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已知直线L过点P（—2，—1）与椭圆x²/9+y²/4＝1交于A,B两点`P为AB中点（1）求直线L的方程及|AB|（2）M是椭圆上一点`求M到直线L的距离最大值
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高中数学课本例题习题精选
如有问题，请联系我keren.苏教版高中数学教材习题 “精选”2011 年 12 月 4 日星期日集合、简易逻辑、函数、导数和不等式1、设 A={x|x=2k-1，k∈Z }，B={x|x=2k,k∈Z }，求 A∩B，A∪B。 【简答】A∩B=Φ，A∪B=Z。 2、U={1，2，3，4，5，6}，A={2，3，5}，B={1，4}，求(CUA)∩(CUB)与 CU(A∪B)； 【简答】(CUA)∩(CUB)={6}，CU(A∪B)={6}，结论(CUA)∩(CUB)=CU(A∪B)。 3、我们知道，如果和 A ? S，那么 S 的子集 A 的补集为 CSA={ xOx∈S,且 x ? A }。类似地， 对于集合 A,B 我们把集合{ xOx∈A, x ? B }叫做集合 A 与 B 的差集， 记作 A-B。 例如， A= ｛1， 2，3，4，5， ｝ ，B=｛4，5，6，7，8， ｝ ，则有 A-B=｛1，2，3｝ ，B-A=｛6，7，8｝ 。 据此，试回答下列问题： （1）S 是高一（1）班全体同学的集合，A 是高一（1）班全体女同学的集合，求 S-A 及 CSA （2）写出图中是阴影部分所表示的集合； （3）在下列各图中用阴影表示集合 A-B（图略，同学自己作图体会） ； （4）如果 A-B=Ф，那么集合 A 与 B 之间具有怎样的关系？ 【简答】 （1）S-A={高一（1）班全体男同学}， CSA={高一（1）班全体男同学}； （2）A∩(CUB)或 A-B； （4）A ? B 4、已知集合 A=[1，4)，B=(-∞，a)。若 A ? B ，求实数 a 的取值范围。?【简答】[4,+∞) 5、已知集合 A=[-1，2)，对于下列全集 U 分别求 CUA： （1）U=R； （2）U=[-∞，3)； （3）U=[-2，2]； （4）U=[-1，2)。 【简答】 （1） (??,?1) ? [2,??) ； （2） (??,?1) ? [2,3) ； （3） [?2,?1) ? {2} ； （4）Φ 6、期中考试，某班数学优秀率为 70%，语文优秀率为 75%。问：上述两门学科都优秀的百 分率至少为多少？ 【简答】45% 7、如果 A，B 均为有限集，A 中元素的个数为 m，B 中元素的个数为 n，A∪B 中元素的个 数为 s，那么下列各式能成立吗？ （1）m+n&s； （2）m+n=s； （3）m+n&s。 【简答】 （1） （2）能成立， （3）不成立。 8、对于集合 A，B，我们把集合{(a,b)|a∈A，b∈B}记作 AB。 例如：A=｛1，2｝ ，B=｛3，4｝ ，则有： A×B={（1，3） ， （1，4） ， （2，3） ， （2，4）}； B×A={（3，1） ， （3，2） ， （4，1） ， （4，2）}； A×A={（1，1） ， （1，2） ， （2，1） ， （2，2）}； B×B={（3，3）,（3，4） ， （4，3） ， （4，4）}。 据此，试解答下列问题： （1）已知 C={a}，D={1，2，3}，求 C×D； （2）已知 A×B=｛ （1，2） ， （2，2） ｝ ，求集合 A，B； （3）若 A 有 3 个元素，B 有 4 个元素，试确定 A×B 有几个元素. 【简答】 （1）C×D={（a，1） ， （a，2） ， （a，3）}； （2）A={1，2}，B={2}； （3）12 个。 9、从“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”和“既不充分有不必要条 件”中，选出适当的一种填空： （1）“a=0”是“函数 f(x)=x2+ax(x∈R)为偶函数”的 ； （2）“sinα&sinβ”是“α&β”的 ； （3）“M&N”是“log2M&log2N”的 ； （4）“x∈M∩N”是“x∈M∪N”的 。 【简答】 （1）充要条件； （2）既不充分有不必要条件； （3）必要不充分条件； （4）充分不必要条件10、分别写出由下列各组命题构成的“p 或 q”、“p 且 q”和“非 p”形式的命题： （1）p：2 是实数，q：2 不是奇数； （2）对于集合 A=N*，B=N，p：A ? B，q：A≠B； （3）p：方程 x2+2x+3=0 无实数根，q：方程 x2+2x-3=0 有实数根； （4）p：9 是 3 的倍数，q：10 是 4 的倍数。 【简答】 题号 p或q p且q 非p （1） （2） （3） （4） 2 是实数或不是奇数 对于集合 A=N*，B=N，A ? B， 或 A≠B 方程 x2+2x+3=0 无实数根， 或方 程 x2+2x-3=0 有实数根 9 是 3 的倍数或 10 是 4 的倍数 2 是实数且不是奇数 2 不是实数 对于集合 A=N*，B=N，A ? B， 对于集合 A=N*，B=N，A ? B 且 A≠B 方程 x2+2x+3=0 无实数根， 且方 方程 x2+2x+3=0 有实数根 程 x2+2x-3=0 有实数根 9 是 3 的倍数且 10 是 4 的倍数 9 不是 3 的倍数11、写出下列命题的否定： （1）对于所有的正数 x， x ? x ? 1 ； （2）不存在实数 x，x2+1&2x； （3）集合 A 中的任意一个元素都是集合 B 的元素； （4）集合 A 中至少有一个元素是集合 B 的元素。 【简答】 （1）存在正数 x， x ? x ? 1 ； （2）存在实数 x，x2+1&2x； （3）集合 A 中至少存在一个元素不是集合 B 的元素； （4）集合 A 中任意一个元素都不是集合 B 的元素。 12、从“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”和“既不充分有不必要条 件”中，选出适当的一种填空： （1） “|x-1|≥3”是“x≤-2 或 x≥4”的 ； （2） “x&-1”是“x2&1”的 ； （3） “f(0)=0”是“函数 f(x)是 R 上的奇函数”的 ； （4） “a=3”是“直线 ax+2y+1=0 和直线 3x+(a-1)y-2=0 平行”的 。 【简答】子集是全集的充分条件，不等式的解集是不等式成立的充条件。 （1） 充要条件； （2） 既不充分也不必要条件； （3）必要不充分条件； （4）充分不必要条件。 13、已知 p,q 都是 r 的必要条件，s 是 r 的充分条件，q 是 s 的充分条件，那么， （1）s 是 q 的什么条件？（2）r 是 q 的什么条件？（3）p 是 q 的什么条件？ 【简答】充要条件；既不充分有不必要条件；既不充分有不必要条件；充分不必要条件 14、如果 f(t)=t t ，g(t)= ，证明：f(t)-g(t)=-2 g(t2)。 1? t 1? t【简答】略 15、已知函数 f(x)与 g(x)分别由下表给出，那么 x f(x) g(x) 1 2 2 2 3 1 3 4 4 4 1 3f(f(1))= ；f(g(2))= ；g(f(3))= ；g(g(4))= 。 【简答】3；4；1；2 16、已知集合 A=R，B=｛-1，1｝ ，对应法则 f：当 x 为有理数时，f(x)=-1；当 x 为有理数时 f(x)=1。该对应是从集合 A 到集合 B 的函数吗？ 【简答】是。 17、 建造一个容积为 8m3， 深为 2m 的长方体形无盖水池， 如果池底和池壁的造价分别为 120 2 2 元/m 和 80 元/m ，求总造价 y（元）关于底面一边长 x（m）的函数解析式，并指出该函数 的定义域。4 ) ? 480( x ? 0) 。 x ? x, x ? 0 18、已知函数 f ( x) ? ? 2 ，试求 f(f(-2))的值。 x , x ? 0 ?【简答】 y ? 320( x ? 【简答】f(f(-2))=4。 19、某人去上班，先跑步，后步行。如果 y 表示该人离单位的距离，x 表示出发后的时间， 则下列图像中符合此人走法的是 y y y y y0 y0 y0 y0O A．xO B．xO C．xO D．x【简答】D 20、 （1）已知一个函数的解析式为 y=x2，它的值域为[1，4]，这样的函数有多少个？试写出 其中两个函数。 （2）已知一个函数的解析式为 y=x2，它的值域试{1，4}，求此函数的定义域。 【简答】 （1）无数多个：定义域为：[1，2]；[-2，-1]；[1，2]∪[-2，-1]；[1，2]∪(-2,-1.5)… （2） 定义域为{1,2}， {1,-2}， {1,-2,2}， {-1,2}， {-1,-2}， {-1,-2,2}， {-1,1,2}， {-1,1,-2}， {-1,1,-2,2}。 21、判断些列说法是否正确： （1）若定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(2)&f(1)，则函数 f(x)是 R 上的单调增函数； （2）若定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(2)&f(1)，则函数 f(x)在 R 上不是单调减函数； （3）若定义在 R 上的函数 f(x)在区间(-∞，0]是单调增函数，在区间[0，+∞)上也是单调增函 数，则函数 f(x)在 R 上是单调增函数； （4）若定义在 R 上的函数 f(x)在区间(-∞，0]是单调增函数，在区间(0，+∞)上也是单调增函 数，则函数 f(x)在 R 上是单调增函数。 【简答】 （2） （3） 22、对于定义在 R 上的函数，下列判断是否正确？ （1）若 f(-2)=f(2)，则函数 f(x)是偶函数； （2）若 f(-2)≠f(2)，则函数 f(x)不是偶函数； （3）若 f(-2)=f(2)，则函数 f(x)不是奇函数； 【简答】 （2） 23、已知函数 y=f(x)在定义域 R 上是单调增函数，且 f(a+1)&f(2a)，求 a 的取值范围。 【简答】a&1 24、求证：函数 f ( x) ? x ?1 在区间 (0,1] 上是单调减函数， 在区间 [1,??) 上是单调增函数。 x【简答】略。 25、求满足下列条件的实数 x 的取值的集合： （1）2x=3 x； （2）5 x &0.2； （3）9 x &3x-2 【简答】 （1）{0}； （2）{x|x&-1}； （3）{x|x&-2} x 26、 （1）已知函数 y=a +b 的图像如图所示，求 a、b 的取值范围。 （2）已知函数 y=loga(x+b)的图像如图所示，求 a 与 b 的值。 y y=ax+b y 2 -2 O y=loga(x+b)Oxx（1） 【简答】 （1）a&1,b&-1； （2）a= 3 ,b=3。 27、已知函数 f(x)=a+ 【简答】 a ? ?（2）1 是奇函数，求常数 a 的值。 4 ?1x1 。 22x ?1 ，试讨论函数 f(x)的单调性。 2x ?1 2x ?1? 2 2 【简答】 f ( x) ? 是增函数。证明略。 ? 1? x x 2 ?1 2 ?128、 已知函数 f ( x) ? 29、 （1）已知 y= f(x)是定义在 R 上的奇函数，且当 x&0 时，f(x)=1+2 ，求 f(x)的解析式，并 画出此函数的图像。 （2）已知函数 y= f(x)是 R 上的奇函数，且 x&0 时，f(x)=1，试求函数 y= f(x)的表达式。 【简答】 （1）当 x=0 时，f(0)=f(-0)=-f(0)，从而 f(0)=0；当 x&0 时，f(x)=-f(-x)=-(1+2-x)。 （2）当 x=0 时，f(0)=f(-0)=-f(0)，从而 f(0)=0；当 x&0 时，f(x)=-f(-x)=0。 30、 （1）已知函数 f(x)=x2-2|x|-1，试判断函数 f(x)的奇偶性，并画出函数图象。 （2）已知函数 f ( x) ? x ? 2 x ? 1，画出下列函数图象：2x① y ? f ( ? x) ； ② y ? ? f ( x) ； ③ y ? f (| x |) ； ④ y ?| f (| x |) | ； ⑤ y ? f ( x) ? 1 ； ⑥ y ? f ( x ? 2)2（3）画出函数 y=x 3 的图像，并指出其奇偶性、单调性。 【简答】 （1）偶函数、图略； （2）图通过奇偶性、对称性、平移画； （3）偶函数，(0,+∞) 是增函数，是(-∞,0)减函数。 31、求值： （1）lg25+lg2×lg50； （2）lg32+3lg2lg5+lg35 【简答】 （1）原式=lg25+lg2×lg50= lg25+lg2lg5+lg2=lg5(lg2+lg5)+lg2=1； （3）原式=(lg2+lg5)(lg22-lg2lg5+lg25)+3lg2lg5= lg22+2lg2lg5+lg25=1。 32、我国计划 GDP 从 2000 至 2010 年翻一番，平均每年的增长率应是多少？ 【简答】 10 2 ? 1 。 33、解下列方程： （1）log 5 (2x+1)=log 5 (x2-2)； （2） lg x ? 1 ? lg( x ? 1) ； （3）22x=12； （4）3 （5） 2 ? 5x ?11? x-2=0；?9 ? 01 log 2 3 ； （4）x=1-log32； （5）x=3log53-log52-1。 22 2【简答】 （1）x=3； （2）x=2； （3） x ? 1 ?34、比较下列各组数中两个值的大小 （1）ln0.32 与 lg2； （2）log65 与 log78； （3）log25 与 log58； （4）0.32，20.3 与 log 【简答】 （1）ln0.32&lg2； （2）log65&log78； （3）log25&log58； （4）0.32&20.3& log221? x (?1 ? x ? 1) 是奇函数。 1? x 1? x 1? x 1? x 1? x ? lg ? lg( ? )?0 【简答】 f ( x) ? f (? x) ? lg 1? x 1? x 1? x 1? x 36、如图，已知函数 y ? log a x, y ? log b x, y ? log c x, y ? log d x 的图像分别是曲线 C1 , C2 , C3 , C 4 ，试判断 0，1，a，b，c，d35、求证：函数 f ( x) ? lg 的大小关 系，并用“&”连接起来。 【简答】0&b&a&1&d&c。 37、解下列不等式：yC4 C3 1 x C2 C1Ox ?1 ?1 x ?1 11 【简答】 （1）x&2-log32； （2）1&x&11； （3） x ? ? 或x ? 1 。 9 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) x ? x2 38、在满足下列条件下，比较 与 f( 1 ) 的大小 2 2（1）33-x&6； （2）lg(x-1)&1； （3） lg （1）对于任意的 x1,x2∈R，若函数 f(x)=2x； （2）对于任意的 x1,x2∈(0,+∞)，若函数 f(x)=lgx。 