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此节视频是代数方面的课程，主要讲解了关于变量表达式的题目。首先是表达式的简化。然后是表达式的数值计算，最后是代数表达式的应用。
该视频介绍了运算法则的优先级别，以及如何根据运算法则解计算题，并介绍了含有变量的式子的解法。
该视频介绍了几个例题，教大家如何根据题目已知条件列方程，并解方程。
该视频通过4个大题和几个小题讲述了如何根据题意列等式或不等式，列出等式后解方程的过程。
该视频主要介绍函数。根据题意列函数式，及对于给定的函数如何求解它的定义域和值域。
这段视频一共讲了四道题。第一题是求点的坐标的问题；第二题是判断题目中的对应关系是否为函数关系的问题，用到了函数的定义；第三题是根据函数曲线图写出函数表达式的问题；第四题是判断题中所示图像是否表示函数关系的问题，也用到了函数的定义。
这段视频一共讲了四道题。第一题是一道应用题，根据题意设出未知数，列出方程，求解；第二题也是一道应用，需要算中间量；第三题是一道应用题，也要设出未知数，列出方程求解；第四题是和三角形有关的应用题，设出未知量，根据题意列出方程求解。
这段视频一共讲了三道题。第一题是一道应用题，根据题意列出两个方程，求解未知数；第二题是关于通过已知图形找规律的问题；第三题也是一道应用题，设出未知数，根据题意，列出方程解出未知数。
这段视频讲了五道题。第一题是求数轴上某点代表的整数的问题；第二题是根据阴影图求阴影部分代表的分数的问题；第三题是将有理数从小到大排列的问题；第四题是求某些数的相反数的问题；第五题是化简带绝对值得表达式的问题。
这段视频讲的是分数相加的问题，一共讲了两道大题。第一道大题有8道小题，只讲了其中4道，都是分数相加的问题。第二道大体是应用题，也是用分数相加来解决问题的。
这段视频讲了一些分数的减法的题目。一共讲了两道大题，第一大题有九道小题，只讲了其中的四道，都是分数的减法。第二道大题是小型的应用题，也用到了分数减法的知识。
这段视频讲了分数的乘法，一共讲了两道大题，第一大题有6个小题，时间关系只讲了其中4个，都是分数的乘法。第二大题是一道应用题，题干很长，需要仔细分析，最后运用分数的知识解决。
这段视频讲了分配律的应用。一共讲了两道大题，第一大题一共有6个小题，时间关系，只讲了分配律去掉括号其中3道，都是带括号的式子，需要应用分配律去掉括号。第二大题是分式中的分配律的应用，一共有5道题，只讲了其中3道。
这段视频主要讲了分数的除法，一共讲了三道大题。第一大题是求某数的倒数，一共有5个小题。第二大题是应用分数的除法求式子的值，一共有9道小题，只讲了5道。第三大题是一道应用题，根据题意列出式子，求解用到了分数的除法。
这段视频讲了平方根的求法。讲了一道大题，这道大题包含十道小题，都是求某数的平方根，视频中给出的方法是先将某数进行质因数分解再求其平方根。
本段视频讲述了3个应用题，第一题是关于速度问题的二元一次方程组，第二题是关于购物价格和数量的二元一次方程组，第三题是鸡兔同笼问题。
本段视频通过对六个例题的讲解，讲述了解方程的方法和原理，顺便还复习了一下小数的加减法。
本段视频讲述了5个稍难一点的解方程例题和一个解方程的应用题。
本段视频讲解了两个复杂一点的方程，又利用学过的解方程知识，列方程解决了一道应用题。
本段视频讲解了两个难度稍大的方程，又计算了一道解方程的应用题。
该视频介绍了比例问题，如何求解比例，及在应用题中比例的应用和计算。
该视频通过两个题介绍了比例尺，讲述了如何用比例尺间接测量实际物体的长度。
[第23课]百分数问题
该视频介绍了分数化为百分数，百分数化为真分数的一般做法，在这基础之上讲了几道相关的应用题。
本节课老师讲了几个应用题，在视频中老师详细地讲解了要如何利用题目中给出的信息来解题，相信会给不擅长做应用题的同学以很大的帮助。
本段视频先讲述了怎么在xy平面内根据坐标画点，然后讲述了怎么根据点找坐标，最后讲解了一个关于坐标和点的应用题。
本段视频讲述了怎么用x和y截距的方法画直线的问题，讲解了3个练习题和一个应用题。
本段视频首先讲述了怎么用取点的方法画一次方程的图像问题，然后讲解了关于一次方程图像的应用题，最后讲解了一个根据图像找点的问题。
本段视频通过讲述求解六条直线的斜率，详细讲述了斜率的几何定义和数学求解方法。
本段视频刚开始讲述了根据直线的图形求方程的问题，然后讲述了怎么画一次函数的图像问题。
本段视频讲述了两道应用题，都是根据题意列出方程，然后画出函数图像，根据图像求函数值的问题。
该视频介绍了函数的定义，什么是函数，如何判断哪些是函数，哪些不是函数，并解函数。给出一个图形，判断其是不是函数等。
本段视频讲述了两个关于直线图像的应用题。
本段视频讲述了六个根据条件求直线斜截式方程的问题。
本段视频讲述了4个直线点斜式方程的问题，并且讲述了直线的点斜式方程和斜截式方程相互转换的问题。
本段视频讲述了6个习题，前三个是讲述了什么是直线方程的标准形式，后三个讲述了标准形式、斜截式和点斜式的相互转化问题。
