试试看，可能有些发不出来 【摘要】:正整数N的非负整数倍,与互质整数k的非负乘方,两者之间小于N的差的个数,有什么特征?其中,1＜k＜N-1＜N.用了一种方法,以及长篇的内容,逐步进行论述.第一部分中N是奇数,k=2.描述了奇数的同和序差运算,定义了一个独立的循环部分,称为一列.小于奇同和的正整数,都在1个列或M个列中.一列中每一行有一奇一偶两个正加数,都可以用Nh-2^my或者2^my-Nh这样的代数式表示.每一列自身的行数稳定.不止一列时,某一列的加数是与幂的差,其他列不是.第二部分N是奇数,k可以是任意符合要求的数.第三部分N是偶数,k是任意符合要求的数.三个部分基本步骤几乎一样,也有一点不同.附述中作了总结和推广. 【关键词】:正整数
同和序差运算
整数倍 正整数N的非负整数倍,与N互质的整数k的非负乘方,两者小于N的正差的个数,与N-1之间的关系.其中,1＜k＜N-1＜N.因为N与k互质,所以k的乘方在N的相邻整数倍之间.比如2^0在0和5之间,3^2在7和14之间.如果相减,都是以大减小,两个差的和是N. ★第一部分 正整数N是奇数,k=2,1＜k＜N-1＜N.N的非负整数倍,与k的非负整数乘方.两者大于零小于N的正差的个数,与N-1的关系.符合条件的N和k,最小是5和2.也会间接的参照N=3,以及所有＞1与N互质的底数.要用到同和序差运算,先写引理. 引理1:①两个正整数A和B互质,A＜B.B-A分别与A和B互质.B+A分别与A和B互质.(这里2-1与1当做互质) ②两个正整数A和B互约,A＜B.B-A分别与A和B互约,三个数的最大公约数不变.B+A分别与A和B互约,三个数的最大公约数不变. ③正整数A和B.不断的辗转相减,两个较小正整数相减,会得到最小的正整数C,C是A和B的最大公约数.A和B互质时,C=1.A和B互约时,C＞1. 引理2:①2^h±1,h是正整数,i是正整数,2^(hi)±1一定能被2^h±1整除.设2^h±1为x,(x±1)^i±1显然能被x整除. ②2^m±1与2^n±1,m与n互质时,2^m±1与2^n±1如果有＞1的公约数,只能是3.例如2^15+1和2^4-1,寻找两者的最大公约数.2^15+1+2^4-1=2^15+2^4,除以2^4,得到2^11+1.2^11+1与2^4-1含有同样的最大公约数,两者相加的数,与2^4-1含有同样的最大公约数.就这样不断的降指数,总是拿指数最小的两个数相加或相减,而两个指数总互质,最后得到2^1+1,不能继续分解. ③2^m±1与2^n±1,m与n互质时,2^m±1与2^n±1没有＞1的最大公约数.假设2^m±1与2^n±1互约,不断的降指数,总是拿指数最小的两个数相加或相减,而两个指数总是互质,最后得到2^1±1,不能继续分解.这时发现2^1±1与2^m±1和2^n±1,至少有一个是不互约的,从而假设不能成立.比如2^17+1和2^8+1,不断降指数后得到2^1+1,2^1+1与2^17+1互约,2^1+1与2^8+1互质.再比如2^6+1和2^25-1,不断降指数后得到2^1-1,2^1-1与2^6+1和2^25-1都互质. ④2^m±1与2^n±1,m与n互约.2^m±1与2^n±1如果有＞1的最大公约数,寻找他们的最大公约数.不断的降指数,总是拿指数最小的两个数相加或相减,而两个指数总是互约.最后得到2^c±1,c不能再小了.c是m和n的最大公约数,2^c±1是2^m±1与2^n±1的最大公约数.比如2^14-1和2^21-1,不断降指数后得到2^7-1,7是14和21的最大公约数,2^7-1是2^14-1和2^21-1的最大公约数. ⑤2^m±1与2^n±1,m与n互约.2^m±1与2^n±1没有＞1的最大公约数.假设2^m±1与2^n±1互约,不断的降指数,总是拿指数最小的两个数相加或相减,而两个指数总是互约.最后得到2^c±1,c不能再小了.c是m和n的最大公约数.2^c±1,与2^m±1和2^n±1中的一个或两个数互质,假设不能成立.比如2^15-1和2^6+1,降指数几次后得到2^3-1.3是15和6的最大公约数,而2^3-1与2^15-1互约,与2^6+1互质.再比如2^95+1和2^30+1,降指数几次后得到2^5-1,2^5-1与2^95+1和2^30+1都互质. 引理3:①N是＞1的奇数,一定有Na=2^b-1,a和b都是正整数.从2^0到2^m,除以N的余数一定会发生重复,得到2^n-Nc=2^m-Nd,m＞n.N(d-c)=2^m-2^n.N是奇数,两边除以2^n,会有Na=2^b-1.比如N是11,余数依次是1 2 4 8 5 10 9 7 3 6 1 2 4 8……11×93=2^10-1. ②Na=2^b-1,a b有时不是,Ne=2^f±1最小的一组正整数解.比如N是9,余数是1 2 4 8 7 5 1 2 4 8……9×7=2^6-1,最小的一组正整数是9×1=2^3＋1.再比如3×1=2^1+1. ③N是＞1的奇数,Ne=2^f±1,表示N的相邻整数倍与2^f,大于零小于N的差分别是1和N-1. ④N是＞1的奇数,Ne=2^f±1,则有Ney=2^fy±1y,0＜y＜N.表示N的相邻整数倍与2^fy,大于零小于N的差,分别是y和N-y. 引理4: ①N是＞1的奇数,依据引理3①②,Ni=2^j±1,i和j是最小的一组正整数解.那么,只有当2的指数是j的整数倍jl时(只考虑jl≥j),2^(jl)±1才能被N整除.假设2^q±1能被N整除,q不是j的整数倍,2^q±1与2^j±1辗转相减,不断的降指数,最后得出2^r±1能被N整除,Ns=2^r±1,r＜j,s＜i.s r是一组正整数解,与i j是最小的一组正整数解发生矛盾,因此不存在2^q±1能被N整除,假设不正确. 依据引理2①,Ni=2^j±1,2^(jl)±1能被N整除,1前面是+还是-呢?当Ni=2^j+1时,i j是最小的一组正整数解.l是奇数时,Ng=2^(jl)＋1,l是偶数时,Ng=2^(jl)-1.当Ni=2^j-1时,i j是最小的一组正整数解.l是奇数时,Ng=2^(jl)-1,l是偶数时,Ng=2^(jl)-1.设2^j±1为x,(x±1)^l±1的加减号容易搞清. Ng=2^(jl)±1.N的相邻整数倍与2^(jl)的小于N的差,分别是1和N-1. ②N是＞1的奇数,Ng=2^(jl)±1,g和(jl)都是正整数.则有Ngy=2^(jl)y±1y,0＜y＜N.那么N的整数倍与2^(jl)y的小于N的差,分别是y和N-y.两个差的和是N. 奇数的同和序差运算举例. 1＋10=11 9＋2=11 7＋4=11 3＋8=11 5＋6=11 1＋10=11 9＋2=11 7＋4=11 3＋8=11 。。。。。。 上面一排等式中,每一个形如E＋F=N的式子称为一行,E F N都是正整数.每一行两个加数的和相同,都是同一个奇数N,N称为同和.N＞3. 从第一行开始,任意相邻的两行,前一行的两个加数之差等于后一行的一个加数.前一行是A＋B=C,后一行的一个加数是B-A,和仍是C,另一个加数是C-(B-A)=(A＋B)-(B-A)=2A,后一行是(B-A)＋2A=C.如果前一行是奇数＋偶数=奇数,后一行的一个加数等于奇减偶或偶减奇,肯定是奇数.后一行的和与前一行相同,后一行的另一个加数肯定是偶数.也就是说前一行是奇数＋偶数=奇数,后一行也是奇数＋偶数=奇数.第一行是1＋10=11,第二行的一个加数是10-1=9,和仍是11,另一个加数11-9=2,第二行是9＋2=11.第三行的一个加数是9-2=7,和仍是11,另一个加数11-7=4,第三行是7＋4=11。。。。。。可以看到,第一行是奇数＋偶数=奇数,第二行也是,第三行也是,以后都是.一排中每一行都是奇数＋偶数=奇数.这里把一行的奇加数,放在式子的左边.每一行的奇加数,是上一行两个加数的差,称为序差.把一行的偶加数,放在加号的右边.每一行的偶加数,是上一行较小加数的2倍. 上面一排等式的运算方式,暂且称之为奇数的同和序差运算.继续举同和序差运算的例子. 19＋8=27 11＋16=27 5＋22=27 17＋10=27 7＋20=27 13＋14=27 1＋26=27 25＋2=27 23＋4=27 19＋8=27 11＋16=27 5＋22=27 17＋10=27 7＋20=27 13＋14=27 。。。。。。
