)am+1[1+qm+1…+（qm+1）n-1]
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刘徽与“割圆术” 本文详细介绍了刘徽计算圆周率的方法――用单位圆的内接正n边形的面积逼近圆周率π,以及奇妙的加速计算技术,突出了该方法在思想上的创新性与启发...刘徽断言“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆合体,而无所 失矣”。其思想与古希腊穷竭法不谋而合。割圆术在圆周率计算史上曾长期使用。 1610...刘徽与割圆术刘徽与割圆术隐藏&& ⒒诈zs公元 3 世o{P於⒒盏纳淠甏...此外,⒒盏 「R 同g」和「方程新g」等,是Α毒耪滤阈g》方法的M一步..._数学史选讲_刘徽与割圆术_的教学探究_高一数学_数学_高中教育_教育专区。○...“割圆术”仅用 圆内接正多边形逼近圆的方法就确定了圆周率 , 比阿基米德 用...刘徽与割圆术 主讲人:李慧小教一班 12号 12号 总纲刘徽生平简介 割圆术的...④方程新术 在《九章算术?方程术》注中,他提出了解线性方程组的新方法,运用...[ 1] , 包括如下内容: 1) 刘徽首先解释了圆田术求圆面积的方法, 然后指出...进而又指出: “割之弥细, 所失弥少. 割之又割, 以至于不可割, 则与圆 周...更多&&割圆术是刘徽圆田术注的核心内容,其主旨在于证明《九章算术》中的圆面积公式.刘徽所采用的极限过程是为进行无穷小分割并最后证明圆面积公式做准备的。并不...刘徽与割圆术_理学_高等教育_教育专区。高等数学上册论文摘要: 刘徽是公元三世纪世界上最杰出的数学家,他在公元 263 年撰写 的著作《九章算术注》以及后来的《海...形一边(恰与半径等长)即 求得正12边形边长,…….由正12边形求 正24边形一边之长时,刘徽反复地应用 到句股定理(或称商高、勾股定理), 如图二: 割圆术。...刘徽割圆术_数学_小学教育_教育专区。今日推荐 81份文档
笑话大全集 笑话大全...割圆术――刘徽《九章算... 2页 免费 无穷递降法与刘徽原理 2页 免费 关于...　　【摘要】无限在高等数学中占有十分重要的地位.高等数学更多地在“无限”的领域、更多地以“无限”为手段和工具展开讨论.极限" />
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浅谈无限的起源及发展研究
2016年23期目录
&&&&&&本期共收录文章20篇
　　【摘要】无限在高等数学中占有十分重要的地位.高等数学更多地在“无限”的领域、更多地以“无限”为手段和工具展开讨论.极限、导数、定积分、级数等都属于“无限”的范畴，所以高等数学的学习就特别需要更加清晰地理解认识无限. 中国论文网 /9/view-8143455.htm　　【关键词】无限；极限；认识；理解 　　无限在数学及其数学教学中占有十分重要的地位.初等数学更多地在“有限”的领域、更多地以“有限”为手段和工具进行讨论.高等数学则更多地在“无限”的领域、更多地以“无限”为手段和工具展开讨论.极限、导数、定积分、级数等都属于“无限”的范畴，所以高等数学的学习就特别需要更加清晰地理解认识无限.人们习惯于有穷下的思维，一旦遇到?o限就要格外小心，而高等数学就是与无限打交道的. 　　一、无限追源 　　中国有句古话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”一尺本来只是有限的长度，却永远也分不完.这古话里的无限足以让我们去深深地理解和认识. 　　（一）古希腊（公元前6世纪前后）的穷竭法 　　从一个圆内接正方形出发，将边数逐步加倍得到正八边形、正十六边形……，无限重复这一过程，随着圆面积的逐渐“穷竭”，将得到一个边长极微小的圆内接正多边形.安提丰的穷竭过程是无限的，在当时主要是解决古希腊三大不能尺规作图问题之一――画圆为方，当然未能真正解决这一问题.两千多年以后证明了π的超越性也就证明了画圆为方不能尺规作图. 　　（二）芝诺悖论 　　古希腊时期的芝诺从哲学的角度提出了四个著名的悖论：1.两分法；2.阿基里斯与乌龟；3.非矢不动；4.运动场. 　　其中第二个悖论：阿基里斯永远追不上乌龟. 　　假设乌龟在阿基里斯前面100米，阿基里斯的速度是乌龟的10倍. 　　如图： 　　阿基里斯在A点时，乌龟在B点；阿基里斯追到B，乌龟爬到C；阿基里斯追到C，乌龟爬到D；……阿基里斯离乌龟越来越近，也就是AB，BC，CD，……这些线段越来越短，每个都只有前一个的110，每一个线段的长度都不会是0，亦即当阿基里斯按上面的过程去追乌龟时，在任何有限次之内他都追不上乌龟. 　　（三）刘徽的割圆术 　　刘徽从一个圆内接正六形出发，将边数逐步加倍得到正十二边形、正二十四边形……，用圆内接正多边形去逼近圆.通过计算正多边形的周长和面积，从而得到圆的周长和面积.