本段视频讲述了3个例题，前两个是根据点求直线斜率，然后判断直线关系的问题，最后一题是已知垂直条件求直线方程的问题。
本段视频讲述了一个用Excel解决线性回归并进行数据预测的问题。
本段视频用了5个应用题来讲述了怎样进行线性内插和线性延拓。
本段视频通过讲述一道有5个小题的应用题，对比了线性内插和求线性模型的区别。
本段视频讲述了4个不等式的求解和作图的问题，重点强调了大于号、小于号和大于等于、小于等于的区别。
本段视频讲解了4个不等式的求解问题，强调了不等式两边乘除负数，不等号反转这一定理；同时顺便讲述了几种解集的表达形式。
本段视频讲述了三个解不等式的题目，都包含了常数加减和系数乘除两方面运算。
本段视频主要讲述了3个同时有两个限制条件的不等式问题，前两个是“和”的问题，后一个是“或”的问题。
本段视频讲述了3个解绝对值方程的问题，并且画出了绝对值方程的函数图像。
本段视频通过讲解3个绝对值不等式的问题，总结出了解绝对值不等式的规则和方法，然后用这个方法解决了一个比较复杂的绝对值不等式问题。
这堂课讲的是：已知不等式或不等式组，通过画图求出解集，着重讲了有没有等号的区别。
这堂课讲的是通过在坐标轴上画出代表等式的直线，获得直线的交叉点，就是等式组的解。
本段视频通过两个例子讲解了如何用代数法求解方程组。
本段视频用两个例子讲解了如何用消除法解方程组。
本段视频讲解了通过一步相加或相减消除法不能实现消元的情况下，如何通过变换方程式从而用消除法得到一元一次方程的方法。
本段视频讲述了3个不同的方程组问题，分别是有唯一解，无解，有无穷多解的方程组，并且画图解释了为什么它们会有不同的解个数。
本段视频主要讲述了不等式组的解法，并且在坐标轴上把不等式组表达的面积画了出来。
本段视频通过对一系列问题的讲解，推导出了指数的性质，并且运用性质进行因式化简。
本段视频主要讲述了指数的除法性质，并且做了几个除法性质和其他性质混合的因式化简问题。
本段视频主要讲述了负指数和分数指数的性质，并且利用性质讲解了几个例题。
本段视频主要讲述了数字的科学计数法表示和用科学计数法表示的数字怎么化成普通数字的问题。
本段视频主要讲述了指数函数和指数爆炸，通过图像和应用题表达了指数函数中数字的增长速度非常快。
本段视频主要讲述了指数衰减函数的图像，然后做了一个关于指数衰减的应用题。
本段视频讲述了等比数列，并且讲解了一个关于等比数列的例题。
本段视频讲述了两个关于指数增长和指数衰减的应用题。
本段视频主要讲述了多项式的概念，多项式的阶，多项式的加减法和多项式的用法。
本段视频主要讲述了多项式的乘法。
在本视频中，老师讲了二项式乘法的两种主要类型，二项式的平方，以及二项式的平方差公式 在视频中老师详细地说明了各种类型的计算方法，以及注意事项，希望对你有所帮助。
本段视频主要讲述了多项式的因数分解和它的用处。
本段视频主要讲述了如何进行因式分解，包括二次项系数是1或-1两种情况。
本段视频主要讲述了几个解二次方程的问题。
本段视频主要讲述了对二次项系数不是1和-1的式子进行因式分解的方法，并且证明了这种方法的可行性。
本段视频主要讲述了怎么用因式分解的方法求抛物线的顶点坐标，和与x轴的交点坐标，然后画出函数图像的问题。
本段视频讲述了如何用计算器画出二次函数图像，然后根据图像观察函数性质。
本段视频介绍了一些能化成二项式平方等于常数平方的形式的方程，为下个视频讲配方做准备。
本段视频讲述了用配方法解二次方程，并且用例子说明了它能解决因式部分解决不了的问题。
本段视频告诉了二次公式，并且用几个例题讲述了它的使用方法。
本段视频讲述了用配方法推导出二次式公式的方法。
本段视频主要讲解了二次方程判别式和利用判别式判断方程解的形式的问题。
本段视频主要讲述了一个根据点来判断函数类型的问题。
本段视频讲述了为什么根据y变化量的变化量是常数可以判断函数是二次函数的问题。
本段视频讲述了为什么后一个数除以前一个数得到一个恒定数就能判断这个函数是指数函数的问题。
本段视频通过一个例题讲解了用计算器算一些点的二次函数回归曲线问题。
本段视频讲述了正反函数的关系和图像问题和函数的上下左右移动性质。
学校：可汗学院
讲师：Salman Khan
授课语言：英文
类型：数学 可汗学院 科技
课程简介：可汗学院的代数习题课程中，题目来自于ck12.org网站上精心挑选的题目，这是一个公开的习题集。老师分别对这些习题进行讲解，内容与可汗学院的代数课相对应，主要包含：表达式，线性方程，不等式，比率，绝对值，指数，多项式，函数，图像等内容的习题。如果观看者正在观看代数的课程，那么这个代数习题课就是一个很好的复习课，可以确保观看者理解了代数课程中的主要内容。对于那些已经掌握基础代数，并希望继续学习的观看者，也可以先看看本课程，检查一下是否会做本课程内的题目，再进行后续学习。视频由可汗学院免费提供，详见：（All Khan Academy materials are available for free at ）