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一个＞3的奇数N,它的每一列的行数有什么特点呢？ 举个例子. 1+62=63 61+2=63 59+4=63 55+8=63 47+16=63 31+32=63 5+58=63 53+10=63 43+20=63 23+40=63 17+46=63 29+34=63 19+44=63 25+38=63 13+50=63 37+26=63 11+52=63 41+22=63 3+60=63 57+6=63 51+12=63 39+24=63 15+48=63 33+30=63 7+56=63 49+14=63 35+28=63 9+54=63 45+18=63 27+36=63 21+42=63 N=63,每一列各行的最大公约数相等.小于63的加数,可以分为最大公约数是1 3 7 9 21几种,每一种所在的列不同,每一种分布在一列或多列中.这些加数个数为63-1=62.这种现象,与正整数等于各因数欧拉函数之和的数学定理,是符合的.与63最大公约数是3的加数的个数,就等于因数21的欧拉函数.加数不为0,其中少了因数1的欧拉函数. 以1开头的同和序差运算,得到一列等式,设1为y,同和为N.第一行的奇数加数是2^my-Nu(m=0,u=0).第一行两个加数相减,是Nu-2^my或2^my-Nu,表示第二行的奇数加数.以后每一行的奇数,都是Nu-2^my或2^my-Nu的代数式(各行两个加数,都是N的整数倍与2^my的差).第d行两个加数相减,2的次方数是d,表示的是d+1行的奇数加数.1所在的列行数是g.也就是以1+(N-1)=N为第一行,第g+1行才会出现奇数加数1,中间N的整数倍与2的乘方的差都不是1.Nu-2^gy=y或2^gy-Nu=y,y=1,Nu=2^g±1,u和g是最小的一组正整数解,不是非负整数解. 以这一列其他奇数加数a作为第一行,行数也是g.其他列,任意两个加数作为第一行,不影响此列的行数.其他列的行数不一定是g. 以其他与N互质的奇数b开头的同和序差运算,b不在1那一列中,得到一列等式.设b为y,同和为N.每一行的奇数加数,都是Nv-2^my或2^my-Nv的代数式(偶数加数也是). 以b+(N-b)=N为起始形成一列,一列的行数是多少呢?①假设是f行(f不是g的整数倍),f+1行的奇数加数就是b.则有Nwy-2^fy=y或2^fy-Nwy=y.等式两边同时除以y,Nw-2^f=1或2^f-Nw=1.Nw=2^f±1,一列行数是f,w f是最小的一组正整数解.f不是g的整数倍,f≠g.u和g是最小的一组正整数解,与w和f是最小的一组正整数解,发生矛盾,因此假设不能成立.②一列的行数只能是g的整数倍.Nu=2^g±1,u g是最小的一组正整数解.依据Nu-2^g=1或2^g-Nu=1,两边同时乘以y,得到Nuy-2^gy=y或2^gy-Nuy=y,可见,2^gy与N整数倍的＜N的差只能是y和N－y,y是奇数.Nuy-2^gy或2^gy-Nuy表示的是第g+1行的奇加数(由y前面2的次方数,以及差的大小奇偶决定),这个奇数只能是y.因此得到y的重复,g+1行不在一列中.加数与N互质且不包含1的列,行数也是g.
以其他与N互约的奇数c开头的同和序差运算,c不在互质那几列中,得到一列等式.设c为y(也就是2^0y-N×0),同和为N.每一行的奇数加数,都是Nz-2^my或2^my-Nz的代数式(偶数加数也是). c所在列的行数是多少呢?依据Nu-2^g=1或2^g-Nu=1,两边同时乘以y,得到Nuy-2^gy=y或2^gy-Nuy=y.显然N的相邻整数倍与2^gy的差分别是y和N-y.y和第一行的y重复,得到了重复的一行.c所在的一列行数是g或比g少.事实表明,有时都是g行,有时都比g少,有时两者都有.一列的行数有时候会比g少,可以得到Nd-2^ny=y或2^ny-Nd=y.Nd=(2^n±1)y.因为n行是一列,一列内加数不重复.行数必须是n的倍数,两个加数相减,才能得到c.g行的两个加数相减,能得到c,所以g必然是n的倍数.这时,只要是n的倍数,不管是不是g的倍数,那一行的两个加数相减,也会得到c. 互约与互质的关系.①如果一列中每一行的等式,加数和同和都除以最大公约数Y,就是N/Y为同和的一列.这一列的行数是n.从第一行开始就能一一对应.②与N/Y互质的加数所形成的一列,每个数都乘以Y,也就变成了N中的一列.这一列的行数是n.从第一行开始就能一一对应.③N/Y为同和,是用来参照的,k的取值范围有所不同. 当＞3的奇数N是素数P时,小于P的正加数都与P互质.①当加数分布在一列中,一列的加数个数就是P-1,行数是(P-1)/2.P-1是行数和个数的整数倍.比如P是11,23. ②当加数分布在多列中,各列的加数不会重复.以1+(P-1)=P为起始,形成了一列,行数是q,加数的个数也就是2q. 其他列的加数都与P互质,因此它们的行数也是q,加数个数是2q.这些加数的总个数是P-1,每一列的个数相等,因此P-1是2q的整数倍. 以2为底的伪素数R,1所在的那一列的行数j,必然能整除(R-1).以1+(R-1)=R为起始,形成了一列.这一列的所有加数,都可以表示为,R的整数倍与2^m的差.一行的两个加数就是,R相邻整数倍与2^m的两个差,以大减小.一列形成了循环,就会一直循环下去.从2^0到2的无穷次方,它们与最近的R整数倍的差,始终仅是一列中的加数. 以1+(R-1)=R为起始,第j+1行又是1+(R-1)=R.设1为y,可以列出等式,Ni-2^jy=y或2^jy-Ni=y.因为y=1,Ni=2^j±1.i j是最小的一组正整数解,依据引理4①,只有2^(jr)±1能被R整除(r=0不用考虑,伪素数中1所在列行数不会太小).R是伪素数,2^(R-1)-1能被R整除,R-1必然能被j整除.但是R-1不一定能被2j整除,2j是加数的个数.伪素数2^11-1(23×89),R-1能被2j整除.伪素数×67),R-1不能被2j整除. 其他奇数合数S,S不是素数也不是以2为底的伪素数.因为是合数,加数的公约数不尽相同,不可能是一列. 以1+(S-1)=S为起始,形成的一列的行数是s,第s+1行又是1+(S-1)=S.设1为y,可以列出等式,St-2^sy=y或2^sy-St=y.因为y=1,St=2^s±1,t s是最小的一组正整数解.依据引理4①,只有2^(sg)±1能被S整除(sg是正整数,行数不为0).S是合数不是伪素数,2^(S-1)-1不能被S整除.2^(S-1)+1也是不能被S整除.所以,S-1不是s的整数倍,当然也不是一列加数个数2s的整数倍了. 为什么Su≠2^(S-1)+1呢?①St=2^s-1,t s是最小的正整数解,依据引理4,2^s-1和2^(S-1)+1不能同时被S整除.②St=2^s+1,依据引理4,2^s+1中的s和2^(S-1)+1中的(S-1),2的次方数必须一样.③1所在的列行数是s,其他加数与S互质的列行数也是s.④加数与S互约的列,最大公约数是v,以v+(S-v)=S为起始,形成了一列,行数是w.v+(S-v)=S所在列的行数w,所有每行最大公约数是v的列,行数也是w.可以拿S/v为同和,加数与S/v互质的各列,进行一一参照.⑤以v+(S-v)=S为起始,第w+1行又是v+(S-v)=S.设v为y,可以列出等式,Sz=2^wy±1y.两边同时除以y,(S/v)z=2^w±1.参照1+(S/v-1)=S/v那一列,可知z w是最小的一组正整数解.假设Su=2^(S-1)+1,(S/v)vu=2^(S-1)+1.依据引理4,2^w±1中是加号,且w中和(S-1)中2的次方数一样,才可能使假设成立.⑥加数是1,是其他互质的,加数或者是互约的.它们所在列的行数,必须与(S-1)中,2的次方数一样.每一列的加数个数是行数的2倍,导致每一列的加数个数,2的次方数都比S-1的多.所有的加数个数之和,2的次方数比S-1中多,两者不相等,发生矛盾.这一段,④⑤是说加数与S互约的列. 不是伪素数的奇合数S,S的非负整数倍,与2的非负乘方的差(0＜差＜S)的个数,不能整除S-1.个数的一半,也不行. 第一部分总结:＞3的奇数N的非负整数倍,与2的非负整数乘方,两者的差要求大于零小于N.当奇数是素数时,N-1是差的个数的整数倍.当奇数是以2为底的伪素数时,N-1有时不是差的个数的整数倍,2N-2一定是个数的整数倍.当奇数不是伪素数是合数时,N-1不是差的个数的整数倍.