【简答】 （1）39、证明：函数 f(x)=x3+3x-1 在区间（0，1）上有零点。 【简答】f(0)=-1，f(1)=3，f(0)f(1)&0。 40、经市场调查，某商品在过去 100 天内的销售量和价格均为时间 t（d）的函数，且销售量 近 似 地 满 足 g (t ) ? ? t ?f ( x1 ) ? f ( x2 ) x ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) x ? x2 （2） ? f( 1 )； ? f( 1 )。 2 2 2 2109 (1 ? t ? 100, t ? N ) 。 前 40 天 价 格 为 3 1 1 f (t ) ? t ? 22(1 ? t ? 40, t ? N ) ，后 60 天的价格为 f (t ) ? ? t ? 52(41 ? t ? 100, t ? N ) 。 4 21 3试写出该种商品的日销售额 S 与时间 t 的函数关系。? 1 109 1 (1 ? t ? 40, t ? N ) ? (? t ? 3 )( 4 t ? 22) 【简答】 S ? ? 3 。自己可做一下销售的最大 1 109 1 ?(? t ? )(? t ? 52) (41 ? t ? 100, t ? N ) 3 2 ? 3值。 41、某店从水果批发市场购得椰子两框，连同运费总共花了 300 元，回来后发现有 12 个是 坏的，不能将它们出售，余下的椰子按高出成本价 1 元/个售出，售完后共赚得 78 元。 问：这两框椰子原来共有多少个？ 【简答】设两框椰子原来共有 x 个，有 x ? 12 ?300 ? 12 ? 78 ，则 x=120。 x42、销售甲、乙两种商品所得的利润分别是 P（万元）和 Q（万元） ，它们与投入资金 t（万 元）的关系有经验公式 P=1 3 t，Q= 5 5t 。今将 3 万元资金投入经营甲、乙两种商品，其中对甲种商品投资 x（万元） ，试建立总利润 y（万元）关于 x 的函数表达式。 【简答】 y ?1 3 x? 3 ? x (0 ? x ? 3) 。 5 543、某工厂第一季度某产品月生产量分别为 1 万件、1.2 万件、1.3 万件。为了估测以后每个 月的产量，以这 3 个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量 y 与月份 x 的关 系。模拟函数可以选用二次函数或函数 y=abx+c（其中 a，b，c 为常数） 。已知 4 月份的 产量为 1.36 万件，问：用以上哪个函数作为模拟函数较好？为什么？ 【简答】设二次函数为 y=mx2+nx+p，则?m ? n ? p ? 1 ?m ? ?0.05 ? ? ? 4m ? 2n ? p ? 1.2 ? ? n ? 0.35 ? 16m ? 4n ? p ? 1.3 ? 9m ? 3n ? p ? 1.3 ? p ? 0.7 ? ?? ab ? c ? 1 ?a ? ?0.8 ? ? 2 4 由函数 y=abx+c 得 ?ab ? c ? 1.2 ? ? b ? 0.5 ? ab ? c ? 1.35 更接近 1.36 ，因此 ? ab 3 ? c ? 1.3 ? c ? 1.4 ? ?y=abx+c 模拟较好。 44、讨论下列函数的奇偶性与单调性： （1）y=lg(1+x)+lg(1-x)； （2） y ? ln 【简答】 （1） ?1? x 。 1? x?1 ? x ? 0 ? ?1 ? x ? 1, f (? x) ? lg(1 ? x) ? lg(1 ? x) ? f ( x) ，偶函数； ?1 ? x ? 0 1? x 1? x （2） f (? x) ? f ( x) ? ln ? ln ? ln 1 ? 0 奇函数。 1? x 1? x45、求满足下列条件的函数 f(x)的解析式： （1）f(1+x)=3x+2； （2）f(2x)=3x2+1 【简答】 （1）f(x)=3x-1； （2） f ( x) ?46、设 A ? Z，且 A≠Ф，从 A 到 Z 的两个函数分别为 f(x)=x2+1，g(x)=3x+5。若对于 A 中的 任意一个 x，都有 f(x)=g(x)，试求集合 A。 【简答】由 x2+1=3x+5 解得，x=-1 或 x=4，∴A={-1，4} 47、如果 f(x)=x+1，试求 f ( f ( f ( f (... f ( x)...)))) 的表达式，并猜一猜（n∈N*）表达式。3 2 x ? 1。 4???? ? ???? ? ?n个f【简答】 f ( f ( f ( f (... f ( x)...)))) ? n ? 1 。???? ? ???? ? ?n个flogc b48、设 a,b,c 都是不等于 1 的正数，且 ab≠1，求证： a 【简答】 log c a? log c b log c a, log c b logc a? b logc a 。 ? log c a log c b ? a logc b ? b logc alogc b49、若关于 x 的方程 3tx2+(3-7t)x+4=0 的两个实根 α、β 满足 0&α&1&β&2，求实数 t 的取值范 围。? f (0) ? 4 ? 0 7 9 ? 【简答】 ? f (1) ? 3t ? 3 ? 7t ? 4 ? 0 ? ? t ? 2 2 ? f (2) ? 12t ? 5 ? 14t ? 4 ? 0 ?50、已知定义在实数集 R 上的偶函数 f(x)在区间[0，+∞)上是单调增函数，若 f(1)&f(lgx)，求 x 的取值范围。 【简答】f(x)在 R 上变量绝对值越小，函数值越小， | lg x |? 1 ? x ? (0,1 ) ? (10,??) 。 1051、已知定义在实数集 R 上的函数 y= f(x)满足条件：对于任意的 x,y∈R，f(x+y)=f(x)+f(y)。 求证： （1）f(0)=0； （2）f(x)是奇函数。 【简答】令 x=y=0，则 f(0)=f(0)+f(0)，从而 f(0)=0；令 y=-x，则 f(x)+f(-x)=f(x-x)=f(0)=0，∴f(x)是奇函数。 y 52、如图，已知过原点 O 的直线与函数 y=log8x 的图像交于 D y=log2x A，B 两点，分别过 A，B 作 y 轴的平行线与函数 y=log2x 的 B y=log8x C 图像交于 C，D 两点。 （1）试利用相似形的知识，证明 O，C，D 在同一条直线上； A （2）当 BC//x 轴时，求 A 点的坐标。 O x1 x21 log 2 x1 , yC ? log 2 x1 , 3 y y ? yA x y 1 y B ? log 8 x2 ? log 2 x2 , yC ? log 2 x2 ,? 1 ? A ? C ? C ∴△OAC∽△OBD。 3 x2 y B y D y D ? y B 1 （2）由上可知，x2=3x1，log8x2=log2x1， x1 ? 3 ∴ A( 3 , log 2 3) 6【简答】 （1） y A ? log 8 x1 ?3 9 ) 处切线的方程。 4 16 3 9 3 3 ? ( x ? ) ? 24 x ? 16 y ? 3 ? 0 。 【简答】 y ' ? 2 x ? y ' | 3 ? ? y ? x? 2 16 2 4 453、求函数 y=x2 的图像在点 P( , 54、曲线 y=x2 的一条切线的斜率是-4，求切点的坐标。 【简答】 y' ? 2 x ? ?4 ? x ? ?2 ，∴切点坐标为(-2,4)。 55、航天飞机发射后的一段时间内，第 ts 时的高度 h(t)=5t3+30t2+45t+4，其中 h 的单位为 m， t 的单位为 s。 （1）h(0)，h(1)分别表示什么？（2）求第 1s 内的平均速度； （3）求第 1s 末的瞬间速度； （4）经过多少时间飞机的速度达到 75mMs? 【简答】 （1）h(0)表示航天飞机起点所在位置，h(1)表示 1s 末航天飞机所在高度；h(1) ? h(0) （3） h' (t ) ? 15t 2 ? 60t ? 45, h' (1) ? 15 ? 60 ? 45 ? 120 ； ? 80(m) ； 1? 0 2 2 （4） h' (t ) ? 15t ? 60t ? 45 ? 75 ? t ? 4t ? 2 ? 0 ? t ? 6 ? 2 。 1 ? ? ? 56、求曲线 y= x-cosx 在 x= 处的切线方程及其在区间 [? , ] 上的值域。 2 2 2 6 1 ? 1 ? ? 3 ? 【简答】 f ' ( x) ? ? sin x ? f ' ( ) ? ? sin ? 1 ? y ? ( ? )? x? 2 6 2 6 12 2 6 ? 3 ? ?0 切线方程为： x ? y ? 12 2（2） 在区间 [?,? ) 上， y' ? 0 ，在区间 (? , ] 上， y' ? 0 ， 2 6 6 2 ? ? 3 ? ? ? ? ? 3 ? f (? ) ? ? ? , f (? ) ? ? , f ( ) ? 。值域为 [? ? , ]。 6 12 2 2 4 2 4 12 2 4??? ?57、已知函数 f(x)=sinx+cosx,x∈(0,2π)。 （1）求 x0，使 f ' ( x0 ) ? 0 ； （2）解释（1）中 x0 及 f(x0)的意义。 【简答】 （1） f ' ( x) ? cos x ? sin x ? 0 ? x0 ? 极值点，f(x0)表示 f(x)在(0,2π)上的极值。 58、求下列函数的导数：?4或x0 ?5? 。 （2）x0 表示 f(x)在(0,2π)上的 4( x ? 2) 2 3 2 （1） f ( x) ? ； （2） f ( x) ? ( x ? 9)( x ? ) x ?1 x 2 x ? 2x ? 8 27 2 【简答】 （1） f ' ( x) ? ； （2） f ' ( x) ? 3x ? 2 ? 6 。 2 ( x ? 1) x59、求下列函数的极值： （1） y ?x x （2） y ? e ? ex x ?32【简答】 （1）x 2 ? 3 ? 2x 2 3 3 y' ? ? 0 ? ? 3 ? x ? 3 ? y极大 ? f ( 3 ) ? , y极小 ? f (? 3 ) ? ? 2 2 6 6 ( x ? 3)（2） y' ? e ? e ? 0 ? x ? 1 ? y极小 ? f (1) ? 0 ，无极大值。x60、求下列函数在所给区间上的最大值和最小值： （1） y ?x ?1 , x ? [0,2] x?2（2） y ?1 ? x, x ? [1,3] x ?1（3）y=x3-3x2+5,x∈[-2,3] 【简答】 （1） y ' ?（4）y=x+sinx,x∈[0,2π]x ? 2 ? ( x ? 1) 2x ? 3 ，∴ f ( x) 在区间[0，2]上是增函数， ? 2 ( x ? 2) ( x ? 2) 2 1 1 y min ? f (0) ? ? , y max ? f (2) ? ； 2 4 ?1 ? 1 ? ( x ? 1) 2 x 2 ? 2 x （2） y ' ? ，∴ f ( x) 在区间[1，3]上为增函数， ? 1 ? ? ( x ? 1) 2 ( x ? 1) 2 ( x ? 1) 2 13 y min ? f (1) ? 2, y max ? f (3) ? 。 4 2 （3） y' ? 3x ? 6 x ? 3x( x ? 2), y极小 ? f (2) ? 1, y极大 ? f (0) ? 5, f (?2) ? ?15, f (3) ? 5y min ? ?15, y max ? 5 ； （4） y' ? 1 ? cos x ? 0 恒成立，∴ f ( x) 在[0,2π]上为增函数， ∴ y min ? f (0) ? 0, y max ? f (2? ) ? 2? 。61、某产品制造过程中，次品数 y 依赖于日产量 x，其函数关系为 y ? 又该产品售出一件可盈利 a 元，但出一件次品就损失 应为多少？ 【简答】利润 P ? a( x ?x ( x ? 100) ； 101 ? xa 元。为获取最大利润，日产量 3x ax 404 4a ， )? ( x ? 100) ? P ? a( x ? )? 101 ? x 3(101 ? x) 3(101 ? x) 3? ?a[(101 ? x) ?404 4a 404 307a ， ]? ? 101a ? ?a ? 2 ? 3(101 ? x) 3 3 3当且仅当 x ? 101 ?404 时取等号。 3（2）y=xex62、求下列函数的导数： （1）y=sinxcosx （3） y ?xln x xx（4）y=tanx【简答】 （1） y' ? cos 2 x ； （2） y' ? e ? xe ； （3） y ' ? （4） y ' ?1 ? ln x ； x2Bcos 2 x ? sin 2 x 1 ? 2 cos x cos 2 xDC63、如图，已知海岛 A 与海岸公路 BC 的距离 AB 为 50km， B，C 间的距离为 100 km。从 A 到 C，先乘船，船速 为 25 km/h，再乘汽车，车速为 50 km/h，登陆点 D 应选 在何处，所用时间最少？ 【简答】设 BD=xkm，则有 AD ?A50 2 ? x 2 ，所用时间 y 满足：y?50 2 ? x 2 100 ? x x 1 2 x ? 50 2 ? x 2 ? ? y' ? ? ? ?0 25 50 25 50 2 ? x 2 50 50 50 2 ? x 250 3 时所用时间最少。 3?x?64、若以 20cm3/s 的速度向一底面直径为 6cm，高为 8cm 的倒立圆锥酒杯内注酒，则在注入 酒的高度为 4 cm 时，酒面上升的速率A． (20 3 ) 3?1B．3? 20C．80 9?D．20 3?8cmr 3 3 ? ?r? h h 8 8 1 4cm 1 3 2 1280 3 设注入酒高度为 h 时，所用时间为 t，则 20t ? ? ( h) h ? h ? ( ) 3 8 3? 1 1 2 1 2