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2013高中高考数学易错 易混 易忘题分类汇总(有详细解析)(新+全)
高中高考数学易错易混易忘题分类汇总及解析“会而不对，对而不全”一直以来成为制约学生数学成绩提高的重要因素，成为学生挥之不去的痛，如何 解决这个问题对决定学生的高考成败起着至关重要的作用。本文结合笔者的多年高三教学经验精心挑选学 生在考试中常见的 66 个易错、易混、易忘典型题目，这些问题也是高考中的热点和重点，做到力避偏、怪、 难，进行精彩剖析并配以近几年的高考试题作为相应练习，一方面让你明确这样的问题在高考中确实存在， 另一方面通过作针对性练习帮你识破命题者精心设计的陷阱，以达到授人以渔的目的，助你在高考中乘风 破浪，实现自已的理想报负。 【易错点 1】忽视空集是任何非空集合的子集导致思维不全面。 例1、 设A??x | x2? 8 x ? 15 ? 0? ， B ? ? x | ax ? 1 ? 0? ，若 A ? B ? B ，求实数 a 组成的集合的子集有多少个？ 【易错点分析】此题由条件 A ? B ? B 易知 B ? A ，由于空集是任何非空集合的子集，但在解题中极易 忽略这种特殊情况而造成求解满足条件的 a 值产生漏解现象。 解析：集合 A 化简得 A ? ? 3, 5? ，由 A ? B ? B 知 B ? A 故（Ⅰ）当 B ? ? 时，即方程 a x ? 1 ? 0 无 解，此时 a=0 符合已知条件（Ⅱ）当 B ? ? 时，即方程 a x ? 1 ? 0 的解为 3 或 5，代入得 a ?1 3或1 5。综上满足条件的 a 组成的集合为 ? 0,? ?1 1? 3 , ? ，故其子集共有 2 ? 8 个。 3 5?Ｂ时，要树立起分类讨论的数学思想，【知识点归类点拔】 （1）在应用条件 A∪B＝Ｂ ? A∩B＝Ａ ? Ａ 将集合Ａ是空集Φ的情况优先进行讨论．（2）在解答集合问题时，要注意集合的性质“确定性、无序性、互异性”特别是互异性对集合元素的限制。 有时需要进行检验求解的结果是满足集合中元素的这个性质，此外，解题过程中要注意集合语言（数学语 言）和自然语言之间的转化如： A ??? x , y ? | x22? y ? 4? ，2B??? x , y ? | ? x ? 3 ?2? ? y ? 4? ? r2? ，其中 r ? 0 ,若 A ? B ? ? 求 r 的取值范围。将集合所表达的数学语言向自然语言进行转化就是：集合 A 表示以原点为圆心以 2 的半径的圆，集合 B 表示以（3，4） 为圆心，以 r 为半径的圆，当两圆无公共点即两圆相离或内含时，求半径 r 的取值范围。思维马上就可利 用两圆的位置关系来解答。此外如不等式的解集等也要注意集合语言的应用。 【练 1】已知集合 A ? 则实数 a 的取值范围是?x | x2? 4 x ? 0? 、 B ? ? x | x ? 2 ? a ? 1 ? x ? a ? 1 ? 0? ，若 B ? A ，2 2。答案： a ? 1 或 a ? ? 1 。【易错点 2】求解函数值域或单调区间易忽视定义域优先的原则。 例 2、已知 ? x ? 2 ? ?2y2? 1 ,求 x ? y 的取值范围2 24【易错点分析】此题学生很容易只是利用消元的思路将问题转化为关于 x 的函数最值求解，但极易忽略 x、 y 满足 ? x ? 2 ? ?2y2? 1 这个条件中的两个变量的约束关系而造成定义域范围的扩大。41解析：由于 ? x ? 2 ? ?2y2? 1 得(x+2) =1-2y2≤1，∴-3≤x≤-1 从而 x +y =-3x -16x-12=222424+28 3因此当 x=-1 时 x +y 有最小值 1, 当 x=-28 3时， +y 有最大值 x2228 3。 x +y 的取值范围是[1, 故2228 3]【知识点归类点拔】事实上我们可以从解析几何的角度来理解条件 ? x ? 2 ? ?2y2? 1 对 x、y 的限制，4显然方程表示以（-2，0）为中心的椭圆，则易知-3≤x≤-1， ? 2 ? y ? 2 。此外本题还可通过三角换元 转化为三角最值求解。【练 2】 （05 高考重庆卷）若动点（x,y）在曲线 （）x2?y b2 24? 1 ? b ? 0 ? 上变化，则 x ? 2 y 的最大值为2? b2 ? b2 2 ? 4 ?0 ? b ? 4? ? 4 ?0 ? b ? 2? b ? ? （A） ? 4 （B） ? 4 （C） ? 4 （D） 2 b 4 ? 2b ? b ? 4 ? ? 2b ? b ? 2 ? ? ?答案：A 【易错点 3】求解函数的反函数易漏掉确定原函数的值域即反函数的定义域。例3、f ? x? ?a ?2 ?1x1? 2x是 R 上的奇函数， （1）求 a 的值（2）求的反函数 f?1? x?【易错点分析】求解已知函数的反函数时，易忽略求解反函数的定义域即原函数的值域而出错。 