★第二部分 正整数N是奇数,k与N互质,1＜k＜N-1＜N.N的非负整数倍,与k的非负整数乘方.两者＜N的正差的个数,与N-1的关系.符合条件的N和k,最小是5和2.也会间接的参照N=3,以及所有＞1与N互质的底数.还是要用到同和序差运算. 引理5:①已知＞1的奇数N,G与N互质,0＜G＜N.A+B=N.G与N互质,A＜N,GA在N的相邻整数倍之间,得到两个差a和b.G与N互质,B＜N,GB在N的相邻整数倍之间,得到两个差c和d.这些差都是以大减小, 都是小于N.因为GA+GB=GN,所以减去小的最近的整数倍,a+c=N;大的最近的整数倍减去它们,b+d=N.又因为a+b=N,c+d=N,所以a=d,b=c.G乘以A或G乘以B,与最近的N整数倍的正差，结果是同样的两个数. 题外话:(N-G)A与GA,各自与最近的N整数倍的两个差,也是一样的. ②已知＞1的奇数N,G与N互质,0＜G＜N.C+D=N.可以列方程组:Gx+C=Ne,Gy-C=Nf.其中x e和y f是未知数,0＜x＜N,0＜y＜N.由于条件限制,如果有解,x有唯一的整数解,y有唯一的整数解,x+y=N.再看一个方程组:Gu+D=Nm,Gv-D=Nn.其中u m和v n是未知数,0＜u＜N,0＜v＜N.C+D=N,方程组变形为:Gu-C=N(m-1),Gv+C=N(n+1).可以看出和上个方程组,是同样的方程组.由于条件限制,如果有解,u有唯一的整数解,v有唯一的整数解.u+v=N.u=y,m-1=f,v=x,n+1=e. 如果有解,u y 或v x,可参照①中的A或B.①中的a d或b c,可参照②中的C或D. 引理6:①k＞1,k^h±1,h是正整数,i是正整数,k^(hi)±1一定能被k^h±1整除.设k^h±1为x,(x±1)^i±1显然能被x整除. ②k＞1,k^m±1与k^n±1,m与n互质时,k^m±1与k^n±1如果有＞1的最大公约数,只能是k+1或k-1.按照引理2②的方法辗转相减,依据引理1③,最后得到k^1+1或k^1-1.比如7^3+1和7^5+1,最大公约数是7^1+1.再比如11^2-1和11^15-1,最大公约数是11^1-1. ③k＞1,k^m±1与k^n±1,m与n互质时,k^m±1与k^n±1没有＞1的最大公约数.假设k^m±1与k^n±1,有＞1的公约数.辗转相减,不断的降指数,得到k^1+1或k^1-1.得到的公约数不能与k^m±1和k^n±1都互约,假设不能成立.比如10^3+1和10^19-1,得到10^1-1,与10^3+1互质,与10^19-1互约.再比如16^7-1与16^22+1,得到16^1+1,与两个数都互质. ④k＞1,k^m±1与k^n±1,m与n互约,最大公约数是g.k^m±1与k^n±1如果有＞1的最大公约数,寻找它们的公约数.按照引理2②的方法辗转相减,依据引理1③,最后得到k^g±1,k^g±1与k^m±1和k^n±1都互约.比如23^6-1和23^21+1,辗转相减后得到23^3+1.6和21的最大公约数是3,23^6-1和23^21+1的最大公约数是23^3+1. ⑤k＞1,k^m±1与k^n±1,m与n最大公约数是g,k^m±1与k^n±1没有＞1的最大公约数.假设k^m±1与k^n±1,有＞1的公约数.辗转相减,不断的降指数,得到k^g±1.得到的公约数不能与k^m±1和k^n±1都互约,假设不能成立.比如12^14+1和12^63-1,得到12^7-1,与12^14+1互质,与12^63-1互约.再比如30^23-1和30^46+1,得到30^23+1,与两个数都互质. 引理7:①N是＞1的奇数,N和k互质,k＞1.一定有Na=k^b-1,a和b都是正整数.从k^0到k^m,除以N的余数一定会发生重复,得到k^n-Nc=k^m-Nd,m＞n.N(d-c)=k^m-k^n.N是奇数,两边除以k^n,会有Na=k^b-1.比如N是17,k是7,余数依次是7 15 3 4 11 9 12 16 10 2 14 13 6 8 5 1 7 15 3 4 11 9……17×0=7^16-1. ②Na=k^b-1,a b有时不是Ne=k^f±1最小的一组正整数解.比如N是27,k是8,余数依次是8 10 26 19 17 1 8 10 26……27×-1,最小的一组正整数是27×19=8^3＋1. ③N是＞1的奇数,N和k互质,k＞1.Ne=k^f±1,表示N的相邻整数倍与k^f的小于N的差,分别是1和N-1. ④Ne=k^f±1,则有Ney=k^fy±1y,0＜y＜N.表示N的相邻非负整数倍与k^fy的小于N的差,分别是y和N-y. 引理8:①N是＞1的奇数,N和k互质,k＞1.依据引理7①②,Ni=k^j±1,i和j是最小的一组正整数解.那么,只有当k的指数是j的整数倍jl时(只考虑jl≥j),k^(jl)±1才能被N整除.假设k^q±1能被N整除,q不是j的整数倍,k^q±1与k^j±1辗转相减,不断的降指数,最后得出k^r±1能被N整除,Ns=k^r±1,r＜j,s＜i.s r是一组正整数解,与i j是最小的一组正整数解发生矛盾,因此不存在k^q±1能被N整除,假设不正确. 依据引理6①,Ni=k^j±1,k^(jl)±1能被N整除,1前面是+还是-呢?当Ni=k^j+1时,i j是最小的一组正整数解.l是奇数时,Ng=k^(jl)＋1,l是偶数时,Ng=k^(jl)-1.当Ni=k^j-1时,i j是最小的一组正整数解.l是奇数时,Ng=k^(jl)-1,l是偶数时,Ng=k^(jl)-1.设k^j±1为x,(x±1)^l±1的加减号容易搞清. Ng=k^(jl)±1.N的相邻整数倍与k^(jl)的小于N的差,分别是1和N-1. ②Ng=k^(jl)±1,g和(jl)都是正整数.则有Ngy=k^(jl)y±1y,0＜y＜N.那么N的整数倍与k^(jl)y的小于N的差,分别是y和N-y.两个差的和是N. N是奇数,1＜k＜N-1＜N,N和k互质.下面是N=17,k=6时的同和序差运算: 1+16=17【习惯上设奇数加数为y,y=6^0y-17×0.第二行可先计算第一行奇数的6倍.依据引理5①,6×1和6×16,与17的最近相邻整数倍的正差,是相同的】 11+6=17【6×y=6^1y-17×0=6,17×1-6^1y=11.6乘以前一行的奇数加数,和17的整数倍相减,结果是小于17的奇数】 15+2=17【6×(17×1-6^1y)=66,102-36y-17×3=15】 5+12=17【6×(17×3-6^2y)=90,306-216y-17×5=5】 13+4=17【6×(17×13-6^3y)=30,y-17×1=13】 7+10=17【6×(17×77-6^4y)=78,17×5-(y)=7】 9+8=17【6×(6^5y-17×457)=42,17×3-(4)=9】 3+14=17【6×(17×y)=54,936y(即6^7y)-17×3=3.至此已经形成一个独立的循环,也就是一列】 1+16=17【6×(17×y)=18,=1,即17×y=1】 。。。。。。 上面一排等式中,每一个形如E＋F=N的式子称为一行,E F N都是正整数.每一行两个加数的和相同,都是同一个奇数N,N称为同和.N＞3. 从第一行开始,任意相邻的两行.前一行的奇数加数乘以k,与N的最近两个相邻整数倍的正差,是后一行的两个加数.两个加数之和是奇数N,加数必然是一个奇数一个偶数.第一行是奇数＋偶数=奇数,第二行也是.第二行的奇数乘以k,再得到第三行的两个加数.第三行也是奇数＋偶数=奇数,以后都是.一排中每一行都是奇数＋偶数=奇数.这里把一行的奇加数,放在式子的左边.每一行的奇加数,称为序差.把一行的偶加数,放在加号的右边.依据引理5①,k乘以前一行的奇数加数或偶数加数,后一行的两个加数没有变化. 继续举同和序差运算的例子.k=11,N=23.