用圆内接正多边形去逼近圆，这种逼近的过程是永无止境的，亦即无限的. 　　二、希尔伯特旅馆 　　现实世界的旅馆哪怕是全球连锁都只有有限个客房，客满以后再来客人就无法安排入住了.“有无数个房间的旅馆”――人们把它称之为希尔伯特旅馆，当然这样的旅馆只是人脑的产物. 　　希尔伯特旅馆客满后又来了1位客人，老板能安排入住. 　　老板可以先请出原来房间里的所有客人，然后让1号房间的客人搬到2号房间去住，让2号房间的客人搬到3号房间去住，让3号房间的客人搬到4号房间去住，这样原来的客人都有房间住了，而1号房间却空出来了，可以让新来的客人入住. 　　希尔伯特旅馆客满后又来了一个旅游团，旅游团中有无穷个客人，老板也能安排入住. 　　老板可以先请出原来房间里的所有客人，然后让1号房间的客人搬到2号房间去住，让2号房间的客人搬到4号房间去住，让3号房间的客人搬到6号房间去住，……，这样原来的客人都有房间住了，只占用了偶数号房间，所有的奇数号房间却空出来了，有无数个奇数号房间正好可以让新来的无穷个客人入住. 　　希尔伯特旅馆客满后又来了一万个旅游团，每个团中都有无数个客人，老板仍能安排入住. 　　老板先让原来房间里的客人都出来，然后让1号房间的客人搬到10001号房间去住，让2号房间的客人搬到20002号房间去住，让3号房间的客人搬到30003号房间去住，……，这样原来的客人都有房间住了，空出了一万个又一万个的空房间，正好可以让新来的一万个旅游团中的每一个客人入住. 　　希尔伯特旅馆客满后又来了无数个旅游团，每个团中都有无数个客人，老板能否安排？ 　　答案是肯定的.上面的方法用不上了（方法等同于有理数排序，在此不再赘述），原因是从有限到了无限. 　　三、极限的产生和发展 　　无论是古希腊的穷竭法还是刘徽的割圆术，都孕育着极限的思想，只不过古希腊人“对无限的恐惧”绕开了极限，今天的我们对无限仍然是一知半解，就算是从事数学教育的也需要很好地理解和认识，所以才会有上述的“希尔伯特旅馆”，这样的旅馆是二十世纪初德国大数学家希尔伯特给数学家们举的例子，目的是帮助人们认识无限、无穷大. 　　极限思想的发展与微积分的建立密切相关.17世纪后半叶，牛顿、莱布尼兹各自独立的创建了微积分.起初牛顿和莱布尼兹以无穷小为基础建立微积分，后来都遇到了逻辑困难.以牛顿为例，他的微积分方法是：第一步他用无穷小增量作分母进行除法，第二步他把无穷小增量看作零，去掉包含着它的项，从而得到变化率――导数.英国大主教贝克莱指责牛顿：无穷小增量既可做分母就不应该是零，包含它的项就不该去掉；如果可以认为是零，那它就不应该作分母进行除法.贝克莱的指责是一针见血的. 　　微积分创建之后两个世纪，法国数学家柯西在前人工作的基础上，比较完整地阐述了极限概念及其理论，柯西把无穷小视为以“0”为极限的变量，虽然澄清了无穷小“似零非零”的模糊认识，但柯西的叙述中还存在描述性的词语，如“无限趋近”、“要多小就多小”等，没有达到彻底严密化的程度. 　　有了极限的精确定义，外加实数理论，微积分就有了严格的理论基础，从而导数、定积分、级数等这些“无限”范畴的学习就顺理成章了. 　　四、极限思想的功效 　　极限的思想方法揭示了量变与质变、有限与无限、近似与精确的对立统一.借助极限思想，我们可以从有限认识无限，从量变认识质变，从近似认识精确. 　　（一）有限无限 　　有限使人感觉具体，无限使人充满想象，人们要对无限多一份理性的思考.有限与无限既有区别又有联系.前述的希尔伯特旅馆在有限做不到的事情在无限做到了，这就是有限无限的本质区别.而人们习惯于有穷下的思维，所以说与无限打交道要格外小心. 　　有限无限又是相互联系的.数学归纳法证明的是对所有自然数都成立的命题，而自然数有无限个，数学归纳法表达的是无限的推理过程，而它的证明步骤只有两步（有限），通过有限步完成一个涉及无限多个对象的证明.极限是无限的过程，最终得到的往往是一个有限的数.数学家通过有限的方法描写极限的无限过程，如前述的维尔斯特拉斯的极限定义.芝诺悖论之阿基里斯与乌龟，表面上看起来阿基里斯要想追上乌龟需要跑无穷段路程，感觉永远追不上，实际上这无穷段路程的和却是有限的. 　　（二）量变质变 　　量变引起质变是辩证法的基本规律.对任何一个圆内接正多边形来说，当它边数加倍后，得到的还是内接正多边形，是量变；但是不断让边数加倍，经过无限过程之后，多边形就变成了“圆”，多边形面积便转化为圆面积，是质变. 　　（三）近似精确 　　近似与精确是对立统一的，两者在一定条件下可相互转化.圆内接正多边形面积是圆面积的近似值；阿基里斯追乌龟的部分和，是近似值，取极限后就得到相应的精确值. 　　无论是初等数学还是高等数学，也无论是学习还是教学，我们都要对无限清晰地理解和认识，才能教学有方，学有所获. 　　【参考文献】 　　[1]顾沛.数学文化[M].北京：高等教育出版社，2008. 　　[2]李文林.数学史概论[M].第3版.北京：高等教育出版社，2011.