1280 3 ? 3 1 ? ? 3 80 3? ， h' ? ( 。 h' ? ( ) ? ( ) t ，当 h ? 4 时， t ? ) ( ) ? 3? 3 3? 3 3? 20 9? 20【简答】圆锥底面的半径 r=3cm，则 65、 若以 ncm3/s 的速度向一底面半径为 rcm， 高为 hcm 的倒立圆锥内注水， 则在注水 t 秒时， 水面上升的速率 A． (1 1 1 1 1 2 1 23nh 2 3 3 ) t ?r 2B． 3(nh 2 3 3 ) t ?r 2C．1 3nh 2 3 ? 3 ( ) t 3 ?r 2D．1 nh 2 3 ? 3 ( ) t 3 ?r 2【简答】模仿上题作答。66、某化工厂制定明年某产品的生产计划，受下面条件的制约：生产此产品的工厂人数不超 过 200 人；每个工人年工作约 2100h；预计此产品明年销售量至少 80000 袋；每袋需用 4h；每袋需用原料 20kg；年底库存原料 600t，明年可补充 1200t。试根据这些数据预测 明年的产量。? x ? 80000 ? ? 80000 ? x ? 90000 。 【简答】设明年产量为 x 袋， ? 4 x ? 2100 ? 200 ?20 x ? (600 ? 1200) ? 1000 ?67、解下列不等式（组） （1）-6x2-x+2&0 （2）1-4x2&4x+2 （3）9x2-6x+1≤0 （5） 2 x ? （4）x4-x2-2=01 ? 2x ?1 x?4 1 2 2 【简答】 （1） 6 x ? x ? 2 ? 0 ? (2 x ? 1)(3x ? 2) ? 0 ? x ? 或x ? ? 。 2 3 2 2 （2） 4 x ? 4 x ? 1 ? 0 ? (2 x ? 1) ? 0 ? x ? ? 。x ?1（6）x(x+2)&x(3-x)+1（7）68、 （1）是 k 什么实数，方程 x2+2(k-1)x+3k2-11=0 有两个不相等的实数根？ （2）已知不等式 x2+2x+k2-1&0 对一切实数 x 恒成立，求实数 k 的取值范围。 【简答】 （1） ? ? 4(k ? 1) ? 4(3k ? 11) ? 4(?3k ? 2k ? 10) ? 0 ? 3k ? 2k ? 10 ? 02 2 2 25 ； 3 2 2 2 （2） ? ? 4 ? 4(k ? 1) ? 4(?k ? 2) ? 0 ? k ? 2 ? 0 ? k ? ? 2或k ? 2 ? ?2 ? k ?69、 （1）已知不等式 ax2+bx-1&0 的解集是{x|3&x&4}，求 a，b 的值。 （2）不等式 ax2+bx+c&0 的解集是{x|x&1 或 x&3}，求 a：b：c。1 ? b ? ?? a ? 3 ? 4 ?a ? ? 12 ?? 【简答】 （1） ? ； 1 7 ?? ? 3 ? 4 ?b? 12 ? ? a? b ?? ? 1 ? 3 ? c ? 3a ?? ? a : b : c ? 1 : (?4) : 3 （2） a ? 0, 且? a c ?b ? ?4a ? ? 1? 3 ? a70、求下列函数的值域： （1） y ? x ? （3） y ?1 x ?1 2 x ?3x2 ? 21 x ?1 4 （4） y ? 2 ? 3x ? ( x ? 0) x（2） y ? x ?2 2【简答】 （1）当 x&1 时， y ? x ? 1 ? 当 x&1 时， y ? ?[(1 ? x) ? （2） y ? ( x ? 1) ?21 ， ? 1 ? 2 ? 1 ? 3 （当且仅当 x=2 时取等号） x ?11 ； ] ? 1 ? ?2 ? 1 ? ?1 （当且仅当 x=0 时取等号） 1? x1 ； ? 1 ? 2 ? 1 ? 1 （当且仅当 x=0 时取等号） x ?1 x2 ? 2 ?1 1 1 ? x2 ? 2 ? （3） y ? ，∵ y ? x ? 在区间 [1,??) 上是增函数，而 x x2 ? 2 x2 ? 223 2 ； 2 4 2 3 （4）? x ? 0,? y ? 2 ? (3x ? ) ? 2 ? 4 3 （当且仅当 x ? 时取等号） x 3 1 1 71、 （1）正数 x,y 满足 x+2y=1，求 ? 的最小值； x yx 2 ? 2 ? 2 ? 1 ，当 x 2 ? 2 ? 2 即 x ? 0 时 y min ?（2）过点(1,2)的直线 l 与 x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别交于 A、B 两点，当△AOB 的面 积最小时，求直线 l 的方程。 （2x+y-4=0） 【简答】 （1） ? 取等号） ； （2）设 A(a,0)、B(0,b)，则直线 l 的方程为：1 x1 1 1 2y x ? ( ? )( x ? 2 y ) ? 1 ? 2 ? ? ? 3 ? 2 2（当且仅当 x ? 2 y 时 y x y x yx y x y ? ? 1 ，点代(1,2)入方程 ? ? 1 得， a b a b1 2 2 ? ?1? 2 ? ab ? 8 ，当且仅当 a ? 2, b ? 4 时取等号，此时△AOB 的面积最小值 a b ab 1 为 S ?AOB ? ab ? 4 。 2 2 72、设 f ( x) ? (m ? 1) x ? mx ? m ? 1 ，求下列各条件下实数 m 的取值范围。 （1）若方程 f ( x) ? 0 有实根； （2）若不等式 f ( x) ? 0 的解集为Ф； （2）若不等式 f ( x) ? 0的解集为 R。 【简答】 （1）当 m ? 1 ? 0 即 m ? ?1 时， f ( x) ? x ? 2 ? 0 ? x ? 2 有实根，2 3 2 3 ?m? 3 3 2 3 2 3 2 3 2 3 ? m ? ?1且 ? 1 ? m ? ?m? 从而 ? ，综上所述： ? 3 3 3 3 （2）当 m ? 1 ? 0 即 m ? ?1 时， f ( x) ? x ? 2 不合题意，当 m ? 1 ? 0 时， ? ? m ? 4(m ? 1)(m ? 1) ? ?3m ? 4 ? 0 ? ?2 2当 m ? 1 ? 0且? ? m ? 4(m ? 1)(m ? 1) ? ?3m ? 4 ? 0 ? m ? ?2 22 3 2 3 时， 或m ? 3 3?m ? ?2 3 。 3 ? x? y?5? 0 ? 73、不等式组 ? x ? y ? 0 表示的平面区域的面积为____________。 ?x ? 3 ?【简答】如图所示y 5(3,8)1 121 。 S ? (8 ? 3)(3 ? 2.5) ? 2 4(-2.5,2.5) -5 O 3 x (3,-3) y 2 -1 O 1 0.574、若 0≤x≤1，0≤y≤2，且 2y-x≥1，则 z=2y-x+4 的最小值是 A．2 B．3 C．4 D．5 【简答】当点在直线 x-2y+1=0 上时取最小值 3。选 B。x三角函数1、已知 ? ??6，角 ? 的终边与角 ? 的终边关于直线 y=x 对称，求角 ? 的集合【简答】 {? | ? ??3? 2k? , k ? Z }2、设 ? 为第一象限角，试探究： （1） 2? 一定不是第几象限角？（2） 【简答】 （1） 2k? ? ? ? 2k? ??2? 是第几象限角？ 3? 4k? ? 2? ? 4k? ? ? ，不是三四象限角；（2）一、二、三象限角。 3、根据下列条件，确定 ? 是第几象限角或哪个坐标轴上的角： （1）sin ? ? 0； （2） | sin ? |? sin ? tan ? sin ? ? 0 ? cos ? ? 0(sin ? ? 0) ∴ ? 为一、四象限。 【简答】 （1） tan ? （2） sin ? ? 0 ∴ ? 为一、二象限、x 轴及 y 轴的非负半轴。4、蒸汽机飞轮的直径为 1.2m，以 300r/min（转/分）的速度作逆时针旋转，求： （1）飞轮 1s 内转过的弧度数； （2）轮周上一点 1s 内所经过的路程。 【简答】 （1）10π； （2）6πm 5、设 tan? ? 2 ，计算： （1）sin ? ? cos ? 1 ； （2） 2 sin ? ? sin ? cos ? ? cos 2 ? sin ? ? cos ? sin 2 ? ? cos 2 ? tan 2 ? ? 1 【简答】 （1）3； （2）原式= ? ? 5。 sin 2 ? ? sin ? cos ? ? cos 2 ? tan 2 ? ? tan? ? 1 6、化简： （1） sin(?1071o ) sin 99o ? sin(?171o ) sin(261o ) ；（2）1 ? 2 sin 10o cos10oo 2 ocos10 ? 1 ? cos 170 o o o o 【简答】 （1）原式= sin 9 cos 9 ? [? sin9 (? cos 9 )] ? 0 ；（2）原式=； （3） sin2? ? sin 2 ? ? sin 2 ? sin 2 ? ? cos 2 ? cos 2 ? ；sin 2 10o ? cos 2 10o ? 2 sin 10o cos10ocos10o ? 1 ? cos 2 10o 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 （3）原式= sin ? (1 ? sin ? ) ? sin ? ? cos ? cos ? ? sin ? cos ? ? sin ? ? cos ? cos ? ? cos 2 ? (sin 2 ? ? cos 2 ? ) ? sin 2 ? ? cos 2 ? ? sin 2 ? ? 1。 ? 1 5? ? 7、已知 sin( x ? ) ? ，求 sin( ? x) ? sin 2 ( ? x) 的值 6 3 6 4【简答】原式?| cos10o ? sin 10o | ? 1； cos10o ? sin 10o? ? ? ? ? 1 1 19 ? x)] ? sin 2[ ? ( ? x)] ? sin( ? x) ? cos 2 ( ? x) ? ? 1 ? ? 6 2 6 6 6 4 16 16 ? 2? 8、函数 y ? sin x( ? x ? ) 的值域是 6 3 1 1 3 3 A． [?1,1] B． [ ,1] C． [ , D． [ ] ,1] 2 2 2 2= sin[? ? ( 9、求下列函数的周期、最大值、最小值，并求使函数取得最大值、最小值的 x 的集合 （1） y ? 2 sin( x ? 【简答】 周期 （1） 4π （2）1 2?1 ? （2） y ? sin(3x ? ) ； （3） y ? cos x ? sin x )； 4 3 7最大值及此时 x 的集合最小值及此时 x 的集合ymax ? 2,{x | x ?ymax2? 32π3? ? ? 4k? , k ? Z } ymin ? ?2,{x | x ? ? ? 4k? , k ? Z } 2 2 1 5? 2k? 1 9? 2k? ? ,{ x | x ? ? , k ? Z } ymin ? ? ,{x | x ? ? ? , k ? Z} 3 42 3 3 42 3（3）4 1 1 10、 （1）已知 cos(? ? ? ) ? , cos(? ? ? ) ? ，求 tan ? tan ? 的值； 3 5 2 1 tan ? （2）已知 sin(? ? ? ) ? , sin(? ? ? ) ? ? ，求 的值。 3 5 tan ? 1 【简答】 （1） cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? , 3ymax ? 2 ,{x | x ? 2k? ??, k ? Z}ymax ? ? 2 ,{x | x ? 2k? ?3? , k ? Z} 4cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? ? cos ? cos ? ?1 54 1 1 , sin ? sin ? ? ? ? tan? tan ? ? ? ； 15 15 4 2 （2） sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ? 3 1 sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ? ? 5 7 13 tan ? 7 ? sin ? cos ? ? , cos ? sin ? ? ? ? 。 30 30 tan ? 1311、求值： （1）sin200ocos140o-cos160osin40o； （2）cos24ocos69o+sin24osin111o；5? ? （4）cos(70o+α)sin(170o-α)-sin(70o+α)cos(10o+α) cos ； 12 12 3 【简答】 （1）原式=-sin20o(-cos40o)+cos20osin40o=sin60o= ； 2（3） sin （2）原式=cos24ocos69o+sin24osin69o=cos45o=? ? 2 ； （3）原式= cos cos ? 2 12 12 3 （4）原式=cos(70o+α)sin(10o+α)-sin(70o+α)cos(10o+α)=sin(-60o) = ? 。 2 ? ? 1 3 12、 （1）若 0 ? ? ? ,0 ? ? ? ，且 tan ? ? , tan ? ? ，求 ? ? ? ； 2 2 7 4 ? ? 4 12 （2）已知 ? ? ? ? ? ，且 sin(? ? ? ) ? , cos(? ? ? ) ? ， 4 2 5 13 求 sin 2? , cos 2? , tan 2? 的值；【简答】 （1）? 0 ? ? ?1 ? cos 2? 6 ?7 2 8?0 ? ? ? ? ? ? 2 1 3 ? tan ? ? tan ? 7 4 ? 1?? ? ? ? ? 。 tan(? ? ? ) ? ? 1 1 ? tan ? tan ? 1 ? ? 3 4 7 4 ? ? ? ? （2）? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ,? ? ? ? ? ? 0 4 2 2 4 3 5 cos(? ? ? ) ? ? , sin(? ? ? ) ? ? 5 13 sin 2? ? sin[(? ? ? ) ? (? ? ? )] ? sin(? ? ? ) cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) sin(? ? ? ) 4 12 3 5 63 。 ? ? ? (? ) ? (? ) ? 5 13 5 13 65 3 1 13、 （1）在锐角三角形 ABC 中， sin A ? , tan( A ? B) ? ? ，求 sin B, cos C 的值。 5 3 4 12 （2）在△ ABC 中， cos A ? , cos B ? ，求 cos C ； 5 13 4 12 （3）在△ ABC 中， sin A ? , cos B ? ，求 cos C ； 5 13 2?,0 ? ? ??【简答】 （1）3 1 ? tan A ? tan( A ? B) 13 13 10 tan B ? tan[ A ? ( A ? B)] ? ? 4 3 ? ,? sin B ? 3 1 1 ? tan A tan( A ? B) 9 50 1 ? (? ) 4 3 3 13 10 4 9 10 3 10 。 cos C ? ? cos( A ? B) ? sin A sin B ? cos A cos B ? ? ? ? ? 5 50 5 50 250 3 5 （2）由已知可得 sin A ? , sin B ? ，则 5 13 3 5 4 12 33 cos C ? ? cos( A ? B) ? sin A sin B ? cos A cos B ? ? ? ? ? ? 。 5 13 5 13 65 12 5 ? ? （3） ? cos B ? ,? sin B ? ? sin A ? sin B ? 0 ? B ? A ? 