17+6=23 3+20=23 13+10=23 5+18 =23 9+14=23 7+16=23 15+8=23 19+4=23 21+2=23 1+22=23 11+12=23 17+6=23 3+20=23 13+10=23 5+18 =23 9+14=23 7+16=23 15+8=23 19+4=23 21+2=23 1+22=23 。。。。。。 同和保持不变,小于同和的正整数个数有限,而运算却可以无限次进行下去,因此必然会出现重复和循环.一旦出现循环,就会按照顺序一直循环下去.从17＋6=23到11＋12=23称为一个独立的循环部分,简称一列.一列中的加数各不相同,超过一列加数就会重复.从1+22=23到21+2=23也是一列.在实际验证中,经常有列数不止一列.比如N=21,k=8,共有7列.各列行数也不完全相同,3个两行,4个1行. N是奇数,k与N互质,1＜k＜N-1＜N.任意的像A＋B=N这样的式子,进行常数k的同和序差运算,A＋B=N会在一个独立的循环部分里面.比如N=507,k=100,7+500=507.依据引理5①,进行同和序差运算,会得到循环,一列又一列.以第2列中任意一行,比如149+358=507,根据引理5②的规则,算出上一行唯一符合要求的两个加数,这两个加数进行同和序差运算会得到149+358=507.列方程组,100x-149=507e,100y+149=507f.x=473,e=93,y=34,f=7.因为前一行已经知道,所以方程一定有解.同时,以加数358列方程组,x y的值是一样的.前一行是473+34=507,继续按引理5②的规则往前推.从2列开始往前推的,因此没有到第一行就形成了倒推的一列,出现了重复.出现了重复就会一直倒推着重复,自然也把第一行的7+500=507包括在内.倒推几列后,可以进行顺算,也会把原先的第一行7+500=507包括在内.①得出本段开头的结论.②一列中,以哪两个加数作第一行,不影响一列的固定行数.③一列中,上一行的加数乘以k,再与N的相邻整数倍互减.k与N互质.因此,下一行三个数 的最大公约数,与上一行三个数的最大公约数,是一样的.一列中每一行三个数的最大公约数,都是一样的.
N=25,k=4. 1+24=25 21+4=25 9+16=25 11+14=25 19+6=25 1+24=25 21+4=25 9+16=25 …… 13+12=25 23+2=25 17+8=25 7+18=25 3+22=25 13+12=25 23+2=25 17+8=25 …… 上面两排有加数的等式,奇数的加数用字母p表示.设第一行的奇数加数到后面每一行的奇数加数依次是p1,p2,p3,p4,p5,p6,p7......奇数加数不断的循环,一排中的任意奇加数都可以是p1,只要书写时排第一行就是p1.p1用y表示.其它排也是如此. 推论二:一排等式,其中任意相邻的两行,前一行奇数加数乘以k,与最近的整数倍相减,得到后一行的奇数加数.假设:前一行的p是Nh-k^my或k^my-Nh这样的代数式,h,m是非负整数,以下N y是奇数,t n也是非负整数. ①k×(Nt-k^ny)=Nkt-k^(n+1)y.这个数也是Nh-k^my的代数式.它不一定＜N.比如上文第一个21=25×1-4^1×1,21×4＞25,21×4-25×3=9.即Nkt-k^(n+1)y-Ns=N(kt-s)-k^(n+1)y.它减去N的整数倍,也不一定是奇数.比如上文17=25×9-4^2×13,17×4-25×2=18,18是偶数
加数,25×3-17×4=7.即N(s+1)-[Nkt-k^(n+1)y]=N(s+1-kt)+k^(n+1)y,(s+1-kt)不是正数,s此时等于2.前一行的p乘以k以后,和N的整数倍相减,代数式的形式没有变化. ②k×(k^ny-Nt)=k^(n+1)y-Nkt.这个数也是k^my-Nh的代数式.它不一定＜N.比如上文第二个21,21=4^6×1-25×163,21×4＞25,21×4-25×3=9.即k^(n+1)y-Nkt-Ns=k^(n+1)y-N(kt+s).它减去N的整数倍,也不一定是奇数.比如上文3=4^4×13-25×133,3×4-25×0=12,12是偶数加数,25×1-3×4=13.即N(s+1)-[k^(n+1)y-Nkt]=N(s+1+kt)-k^(n+1)y,s此时等于0.前一行的p乘以k以后,和N的整数倍相减,代数式的形式没有变化. 运算时要求,括号里的数乘以k再和N整数倍互减,带y和带N的数不合并,带N的数和带N的数合并,以保证代数式的形式稳定.括号里的数是前一行的p,如果p是Nh-k^my或者k^my-Nh这样的代数式,后一行的奇加数,依然是Nh-k^my或者k^my-Nh这样的代数式,当然m和h的值基本上会有变化.也就是说,前面一行的p可以表示为那样的代数式,后面一行的p也能表示为那样的代数式形式. p是Nh-k^my或k^my-Nh这样的代数式,Nh-k^my中的h不会是0.k^my-Nh,当k^my＜N且是奇数时,h才是0.比如,N=15627,k=5,以7+为起始,进行同和序差运算.前5行奇数加数,都是5^m×7-15627×0,第6行h才是正数. p是Nt-k^ny或k^ny-Nt这样的代数式,进行一次运算,y前面的k的次方数会增加1变成n＋1.因为括号里的数乘以k后,是和N的整数倍互减.按照前面说的要求,带y的数和带N的数互不合并,计算时考虑括号乘以k后,次方数的变化就可以了. 推论二就是,前面一行的p是那样的代数式,后面一行的p也是那样的代数式形式.前面一行的k的次方数是n,后面一行的k的次方数是n＋1. 一排等式,设第一行的奇数加数为y(也就是k^0y-N×0),同和为N.ky与最近的N整数倍相减得到p2,p2的代数式形式,是Nh-k^my或者k^my-Nh.得到p2后,k×p2与最近的N整数倍相减得到p3.根据推论二,p3的代数式形式,是Nh-k^my或k^my-Nh.p3再得到p4,p4再得到p5,按照这样一直算下去,代数式字母的值会有变化,代数式形式的范围不会有变化.每计算一次得到一个代数式,每个代数式表示一个p;同时,代数式和p一一对应,每个p也有一个代数式来表示(加数N-p与这样的代数式,也是一一对应的).计算的过程中,依据推论二,y前面k的次方数,每运算一回就增加1.y前面k的次方数依次是0,1,2,3,4......第n行奇加数进行运算,k的次方数就变成n,代数式表示第n＋1行的奇加数. 举例说明:N=31,k=23,以3+28=31为第一行.设第一行的奇加数3为y(23^0×3-31×0).第一行奇加数乘以23,与N整数倍相减,得到第二行的奇加数,是23^1×3-31×2(值7).第二行奇数计算后得到第三行的奇加数,是31×52-23^2×3(值25).第四行奇加数是31××3(值17)......第十一行奇加数是23^10×3-31×4(值3)...... N是奇数,k与N互质,1＜k＜N-1＜N.以N为同和,某一常数为k,进行同和序差运算.它的每一列的行数有什么特点呢？ 举个例子.N=65,k=7. 1+64=65 7+58=65 49+16=65 47+18=65 61+4=65 37+28=65 19+46=65 3+62=65 21+44=65 17+48=65 11+54=65 53+12=65 23+42=65 31+34=65 43+22=65 41+24=65 27+38=65 59+6=65 9+56=65 63+2=65 51+14=65 33+32=65 29+36=65 57+8=65 5+60=65 35+30=65 15+50=65 25+40=65 45+20=65 55+10=65 39+26=65 13+52=65
N=65,k=7.一列中各行的最大公约数相等.小于65的加数,可以分为最大公约数是1 5 13几种,每一种所在的列不同,每一种分布在一列或多列.这些加数个数为65-1=64.这种现象,与正整数等于各因数欧拉函数之和的数学定理,是符合的.与65最大公约数是5的加数的个数,就等于因数13的欧拉函数.加数不为0,其中少了因数1的欧拉函数. 以1开头的同和序差运算,得到一列等式,设1为y.同和为N,乘方底数为k.第一行的奇数加数代数式是k^my-Nu(m=0,u=0).第一行奇数加数乘以k,再与最近的N整数倍相减,得到第二行的奇加数,代数式是Nu-k^my或k^my-Nu,表示的是第二行的奇数加数.以后每一行的奇加数,都是Nu-k^my或k^my-Nu的代数式(各行两个加数,都是N的整数倍与k^my的差).第d行的奇加数运算后,代数式中k的次方数变成d,表示的是d+1行的奇数加数.1所在的列行数是g.也就是以1+(N-1)=N为第一行,第g+1行才会出现奇数加数1,中间N的整数倍与k的乘方的差都不是1.Nu-k^gy=y或k^gy-Nu=y,y=1,Nu=k^g±1,u和g是最小的一组正整数解,不是非负整数解. 以这一列其他奇数加数a作为第一行,行数也是g.其他列,任意两个加数作为第一行,不影响此列的行数.前面说过,顺算倒推都是循环的.其他列的行数不一定是g. 以其他与N互质的奇数b开头的同和序差运算,b不在1那一列中,得到一列等式.设b为y,k是乘方底数.每一行的奇数加数,都是Nv-k^my或k^my-Nv的代数式(偶数也是). b所在列的行数是多少呢?