解析： （1）利用 f? x ? ? f ? ? x ? ? 0 （或 f ? 0 ? ? 0 ）求得 a=1.? x? ?2 ?1x（2）由 a ? 1 即 f2 ?1x x，设 y ? f? x ? ,则 2 x ?1 ? y ? ? 1 ?? ? ? 1,1 ? 所以 fy 由于 y ? 1 故 2 ?x1? y 1? y，1? yx ? log 21? y，而 f? x? ?2 ?1 2 ?1x? 1?2 2 ?1x?1? x ? ? log 2 1? x ? ? 1 ?1? xx ? 1?【知识点归类点拔】 （1）在求解函数的反函数时，一定要通过确定原函数的值域即反函数的定义域在反函 数的解析式后表明（若反函数的定义域为 R 可省略） 。 （2）应用 f?1( b ) ? a ? f ( a ) ? b 可省略求反函数的步骤，直接利用原函数求解但应注意其自变量和函数值要互换。 【练 3】（2004 全国理）函数 f A、 y ? x ? 2 x ? 2 ? x ? 1 ?2? x? ?x ? 1 ? 1 ? x ? 1 ? 的反函数是（）2B、 y ? x ? 2 x ? 2 ? x ? 1 ? D、 y ? x ? 2 x ? x ? 1 ?2C、 y ? x ? 2 x ? x ? 1 ?22答案：B 【易错点 4】求反函数与反函数值错位 例 4、 已知函数 f?x? ?1 ? 2x 1? x， 函数 y ? g ? x ? 的图像与 y ? f?1? x ? 1 ? 的图象关于直线 y? x对称，则 y ? g ? x ? 的解析式为（） A、 g ? x ? ?3 ? 2x xB、 g ? x ? ?2? x 1? xC、 g ? x ? ??11? x 2? xD、 g ? x ? ?3 2? x【易错点分析】解答本题时易由 y ? g ? x ? 与 y ? f? x ? 1 ? 互为反函数，而认为 y1 ? 2 ? x ? 1? 1 ? ? x ? 1??1? f?1? x ? 1? 的反函数是 y ? f? x ? 1? 则 y1 ? 2x 1? x? g ? x ? = f ? x ? 1? = ?1? x 2? x?3 ? 2x x而错选 A。解析：由 f?x? ?得 f?1?x? ?从而 y ? f? x ? 1? ?1 ? ? x ? 1? 2 ? ? ? 1??2?x 1? x再求y ? f?1? x ? 1 ? 的反函数得 g ? x ? ??12? x 1? x。正确答案：B【知识点分类点拔】函数 y ? f? x ? 1 ? 与函数 y? f ? x ? 1 ? 并不互为反函数，他只是表示 f?1? x?中 x 用 x-1 替代后的反函数值。 这是因为由求反函数的过程来看： y ? f 设? x ? 1? 则f?1? y? ?x ? 1，x? f?1y ? y ? ? 1 再将 x、 互换即得 y?1? f ? x ? 1 ? 的反函数为 y ? f?1故 ?x? ? 1 ， y? f x ? 1? 的 ?反函数不是 y ? f? x ? 1 ? ，因此在今后求解此题问题时一定要谨慎。-1 -1【练 4】 （2004 高考福建卷）已知函数 y=log2x 的反函数是 y=f (x)，则函数 y= f (1-x)的图象是（）答案：B 【易错点 5】判断函数的奇偶性忽视函数具有奇偶性的必要条件：定义域关于原点对称。 例5、 判断函数 f ( x ) ?lg ?1 ? x2?x?2 ?2的奇偶性。【易错点分析】此题常犯的错误是不考虑定义域，而按如下步骤求解： f ( ? x ) ?lg ?1 ? x2?x?2 ?2? f?x? 从3而得出函数 f? x ? 为非奇非偶函数的错误结论。?1 ? x 2 ? 0 ? 解析：由函数的解析式知 x 满足 ? 即函数的定义域为 ? ? 1, 0 ? ? ? 0,1 ? 定义域关于原点对称， ? x ? 2 ? ?2 ?在定义域下 f?x? ?lg ? 1 ? x ?x2?易证 f? ? x ? ? ? f ? x ? 即函数为奇函数。【知识点归类点拔】 （1）函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要但不充分条件，因此在判断 函数的奇偶性时一定要先研究函数的定义域。 （2）函数 f? x ? 具有奇偶性，则 f ? x ? ? f ? ? x ? 或f ? x ? ? ? f ? ? x ? 是对定义域内 x 的恒等式。常常利用这一点求解函数中字母参数的值。 【练 5】判断下列函数的奇偶性：① f?x? ?4?x ?2x ?4② f2? x ? ? ? x ? 1?1? x 1? x③ f?x? ?1 ? sin x ? co s x 1 ? sin x ? co s x答案：①既是奇函数又是偶函数②非奇非偶函数③非奇非偶函数 【易错点 6】易忘原函数和反函数的单调性和奇偶性的关系。