或 ? A ? ? ? B ? ? ， 13 13 2 2 ? 3 4 5 3 12 16 当 0 ? B ? A ? 时， cos A ? ， cos C ? ? cos( A ? B) ? ? ? ? ?? ， 2 5 5 13 5 13 65 ? 3 4 5 3 12 56 当 ? A ? ? ? B ? ? 时， cos A ? ? ， cos C ? ? cos( A ? B) ? ? ? ? ? 。 2 5 5 13 5 13 65 o 14、 （1）若 ? ? ? ? 45 ，求证： (tan ? ? 1)(tan ? ? 1) ? 2 ； （2）若 (tan ? ? 1)(tan ? ? 1) ? 2 ，求 ? ? ? ； o o o o o （3）求值： (1 ? tan1 )(1 ? tan 2 )(1 ? tan 3 )?(1 ? tan 44 )(1 ? tan 45 ) 。 【简答】利用公式 tan ? ? tan ? ? tan(? ? ? )(1 ? tan ? tan ? ) o （1） (tan? ? 1)(tan ? ? 1) ? 1 ? tan ? ? tan ? ? tan ? tan ? ? 1 ? tan 45 (1 ? tan ? tan ? ) ? tan ? tan ? ? 1 ? 1 ? tan ? tan ? ? tan ? tan ? ? 2 。 （2） (tan? ? 1)(tan ? ? 1) ? 1 ? tan ? ? tan ? ? tan ? tan ? ? 2 ? tan ? ? tan ? ? 1 ? tan ? tan ? tan ? ? tan ? ? tan(? ? ? ) ? ? 1 ? ? ? ? ? ? 2k? , k ? Z 。 1 ? tan ? tan ? 4 o o o o （3）由（1）可知 (1 ? tan 1 )(1 ? tan 44 ) ? 2, (1 ? tan 2 )(1 ? tan 43 ) ? 2 ? (1 ? tan 22 o )(1 ? tan 23o ) ? 2 ? (1 ? tan1o )(1 ? tan 2 o )?(1 ? tan 45o ) ? 2 23 。 sin(? ? ? ) 2 15、已知 tan ? , tan ? 是方程 3x ? 5x ? 7 ? 0 的两根，求 tan(? ? ? ) ? 的值。 cos(? ? ? ) 5 ? tan ? ? tan ? 1 5 7 tan(? ? ? ) ? ? 3 ?? 【简答】 tan ? ? tan ? ? ? , tan ? tan ? ? ? ， 7 1 ? tan ? tan ? 2 3 3 1? 3 5 ? sin(? ? ? ) sin ? cos ? ? cos ? sin ? tan ? ? tan ? 5 ? ? ? 3 ? ， 7 cos(? ? ? ) cos ? cos ? ? sin ? sin ? 1 ? tan ? tan ? 1 ? 4 3 sin(? ? ? ) 1 5 3 tan(? ? ? ) ? ?? ? ? 。 cos(? ? ? ) 2 4 416、已知两条直线 l1，l2 的斜率分别为 k1，k2(0& k1& k2)，设 l1，l2 的夹角（锐）为θ。 （1）求证： tan ? ?|k 2 ? k1 |； （2）求直线 2x-y+1=0 与直线 x-3y-3=0 的夹角θ。 1 ? k 2 k11 ?2 ? 3 |? 1 ? ? ? 。 【简答】 （1）略； （2） tan ? ?| 1 4 1? ? 2 317、求值： （1） sin 50 o (1 ? 3 tan10 o ) ； （2） sin (? ?2o o o?6 6 o o sin 50 (cos 10 ? 3 sin 10 ) 2 cos 40 sin 40 sin 80 o 【简答】 （1）原式= ? ? ? 1； cos 10 o cos 10 o cos 10 o ? ? 1 3 1 ? cos(2? ? ) 1 ? cos(2? ? ) ? cos 2? ? sin 2? 3 ? 3 ? sin 2 ? ? 2 2 （2）原式= 2 2 2 1 3 ? cos 2? ? sin 2? cos 2? 1 2 ? 2 ? cos 2 ? ? ? ? cos 2 ? ? 。 2 2 218、 （1）半圆 O 的直径为 2，A 为直径延长线上的一点，OA=2，B 为半圆上任意一点，以 AB 为一边作等边三角形 ABC。问：点 B 在什么位置时，四边形 OACB 面积最大？并求出此 最大值。 （2）在半径为 R，圆心角为 60o 的扇形 AB 弧上任取一点 P，作扇形的内接矩形 PNMQ，使 点 Q 在 OA 上，点 M、N 在 OB 上，求这个矩形面积的最大值及相应的∠AOP 的值。 【简答】 （1）设∠AOB=θ， S ?OAB ?) ? sin 2 (? ??) ? sin 2 ?1 OA ? OB sin ? ? sin ? 2 AB 2 ? OA2 ? OB2 ? 2OA ? OB cos ? ? 4 ? 1 ? 4 cos ? ? 5 ? 4 cos ? 3 3 S ?ABC ? AB 2 ? (5 ? 4 cos ? ) 4 4C B Q A O O M N B A P3 5 3 ? 5 3 (5 ? 4 cos ? ) ? sin ? ? 3 cos ? ? ? 2 sin(? ? ) ? 4 4 3 4 ? ? 5? 5 3 当? ? ? 即? ? 时，四边形 OACB 面积最得最大值 。 3 2 6 4 3 R sin ? （2） ?BOP ? ? ? NP ? R sin ? , MN ? R cos ? ? 3 3 3 2 3 1 3 2 S PNMQ ? MN ? NP ? R 2 (sin ? cos ? ? sin 2 ? ) ? R ( sin 2? ? cos 2? ) ? R 3 3 2 2 6 3 2 ? 3 2 ? R sin(2? ? ) ? R 。 3 6 6 ? ? ? ? 3 2 R 。 当 2? ? ? 即 ? ? 时即 ?AOP ? ，四边形 PNMQ 面积最得最大值 6 2 6 6 6 S OACB ? sin ? ?2 ? 1 ? , tan(? ? ) ? ，求 tan(? ? ) 的值； 5 4 4 4 ? 1 ? 1 （2）已知 tan(? ? ) ? , tan(? ? ) ? ? ，求 tan(? ? ? ) 的值。 2 2 2 3 2 1 ? ? ? 5 4 ? 3 ； tan( ? ? ) ? tan[( ? ? ? ) ? ( ? ? )] ? 【简答】 （1） 2 1 22 4 4 1? ? 5 4 1 1 1 ? ? ?? ? ? 1 ? tan[(? ? ) ? ( ? ? )] ? 2 3 ? 6 ? ， （2） tan 1 1 1 7 2 2 2 1 ? (? ) 1 ? 2 3 6 1 2? 7 ? 7 。 ? tan(? ? ? ) ? 1 24 1 ? ( )2 7 ? k? 20、已知 sin ? ? m sin(2? ? ? ) ，且 ? ? ? ? ? k? , ? ? (k ? Z ), m ? 1 。 2 2 1? m 求证： tan(? ? ? ) ? tan ? 。 1? m 【简答】 sin ? ? sin[(? ? ? ) ? ? ] ? sin(? ? ? ) cos ? ? cos(? ? ? ) sin ? ? m sin[(? ? ? ) ? ? ] ? m sin(? ? ? ) cos ? ? m cos(? ? ? ) sin ? 1? m ? (1 ? m) sin(? ? ? ) cos ? ? (1 ? m) cos(? ? ? ) sin ? ? tan(? ? ? ) ? tan ? 。 1? m A B B C C A 21、在△ ABC 中，求证： tan tan ? tan tan ? tan tan ? 1 。 2 2 2 2 2 2 B A C C A B A?C C A C A 【简答】 tan (tan ? tan ) ? tan tan ? tan tan (1 ? tan tan ) ? tan tan 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 C A C A ? 1 ? tan tan ? tan tan ? 1 。 2 2 2 2 2 2 22、已知函数 y ? sin x ? 2 sin x cos x ? 3 cos x, x ? R19、 （1）若 tan(? ? ? ) ? （1）求函数的最小正周期； （2）求函数的最大值。 【简答】1 ? cos 2 x 3(1 ? cos 2 x) ? sin 2 x ? ? sin 2 x ? 2 cos 2 x ? 1 ? 5 sin(2 x ? ? ) ? 1 2 2 ? 5 ? 1。 （其中 tan ? ? ?2 ） ，?T ? ? , yxa m y?23、判断满足下列条件的△ ABC 的形状：a b c ? ? ； （正三角形） cos A cos B cos C sin A sin B sin C 原式 ? ? ? ? tan A ? tan B ? tan C ? A ? B ? C 。 cos A cos B cos C （2） a cos A ? b cos B ； （等腰三角形） 原式 ? sin A cos A ? sin B cos B ? sin 2 A ? sin 2B ? A ? B （3） b cos A ? a cos B ； （等腰三角形） b cos A ? a cos B ? sin B cos A ? sin A cos B ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B ? 0 ? A ? B（1）sin A cos B cos C ； （等腰直角三角形） ? ? a b c cos B cos C sin A cos B sin B ? ? ? B ? C ，又 ? ? ? cos B ? sin B ? B ? 。 b c a b b 4 （5） c ? 2a cos B ； （等腰三角形） c ? 2a cos B ? sin C ? 2 sin A cos B ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B ? sin A cos B ? cos A sin B ? sin( A ? B) ? 0 ? A ? B 。 sin A ? sin B （6） sin C ? ； （C 为直角的直角三角形） cos A ? cos B A? B A? B A? B A? B A? B A? B sin( ? ) ? sin( ? ) 2 sin cos sin A ? sin B 2 2 2 2 2 2 sin C ? ? ? A? B A? B A? B A? B A? B A? B cos A ? cos B cos( ? ) ? cos( ? ) 2 cos cos 2 2 2 2 2 2 C cos 2 ? 2 sin C cos C ? 1 ? 2 sin 2 C ? cos C ? 0 ? C ? 90 o ? C 2 2 2 sin 2 （7） a ? b ? c cos B ? c cos A ； （等腰或直角三角形） 2 a ? c 2 ? b 2 b 2 ? c 2 ? a 2 a 2 b ? c 2 b ? b 3 ? (ab 2 ? ac 2 ? a 3 ) a ? b ? c cos B ? c cos A ? ? ? 2a 2b 2ab 2 2 2 2 2 2 ? 2ab(a ? b) ? (a ? b)(a ? b ? 2ab ? c ) ? (a ? b)(a ? b ? c ) ? 0 2 （8） 2a ? b ? c, sin A ? sin B sin C ； （正三角形） 2 2 sin A ? sin B sin C ? a ? bc ， 2a ? b ? c ? 4a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc ? 4bc ? (b ? c) 2 ? 0 ? b ? c ? a 2 ? bc ? b 2 ? a ? c ? a ? b ? c（4） （9） BC ? a, CA ? b, AB ? c, a ? b ? b ? c ? c ? a 。 （正三角形）a ? b ? b ? c ? b(a ? c) ? 0 ? CA( BC ? AB) ? ( BA ? BC )( BA ? BC ) ? BA ? BC ? 022?| BA |?| BC | ，同理 | BC |?| CA | 。24、在△ ABC 中，若 A=60o， a ? A．2 【简答】 B．3 ，则a?b?c ? sin A ? sin B ? sin CC． 3 D．1 23 2a?b?c a ? ? sin A ? sin B ? sin C sin A3 3 2? 2。AB BD ? AC DC25、在△ ABC 中，若∠A 的平分线交 BC 于点 D，求证： 【简答】设 ?BAD ? ? , ?ADB ? ? ， 则Aθ αB D CAB BD AC AC DC ? , ? ? sin ? sin ? sin(? ? ? ) sin ? sin ? AB sin ? AC AB BD ? ? ? ? ? 。 BD sin ? DC AC DC 26、在△ ABC 中， CB ? a, AC ? b, | a |? 2, | b |? 3, a ? b ? ? 3 ，求 AB 的长。 （1） 【简答】 AB 2 ? AB ? ( AC ? CB) 2 ? (b ? a) 2 ? a ? b ? 2a ? b ? 4 ? 3 ? 2 3 ? 7 ? 2 3 。 27、圆内接四边形 ABCD 的边长分别为 AB=2，BC=6，CD=DA=4，则四边形 ABCD 的面积 是 A．8 【简答】连结 BD，则 B．16 C．8 3 D．16 3 A B2 2 2BD 2 ? CB 2 ? CD 2 ? 2CB ? CD cos C ? 36 ? 16 ? 48 cos C BD 2 ? AB 2 ? AD 2 ? 2 AB ? AD cos A ? 4 ? 16 ? 16 cos C 1 3 则有 cos C ? ? sin C ? ， 2 2 1 1 ? S ABCD ? S ?BCD ? S ?ABD ? CB ? CD sin C ? AB ? AD sin A 2 2 1 3 1 3 ? ?6? 4? ? ? 2? 4? ?8 3。 2 2 2 228、从 200m 高的电视塔顶 A 测得地面上某两点 B、C 的俯角分 别为 30o 和 45o，∠BAC=45o，求这两个点之间的距离。( 200 2 m) 【简答】由题意可∠ABD=60o，∠ACD=45oDCA200m B DAC ? 200 2 , AB ?2 2 2400 3 3000 3 . BC ? AB ? AC ? 2 AB ? AC cos A ? ? 