①假设是f行(f不是g的整数倍),f+1行的奇数加数就是b.则有Nwy-k^fy=y或k^fy-Nwy=y.等式两边同时除以y,Nw-k^f=1或k^f-Nw=1.Nw=k^f±1,f是一列的行数,w f是最小的一组正整数解.f不是g的整数倍,f≠g.u和g是最小的一组正整数解,与w和f是最小的一组正整数解,发生矛盾.因此假设不能成立.②一列的行数只能是g的整数倍.Nu=k^g±1,u g是最小的一组正整数解.依据Nu-k^g=1或k^g-Nu=1,两边同时乘以y,得到Nuy-k^gy=y或k^gy-Nuy=y.可见,k^gy与N整数倍的＜N的差只能是y和N－y,y是奇数.Nuy-k^gy或k^gy-Nuy表示的是g+1行的奇数(由y前面k的次方数,以及差的大小奇偶决定),这个奇数只能是y.因此得到y的重复,g+1行不在一列中.加数与N互质且不包含1的列,行数也是g.
c与N互约,最大公约数是Y,c＜N.以c开头的同和序差运算,得到一列等式,不是互质的那几列.设c为y(也就是k^0y-N×0),k是乘方底数.每一行的奇数加数,都是Nz-k^my或k^my-Nz的代数式(偶数加数也是). c所在列的行数是多少呢?依据Nu-k^g=1或k^g-Nu=1,两边同时乘以y,得到Nuy-k^gy=y或k^gy-Nuy=y.显然N的相邻整数倍与k^gy的差分别是y和N-y.y和第一行的y重复,得到了重复的一行.c所在的一列行数是g或比g少.事实表明,有时都是g行,有时都比g少,有时两者都有.一列的行数有时候会比g少,可以得到Nd-k^ny=y或k^ny-Nd=y.Nd=(k^n±1)y.因为n行是一列,一列内加数不重复.行数必须是n的倍数,进行k为乘方底数的同和序差运算,才能够得到c.g行的奇加数运算后,能得到c,所以g必然是n的倍数.这时,只要是n的倍数,不管是不是g的倍数,那一行运算之后,也会得到c. 互约与互质的关系.①如果一列中每一行的等式,加数和同和都除以最大公约数Y,就是N/Y为同和的一列.这一列的行数是n.从第一行开始就能一一对应.②与N/Y互质的加数所形成的一列,每个数都乘以Y,也就变成了N中的一列.这一列的行数是n.从第一行开始就能一一对应.③N/Y为同和,是用来参照的,k的取值范围有所不同. 当＞3的奇数N是素数P时,小于P的正加数都与P互质.①当加数分布在一列中,一列的加数个数就是P-1,行数是(P-1)/2.P-1是行数和个数的整数倍.p是素数,2p+1也是素数,2p+1为同和N,＜N的加数肯定都在一列中.比如83,2039. ②当加数分布在多列中,各列的加数不重合.以1+(P-1)=P为起始,形成了一列,行数是q,加数的个数是2q.其他列的加数都与P互质,因此它们的行数是q,加数的个数是2q.这些加数的总个数是P-1,每一列的个数相等,因此P-1是2q的整数倍. 以k为底的伪素数R,1所在的那一列的行数j,必然能整除(R-1).以1+(R-1)=R为起始,形成了一列.行数是j,第j+1行又是1+(R-1)=R.设1为y,可以列出等式,Ni-k^jy=y或k^jy-Ni=y.因为y=1,Ni=k^j±1.i j是最小的一组正整数解,依据引理8①,只有k^(jr)±1能被R整除(jr=0不在考虑范围,行数不是0).R是以k为底的伪素数,k^(R-1)-1能被R整除,R-1必然能被j整除.但是R-1不一定能被2j整除,2j是加数的个数.比如N=561,k=5.561=3×11×17,5^80-1能被561整除,j=80.561-1不能被2×80整除.再比如N=561,k=4.4^20-1能被561整除,j=20.561-1能被2×20整除. 其他奇数合数S,S不是素数也不是以常数k为底的伪素数.因为是合数,加数的公约数不尽相同,不可能是一列. 以1+(S-1)=S为起始,形成的一列的行数是s,第s+1行又是1+(S-1)=S.设1为y,可以列出等式,St-k^sy=y或k^sy-St=y.因为y=1,St=k^s±1,t s是最小的一组正整数解.依据引理8①,只有k^(sg)±1能被S整除(sg≥s).S是合数不是伪素数,k^(S-1)-1不能被S整除.k^(S-1)+1也是不能被S整除.所以,S-1不是s的整数倍,当然也不是一列加数个数2s的整数倍了. 为什么Su≠k^(S-1)+1呢?①St=k^s-1,t s是最小的正整数解,依据引理8,k^s-1和k^(S-1)+1不能同时被S整除.②St=k^s+1,依据引理8,k^s+1中的s和k^(S-1)+1中的(S-1),2的次方数必须一样.③1所在的列行数是s,其他加数与S互质的列行数也是s.④加数与S互约的列,最大公约数是v,以v+(S-v)=S为起始,形成了一列,行数是w.v+(S-v)=S所在列的行数w,所有每行最大公约数是v的列,行数也是w.可以拿S/v为同和,加数与S/v互质的各列,与它们一一进行参照.对应的两列,对应的数都是函数关系.⑤以v+(S-v)=S为起始,第w+1行又是v+(S-v)=S.设v为y,可以列出等式,Sz=k^wy±1y.两边同时除以y,(S/v)z=k^w±1.参照1+(S/v-1)=S/v那一列,可知z w是最小的一组正整数解.假设Su=k^(S-1)+1,(S/v)vu=k^(S-1)+1.依据引理8,k^w±1中是加号,且w中和(S-1)中2的次方数一样,才可能使假设成立.⑥加数是1,是其他互质的,加数或者是互约的.它们所在列的行数,必须与(S-1)中,2的次方数一样.每一列的加数个数是行数的2倍,导致每一列的加数个数,2的次方数都比S-1的多.所有的加数个数之和,2的次方数比S-1中多,两者不相等,发生矛盾.不管St=k^s-1还是St=k^s+1,Su≠k^(S-1)+1.这一段,④⑤是说加数与S互约的列. 不是k伪素数的奇合数S,k的非负乘方,与S的非负整数倍的差(0＜差＜S)的个数,不能整除S-1.个数的一半,也不行. 第二部分总结:N是奇数,k与N互质,1＜k＜N-1＜N.N的非负整数倍,与k的非负整数乘方,两者的差要求大于零小于N.当奇数是素数时,N-1是差的个数的整数倍.当奇数是以k为底的伪素数时,N-1有时不是差的个数的整数倍,2N-2一定是个数的整数倍.当奇数不是k伪素数是k合数时,N-1不是差的个数的整数倍.