从而导致解题过程繁锁。例6、函数 f? x ? ? log 2 2 x ?1 ? x ? ??2 x?2?1 2或x ?1? ? 的反函数为 f 2??1证明 ? x? ，f?1? x ? 是奇函数且在其定义域上是增函数。 【思维分析】可求 f 只需研究原函数 f?1? x ? 的表达式，再证明。若注意到f?1? x ? 与 f ? x ? 具有相同的单调性和奇偶性，? x ? 的单调性和奇偶性即可。?2 x ?1 2 x? 1 2 x? 1解析： f? ? x ? ? lo g 2 ? 2 x ? 12x ?1 2x ?1? lo g 2 2 x ? 1 ? ? lo g2 2 x ? 1 ? ? f2 2x ?1在 ? ?? , ?? x ? ，故 f ? x ? 为奇函数从而f?1? x? 为奇函数。 又令 t ?? 1?? ?1? ?1 ? t ? 和 ? , ?? ? 上均为增函数且 y ? lo g 2 为增函数， 2? ?2 ??1故 f? x ? 在 ? ?? , ???1? ?1 ? ? 和 ? , ?? ? 上分别为增函数。故 f 2? ?2 ?? x ? 分别在 ? 0, ?? ? 和 ? ?? , 0 ? 上分别为增函数。 【知识点归类点拔】对于反函数知识有如下重要结论： （1）定义域上的单调函数必有反函数。 （2）奇函数 的反函数也是奇函数且原函数和反函数具有相同的单调性。 （3）定义域为非单元素的偶函数不存在反函数。 （4）周期函数不存在反函数（5）原函数的定义域和值域和反函数的定义域和值域到换。即f?1(b ) ? a ? f ( a ) ? b 。【练 6】 （99 全国高考题）已知 f ( x ) ? （1）e ?ex?x，则如下结论正确的是（）24A、 f C、 f? x ? 是奇函数且为增函数 ? x ? 是偶函数且为增函数?1B、 f? x?是奇函数且为减函数D、 f? x ? 是偶函数且为减函数?1答案：A （2） （2005 天津卷） f 设2则使 ? x ? 是函数 f ? x ? ? ? a x ? a ? x ? ? a ? 1 ? 的反函数，1 2f? x ? ? 1 成立的 x 的D、 ( a , ?? )取值范围为（）A、 (a ?1 2a, ?? )B、 ( ? ? ,a ?12)C、 (?1a ?12, a)x ? f ?1 ? ?2a?12af答案：A （ a ? 1 时， f ? x ? 单调增函数，所以 f?x? ? 1 ?? f ? x ? ? ? f ?1 ? ?a ?12.）2a【易错点 7】证明或判断函数的单调性要从定义出发，注意步骤的规范性及树立定义域优先的原则。 例 7、试判断函数 f? x ? ? ax ? ? axb? 0, b ? 0 ? 的单调性并给出证明。【易错点分析】在解答题中证明或判断函数的单调性必须依据函数的性质解答。特别注意定义x1 ? D , x 2 ? D f? x1 ? ? f ? x 2 ? ? f ? x1 ? ? f ? x 2 ? ? 中的 x1 , x 2 的任意性。以及函数的单调区间必是函数定义域的子集，要树立定义域优先的意识。 解析：由于 f? ? x ? ? ? f ? x ? 即函数 f ? x ? 为奇函数，因此只需判断函数 f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上的单调性， f即 可 。 设 x1 ? x 2 ? 0? x1 ? ? f ? x 2 ? ? ? x1 ? x 2 ?ax1 x 2 ? b x1 x 2b由 于 x1 ? x 2 ? 0故当? x1 , x 2 ? ? ? ?函数 fb? ? , ? ? ? 时 f ? x1 ? ? f ? x 2 ? ? 0 ，此时函数 f ? x ? 在 ? ? ? a ? ? ? ?? , ? ? ? 上增函数，同理可证 ? a ? b ? , 0 ? 为减函数，在 a ? ?? x ? 在 ? 0, ?? b ? ? 上为减函数。又由于函数为奇函数，故函数在 ? ? ? a ? ? ? b ? ? ? 和? a ? ? ? ? b? ? ?? , ? ? ? ? ? 0, ? ?? b ? ? 为增函数。综上所述：函数 f ? x ? 在 ? ?? , ? ? ? a ? ? b ? , 0 ? 上分别为减函数. a ? ?? , ? ? ? 上分别为增函数，在 ? a ?b ? ? ? 和? ? a ? ? ? ?【知识归类点拔】 （1）函数的单调性广泛应用于比较大小、解不等式、求参数的范围、最值等问题中，应 引起足够重视。 （2）单调性的定义等价于如下形式： f? x ? 在 ? a , b ? 上是增函数 ?f? x1 ? ? f ? x 2 ?x1 ? x 2?0， f? x? 在? a , b ? 上是减函数 ?f? x1 ? ? f ? x 2 ?x1 ? x 2? 