80000 ? 3 3CEM平面向量与复数1、若 OD ? OE ? OM ，试判断下列结论是否正确： （1） OM ? OE ? OD ； （2） OM ? DO ? OE ； （3） OD ? EO ? OM ； （4） DO ? EO ? MO 【简答】 （1） （2） （4） 。 2、在△ ABC 中，∠C=90o，AC=BC，则下列哪几个等式是成立的？ （1） | CA ? CB |?| CA ? CB | ； （2） | AB ? AC |?| BA ? BC | ； （3） | CA ? BA |?| CB ? AB | ； （4） | CA ? CB | ?| AB ? AC | ? | BA ? CA | 【简答】 （1） （2） （3） （4） 。2 2 2O BDCA3、设 D、E、F 分别是△ ABC 的边 BC、CA、AB 上的点，且 AF ?1 1 AB, BD ? BC ， 2 3A n E C1 CA 。若记 AB ? m， AC ? n，试用 m，n 表示 DE, EF , FD 。 4 2 1 2 1 5 2 【简答】 DE ? DC ? CE ? BC ? CA ? ( AC ? AB ) ? AC ? n ? m； 3 4 3 4 12 3F 3 1 1 3 EF ? EA ? AF ? CA ? AB ? m ? n ； m 4 2 2 4 1 1 1 1 1 1 FD ? FB ? BD ? AB ? BC ? AB ? ( AC ? AB ) ? m ? n 。 B D 2 3 2 3 6 3 4、如图当点 P、Q 三等分线段 AB 时，有 OP ? OQ ? OA ? OB 。 B CE ?如果点 A1，A2，…，An-1 是 AB 的 n(n≥3)等分点，你能得到什么结论？ 请证明你的结论。 【简答】当 n 为奇数时， OA 1 ? OA n ? OA 2 ? OA n ?1 ? ? ? 2OAn ?12Q P b a A当 n 为偶数时， OA 1 ? OA n ? OA 2 ? OA n ?1 ? ? ? OAn ? OAn2 2?1O5、与向量 a=(12,5)平行的单位向量为12 5 , ) 13 13 12 5 12 5 C． ( , ) 或 ( ? , ? ) 13 13 13 13A． (2 2B． (?12 5 ,? ) 13 13 12 5 D． ( ? , ? ) 13 13 12 5 , ) ，反向单位向量为 13 13【 简 答 】 | a |? 12 ? 5 ? 13 ， 则 与 a 同 向 单 位 向 量 为 ((?12 5 ,? ) 。 13 136、 （1）已知 A(1,2)，B(3,2)，向量 a=(x+3,x-3y-4)与 AB 相等，求实数 x,y 的值。 （2）设 AB ? (2,3), BC ? (m, n), CD ? (?1,4) ，则 DA ? A．(1 ? m,7 ? n) B．(1 ? m,7 ? n) C．(?1 ? m,?7 ? n) D．(?1 ? m,?7 ? n)? ?x ? 3 ? 2 ? x ? ?1 5； ?? y ? ? x ? 3 y ? 4 ? 0 ? ? 3 ? （2） AD ? AB ? BC ? CD ? (1 ? m,7 ? n) ? DA ? (?1 ? m,?7 ? n) 。【简答】 （1） AB ? (2,0) ? a ? ? 7、已知点 A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)，若点 P 满足 AP ? AB ? ? AC (? ? R) ，当 ? 为何值时： （1）点 P 在直线 y=x 上？（2）点 P 在第四象限内？ 【简答】OP ? OA ? AP ? OA ? AB ? ? AC ? OB ? ? AC ? (5,4) ? ? (5,7) ? (5 ? 5? ,4 ? 7? )1 4 ； （2） 5 ? 5? ? 0,4 ? 7? ? 0 ? ?1 ? ? ? ? 。 2 7 8、已知 O 是坐标原点，A(3,1)，B(-1,3)。若点 C 满足 OC ? ? OA ? ? OB(? ? R) ，其中 ? , ? ? R ，且 ? ? ? ? 1 ，求点 C 的轨迹方程。 【简答】∵ ? ? ? ? 1 ，∴A、B、C 三点共线， 1 ∴点 C 的轨迹方程为： y ? 3 ? ? ( x ? 1) 即 x+2y-5=0。 2（1） 5 ? 5? ? 4 ? 7? ? ? ?OA ? ? OB 。 1? ? 【简答】 AC ? ? CB ? OC ? OA ? ? (OB ? OC) ? (1 ? ? )OC ? OA ? ? OB ，得证。9、在△ OAB 中，C 为线段 AB 上一点， AC ? ? CB(? ? ?1) 。求证： OC ? 10、已知 a，b 是两个非零向量，如果 a+3b⊥7a-5b，a-4b⊥7a-2b，则 a、b 的夹角。 【简答】(a+3b)(7a-5b)=7a2-15b2+16ab=0 (1) (a-4b)(7a-2b)= 7a2+8b2-30ab=0 (2) (2)-(1)得 23b2-46ab=0 ∴b2=2ab 代入(1)得 a2 =b2 ∴ cos ? a, b ??a ?b 1 ? ?? a, b ?? 60o 。 | a || b | 211、已知向量 a=(1,2)，b= (-3,2)。 （1）求 a+b 和 a-b； （2）k 为何值时，向量 ka+b 与 a-3b 垂直、平行？ 【简答】 （1）a+b=(-2,4)，a-b=(4,0)； （2）(ka+b)( a-3b)=(k-3,2k+2)(10,-4)=10k-30-8k-8=2k-38=0 ∴k=19； ∵ka+b//a-3b ∴(k-3,2k+2)//(10,-4)即 20k+20+4k-12=0 ∴ k ? ? (或∵ka+b//a-3b ∴-3k=1∴ k ? ?1 , 31 )。 312、已知向量 a=(6,2)，b= (-3,k)，当 k 为何值时： （1）a//b； （2）a⊥b； （3）a 与 b 的夹角是钝角？ 【简答】 （1）6k=-6 ∴k=-1； （2）2k-18=0 ∴k=9； （3）ab=2k-18&0 且 k≠-1 ∴k&9 且 k≠ -1。 13、已知| a | =1，| b | = 3 ，a+b= ( 3 ,1) ，试求： （1）| a-b |； （2）a+b 与的夹角。 【简答】(a+b)2= a2+b2+2ab =1+3+2ab=4 ∴ab =0 （1）| a-b |2= a2+b2-2ab=4 ∴| a-b |=2 （2）(a+b)(a-b)= a2-b2=-2=2×2cos&a+b,a-b& ∴&a+b,a-b&=120o 14、已知 A(6,1)，B(0,-7)，C(-2,-3)，试确定△ABC 的形状并求出面积。 【简答】 AC ? (?8,?4), BC ? (?2,4) ? AC ? BC ? 0 ? △ABC 为直角三角形；1 1 1 S?ABC ? | AC | ? | BC |? ? 4 5 ? 2 5 ? 20 （或 S?ABC ? | ?8 ? 4 ? (?4) ? (?2) |? 20 ） 。 2 2 2 15、已知坐标平面内 OA ? (1,5), OB ? (7,1), OM ? (1,2) ，P 是直线 OM 上一个动点，当PA ? PB 取最小值时，求 OP 的坐标，并求 cos ?APB 的值。 【简答】设 OP ? ( x,2 x)( x ? R) ，则 PA ? PB ? (1 ? x,5 ? 2 x) ? (7 ? x,1 ? 2 x)? x 2 ? 8x ? 7 ? 4 x 2 ? 12 x ? 5 ? 5x 2 ? 20 x ? 12 ? 5( x ? 2)2 ? 8 ，当 x=2 时 PA ? PB 取最小值-8，此时 OP ? (2,4) ， PA ? (1,?1), PB ? (?5,3)? cos ?APB ?PA ? PB ?8 4 17 ? ?? 。 17 2 ? 34 | PA | ? | PB |1 3 )。 （1）求证：a⊥b； （2）是否存在不等于 0 的实数 2 216、已知向量 a ? ( 3,?1), b ? ( ,k 和 t，使 x=a+(t2-3)b，y=-ka+tb 且 x⊥y？如果存在，试确定 k 与 t 的关系；如果不存在，请 说明理由。 【简答】 （1） a ? b ? ( 3,?1) ? ( ,1 3 3 3 )? ? ? 0； 2 2 2 2（2） x ? y ? ?k a ? t (t 2 ? 3)b ? [t ? k (t 2 ? 3)]a ? b ? ?2k ? t 3 ? 3t ? 0 ? k ? 17、求满足下列条件的实数 x,y 的值； （1）(x-3y)+(2x+3y)i=5+i； （2） ( x ? y) ? xyi ? ?2 ? 15i ； （3） ( x ? x ? 2) ? (2 y ? 5 y ? 2)i ? 0 ； （4）(x2-y2)+2xyi=6i-8；2 2221 3 3 t ? t。 2 2x y 5 ? ? 1 ? i 1 ? 2i 1 ? 3i ? x ? 3y ? 5 【简答】 （1） ? ? x ? 2, y ? ?1 ； ?2 x ? 3 y ? 1（5） （2） ?? x ? y ? ?2 ? x ? 3 ? x ? ?5 ； ?? 或? ? xy ? ?15 ? y ? ?5 ? y ? 3? x 2 ? x ? 2 ? 0 ? x ? ?1或x ? 2 ? x ? ?1 ? ? x?2 ? ? ? x ? ?1 ? x ? 21 1, ? （3） ? 2 ； ,? 或? 1?? 2 y ? 5 y ? 2 ? 0 ? y ? ?2或y ? ? y ? ?2 ? y ? ? ? y ? ?2 ? y ? ? ? ? 2 2 ? ? 2 ? 2 2 ? x ? y ? ?8 ? x ? 1 ? x ? ?1 ? x 2 ( x 2 ? 8) ? 9 ? x 4 ? 8 x 2 ? 9 ? 0 ? x 2 ? 1 ? ? 或? （4） ? ； y ? 3 y ? ? 3 2 xy ? 6 ? ? ? x(1 ? i) y(1 ? 2i) 5(1 ? 3i) （5） ? ? ? 5 x ? 2 y ? (5 x ? 4 y)i ? 5 ? 15i 2 5 10 ? 5x ? 2 y ? 5 ? x ? ?1 ?? ?? 。 ?5 x ? 4 y ? 15 ? y ? 518、设 M 是一个非空集合，f 是一种运算，如果对于集合 M 中任意两个元素 p，q，实施运 算 f 的结果仍是集合中的元素，那么就说集合 m 对于运算 f 是“封闭的”，已知集合M ? {x | x ? a ? b 2 , a, b ? Q} ，验证 M 对于加法、减法、乘法和除法（除数不为 0）运算是封闭的。 【简答】设 p ? a1 ? b1 2 , q ? a2 ? b2 2 , a1, b1, a2 , b2 ? Q ，则有p ? q ? (a1 ? a2 ) ? (b1 ? b2 ) 2 ? M , p ? q ? (a1 ? a2 ) ? (b1 ? b2 ) 2 ? Mp (a1a2 ? 2b1b2 ) ? (a2b1 ? a1b2 ) 2 ? ?M 。 2 2 q a2 ? 2b2 19、已知 z1 ? ?2 ? i, z1 z 2 ? ?5 ? 5i ，求 z1 ? z 2 。 ? 5 ? 5i ? 5(?1 ? i)(?2 ? i) 【简答】 z2 ? ? ? ?1 ? 3i ? z1 ? z2 ? ?3 ? 4i 。 ?2?i 5 1 3 2 3 2 20、设 z ? ? i，求证： （1） z ? ? z ； （2） z ? ?1 ； （3） z ? z ? 1 ? 0 2 2 pq ? (a1a2 ? 2b1b2 ) ? (a2b1 ? a1b2 ) 2 ? M ,【简答】 （1）1 3 3 1 3 1 3 1 3 ? ? i?? ? i, ? z ? ?( ? i) ? ? ? i ? z2 ? ?z ； 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 （2） z ? z ? z ? ? z ? z ? ?1 ； （3） z ? z ? 1 ? ? z ? z ? 1 ? ?1 ? 1 ? 0 。 z2 ?21、求下列各条件下的复数 z 及 z 的模 （1） z ? ?7 ? 24i ； （2） z ? (| z | ?1) ? 5i ； （3） ( z ? 2)i ? 1 ? i ；2（4） z1 ? 1 ? 2i, z 2 ? 3 ? 4i,1 1 1 ? ? 。 z z1 z 2【简答】 （1）设 z ? x ? yi ? z ? x ? y ? 2 xyi ? ?7 ? 24i ? ?2 2 2? x 2 ? y 2 ? ?7 ? 2 xy ? ?24? x ? ?3 ? x ? 3 ?? 或? ? z ? ?3 ? 4i或z ? 3 ? 4i, | z |? 5 ； ? y ? 4 ? y ? ?4（2）设 z ? x ? yi ? z ? x ? yi ? ( x ? y ? 1) ? 5i ? x ? 12, y ? ?5 ? z ? 12 ? 5i, | z |? 13 ；2 21? i ? 1 ? i ? z ? 3 ? i, | z |? 10 ； i 1 1 1 1 ? 2i 3 ? 4i 8 ? 6i 3 5 （4） ? ? ? ? ? ? z ? 2 ? i, | z |? 。 z 1 ? 2i 3 ? 4i 5 25 25 2 2 4 22、求证 x ? 4 ? ( x ? 1 ? i)( x ? 1 ? i)( x ? 1 ? i)( x ? 1 ? i) ，并由此写出在复数范围内-1 的 4（3） z ? 2 ? 个四次方根。 【简答】右边 ? [ x ? (1 ? i)]( x ? 1 ? i)[ x ? (1 ? i)]( x ? 1 ? i) ? [ x ? (1 ? i) ][ x ? (1 ? i) ]2 2 2 2? ( x 2 ? 2i)( x 2 ? 2i) ? x 4 ? 4 =左边；由上可得-1 的 4 个四次方根分别为2 2 2 2 2 2 2 2 ? i, ? i,? ? i ,? ? i。 2 2 2 2 2 2 2 223、已知在复平面内，顶点 M 与复数 m=1+2i 对应，动点 Z 与复数 z=x+yi 对应，那么满足 不等式|z-m|≤2 的点 Z 的集合是什么图形？ 【简答】以定点(1,2)为圆心半径为 2 的圆上及圆内的点。3 ，求 | z1 ? z 2 | 。 【简答】 | z1 ? z2 | ? z ? z ? 2 z1 z2 ? 1 ? 1 ? 2 z1 z2 ? 3 ? 2 z1 z2 ? ?1 ，24、已知 z1 , z 2 ? C, | z1 |?| z 2 |? 1, | z1 ? z 2 |?2 2 1 2 2 2 | z1 ? z2 |2 ? z12 ? z2 ? 2 z1z2 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ?| z1 ? z2 |? 1。数列与推理证明1、在等差数列{an}中， （1）已知 a3=31，a7=75，求 a1 和 d； （2）a1+a6=12，a4=7，求 a9。 【简答】 （1） ? （2） ?? a3 ? a1 ? 2d ? 31 ? a1 ? 9 ?? ； ?a7 ? a1 ? 6d ? 75 ?d ? 11?a1 ? a6 ? 2a1 ? 5d ? 12 ?a1 ? 1 ?? ? a9 ? 17 。 ?d ? 2 ? a4 ? a1 ? 3d ? 72、三个数成等差数列，它们的和是 15，它们平方和等于 83，求这三个数。 【简答】设此三个数分别为：a-d、a、a+d，则 a=5， 从而(5-d)2+52+(5+d)2=75+2d2=83，d=±2，此三个数分别为：3、5、7 或 7、5、3。3、已知两个数列 x,a1,a2,a3,y 与 x,b1,b2, y 都是等差数列，且 x≠y，求 【简答】设两个数列公差分别为 d1、d2，则 4d1=y-x，3d2=y-x， ∴ 4d1 ? 3d 2 ?a2 ? a1 的值。 b2 ? b1a2 ? a1 d1 3 ? ? b2 ? b1 d 2 44、 （1）若 an=m，am=n，则 am+n=_______； （2）若 Sn=m，Sm=n，则 Sm+n=_______； （3）若 Sn=Sm，则 Sm+n=_____； 【简答】 （1）an-am=(n-m)d=m-n ∴d=-1∴am+n=am+nd=n-n=0； （2）不妨设 n&m，则 Sn ? Sm ? am ?1 ? am ? 2 ? ? ? an ?1 ? an ?(am ?1 ? an )(n ? m) ?m?n 2 a ? an (m ? n)(a1 ? am ? n ) (m ? n)(am ?1 ? an ) ? m ?1 ? ?1 ? Sm ? n ? ? ? ?(m ? n) 。 2 2 2 (a ? an )(n ? m) （3）不妨设 n&m，则 Sn ? Sm ? am ?1 ? am ? 2 ? ? ? an ?1 ? an ? m ?1 ?0 2 a ? an (m ? n)(a1 ? am ? n ) (m ? n)(am ?1 ? an ) ? m ?1 ? 0 ? Sm ? n ? ? ? 0。 2 2 25、如图是一个三角形，分别连结这个三角形三边的中点，将原三角形剖分 4 个三角形，再 分别连结中间的小三角形三边的中点，又可将原三角形分成 7 个三角形，依此类推，第 n 个图中原三角形被剖分为 an 个三角形，最小三角形面积为 bn。（1）求数列{an}的通项公式； （2）第 100 个图中原三角形被剖分为多少个三角形？（3）若 原三角形面积为 1，求 bn。 【简答】 （1）an =1+3(n-1)=3n-2； （2）a100 =298； （3）第个图中最小三角形边长为原来的1 2n ?1，bn=1 4 n ?1。D D1C1C6、正方形 ABCD 的边长为 3，分别作边 AB、BC、CD、DA 上的三等分点 A1、B1、C1、D1，得正方形 A1B1C1D1，再分别 作边 A1B1、B1C1、C1D1、D1A1 上的三等分点 A2、B2、C2、 D2，得正方形 A2B2C2D2，如此继续下去…… （1）求 A1B1，A2B2，A3B3 的长； （2）求正方形 AnBnCnDn 的边长。 【简答】 （1） A1B1 ?B1 A A1 B22 ? 12 ? 5 ?5 5 5 AB ? A2 B2 ? A1B1 ? 3 3 35 5 A2 B2 ? 3 ? ( )3 ； 3 3 5 5 An ?1Bn ?1 ? 3 ? ( )n 。 （2） An Bn ? 3 3 ? A3 B3 ?7、1934 年，东印度学者（今孟加拉国）学者森德拉姆发现了 “正方形筛子”的奥妙在于：如果某个自然数 n 出现在表中， 那么 2n+1 肯定不是质数；如果 n 在表不出现，那 2n+1 肯定是 质数。 （1）这个“正方形筛子”的每一行有什么特点？每一列呢？ （2）“正方形筛子”中位于第 100 行的第 100 个数是多少？ 【简答】 （1）每一行都成等差数列且每一列也成等差数列； （2）对角线上的数通项满足：第 m 行 n 列为 a(m,n)=(n-1)(2m+1)+3m+1 ∴an=2n(n+1) ∴a100=2×100×101=20200。 8、在等差数列{an}中， （1）已知 S8=100，S16=392，求 S24； （2）已知 a1=20，an=54，Sn=999，求 d 及 n；4 7 10 13 16 …7 12 17 22 27 …10 17 24 31 38 …13 22 31 40 49 …16 27 38 49 60 …… … … … … …1 ，n=37，Sn=629，求 a1 及 an； 3 5 1 （4）已知 a1 ? , d ? ? , S n ? ?5 ，求 n 及 an ； 6 6 （5）已知 d ? 2 ，n=15，an=-10，求 a1 及 Sn 。（3）已知 d ? 【简答】 （1）∵S8，S16 CS8，S24 -S16 成等差数列，2(S16 CS8)= S8+S24 -S16∴S24=3(S16 CS8)=876；(a1 ? an )n 17 ? 37n ? 99 ? n ? 27 ? a27 ? a1 ? 26d ? 34 ? d ? ； 2 13 37 ? 36 1 （3） S37 ? 37a1 ? ? ? 629 ? a1 ? 11 ? a37 ? a1 ? 36d ? 23 ； 2 3 5 n(n ? 1) 1 5 （4） Sn ? n ? ? (? ) ? ?5 ? n ? 12, an ? a12 ? ? ； 6 2 6 3 (a ? an )n ? 48 ? 15 （5） a1 ? an ? (n ? 1)d ? ?10 ? 14 ? 2 ? ?38 ? Sn ? 1 ? ? ?600 。 2 2（2） Sn ? 9、已知等差数列的前 4 项和为 2，前 9 项和为-6，求它的前 n 项和。 【简答】 S4 ? 2 ? 2a1 ? 3d ? 1, S9 ? 9a5 ? ?6 ? a1 ? 4d ? ?Sn ? 4n ?7n(n ? 1) 7 31 ? ? n2 ? n 。 6 6 62 7 ? a1 ? 4, d ? ? 3 310、在等差数列{an}中， （1）已知 a4+a14= 1，求 S17； （2）已知 a11=20，求 S21； （3）S11=66，求 a6。17(a1 ? a17 ) 17(a4 ? a14 ) 17 ? ? ； 2 2 2 （2） S21 ? 21a11 ? 420 ； （3） S11 ? 11a6 ? 66 ? a6 ? 6 。【简答】 （1） S17 ?11、一个等差数列的前 12 项和为 354，前 12 项中，偶数项和与奇数项和之比为 32:27，求 公差 d。 【简答】设奇数项和为 27x，偶数项和为 32x，则 27x+32x=354，∴x=6S 偶 ? S奇 ?12 d ? 6d ? 32 x ? 27 x ? 30 ? d ? 5 。 212、时钟在 1 点钟的时候敲一下，在 2 点钟的时候敲 2 下，……在 12 点钟的时候敲 12 下， 中间每半点钟也敲一下，一昼夜内它一共敲多少下？ 【简答】第 n 个小时内敲的次数构成一个以 2 为首项以 1 为公差的等差数列，则前 12 小时 共敲 S12=(2+13)×12÷2=90，则一昼夜共敲 180 下。 13、等差数列{an}的公差是正数，且 a3a7 ? ?12, a4 ? a6 ? ?4 ，求前 n 项和。【简答】 a4 ? a6 ? ?4 ? a3 ? a7 又 a3a7 ? ?12, d ? 0 ? a3 ? ?6, a7 ? 2 ? d ? 2, a1 ? ?10Sn ? n2 ? 11n 。14、在等差数列{an}中， a1 ? ?3,11a5 ? 5a8 ，求前 n 项和 Sn 的最小值。 【简答】 11a5 ? 11(?3 ? 4d ) ? ?33 ? 44d ? 5a8 ? 5(?3 ? 7d ) ? ?15 ? 35d ? d ? 2Sn ? n2 ? 4n15、等差数列{an}的公差 d≠0，且 a1，a3，a9 成等比数列，求2 2 2 2 2a1 ? a3 ? a9 的值 a 2 ? a 4 ? a10【简答】 a3 ? a1a9 ? (a1 ? 2d ) ? a1 ? 4a1d ? 4d ? a1 ? 8a1d ? d ? 0 ? a1 ? d? an ? a1 ? (n ? 1)d ? na1 ?a1 ? a3 ? a9 a ? 3a1 ? 9a1 13 ? 1 ? 。 a2 ? a4 ? a10 2a1 ? 4a1 ? 10a1 1616、 （1）在等比数列{an}中，a1 最小，且 a1+an=66，a2an-1=128，前 n 项和为 126，则 n= A．5 B．6 C．7 D．8 （2）在等比数列{an}中，已知 q ?1 31 , S5 ? ? ，求 a1 和 an； 2 8（3）在等比数列{an}中，已知 a1+a2+a3=-3，a1a2a3=8，求 a4。 【简答】 （1） a2 an ?1 ? a1an ? 128 ，又 a1 最小， a1 ? an ? 66 ? a1 ? 2, an ? 64a1 ? an q 2 ? 64q ? ? 126 ? q ? 2 ? an ? a1q n ?1 ? 2 ? 2n ?1 ? 64 ? n ? 6 。 1? q 1? q 1 a1 (1 ? ) 5 a (1 ? q ) 32 ? 31a1 ? ? 31 ? a ? ?2, a ? a q n ?1 ? ?2 ? 1 ? ? 1 ； （2） S5 ? 1 ? 1 n 1 1 1? q 16 8 2n ?1 2n ? 2 1? 2 Sn ?（3）∵a1a2a3=8，∴a2=2，设公比为 q，则(a1+a2+a3)q=a2(1+q+q2)=2(1+q+q2)=-3q1 1 ? q ? ?2或q ? ? ? a4 ? 8或a4 ? 。 2 217、 设{an}是等比数列， 下列命题： ① {a n } 是等比数列， ② {a n ? a n ?1} 是等比数列， ③{21 } an是等比数列，④{lg|an|}是等差数列，⑤ {an ? an ?1 } 是等比数列。 其中正确的命题的个数是 A．2 B．3 C．4 D．5 【简答】①③④⑤正确，②是错误，反例： {an } 的公比为-1 时， an ? an ?1 ? 0 ，而等比数 列中无 0 项。 18、求和：Sn=1+2x+3x2+…+nxn-1。 【简答】 （1）当 x=0 时，Sn=1； （2）当 x=1 时，Sn=1+2+3+…+n=n(n ? 1) ； 2? Sn ? 1 ? 2 x ? 3x 2 ? ? ? nx n ?1 ? (1 ? x) Sn ? 1 ? x ? ? x n ?1 ? nx n （3） 当 x≠0 且 x≠1 时， ? 2 3 n ? xS n ? x ? 2 x ? 3x ? ? ? nx 1 ? xn nx n ? Sn ? ? 。 (1 ? x) 2 1 ? x19、在等差数列{an}中，前 m 项（m 为奇数）和为 77，其中偶数项之和为 33，且 a1-am=18， 求通项公式。 ? S奇 ? S偶 ? a中 ? 44 ? 33 ? 11? m ? 7 ， 【简答】 S奇 ? S偶 ? ma中 ? 77 ? S奇 ? 77 ? 33 ? 44， a1-am=-6d=18 ∴d=-3 ∴an=a3+(n-3)d=11+(n-3)×(-3)=-3n+20。20、第七届国际数学教育大会（ICME―7）的会徽图案，它是由一串 直角三角形演化而成的，其中 OA1 ? A1 A2 ? A2 A2 ? ? ? A7 A8 ? 1 ， 它可以形成近似的等角螺线。记 OA1 , OA2 ,?, OA8 的长度所组成 的数列为 {an }(n ? N *,1 ? n ? 8) 。 （1）写出数列{an}的通项公式； （2）如果把此直角三角形继续下去，那么 OA2008 的长为多少？ （3）令 bn ? A6A4 A5A3 A21 ，求{bn}的前 n 项和。 an ? an ?12 1 2 2A7OA1A8 【简答】 （1） a1 ? 1, a2 ? a ? 1 ? 2 , a3 ? a ? 1 ? 3,?, an ? n ； （2） a2008 ? （3） bn ?2008 ；1 1 ? ? n ?1 ? n an ? an ?1 n ? n ?1? Sn ? ( 2 ? 1) ? ( 3 ? 2 ) ? ? ? ( n ? 1 ? n ) ? n ? 1 ? 1 。21、求证： 3 ? 2 ?6? 5【简答】分子有理化：左边=1 1 ，右边= ，得证。 3? 2 6? 522、设 a,b 为互不相等的正数，且 a+b=1，分别用分析法、综合法证明： 【简答】分析法：要证 只要证b a ? ?2 a b1 1 a?b a?b ? ? 4 只要证 ? ?4 a b a b b a 2 ? ) ? 0 明显成立； 只要证 ( a b1 1 ? ? 4。 a b1 1 a?b a?b b a b a ? ? ? ? 2? ? ? 2?2 ? ? 4。 a b a b a b a b b?c?a c ?a ?b a ?b?c 23、设 a,b,c 为不全相等的正数，求证： ? ? ? 3。 a b c b c c a a b b a c a c b 证明： 原式 ? ? ? 1 ? ? ? 1 ? ? ? 1 ? ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? 3 ? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 3 。 a a b b c c a b a c b c综合法： 24、先解答（1） ，再通过结构类比解答（2） ： （1）求证： tan( x ??4)?1 ? tan x ； 1 ? tan x（2） 设 x∈R， a 为非零常数, f ( x ? a) ?1 ? f ( x) ， 试问 f(x)是周期函数吗？证明你的结论。 1 ? f ( x)? 1 ? tan x ； 1 ? tan x【简答】 （1） tan( x ??4)?tan?4? tan x1 ? tan?4tan x1 ? f ( x) 1 ? f ( x ? a) 1 1 ? f ( x) （2） f ( x ? 2a) ? ； ? ?? 1 ? f ( x ? a) 1 ? 1 ? f ( x) f ( x) 1 ? f ( x) 1 ? f ( x ? 4a ) ? ? ? f ( x ) ? T ? 4a 。 f ( x ? 2a ) 1?25、观察下列的算式，猜测由此表提供的一般法则，用适当的数学式子表示它。 1=1 3+5=8 7+9+11=27 13+15+17+19=64 21+23+25+27+29=125 …………………………… 【简答】 (n ? n ? 1) ? (n ? n ? 3) ? ? ? (n ? n ? 