★第三部分 偶数N,k与N互质,1＜k＜N-1＜N.k的非负整数乘方,与N的非负整数倍相减,差(0＜差＜N)的个数与N-1的关系.符合条件的N和k,最小是8和3.也会间接的参照N是6,4,2,以及所有＞1与N互质的底数.继续会用到同和序差运算. 引理9:①偶数N,G与N互质,1＜G＜N-1＜N.A+B=N.G与N互质,A＜N,GA在N的相邻整数倍之间,得到两个差a和b.G与N互质,B＜N,GB在N的相邻整数倍之间,得到两个差c和d.这些差都是以大减小, 都是小于N.因为GA+GB=GN,所以减去小的最近的整数倍,a+c=N;大的最近的整数倍减去它们,b+d=N.又因为a+b=N,c+d=N,所以a=d,b=c.G乘以A或G乘以B,与最近的N整数倍的正差，结果是同样的两个数. G是奇数.如果A和B是两个奇数,a和b也是两个奇数,c和d也是两个奇数.如果A和B是两个偶数,a和b也是两个偶数,c和d也是两个偶数. 题外话:(N-G)A与GA,各自与最近的N整数倍的两个差,也是一样的. ②偶数N,G与N互质,1＜G＜N-1＜N.C+D=N.可以列方程组:Gx+C=Ne,Gy-C=Nf.其中x e和y f是未知数,0＜x＜N,0＜y＜N.由于条件限制,如果有解,x有唯一的整数解,y有唯一的整数解,x+y=N.再看一个方程组:Gu+D=Nm,Gv-D=Nn.其中u m和v n是未知数,0＜u＜N,0＜v＜N.C+D=N,方程组变形为:Gu-C=N(m-1),Gv+C=N(n+1).可以看出和上个方程组,是同样的方程组.由于条件限制,如果有解,u有唯一的整数解,v有唯一的整数解,u+v=N.u=y,m-1=f,v=x,n+1=e. 如果有解,u y 或v x,可参照①中的A或B.①中的a d或b c,可参照②中的C或D. 引理10:①k＞1,k^h±1,h是正整数,i是正整数,k^(hi)±1一定能被k^h±1整除.设k^h±1为x,(x±1)^i±1显然能被x整除. ②k＞1,k^m±1与k^n±1,m与n互质时,k^m±1与k^n±1如果有＞1的最大公约数,只能是k+1或k-1.按照引理2②的方法辗转相减,依据引理1③,最后得到k^1+1或k^1-1.比如7^3+1和7^5+1,最大公约数是7^1+1.再比如11^2-1和11^15-1,最大公约数是11^1-1. ③k＞1,k^m±1与k^n±1,m与n互质时,k^m±1与k^n±1没有＞1的最大公约数.假设k^m±1与k^n±1,有＞1的公约数.辗转相减,不断的降指数,得到k^1+1或k^1-1.得到的公约数不能与k^m±1和k^n±1都互约,假设不能成立.比如17^3+1和17^25-1,得到17^1-1,与17^3+1互质,与17^25-1互约.再比如19^7-1与19^22+1,得到19^1+1,与两个数都互质. ④k＞1,k^m±1与k^n±1,m与n互约,最大公约数是g.k^m±1与k^n±1如果有＞1的最大公约数,寻找它们的公约数.按照引理2②的方法辗转相减,依据引理1③,最后得到k^g±1,k^g±1与k^m±1和k^n±1都互约.比如67^6-1和67^45+1,辗转相减后得到67^3+1.6和45的最大公约数是3,67^6-1和67^45+1的最大公约数是67^3+1. ⑤k＞1,k^m±1与k^n±1,m与n最大公约数是g,k^m±1与k^n±1没有＞1的最大公约数.假设k^m±1与k^n±1,有＞1的公约数.辗转相减,不断的降指数,得到k^g±1.得到的公约数不能与k^m±1和k^n±1都互约,假设不能成立.比如55^14+1和55^63-1,得到55^7-1,与55^14+1互质,与55^63-1互约.再比如79^29-1和79^116+1,得到79^29+1,与两个数都互质. 引理11:①正偶数N,k与N互质,k＞1.一定有Na=k^b-1,a和b都是正整数.从k^0到k^m,除以N的余数一定会发生重复,得到k^n-Nc=k^m-Nd,m＞n.N(d-c)=k^m-k^n.N是偶数,两边除以k^n,会有Na=k^b-1.比如N是56,k是3,余数依次是3 9 27 25 19 1 3 9 27……56×13=3^6-1. ②Na=k^b-1,a b有时不是Ne=k^f±1最小的一组正整数解.比如N是42,k是5,余数依次是5 25 41 37 17 1 5 25……42×372=5^6-1.最小的一组正整数是42×3=5^3＋1. ③N是正偶数,k和N互质,k＞1.Ne=k^f±1,表示N的相邻非负整数倍与k^f的小于N的差,分别是1和N-1. ④Ne=k^f±1,则有Ney=k^fy±1y,0＜y＜N.表示N的相邻非负整数倍与k^fy的小于N的差,分别是y和N-y. 引理12:①正偶数N,k与N互质,k＞1,k是奇数.依据引理11①②,Ni=k^j±1,i和j是最小的一组正整数解.那么,只有当k的指数是j的整数倍jl时(只考虑jl≥j),k^(jl)±1才能被N整除.假设k^q±1能被N整除,q不是j的整数倍,k^q±1与k^j±1辗转相减,不断的降指数,最后得出k^r±1能被N整除,Ns=k^r±1,r＜j,s＜i.s r是一组正整数解,与i j是最小的一组正整数解发生矛盾,因此不存在k^q±1能被N整除,假设不正确. 依据引理10①,Ni=k^j±1,k^(jl)±1能被N整除,1前面是+还是-呢?当Ni=k^j+1时,i j是最小的一组正整数解.l是奇数时,Ng=k^(jl)＋1,l是偶数时,Ng=k^(jl)-1.当Ni=k^j-1时,i j是最小的一组正整数解.l是奇数时,Ng=k^(jl)-1,l是偶数时,Ng=k^(jl)-1.设k^j±1为x,(x±1)^l±1的加减号容易搞清. Ng=k^(jl)±1.N的相邻整数倍与k^(jl)的小于N的差,分别是1和N-1. ②Ng=k^(jl)±1,g和jl都是正整数.则有Ngy=k^(jl)y±1y,0＜y＜N.那么N的整数倍与k^(jl)y的小于N的差,分别是y和N-y.两个差的和是偶数N.
偶数除了素数2以外,还有常数k为底的k伪素数,还有k合数.同和N就是后两种数. 同和序差运算举例.N=20,k=3. 1+19=20 3+17=20 9+11=20 7+13=20 1+19=20 3+17=20 5+15=20 5+15=20 2+18=20 6+14=20 2+18=20 6+14=20 4+16=20 8+12=20 4+16=20 8+12=20 10+10=20 10+10=20 上面几排等式中,每一个形如E＋F=N的式子称为一行,E F N都是正整数.每一行两个加数的和相同,都是同一个偶数N,N称为同和.N≥8. 从第一行开始,任意相邻的两行.前一行的任一加数乘以k,与N的最近两个相邻整数倍的正差,是后一行的两个加数.依据引理9①,前一行两个加数是奇数,后一行两个加数也是奇数,以后每一行加数都是奇数.前一行两个加数是偶数,后一行两个加数也是偶数,以后每一行加数都是偶数.一行中的较小加数习惯上放在左边,当做序差.如果加数相等,也是序差. 同和保持不变,小于同和的正整数个数有限,而运算却可以无限次进行下去,因此必然会出现重复和循环.一旦出现循环,就会按照顺序一直循环下去.从1+19=20到7＋13=20称为一个独立的循环部分,简称一列.一列中的加数各不相同,超过一列加数就会重复.从2+18=20到6+14=20也是一列,5+15=20也是一列.N是偶数,k与N互质,1＜k＜N-1＜N.列数不止一列,各列行数也不会完全一样.比如N=20,k=3,共有5列,其中1个4行,2个2行,2个1行. N是偶数,k与N互质,1＜k＜N-1＜N.任意的像A＋B=N这样的式子,进行常数k为底数的同和序差运算,A＋B=N会在一个独立的循环部分里面.以A+B=N为起始,依据引理9①,进行同和序差运算,会得到循环,一列又一列.以第2列中任意一行w行,根据引理9②的规则,算出上一行唯一符合要求的两个加数.这两个加数进行同和序差运算会得到w行.算出后,继续按引理9②的规则往前推.从2列开始往前推的,没有到第一行就形成了倒推的一列,出现了重复.出现了重复就会一直倒推着重复,自然也把第一行的A+B=N包括在内.倒推几列后,可以进行顺算,也会把原先的第一行A+B=N包括在内.①得出本段开头的结论.②一列中,以哪两个加数作第一行,不影响一列的固定行数.③一列中,上一行的加数乘以k,再与N的相邻整数倍相减.k与N互质.因此,下一行三个数 的最大公约数,与上一行三个数的最大公约数,是一样的.一列中每一行三个数的最大公约数,都是一样的. 继续举同和序差运算的例子.N=42,k=5. 3+39=42 15+27=42