0 ，这表明增减性的几何意义：增（减）函数的图象上任意两5点 x1 , f （3） f?? x1 ? ? , ? x 2 , f ? x 2 ? ? 连线的斜率都大于（小于）零。b x ? 0, b ? 0 ? 是一种重要的函数模型，要引起重视并注意应用。但注意本题中不? x ? ? ax ? ? a能说 f? x ? 在 ? ?? , ? ???? b ? ? ? ? ? a ? ? ?b? ? 在 , ? ? ? 上为增函数， ? 0, ? ? a ? ?1? x ax? b ? ? ? ?? ? a ? ? ?b? , 0 ? 上为减函数,在叙 a ? ?述函数的单调区间时不能在多个单调区间之间添加符号“∪”和“或”， 【练 7】 （1） （潍坊市统考题） f? x? ?ax ?? a ? 0 ? （1）用单调性的定义判断函数 f ? x ? 在（2）设 f ? x ? 在 0 ? ? 0, ?? ? 上的单调性。x ? 1 的最小值为 g ? a ? ，求 y ? g ? a ? 的解析式。1 ? ? 2 ? ? a ? 1? ? 1? ?1 ? 答案： （1）函数在 ? , ? ? ? 为增函数在 ? 0, ? 为减函数。 （2） y ? g ? a ? ? ? a ? a? ?a ? ? a ? 0 ? a ? 1? ?（2） （2001 天津） a ? 0 且 f 设 上的单调性并给出证明。 答案： （1） a ? 1 （2）函数在 ? 0, ?? ? 上为增函数（证明略） 【易错点 8】在解题中误将必要条件作充分条件或将既不充分与不必要条件误作充要条件使用，导致错误 结论。 例 8、 （2004 全国高考卷）已知函数 f?x? ?ex?a exa为 R 上的偶函数。1） a 的值 试判断函数在 ? 0, ?? ? （ 求 （2）? x ? ? ax 3 ? 3 x 2 ? x ? 1 上是减函数，求 a 的取值范围。【易错点分析】 f ? ? x ? ? 0 x ? ? a , b ? 是 f 中易误作是充要条件，如 f??? x ? 在 ? a , b ? 内单调递减的充分不必要条件，在解题过程2 f ? ? x ? ? ?3x ? 0 。? x ? ? ? x 3 在 R 上递减，但2解 析 ： 求 函 数 的 导 数 f ? ? x? ? 3 a x ? 6 x? 1（ 1 ） 当 f ? ? x ? ? 0 时 ， f? x?是减函数，则2 f ? ? x? ? 3 a x ? 6 x? 1 ? 0 ??a ? 0 解 得 a ? ?3 。（ 2 ） 当 a ? ?3 时 ， x? ? R 故 ? ?? ? 031? 8 ? （3）当 a ? ? 3 时， f ? x ? ? ? 3 x ? 3 x ? x ? 1 ? ? 3 ? x ? ? ? 易知此时函数也在 R 上是减函数。 3? 9 ?3 2在 R 上存在一个区间在其上有 f ? ? x ? ? 0 ，所以当 a ? ? 3 时，函数 f 的取值范围是 ? ?? , ? 3 ? 。 【知识归类点拔】 若函数 f? x ? 不是减函数，综上，所求a其导数与函数的单调性的关系现以增函数为例来说明： f ?( x ) ? 0 ① ? x ? 可导，6与 f ( x ) 为增函数的关系: f ?( x ) ? 0 能推出 f ( x ) 为增函数，但反之不一定。如函数 f ( x ) ? x 在3( ?? , ?? ) 上 单 调 递 增 ， 但 f ?( x ) ? 0 ， ∴ f ?( x ) ? 0 是 f ( x ) 为 增 函 数 的 充 分 不 必 要 条 件 。 ② f ?( x ) ? 0 时， f ?( x ) ? 0 与 f ( x ) 为增函 数的关 系 :若 将 f ?( x ) ? 0 的根作 为分界 点，因 为规定 f ?( x ) ? 0 ，即抠去了分界点，此时 f ( x ) 为增函数，就一定有 f ?( x ) ? 0 。∴当 f ?( x ) ? 0 时，③ f ?( x ) ? 0 是 f ( x ) 为增函数的充分必要条件。 f ?( x ) ? 0 与 f ( x ) 为增函数的关系: f ( x ) 为增函数， 一定可以推出 f ?( x ) ? 0 ，但反之不一定，因为 f ?( x ) ? 0 ，即为 f ?( x ) ? 0 或 f ?( x ) ? 0 。当函数在 某个区间内恒有 f ?( x ) ? 0 ，则 f ( x ) 为常数，函数不具有单调性。∴ f ?( x ) ? 0 是 f ( x ) 为增函数的 必要不充分条件。函数的单调性是函数一条重要性质，也是高中阶段研究的重点，我们一定要把握好以上 三个关系，用导数判断好函数的单调性。因此新教材为解决单调区间的端点问题，都一律用开区间作为单 调区间，避免讨论以上问题，也简化了问题。但在实际应用中还会遇到端点的讨论问题，要谨慎处理。 因此本题在第一步后再对 a ? ? 3 和 a ? ? 3 进行了讨论， 确保其充要性。 