1) ? n 26、设 a,b 都是整数，且 a2+b2 能被 3 整除，求证：a 和 b 都能被 3 整除。 【简答】反证法：假设 a 和 b 不都能被 3 整除， （1）a 和 b 中一个能被 3 整除，另一个不能 被 3 整除，不妨设 a 能被 3 整除，b 不能被 3 整除，显然 a2 能被 3 整除，b2 不能被 3 整除 ∴a2+b2 不能被 3 整除矛盾； （2）a 和 b 都不能被 3 整除，设 a=3m±1,b=3n±1(m,n∈Z)， 则 a2+b2=9(m2+n2)±3(m±n)+2，∵9(m2+n2)±3(m±n)能被 3 整除，而 2 不能被 3 整除 ∴a2+b2 不能被 3 整除矛盾；综上所述 a 和 b 都能被 3 整除。2 2 2 3立体几何1、在两个相交平面内各画一条直线,使他们成为： （1）平行直线； （2）相交直线； （3）异面直线 【简答】 （1） （2） （3）2、指出下列命题是否正确，并说明理由： A （1）若 a//b，c⊥a，则 c⊥b； （2）若 a⊥c，b⊥c，则 a//b Q R 【简答】 （1）正确； （2）不正确（同类平行，异类垂直） 。 B 3、如图，设点 A 为投影中心，△ PQR 在平面 α 上的投影为△ CBD，若直线 QP 和 BC 的延长线交于点 M，直线 QR 和 BD 的延长线交于点 N，直线 PR P D N 和 DC 的延长线交于点 K，那么 M、N、K 三点具有怎样的位置关系？为什么？ C 【简答】M、N、K 三点共线，∵ PQ∩BC=M，∴M∈PQ，M∈BC， M ∴M∈面 PQR，M∈面 BCD，同理 N∈面 PQR、N∈面 BCD， K K∈面 PQR、K∈面 BCD，∴M 在平面 PQR 与平面 BCD 的交线上。 4、已知直线 l、m、n 与平面 α，指出下列命题是否正确，并说明理由 （1）若 l⊥α，则 l 与 α 相交； （2）若 m ? α，n ? α，l⊥m ，l⊥n，则 l⊥α； （3）若 l//m，m⊥α，n⊥α，则 l// n。 【简答】正确命题是（1） （3） ； （2）没有指明 m、n 相交。 C’ 5、判断下列命题是否正确，并说明理由 E （1）若 α⊥ ? ，β⊥ ? ，则 α//β； （2）若 α⊥β，β⊥ ? ，则 α⊥ ? ； A’ B’ （3）若 α//α1，β//β1，α⊥β，则 α1⊥β1 【简答】 （1） 、 （2）错，α 与 β 可以相交和平行，关系不能确定； （3）正确。 6、如图，在三棱柱 ABC-A’B’C’中，点 E，D 分别是 B’C’ 与 BC 的中点。 求证：平面 A’EB//平面 ADC’。 C 【简答】在三棱柱 ABC-A’B’C’中，∵点 E，D 分别是 B’C’ 与 BC 的中点， D ∴A’E//AD，C’E//BD 且 C’E=BD，BEC’D 为平行四边形，BE//C’D A B 从而 A’E//平面 ADC’，BE//平面 ADC’，∴平面 A’EB//平面 ADC’。 7、下列图形中，不是正方体的展开图是ABCD【简答】C 8、一几何体按比例绘制的三视图如图所示（单位：m） （1）试画出它的直观图； （2）求它的体积 1 【简答】 （1）如下图所示 1 1 1（2）体积 V ?(1 ? 2) ? 1 3 ?1 ? 。 2 29、若长方体三个面的面积分别是 2 ， 3 ， 6 ，则长方体的体积及对角线上两顶点间的 表面距离分别等于__________。?ab ? 2 ?a ? 2 ? ? 【简答】设长方体长、宽、高分别为 a、b、c， ? bc ? 3 ? V ? abc ? 6 ? ? b ? 1 ； ?ca ? 6 ?c ? 3 ? ? ?a ? 2 ? 2 2 ? b ? 1 ? d ? ( 2 ? 1) ? ( 3 ) ? 6 ? 2 2 。 ?c ? 3 ?10、指出下列命题是否正确，并说明理由： （1）矩形的平行投影一定是矩形； （2）梯形的平行投影一定是梯形； （3）两条相交直线的平行投影不可能平行； （4）平行四边形的平行投影可能是正方形； （5）正方形的平行投影一定是菱形。 【简答】 （1） （5）错，可能是平行四边形或一条线段； （2）错，可能是一条线段； （3）对； （4）对。 11、用长、宽分别是 3π 与 π 的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，试求圆柱底面的半径和体积。3 3 9 ? V ? ? ( )2 ? ? ? ? 2 ； 2 2 4 1 1 2 3 2 （2）π 为底面圆周长时， 2?r ? ? ? r ? ? V ? ? ( ) ? 3? ? ? 。 2 2 4【简答】两种情况： （1）3π 为底面圆周长时，2?r ? 3? ? r ? 12、如图，把长、宽分为 4，3 的长方形 ABCD 沿对角线 AC 折成直二面角，求顶点 B 和 D 之间的距离。 B B C A A D D C【简答】AC=5，过 B、D 分别作 BE⊥AC，DF⊥AC，则 BE=DF= EF=12 9 ，AE=CF= ， 5 5337 7 2 2 2 ，因为是直二面角， BD ? BE ? EF ? DF ? 。 5 513、设 P，A，B，C 是球 O 表面上的四个点，PA，PB，PC 两两垂直，且 PA=PB=PC=1，求球的体积和表面积。 【简答】还原成棱长为 1 的正方体，则球的半径为 3 ，4 V球 ? ? ( 3 )3 ? 4 3? , S球 ? 4? ( 3 )2 ? 12? 。 3B C A E D F C P B A ADO BC14、一个正三棱锥的高和底面边长都为 a，求它的侧棱和底面所成角的余弦值。 【简答】如图 AB=BC=CA=DO=a， 则 CO ?3 DO ? a ? tan ?DCO ? ? 3 ? ?DCO ? 。 3 CO 315、如图，正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E，F 分别是 AA1，D1C1 的中点，G 是正方形 BCC1B1 的中心，则空间四边形 AEFG 在该正方体的面上的正投影不可能是 D1 F C1 A1 E D A B1 G C A B C D C1 B1D1 B 【简答】B。 16、在正方体 ABCD―A1B1C1D1 中，E 为 DD1 的中点， A1 求证： （1）BD1//平面 EAC； （2）平面 EAC⊥平面 AB1C。 E 【简答】 （1）设 O 为 AC 中点，因 E 为 DD1 中点，所以 EO//BD1， 则 BD1//平面 EAC。 D （2）BD1 在底面 ABCD 内射影为 BD，在正方体 AC1 中 AC⊥BD， AC⊥DD1，∴AC⊥平面 BDD1，BD1⊥AC，同理 BD1⊥B1CC BO A ∴BD1⊥平面 AB1C，又∵EO//BD1，∴EO⊥平面 AB1C，∴平面 EAC⊥平面 AB1C。 17、在正三棱柱 ABC―A1B1C1 中，点 D 在边 BC 上，AD⊥C1D。 （1）求证：AD⊥平面 BC1； A1 （2）如果点 E 是 B1C1 的中点，求证：A1E//平面 ADC1； E B1 （3）设 AB=a，若 AD=DC1，求 C 到平面 ADC1 的距离。 【简答】 （1）在正三棱柱 ABC―A1B1C1 中，有 CC1⊥底面 ABC，则 CC1⊥AD，又 AD⊥C1D，∴AD⊥平面 BC1。 F （2）由（1）可知 AD⊥BC，∴D 为 BC 的中点，连结 ED 可得 A D BC1CEDAA1 为平行四边形，从而 A1E//AD ∴A1E//平面 ADC1。 （3）由上可知，平面 ADC1⊥平面 BC1，过 C 作 CF⊥C1D 于 F，则 CF⊥平面 ADC1，AD ?3 1 2 DC ? CC1 6 a ? DC1 , DC ? a ? CC1 ? DC12 ? DC 2 ? a ? CF ? ? a。 2 2 2 DC1 618、在正三棱锥P－ABC中，M、N分别是侧棱PB、PC的中点， 若截面AMN⊥侧面PBC，则此三棱锥的侧棱与底面所成的角的正切值是 A．3 2B． 2C．5 2D．6 3【简析】如图设 BC 中点为 D 连结 PD 交 MN 于 E，则 E 为 MN 中点， 则 AE⊥MN，又截面 AMN⊥侧面 PBC，则 AE⊥PD，设 AD=1，则 AP=AD=1， 作 PO⊥底面 ABC 于 O，则 PO ? 1 ? ( ) ?22 35 PO 5 。 ? tan ?PAO ? ? 3 AO 2A A1 B1 M C N C1P N M A O E C D BB 19、在棱长均为 4 正三棱柱 ABC-A1B1C1 中，M、N 分别是棱 BC、CC1 的中点。 （1）求证：BN⊥平面 AMB1； （2）求三棱锥 B-AB1N 的体积。 【简析】 （1）在正方形 BCC1B1 中，M、N 分别是棱 BC、CC1 的中点， 由平面几何知识可知 BN⊥B1M，在正三棱柱中有 AM⊥平面 BCC1B1， 从而 AM⊥BN，∴BN⊥平面 AMB1； （2） VB ? AB1 N ? VA ? BB1 N ?1 1 1 16 3 。 S?BB1 N ? AM ? ? ( ? 4 ? 4) ? 2 3 ? 3 3 2 3解析几何1、已知两点 A(1，-1)，B(3，3)，点 C(5，a)在直线 AB 上，求实数 a 的值。 【简答】 AB ? (2,4), AC ? (4, a ? 1) ? AB // AC ? 2(a ? 1) ? 16 ? a ? 7 2、已知菱形的两条对角线长分别为 8 和 6，试建立适当的 A 直角坐标系，求出菱形各边所在的直线方程。 【简答】设 AC=8，BD=6，如图建立直角坐标系， 则 A(-4,0)、B(0,-3)、C(4,0)、D(0,3) lAB： y D O B Cxx y x y ? ? 1 ? 3x ? 4 y ? 12 ? 0 ，lBC： ? ? 1 ? 3x ? 4 y ? 12 ? 0 ?4 ?3 4 ?3 x y x y lCD： ? ? 1 ? 3x ? 4 y ? 12 ? 0 ， lDA： ? ? 1 ? 3x ? 4 y ? 12 ? 0 。 4 3 ?4 33、直线 l 经过点(3，-1)，且与两条坐标轴围成一个等腰直角三角形，求直线 l 的方程。 【简答】直线 l 的斜率为 1 或-1，且不经过原点，y+1=x-3 或 y+1=-(x-3) 即 x-y-4=0 或 x+y-2=0。 4、设直线 l 的方程为 y-3=k(x+2)，当 k 取任意实数时，这样的直线应具有什么共同特点？ 【简答】过定点(-2,3)。 5、根据下列条件，求直线方程。 （1）斜率为-2，且过两条直线 3x-y+4=0 和 x+y-4=0 的交点； （2）过两条直线 x-2y+3=0 和 x+2y-9=0 的交点和原点； （3）过两条直线 2x-2y+10=0 和 3x+4y-2=0 的交点，且垂直于直线 3x-2y+4=0；（4）过两条直线 2x+y-8=0 和 x-2y+1=0 的交点，且平行于直线 4x-3y-7=0. 【简答】 （1）交点(0,4)，y=-2x+4 即 2x+y-4=0； （2）交点(3,3) 直线为 y=x 即 x-y=0； （3）方法一：交点 (?18 17 18 17 , ) 直线为 2( x ? ) ? 3( y ? ) ? 0 ? 14 x ? 21y ? 15 ? 0 7 7 7 7得a ? ?方法二：设直线方程式为 3x+4y-2+a(x-y+5)=0 即(a+3)x+(4-a)y+5a-2=0，则有 3(a+3)-2(4-a)=01 ，代入上式得 14x+21y-15=0； 5（4）交点(2,3)，直线为 4(x-2)-3(y-3)=0 即 4x-3y+1=0。 6、 （1）三条直线 ax+2y+8=0，4x+3y=10 和 2x-y=10 相交于一点，求 a 的值。 （2）若三条直线 x+y+1=0，2x-y+8=0 和 ax+3y-5=0 共有三个不相同的点，求 a 满足的条件。 【简答】 （1） ??4 x ? 3 y ? 10 ? 0 ? x ? 4, y ? ?2 代入 ax+2y+8=0 得 a=-1； ? 2 x ? y ? 10 ? 0（2）直线 ax+3y-5=0 与前两条直线不行也不交于同一点得：a≠3, a≠-6, a≠ 7、若两条直线 ax+2ay+1=0 和(a-1)x-(a+1)y-1=0 互相垂直，求垂足的坐标。 【简答】? a ? 0,? a(a ? 1) ? 2a(a ? 1) ? 0 ? a ? ?3 ， 两直线方程为 3x+6y-1=0 和 4x-2y+1=0，垂足为 (?1 。 32 7 , ) 15 308、若 A(7,8)，B(10,4)，C(2,-4)，求△ ABC 的面积。 【简答】 AB ? (3,?4), AC ? (?5,?12), S?ABC ?1 | (?4)(?5) ? 3(?12) |? 28 。 29、过点 P(3,0)作直线 l，且它被两条相交直线 2x-y-2=0 和 x+y+3=0 所截得的线段恰好被 P 点平分，求直线 l 的方程。 【简答】设 l 与两条直线交点分别为 A、B，设 A(a,2a-2)，则 B(6-a,2-2a)代入 x+y+3=0 得 a= a ?11 ? k AP ? 8 ? l : y ? 8( x ? 3) 即 8x-y-24=0。 310、已知光线通过点 A(2,3)，经直线 x+y+1=0 反射，其反射光线通过点 B(1,1)，求入射光线 和反射光线所在直线的方程。 【简答】A、B 关于直线 x+y+1=0 对称点 C(-4,-3)、D(-2,-2)，5 ( x ? 2) ? 5 x ? 4 y ? 2 ? 0 ； 4 4 反射光线为 BC： y ? 1 ? ( x ? 1) ? 4 x ? 5 y ? 1 ? 0 。 5入射光线为 AD： y ? 3 ? 11、在直线 x+2y=0 上求一点 P，使它到原点的距离与到直线 x+2y-3=0 的距离相等。 【简答】设 P(-2a,a)，则 5 | a |?| ?3 | 3 ?a?? 。 5 512、已知直线 l:y=3x+3，求： （1）直线 l 关于点 M(3,2)对称的直线的方程； （2）直线 x-y-2=0 关于 l 对称的直线的方程。 【简答】 （1）在 l 取一点(0,3)关于 M 对称点(3,1)，则直线为：y-1=3(x-3)得 3x-y-8=0； （2）交点 (? ,? ) 在 x-y-2=0 上取一点 A(2,0)，设 A 关于 l 对称点 B(m,n)k AB9 2 n 1 1 ? ? ? ? ? ? m ? 3n ? 2 ? 0 m?2 kl 35 2n m?2 ? 3? ? 3 ? 3m ? n ? 12 ? 0 2 2 17 9 9 63 5 解得 m ? ? , n ? ? l : y ? ? ? ( x ? ) ? 63x ? 11y ? 207 ? 0 。 5 5 2 11 2AB 中点 M 在 l 上： 13、已知 M(-1,3)，N(6,2)，点 P 在 x 轴上，且使 PM+PN 取最小值，求点 P 的坐标。 【简答】M 关于 x 轴对称点为 Q(-1,-3)，则 PM+PN 取最小值的 P 即为 QN 与 x 轴交点， QN 的方程为 y ? 