9+33=42 3+39=42 15+27=42 4+38=42 20+22=42 16+26=42 4+38=42 20+22=42 6+36=42 12+30=42 18+24=42 6+36=42 12+30=42 21+21=42 21+21=42 …… 上面几排有加数的等式,左边的较小加数用字母p表示(21也是如此).设第一行的较小加数到后面每一行的较小加数依次是p1,p2,p3,p4,p5,p6,p7......左边加数不断的循环,一排中的任意左边加数都可以是p1,书写时排第一行就是p1.p1用y表示.其它排也是如此. 推论三:一排等式,其中任意相邻的两行,前一行较小加数乘以k,与最近的整数倍相减,得到后一行的较小加数.假设:前一行的p是Nh-k^my或k^my-Nh这样的代数式,h,m是非负整数.下面的N是正偶数,y是正整数,t n也是非负整数. ①k×(Nt-k^ny)=Nkt-k^(n+1)y.这个数也是Nh-k^my的代数式.它不一定＜N.比如上文9=42×2-5^2×3,9×5＞42,5×(42×2-5^2×3)-42×1=3.即Nkt-k^(n+1)y-Ns=N(kt-s)-k^(n+1)y.它也不一定是较小的加数,比如上文第二个6=42×18-5^3×6,6×5是较大的加数,42-5×(42×18-5^3×6)=12.即Ns-[Nkt-k^(n+1)y]=N(s-kt)+k^(n+1)y,加数小于N,(s-kt)不是正数.前一行的p乘以k以后,和N的整数倍相减,代数式的形式没有变化. ②k×(k^ny-Nt)=k^(n+1)y-Nkt.这个数也是k^my-Nh的代数式.它不一定＜N.比如上文20=5^1×4-42×0,20×5＞42,5×(5^1×4-42×0)-42×2=16.即k^(n+1)y-Nkt-Ns=k^(n+1)y-N(kt+s).它也不一定是较小加数,比如上文第一个6=5^0×6-42×0,6×5是较大的加数,42×1-5×(5^0×6-42×0)=12.即Ns-[k^(n+1)y-Nkt]=N(s+kt)-k^(n+1)y.前一行的p乘以k以后,和N的整数倍相减,代数式的形式没有变化. 运算时要求,括号里的数乘以k再和N整数倍相减,带y和带N的数不合并,带N的数和带N的数合并,以保证代数式的形式稳定.括号里的数是前一行的p,如果p是Nh-k^my或者k^my-Nh这样的代数式,后一行的较小加数,依然是Nh-k^my或者k^my-Nh这样的代数式,当然m和h的值基本上会有变化.也就是说,前面一行的p可以表示为那样的代数式,后面一行的p也能表示为那样的代数式形式. p是Nh-k^my或k^my-Nh这样的代数式,Nh-k^my中的h不会是0.k^my-Nh,当k^my＜N时,h才为0.比如,N=38562,k=11,以13+为起始,进行同和序差运算.前4行较小加数,都是11^m×13-38562×0,第5行才是3^4×13. p是Nt-k^ny或k^ny-Nt这样的代数式,进行一次运算,y前面k的次方数会增加1变成n＋1.因为括号里的数乘以k后,是和N的整数倍互减.按照前面说的要求,带y的数和带N的数互不合并,计算时考虑括号乘以k后,次方数的变化就可以了. 推论三就是,前面一行的p是那样的代数式,后面一行的p也是那样的代数式形式.前面一行的k的次方数是n,后面一行的k的次方数是n＋1. 一排等式,设第一行的较小加数为y(也就是k^0y-N×0),同和为偶数N.k×y与最近的N整数倍相减得到p2,p2的代数式形式,是Nh-k^my或者k^my-Nh.得到p2后,k×p2与最近的N整数倍相减得到p3.根据推论三,p3的代数式形式,是Nh-k^my或k^my-Nh.p3再得到p4,p4再得到p5,按照这样一直算下去,代数式字母的值会有变化,代数式形式的范围不会有变化.每计算一次得到一个代数式,每个代数式表示一个p;同时,代数式和p一一对应,每个p也有一个代数式来表示.计算的过程中,依据推论三,y前面k的次方数,每运算一回就增加1.y前面k的次方数依次是0,1,2,3,4......对第n行较小加数进行运算,k的次方数就变成n,代数式表示第n＋1行的较小加数. 举例说明:N=78,k=29,以19+59=78为第一行.设第一行的较小加数19为y(29^0×19-78×0).第一行较小加数乘以29,与N整数倍相减,得到第二行的较小加数,是29^1×19-78×7(值5).第二行较小加数计算后得到第三行的较小加数,是78×205-29^2×19(值11).第四行较小加数是78××19(值7)......第十行较小加数是78×1-29^9×19(值7)...... N是偶数,k与N互质,1＜k＜N-1＜N.以N为同和,乘方底数为k,进行同和序差运算.它的每一列的行数有什么特点呢？ 举个例子.N=68,k=9. 1+67=68 9+59=68 13+55=68 19+49=68 33+35=68 25+43=68 21+47=68 15+53=68 7+61=68 5+63=68 23+45=68 3+65=68 27+41=68 29+39=68 11+57=68 31+37=68 17+51=68 2+66=68 18+50=68 26+42=68 30+38=68 4+64=68 32+36=68 16+52=68 8+60=68 12+56=68 28+40=68 20+48=68 24+44=68 6+62=68 14+54=68 10+58=68 22+46=68 34+34=68
N=68,k=9.每一列各行的最大公约数相等.小于68的加数,可以分为最大公约数是1 2 4 17 34几种,每一种所在的列不同,每一种分布在一列或多列中.这些加数个数为68-1=67(有一行加数相同,算一个加数).这种现象,与正整数等于各因数欧拉函数之和的数学定理,是符合的.与68最大公约数是34的加数的个数,就等于因数2的欧拉函数.加数不为0,其中少了因数1的欧拉函数. 以1开头的同和序差运算,得到一列等式,设1为y.同和为N,乘方底数为k.第一行的较小加数代数式是k^my-Nu(m=0,u=0).第一行较小加数乘以k,再与最近的N整数倍相减,得到第二行的较小加数,代数式是Nu-k^my或k^my-Nu,表示的是第二行的较小加数.以后每一行的较小加数,都是Nu-k^my或k^my-Nu的代数式(各行两个加数,都是N的整数倍与k^my的差).第d行较小加数运算后,k的次方数变成d,表示的是d+1行的较小加数.1所在的列行数是g.也就是以1+(N-1)为第一行,第g+1行才会出现1,中间N的整数倍与k的乘方的差都不是1.Nu-k^gy=y或k^gy-Nu=y,y=1,Nu=k^g±1,u和g是最小的一组正整数解,不是非负整数解. 以这一列其他较小加数a作为第一行,行数也是g.其他列,任意两个加数作为第一行,不影响此列的行数.前面说过,顺算倒推都是循环的.其他列的行数不一定是g. 以其他与N互质的奇数b开头的同和序差运算,b不在1那一列中,得到一列等式.设b为y,k是乘方底数.每一行较小加数的代数式是Nv-k^my或k^my-Nv(较大加数也是). b所在列的行数是多少呢?①假设是f行(f不是g的整数倍),f+1行的较小加数就是b.则有Nwy-k^fy=y或k^fy-Nwy=y.等式两边同时除以y,Nw-k^f=1或k^f-Nw=1.Nw=k^f±1,f是一列的行数,w f是最小的一组正整数解.f不是g的整数倍,f≠g.u和g是最小的一组正整数解,与w和f是最小的一组正整数解,发生矛盾,因此假设不能成立.②一列的行数只能是g的整数倍.Nu=k^g±1,u g是最小的一组正整数解.依据Nu-k^g=1或k^g-Nu=1,两边同时乘以y,得到Nuy-k^gy=y或k^gy-Nuy=y.可见,k^gy与N整数倍的＜N的差只能是y和N－y,y是较小加数.Nuy-k^gy或k^gy-Nuy表示的是第g+1行的较小加数(由y前面k的次方数,以及差的大小决定),这个加数只能是y.因此得到y的重复,g+1行不在一列中.加数与N互质且不包含1的列,行数也是g.