在解题中误将必要条件作充分条 件或将既不充分与不必要条件误作充要条件使用而导致的错误还很多，这需要同学们在学习过程中注意思 维的严密性。 【练 8】 （2003 新课程）函数 y ? x ? bx ? c （1）2? x ? ? 0, ?? ? ? 是是单调函数的充要条件是（）A、 b ? 0 答案：AB、 b ? 0 C、 b ? 0 D、 b ? 0（2） 是否存在这样的 K 值， 使函数 f 上递增？ 答案： k ??x? ?k x ?2 42 3x ? kx ? 2 x ?3 21 2在 ?1, 2 ? 上递减， ? 2, ?? ? 在1 2。 （提示据题意结合函数的连续性知 f ? ? 2 ? ? 0 ，但 f ? ? 2 ? ? 0 是函数在 ?1, 2 ? 上递减，在 ? 2, ?? ? 上递增的必要条件，不一定是充分条件因此由 f ? ? 2 ? ? 0 求出 K 值后要检验。 ） 【易错点 9】应用重要不等式确定最值时，忽视应用的前提条件特别是易忘判断不等式取得等号时的变量 值是否在定义域限制范围之内。 例 9、 已知：a&0 , b&0 , a+b=1,求(a+1 a) +(b+21 b) 的最小值。2错解 :(a+ 值是 81 a) +(b+21 b) =a +b +2221 a2+1 b2+4≥2ab+2 ab+4≥4ab ?1 ab+4=8∴(a+1 a) +(b+21 b) 的最小2【易错点分析】 上面的解答中，两次用到了基本不等式 a +b ≥2ab，第一次等号成立的条件是 a=b= 二次等号成立的条件 ab=221 2,第1 ab，显然，这两个条件是不能同时成立的。因此，8 不是最小值。7解析：原式= a +b + =(1-2ab)(1+ ∴原式≥221 a 12 2+1 b2+4=( a +b )+(2212+12)+4=[(a+b) -2ab]+ [( 得：1-2ab≥1-21 a+1 b 1)-22 ab]+4a b1 22)+4 由 ab≤(a a?b 2)=2b 1 41 2=1 2,且2?17+4=25 2(当且仅当 a=b=1 2时，等号成立)∴(a+1 a) +(b+a b 1 2b22≥16，1+1 a b 2522 2≥17 。) 的最小值是【知识归类点拔】在应用重要不等式求解最值时，要注意它的三个前提条件缺一不可即“一正、二定、三 相等” ，在解题中容易忽略验证取提最值时的使等号成立的变量的值是否在其定义域限制范围内。 【练 9】 全国卷文 22 理 22） 乙两地相距 s km , 汽车从甲地匀速行驶到乙地， （97 甲、 速度不得超过 c km/h , 已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度 v（km/h）的平 方成正比，比例系数为固定部分为 a 元。 （1） （2） 把全程运输成本 y（元）表示为速度 v（km/h）的函数，并指出这个函数的定义域； 为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？答案为: （1） y ??bv vs2? a ? ? 0 ? v ? c ?（2） 使全程运输成本最小， 当a b≤c 时， 行驶速度 v=a b；当a b＞c 时，行驶速度 v=c。【易错点 10】在涉及指对型函数的单调性有关问题时，没有根据性质进行分类讨论的意识和易忽略对数函 数的真数的限制条件。 例 10、是否存在实数 a 使函数 f 明理由。 【易错点分析】本题主要考查对数函数的单调性及复合函数的单调性判断方法，在解题过程中易忽略对数 函数的真数大于零这个限制条件而导致 a 的范围扩大。 解析：函数 f? x ? ? log a ax2?x在 ? 2, 4 ? 上是增函数？若存在求出 a 的值，若不存在，说? x ? 是由 ? ? x ? ?ax ? x 和 y ? log a22? ?x?复合而成的，根据复合函数的单调性的判断方2法（1）当 a&1 时，若使 f? x ? ? log a ax?x在 ? 2, 4 ? 上是增函数，则 ? ? x ? ? ax ? x 在 ? 2, 4 ? 上是增函? 1 ? 2 ? ax 数且大于零。故有 ? 2 a 解得 a&1。 （2）当 a&1 时若使 f ? x ? ? log a ?? ? 2 ? ? 4 a ? 2 ? 0 ?2?x在 ? 2, 4 ? 上是增? 1 ? 4 ? 函数，则 ? ? x ? ? ax ? x 在 ? 2, 4 ? 上是减函数且大于零。 ? 2 a 不等式组无解。综上 ?? ? 4 ? ? 16 a ? 4 ? 0 ?2所述存在实数 a&1 使得函数 f? x ? ? log a ax2?x在 ? 2, 4 ? 上是增函数【知识归类点拔】要熟练掌握常用初等函数的单调性如：一次函数的单调性取决于一次项系数的符号，二 次函数的单调性决定于二次项系数的符号及对称轴的位置，指数函数、对数函数的单调性决定于其底数的 范围 （大于 1 还是小于 1） 特别在解决涉及指、 ， 对复合函数的单调性问题时要树立分类讨论的数学思想 （对 数型函数还要注意定义域的限制） 。 