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摘要：在中西方不同数学文化传统影响下，起源相似的极限理论得到了不同程度的发展。在注重实用的古中国，极限仅浮于计算的水面。而在注重演绎推理的古西方，极限走上了算术化、理论化的道路。
关键词：极限；极限思想；
古中国与古希腊都是起源于大河流域的文明古国，两国不同的地理环境、不同的风土人情造就了国民在文化、学术方面不同的追求。三面环海的古希腊，历史悠久、文化灿烂，素有“西方文明摇篮”之称。由于劳动生产之类基础的工作由奴隶完成，身为奴隶主阶层的贤人雅仕们可以崇尚理性，追求真理。因而古希腊的数学家非常地注重演绎推理。而古中国是海陆兼备、地大物博、农业为主的封建王朝。当然古中国也经历过奴隶制，文明时期主要集中在封建王朝统治时期，特别是百家争鸣的先秦时期。以农耕生产为主的古代中国素有“华夏文明”之称，是整个东方文明的典范。历朝历代的统治者都很重视农业生产，因而古中国的数学也以服务于生产实践为宗旨，尤其注重实用性。极限在两地的生产实践与数学研究中沿着不同的轨迹发展，拥有各自不同的命运。
一、对于无穷的不同认识
极限是一个动态的无限过程，（《微积分赏析漫谈》）那么，对极限的认识就少不了对无穷的认识了。古中国和古希腊圣贤们对无穷的探索都源于对宇宙和物质世界本原的探索。
在我国的春秋战国时期，墨家代表人物墨子(约公元前478~392年)认为：“宇，弥异所也”(《经上》)；“宇：东、西、家、南、北”(《经说上》)；“久，弥异时也”(《经上》)；“久，古，今，旦，莫”(《经说上》)。“弥”有“遍”、“满”的意思，可用来表示无穷。墨子认为宇宙无边无际，时间无始无终，含有无穷大的观念。而且，墨家已用具体、形象的语言给出了“有穷”、“无穷”的定义。“穷，或有前不容尺”(《经上》)。“穷，或不容尺，有穷；莫不容尺，无穷”(《经说上》)。“或”指“域”，“穷”指一个区域向前量去只剩不到一尺的距离。一个区域向前量去只剩不到一尺的的距离，这是有穷；如果继续量下去，前面总是长于一尺，就是无穷。在《庄子·天下篇》中有名家惠施(约公元前370~310年)提出的“至大无外谓之大一;至小无内谓之小一”的无限观.“大一”相当于无穷大,“小一”相当于无穷小,“外”是“外界”或“边界”.至大是没有边界的,叫做无穷大;至小是没有内部的,叫做无穷小.