c与N互约,最大公约数是Y,c＜N.以c开头的同和序差运算,得到一列等式,不是互质的那几列.设c为y(也就是k^0y-N×0),同和为N.每一行的较小加数,都是Nz-k^my或k^my-Nz的代数式(较大加数也是). c所在列的行数是多少呢?依据Nu-k^g=1或k^g-Nu=1,两边同时乘以y,得到Nuy-k^gy=y或k^gy-Nuy=y.显然N的相邻整数倍与k^gy的差分别是y和N-y.y和第一行的y重复,得到了重复的一行.c所在的一列行数是g或比g少.举例: ①因为N和k的取值,不存在c所在列行数都是g.②N=34,k=3.1+33=34和2+32=34所在的两列行数相同,17+17=34所在的列只有一行.③N=16,k=3.互约的加数所在列的行数,都比互质所在列的行数少.一列的行数有时候会比g少,可以得到Nd-k^ny=y或k^ny-Nd=y.Nd=(k^n±1)y.因为n行是一列,一列内加数不重复.行数必须是n的倍数,进行运算才能够得到c.g行的较小加数运算后,能得到c,所以g必然是n的倍数.这时,只要是n的倍数,不管是不是g的倍数,那一行运算之后,也会得到c. 互约与互质的关系.①如果一列中每一行的等式,加数和同和都除以最大公约数Y,就是N/Y为同和的一列.这一列的行数是n.从第一行开始就能一一对应.②与N/Y互质的加数所形成的一列,每个数都乘以Y,也就变成了N中的一列.这一列的行数是n.从第一行开始就能一一对应.③N/Y为同和,是用来参照的,k的取值范围有所不同. 当偶数N是素数时,N=2.因为没有符合要求的k,暂不需要考虑. 以k为底的偶伪素数R,1所在的那一列的行数j,必然能整除(R-1).以1+(R-1)=R为起始,形成了一列.行数是j,第j+1行又是1+(R-1)=R.设1为y,可以列出等式,Ni-k^jy=y或k^jy-Ni=y.因为y=1,Ni=k^j±1.i j是最小的一组正整数解,依据引理12①,只有k^(jr)±1能被R整除(jr=0不在考虑范围,行数不是0).R是以k为底的偶伪素数,k^(R-1)-1能被R整除,R-1必然能被j整除.但是R-1不能被加数的个数2j整除.比如N=×23×31×151,N-1=×25×11×29,k=9,N是以k为底的伪素数.215326×A=9^825-1,A和825是最小的一组正整数解.215325能被825整除,不能被2×825整除. 需要说明的是,161038是以2为底的伪素数,依据是k^N-N能被N整除.因为第一部分到第三部分,k都与N互质.依据k^(N-1)-1能被N整除判断,也是可行的. 其他偶数S,S是k合数但不是以k为底的伪素数.因为是合数,各列最大公约数不尽相同,不可能是一列. 以1+(S-1)=S为起始,形成的一列的行数是s,第s+1行又是1+(S-1)=S.设1为y,可以列出等式,St-k^sy=y或k^sy-St=y.因为y=1,St=k^s±1,t s是最小的一组正整数解.依据引理12①,只有k^(sg)±1能被S整除(只考虑sg≥s).S是合数不是k伪素数,k^(S-1)-1不能被S整除. 但有的时候,k^(S-1)+1是能被S整除的.比如215326是以9为底的偶伪素数,却不是以215317为底的偶伪素数.215326×A=9^825-1=(317)^825-1,215326×A=(317)^825-1,乘方展开后,215326×B=+1.依据引理12,215326×C=325+1.因此行数有时不能整除S-1,有时也可以整除.加数的个数一定不能整除S-1. 不是k伪素数的偶数合数S,S的非负整数倍,与k的非负乘方的差(＜S)的个数,不能整除S-1.个数的一半,有时不能整除,有时能整除. 第三部分总结:N是偶数,k与N互质,1＜k＜N-1＜N.N的非负整数倍,与k的非负整数乘方,两者的差要求大于零小于N.当偶数是素数时,没有k.当偶数是以k为底的伪素数时,N-1不是差的个数的整数倍,2N-2一定是个数的整数倍.当偶数不是k伪素数是k合数时,N-1不是差的个数的整数倍,有时是个数的一半的整数倍,有时不是个数的一半的整数倍. ★附述 第一部分第二部分第三部分的总结:N是正整数,k与N互质,1＜k＜N-1＜N.N的非负整数倍,与k的非负整数乘方,两者的差要求大于零小于N. N是奇数.当N是素数时,N-1是差的个数的整数倍,也是个数的一半的整数倍.当N是以k为底的伪素数时,N-1有时是差的个数的整数倍,有时不是.N-1一定是个数的一半的整数倍.当N不是k伪素数是k合数时,N-1不是差的个数的整数倍,也不是个数的一半的整数倍. N是偶数.当N是素数时,没有k.当N是以k为底的伪素数时,N-1不是差的个数的整数倍,一定是个数的一半的整数倍.当N不是k伪素数是k合数时,N-1不是差的个数的整数倍,有时是个数的一半的整数倍,有时不是个数的一半的整数倍. 以整数N为同和,以k为底数进行同和序差运算.k与N互质,1＜k＜N-1＜N.各列第一行的一个加数设为y,这一列的所有加数都可以表示为Nh-k^my或k^my-Nh.一列中的任意加数可以是y,不同列中的y不能够混用. 加数1所在的一列,和其他与N互质的加数b所在的那一列,行数g是一样的,加数个数2g也一样.b不在1那一列.因此, 如果N-1能被一列的行数或加数个数整除,也能被其他列整除.如果不能整除,也是都不能整除. 加数c与N互约,c所在的一列行数是n.前文说过,g是n的正整数倍.①如果N-1能被2g整除,N必是奇数.N-1能被n或2n整除.比如N=341,k=4.②如果N-1仅能被g整除,也能被n整除.比如N=1,k=3.N-1被全部2n整除.比如N=561,k=5.N-1被部分2n整除,像51和11所在的列.比如,N是奇伪素数,不存在全部2n都不能整除N-1.比如N=28,k=9.N是偶数时,N-1只能被一列的加数个数1整除.③如果N-1不能被g整除,有不同的情况.比如N=9,k=2.比如N=15,k=2.15-1不能被4和2×4整除,5+10=15所在列的行数和加数个数是1和2,15-1能被1和2整除.3+12=15所在列的行数和加数个数是2和4,15-1不能被4整除.再比如N=35,k=3;N=77,k=5. 需要注明一点,任意一列的行数和加数个数,都能整除N的欧拉函数. N是正整数,k与N互质,1＜k＜N-1＜N.t是非负整数.①N的非负整数倍,与(Nt+k)的非负整数乘方相减,两者的差要求大于零小于N.②N的非负整数倍,与k的非负整数乘方相减,两者的差要求大于零小于N.③本段①②的差的个数相同,差也相同. N是正整数,k与N互质,1＜k＜N-1＜N.t是非负整数,m是非负整数,y是＜N的一个正整数.①Nt与(Nt+k)^my相减,两者的差要求大于零小于N.②Nt与k^my相减,两者的差要求大于零小于N.③本段①②的差的个数相同,差也相同.
将非负整数换成正整数,不影响附述部分的结论.k=1或k=N-1时,性质比较简单.k与N互约时,可以参考下互质,不如互质时那么工整.
概念 定义及定理 1.两个数的公因数只有1的两个非零自然数,叫做互质数。 举例：2和3，公因数只有1，为互质数。 2.多个数的若干个最大公因数只有1的正整数，叫做互质数。 3.两个不同的质数，为互质数。 4、1和任何自然数互质。两个不同的质数互质。一个质数和一个合数，这两个数不是倍数关系时互质。不含相同质因数的两个合数互质。 5、任何相邻的两个数互质。 6、任取出两个正整数他们互质的概率（最大公约数为一）为6/π^2 表达运用编辑 （1）这里所说的“两个数”是指除0外的所有自然数。 （2）“公因数只有 1”，不能误说成“没有公因数。” （3）三个或三个以上自然数互质有两种不同的情况：一种是这些成互质数的自然数是两两互质的。如2、3、5。另一种不是两两互质的。如6、8、9。 两个整数（正整数）（N）,除了1以外,没有其他公约数时,称这两个数为互质数.互质数的概率是6/π^2 (4)互质的两个数相乘，所得的数不一定是合数。 因为一和任何一个非零的自然数互质，一乘任何非零自然数，所得的积不一定是合数。如1与17互质，1×17=17，17不是合数。 判定方法编辑 直接分辨 （1）相邻的两个奇数是互质数。例如 49与 51。 （2）两个相差4的奇数是互质数。例如 49与 53。 （3）大数是质数的两个数是互质数。例如97与91。 （4）小数是质数，大数不是小数的倍数的两个数是互质数。例如 7和 16。 （5）1和任何自然数（0除外）都是互质数。 计算判定 （1）两个数都是合数（两数相差较大），小数所有的质因数，都不是大数的约数，这两个数是互质数。 （2）两个数都是合数（两数相差较小），这两个数的差的所有质因数都不是小数的约数，这两个数是互质数。 （3）两个数都是合数，大数除以小数的余数（不为“0”且大于“ 1”）的所有质因数，都不是小数的约数，这两个数是互质数。如 462与 221 462÷221=2……20， 20=2×2×5。 2、5都不是221的约数，这两个数是互质数。 （4）减除法。如255与182。 255－182=73，观察知 73&182。 182－（73×2）=36，显然 36&73。 73－（36×2）=1， （255，182）=1。 所以这两个数是互质数。 （这里需要注意的是，只是用商和上一个式子中的较小数相减，而不一定非要用较小的数乘2，这里乘2是为了更加快速的运算！） 因为文字是原始资料，可能有些不正确的地方。这一段是百度来的。
我不知道楼主想说什么
个人感觉这类问题，可以用中国的超级计算机去算，会极高效
好深奥，看不懂
<span class="count" title="万
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