2 ?5 ( x ? 6) 即 5x-7y-16=0。 72 214、给出代数式 ( x ? 1) ? 1 + ( x ? 3) ? 4 的几何意义，并探求它的最小值。 【简答】表示 x 轴上点(x,0)到(-1,1)与(3,-2)点距离之和，最小值为 5。 15、已知点 A(-4,-5)，B(6,1)，求以线段 AB 为直径的圆的方程。 【简答】(x+4)(x-6)+(y+5)(y-1)=0 即 x2+y2-2x+4y-29=0。 16、点 P 在直线 3x+y-5=0 上，且点 P 到直线 x-y-1=0 的距离等于 2 ，求点 P 的坐标。 【简答】设 P(a,5-3a)，则17、求圆 x2+y2+2x-2y+1=0 关于直线 x-y+3=0 对称的圆的方程。 【简答】(y-3)2+(x+3)2+2(y-3)-2(x+3)+1=0 ∴x2+y2+4x-4y+7=0。 18、若直线 ax+by=1 与圆 x2+y2=1 相交，则点与圆的位置关系是 A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．不能确定 【简答】 d ?7 1 3 11 | a ? 3a ? 5 | 7 3 ? 2 ? a ? 或a ? ， P( ,? )或P( , ) 。 4 4 4 4 4 4 21 a ?b2 2? 1 ? a 2 ? b 2 ? 1 ∴P(a,b)在圆外。19、已知圆 x2+y2=r2，直线 l：ax+by= r2. （1）当点 P(a,b)在圆 C 上时，直线 l 与圆 C 具有怎样的位置关系？ （2）当点 P(a,b)在圆 C 外时，直线 l 具有什么特点？ 【简答】 （1） d ? （2） d ?r2 a ?b2 2 2? r ? a 2 ? b 2 ? r 2 相切；r22a ?b? r ? a 2 ? b 2 ? r 2 相交。20、求直线 x+2y-3=0 被圆(x-2) 2+(y+1) 2=4 截得的弦 AB 的长。 【简答】 d ?| 2 ? 2(?1) ? 3 | 1 ?22 2?3 9 2 55 ? AB ? 2 4 ? ? 。 5 5 521、从圆(x-1) 2+(y-1) 2=1 外一点 P(2,3)向圆引切线，求切线长。 【简答】切线长 l ? 【简答】 | m ? 6 |?(2 ? 1)2 ? (3 ? 1)2 ? 1 ? 2 。 (?3)2 ? 42 ? m ? 6 ? 1 ? m ? 121。22、若圆 x2+y2=m 与圆 x2+y2+6x-8y-11=0 相交，求实数 m 的取值范围。 23、求半径为 13 ，且与直线 2x+3y-10=0 切于点 P(2,2)的圆的方程。 【简答】设过 P 与直线垂直 2x+3y-10=0 的直线方程为 3x-2y-2=0，设圆心为 C(2a,3a-1)，则 C 到 P(2,2)距离为 (2a ? 2) ? (3a ? 1 ? 2) ? 13 ? a ? 0或a ? 2 。2 224、已知一个圆经过直线 l：2x+y+4=0 与圆 C：x2+y2+2x-4y+1=0 的两个交点，并且有最小 面积，求此圆的方程. 【简答】设以直线与圆交点为直径的圆的方程为：x2+y2+2x-4y+1+a(2x+y+4)=0， 圆心 (?1 ? a,4?a 4?a 8 ) 在直线 l 上得 2(?1 ? a) ? ?4?0?a ? 。 2 2 525、 （1）求过圆 x2+y2=4 上一点 (1, 3 ) 的圆的切线方程； （2）求过原点且与圆(x-1)2+(y-2)2=1 相切的直线方程。 【简答】 （1） x ? 3 y ? 4 ? 0 ； （2）斜率不存在时，即 y 轴符合题意；斜率存在时，设切线为 kx-y=0，则|k ?2| k ?12?1? k ?3 。所以切线方程为：x=0 或 3x-4y=0。 426、 （1）已知 A(2，5，-6)，在 y 轴上求一点 P，使 PA=7。 （2）求点 P(4，-3，7)关于坐标平面 xOy 的对称点的坐标。 【简答】 （1）设 P(0,b,0)，则 PA ?22 ? (b ? 5)2 ? 62 ? 7 ? b ? 2或b ? 8P 点坐标为(0,2,0)或(0,8,0)； （2）对称点坐标为(4，-3，-7)。 27、 （1）如果 AC&0，BC&0，那么直线 Ax+By+C=0 不通过 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 （2）若直线 mx+ny-1=0 经过第一，三，四象限，求实数 m,n 满足的条件。 【简答】 （1）∵AC&0，BC&0 ∴A BC2 &0 ∴A B&0，直线化为 y ? ? （2） y ? ?A C x ? ，选 B； B Bm 1 m 1 x ? ? ? ? 0, ? 0 ? m ? 0, n ? 0 。 n n n n28、直线 l 过点 P(-5,-4)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为 5，求直线 l 的方程。 【简答】设 l 方程为 ax+by=1（a,b 表示直线在 x 轴、y 轴上截距的倒数） ，则-5a-4b=1，1 1 1 1 | |? 5 ? 10 | ab |? 1? 2 | b(4b ? 1) |? 1? b ? ? 或b ? 2 ab 2 4 x y 2x y 直线 l 的方程为： ? ? 1或 ? ? ? 1 即 2x-5y-10=0 或 8x-5y+20=0。 5 2 5 4 S?29、求与点 A(16,8)，B(4,0)，C(0,0)的距离都相等的点的坐标。 【简答】BC 的垂直平分线为 x=2，AC 的垂直平分线为 y ? 4 ? ?2( x ? 8) ， 把 x=2 代入得 y=16，点为(2,16)。 30、过点 P(1,2)作一直线 l，使直线 l 与点 M(2,3)和点 N(4,-5)的距离相等，求直线 l 的方程。 【简答】平行于 MN 时方程为：4x+y-6=0；过 MN 中点时方程为：3x+2y-7=0。 31、已知平面内两点 A(-4,1)，B(3,-1)，直线 y=kx+2 与线段 AB 恒有公共点，求实数 k 的取 值范围。 【简答】直线 y=kx+2 过定点 C(0,2)，则有 k AC ?3 3 , k BC ? ?1 ? k ? ?1或k ? 。 4 432、求证：无论 k 取任何实数，直线(1+4k)x-(2-3k)y+(2-14k)=0 必经过一个定点，并求出定 点的坐标。 【简答】令 k ? ?33、设集合 M={(x,y)|x2+y2≤4},N={(x,y)|(x-1) 2+(y-1) 2≤r2(r&0)}，当 M∩N=N 时，求实数 r 的取 值范围。 【简答】 2 ? 4 ? r ? r ? 4 ? 2 。 34、已知△ ABC 的一条内角平行线 CD 的方程为 2x+y-1=0，两个顶点为 A(1,2)，B(-1,-1)， 求第三个顶点 C 的坐标。 【简答】设 C(a,1-2a)，则 k AC ?1 2 代入得 y=2，令 k ? 代入得 x=2。 4 31 ? 2a 2 ? 2a k ? kCD k ? k BC , k BC ? ? AC ? CD 1? a 1? a 1 ? k AC kCD 1 ? kCDk BC1 ? 2a 2 ? 2a ?2 ?2? 1 ? a ? a ? ? 13 ? C (? 13 , 31) 。 ? 1? a ? 1 ? 2a 2 ? 2a 5 5 5 1? 2? 1? 2? 1? a 1? a35、若直线 y=x+b 与曲线 x ? 1 ? y 恰有一个公共点，求实数 b 的取值范围。2y 1 O -1 x【简答】 x ? 1 ? y 图象如图2|b| 当直线与半圆右下方相切时 ?1? b ? ? 2 ； 2当直线与半圆只有一个交点时-1&b≤1。36、在直角坐标系中，已知射线 OA：x-y=0(x≥0)，OB: 3x ? 3 y ? 0( x ? 0) ，过点 P(1,0) 作直线分别交射线 OA，OB 于 A，B 点。 （1）当 AB 中点为 P 时，求直线 AB 的方程； （2）当 AB 中点在直线 y=1 x 上时，求直线 AB 的方程。 2【 简 答 】（ 1 ） 设 A(a,a) ， 则 A 关 于 P 对 称 点 B(2-a,-a) 在 OB 上 有3 ?1 ? l AB : x ? 3 y ? 1 ? 0 ； 2 1 1 ? 3 1 （2）设 AB 方程为 y=kx+1，则 A( , ), B( , ) 1? k 1? k 3k ? 1 3k ? 1 3 (2 ? a) ? 3(?a) ? 0 ? a ??1 1 1 1 3 3? 3 ? ? ( ? )?k ? ? l AB : (3 ? 3 ) x ? 2 y ? 2 ? 0 。 1? k 2 3k ? 1 2 1 ? k 3k ? 137、已知圆 C：x2+y2-2x+4y-4=0，是否存在斜率为 1 的直线 l，使以 l 被圆 C 截得的弦 AB 为 直径的圆过原点？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，说明理由。 【简答】假设存在直线 l，设 l 方程为 x2+y2-2x+4y-4+λ(x-y+b)=0 过原点得：λb-4=0 ① 圆心 (2?? ? ?4 2?? ? ?4 , ) 在上可得： ? ?b ?0 2 2 2 2②联立①②解得：b=-4, λ=-1 或 b=1, λ=4，直线方程为 x-y-4=0 或 x-y+1=0。 38、 若 F1， F2 是椭圆 的周长。 【简答】16。x2 x2 + =1 的两个焦点， 过 F 1 作直线与椭圆交于 A， B 两点， 求△ ABF2 16 9x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，求 m 的取值范围。 | m | ?1 2 ? m 1 【简答】 2 ? m ?| m | ?1 ，当 m≤0 时，2&1 恒成立，当 m&0 时， m ? ， 2 1 m 的取值范围是 (??, ) 。 2 2 y2 x 40、已知椭圆方程 + =1，求椭圆分别满足下列条件时，k 的取值范围： 9 ? k k ?139、已知方程 （1）焦点在 x 轴上； （2）焦点在 y 轴上。 【简答】 （1） 9 ? k ? k ? 1 ? 0 ? 1 ? k ? 5 ； （2） 0 ? 9 ? k ? k ? 1 ? 5 ? k ? 9 。 41、椭圆短轴上的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形，求椭圆的离心率。b 10 。 ?c?e? 3 10 3 x2 y 2 42、若椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 过点(3,-2)，离心率为 ，求 a，b 的值。 a b 3 3 32 (?2)2 【简答】 e ? ? a ? 3c, b ? 2c ? 2 ? ? 1 ? c 2 ? 5 ? a ? 15 , b ? 10 。 3 3c 2c 2 x2 y2 43、已知点 M 与椭圆 2 + 2 =1 的左、右焦点的距离之比为 2：3，求点 M 的轨迹方程。 13 12【简答】 【简答】椭圆左右焦点分别为(-5，0)、(5，0)，设 M(x,y)，则有( x ? 5) 2 ? y 2 ( x ? 5) ? y2 2?2 ? 9( x 2 ? y 2 ? 10 x ? 25) ? 4( x 2 ? y 2 ? 10 x ? 25) 33 的椭圆。求这束光 2? x 2 ? y 2 ? 26 x ? 25 ? 0 。44、一广告气球被一束平行光线投射到水平面上，形成一个离心率为 线与水平面的入射角的大小。2c 3 ?e? ? ? ? 30o 。 2a 2 5 x2 y2 45、已知离心率为 的双曲线与椭圆 ? ? 1 的焦点都相同，求双曲线的方程。 40 15 3 c 5 5 【简答】椭圆焦点(-5,0)与(5,0)，双曲线中 ? ? ? a ? 3 ? b ? 4 a a 3 2 2 x y 双曲线方程为 ? ? 1。 9 16 x2 y2 ? ? 1 的焦点为 F1， 46、 已知双曲线 F2， 点 P 在双曲线上， 且∠F1PF2=90o， 求△F1PF2 64 36【简答】 cos ? ? 的面积。 【简答】 S?F1 PF2 ? b cot2?2? 36 cot 45o ? 36 。x y + =1 的焦点为顶点，而以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程。 8 5 【简答】椭圆焦点为 (? 3,0) 、 ( 3,0) ，顶点为 (?2 2 ,0) 、 (2 2 ,0) ，47、求以椭圆 双曲线中 a ? 3, c ? 2 2 ? b ? 5 ，双曲线方程为 48、求与双曲线22x2 y 2 ? ? 1。 3 5x2 y2 ? ? 1 有公共的渐近线，且经过点 A(-3，2 3 )的双曲线方程。 9 16 x2 y 2 4x2 y 2 1 ? ? ? ，将 A 代入得， ? ? ，方程为： ? ? 1。 【简答】设此双曲线方程为 9 16 4 9 4 y2 x2 y2 10 ? ? 1 与双曲线 x 2 ? ? 1 有相同的焦点，且交于点 ( , y ) ，求椭圆 49、若椭圆 b 10 m 3与双曲线的方程。【简答】焦点相同得 10 ? m ? 1 ? b ，椭圆中左焦半径： PF1 ? 10 ?10 ? m 10 ， ? 3 1010 ，解之得 m ? 1, b ? 8 3 x2 y2 椭圆方程为： ? y 2 ? 1 ，双曲线的方程为 x 2 ? ? 1。 10 8 x2 y2 x2 y2 50、椭圆 与 ? ?1 ? ? 1(k ? 25且k ? 9) 始终有 25 ? k 9 ? k 25 9双曲线中左焦半径： PF1 ? 1 ? 1 ? b ? A．相同的离心率 B．相同的焦距 C．相同的渐近线 D．相同的顶点 【简答】B． 51、已知抛物线的顶点是双曲线 16x2-9y2=144 的中心，而焦点是双曲线的左顶点，求抛物线 的方程。 【简答】双曲线左顶点为(-3，0)，则抛物线方程为 y2=-12x。 52、以椭圆A．y2=4x B．y2=-4x 或 x2=4y C．x2=4y D．y2=4x 或 y2=-4x 【简答】D． 53、若方程 2(k2-2)x2+k2y2+k2-k-6=0 表示椭圆，则 k 的取值范围是 A． (??,? 2 ) ? ( 2 ,??) B． (?2,? 2 ) ? ( 2 ,3)x2 ? y 2 ? 1 的对称中心为顶点，椭圆的焦点为焦点的抛物线的方程是 2C． (?2,? 2 ) ? ( 2 ,2) ? (2,3) D． (?2,3) 2 2 2 2 【简答】需满足：k -2&0，2(k -2)≠k ，k -k-6&0，解得 B． 54、已知对称轴为坐标轴的双曲线有一条渐近线的方程为 2x-y=0，则该双曲线的离心率为 A．5 或5 4B． 5 或5 2C． 3 或3 2D．5 或5 3【简答】B． 55、已知 α∈[0，π]，讨论方程 x2s