公元前5世纪，希腊人对无限小量的认识深受阿布德拉学派的原子论观点的影响。该学派认为一切东西都由在虚空中不断运动着的原子所组成,这些原子是不可再分的物质粒子,它
们没有质的区别,而形状、大小千差万别,小到无从觉察。德漠克利特(Democritus,公元前460~370年)还把上述思想引进几何学。他认为几何图形是由所谓的“数学原子”所组成的。阿拿萨哥拉(Anaxagoras,公元前500~428年)提出：“在小的当中不存在最小的，但总是有更小的”。 德漠克利特之后的希腊数学家大都倾向于无穷小和无穷大不存在的观点，尽可能的回避无穷问题。
二、起源不同的无限分割思想
在古中国，战国时代（公元3世纪以前）的《庄子·天下篇》中，有“一尺之棰，日取其半，万事不竭”的名言。这是中国早期的无限分割思想，而这种由道家学派提出的无限分割就是现在数学中典型的二分法思想。台北市第一女子高级中学的李政贵老师认为这句话是对“极限”最贴切的诠释。
在古希腊，公元前5世纪时，安提丰（Antiphon）提出了通过边数不断加倍的方法，用圆的内接多边形面积去接近圆的面积。当时只是一种设想，并未付诸计算。这种古希腊早期的无限分割思想已接近于割圆术了。
相比之下，前者是源于生活却高于生活的一维的无限分割，后者是纯数学里的抽象的二维的无限分割。两者都是一种数学抽象，是哲学概念，被排斥于感觉经验的王国之外。
三、以不同方式暂漏头脚的极限概念
1，为计算服务的中国割圆术
公元3世纪，我国三国时期的数学家刘徽在《九章算术》注文中，提出了“割圆术”，其算法是：先在圆内作内接正6边形，再继续作出内接正12边形，内接正24边形,,,,，刘徽指出：“割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣。”这
在哲学上，包含了有限向无限转化的辩证法。武汉大
学人文科学学院王自华老师认为刘徽的割圆术是引向
微积分的通道一极限运算一的真正“前身”。 王能超
在其著作《千古绝技“割圆术”》对刘徽的割圆术做了
补充：首先是纵观割圆过程，它由三个环节组成：一
是剖分，先将圆剖分为6等份，用△AOB的面积作为
扇形ACB面积的近似，则失之过多。二是修补，用C
将AB弧对分，用△ACB的面积修正△AOB的面积，就会减少损失。三是重复，继续对弧
对分，反复分割下去，使内接正多边形无限地逼近圆，而“无限”正是初等数学与高等数学的分水岭。其次是刘徽讨论了“无穷小量”的问题，左图中的线段DC被刘徽称之为余径，在割圆过程中，余径是一个逐渐变小并最终消失的“无穷小量”。
刘徽利用割圆术求出圆的内接正3072边形的面积，导出了圆周率为，化成小数是3.1416。后来，南北朝的天文学家、数学家祖冲之，又用刘徽的割圆术把?算到小数点后7位。在实践方面，我国古代数学家总是走在前列，因而我国的数学计算在当时是比较发达的。割圆术蕴涵了有限向无限转化的深刻思想，却只是服务于计算。虽然有利于当时社会生产的需要，但是就此停止而未将其推到一定的理论高度，这对我国古代数学的发展而言难免有些遗憾。
2，为进一步推理服务的穷竭法
古希腊的欧多克斯（Eudoxus,公元前408—前355）对安提丰的思想作了重大发展，提出了阿基米德公设的前身——对于两个不等的量，若从较大量减去大于其半的量，重复这一步骤，则所余量必小于原来较小的量。欧几里德将这一原理发扬光大并广为应用，阿基米德对其继续作出重大贡献提出了有名的阿基米德公设——已知任意二正数a&b，总存在自然数n，使得na&b。阿基米德公设成为穷竭法的理论基础，穷竭法的基本思路是无限接近，这里面的无限是一种“潜无限”。穷竭法的诞生标志着极限概念的轮廓已在古希腊问世。在古希腊，穷竭法经常配合着双重归谬法用于数学证明中。如：两圆面积与它们直径的平方成正比的证明。（《数学分析纵横谈》P11）
四、命运迥异的极限理论发展
古中国的数学极限在发展到割圆术后，大量地运用于计算，在理论上几乎停止了前进的脚步。古希腊的穷竭法在逻辑上是无懈可击，但使用时必须借助于相当繁琐的双重归谬法和几何法。所以，在很长的一段时间里，穷竭法几乎是原地踏步。后来，荷兰的西蒙·斯杰文牺牲了古希腊数学的某种严格性，大胆地断言：如果两个量的差在连续细分到一定程度后能小于任何已知的量，则二者必无差异。随着解析几何的建立，变数和解析法进入数学，英国的约翰·瓦里斯在算术化的基础上最早的引入了变量极限的概念。他认为变量的极限是变量所能如此逼近的一个常数，使得它们的差能够小于任何给定的量。这两位先驱为极限发展成为一个实用方向做了重要的奠基工作。
通过比较可以得出结论：古中国在数学极限地探索上追求实用使得算法体系更加发达而导致了极限理论上停滞于割圆。古希腊数学家的注重逻辑严谨性也使穷竭法停滞了一段时间，当打破一些严谨性注重算术化时，又有了新的前进的动力。
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