8【练 10】 （黄岗三月分统考变式题）设 a ? 0 ，且 a ? 1 试求函数 y ? lo g a 4 ? 3 x ? x 的的单调区 （1）2间。 答案：当 0 ? a ? 1 ，函数在 ? ? 1,? ?3? 3? ?3 ? ? a ? 1 函数在 ? ? 1, ? 上单调递减在 ? 2 , 4 ? 上单调递增当 ? 上单调 2? 2? ? ? ?递增在?3 ? ? 2 , 4 ? 上单调递减。 ? ?（2） （2005 高考天津）若函数 f ? x ? ? log a x ? ax3?? ? a ? 0, a ? 1? 在区间 ( ? 2 , 0 ) 内单调递增，则 a 的1 9 C、 ( , ?? ) 4D、 (1,取值范围是（）A、 [1 43,1)B、 [3 4,1)29 4)答案： （记 g ? x ? ? x ? ax ， g ' ? x ? ? 3 x ? a 当 a ? 1 时， B. 则 要使得 f ? x ? 是增函数， 则需有 g ' ? x ? ? 0 恒成立，所以 a ? 3 ? ?? ? 1? 3 ? ? .矛盾.排除 C、D 当 0 ? a ? 1 时，要使 f 2? 422? x ? 是函数，则需有 g ' ? x ? ? 0 恒成立，所以 a ? 3 ? ???1? 3 ? ? 2? 4.排除 A）【易错点 11】 用换元法解题时，易忽略换元前后的等价性． 例 11、已知 sin x ? sin y ?1 3求 sin y ? cos x 的最大值2【易错点分析】此题学生都能通过条件 sin x ? sin y ?1 3将问题转化为关于 sin x 的函数，进而利用换元的思想令 t ? sin x 将问题变为关于 t 的二次函数最值求解。但极易忽略换元前后变量的等价性而造成 错解， 解 析 ： 由 已 知 条 件 有 sin y ?1 3? sin x 且 sin y ?21 3? sin x ? ? ? 1,1 ? （ 结 合 sin x ? ? ? 1,1? ） 得?2 3? s i n x ? 1 ， 而 s i yn?cx o = s1 3? sin x? cos x2= ? sin2x ? sin x ?2 3令2? 2 2 ? 2 ? ? 2 t ? sin x ? ? ? t ? 1 ? 则 原 式 = t ? t ? ? ? ? t ? 1 ? 根 据 二 次 函 数 配 方 得 ： 当 t ? ? 即 3? 3 3 ? 3 ? ?sin x ? ? 2 3时，原式取得最大值4 9。【知识点归类点拔】“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，提高数学素质的核心就是提高 学生对数学思想方法的认识和运用，数学素质的综合体现就是“能力”，解数学题时，把某个式子看成一 个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和 设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标 准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的 变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的 形式，把复杂的计算和推证简化。 【练 11】 （高考变式题）设 a&0，000 求 f(x)＝2a(sinx＋cosx)－sinx?cosx－2a 的最大值和 （1）29最小值。答案：f(x)的最小值为－2a －22?1 2 ) ? (0 ? a ? 1 ?2 2 2 a－ ，最大值为 ? 2 1 ? 2 ? 2a ? 2 2a ? (a ? ? 2 ?2 2)（2）不等式 x &ax＋ 答案： a ?3 2的解集是(4,b)，则 a＝________，b＝_______。1 8, b ? 3 6 （提示令换元x ? t 原不等式变为关于 t 的一元二次不等式的解集为 2, b ）??【易错点 12】已知 S n 求 a n 时, 易忽略 n＝１的情况． 例 12、 （2005 高考北京卷）数列 ? a n ? 前 n 项和 s n 且 a1 ? 1, a n ? 1 ?1 3sn 。 （1）求 a 2 , a 3 , a 4 的值及数列? a n ? 的通项公式。【易错点分析】此题在应用 s n 与 a n 的关系时误认为 a n ? s n ? s n ?1 对于任意 n 值都成立，忽略了对 n=1 的情况的验证。易得出数列 ? a n ? 为等比数列的错误结论。 解 析 ： 易 求 得 a2 ?1 3, a3 ? 1 34 9, a4 ?16 27。 由 a1 ? 1, a n ? 1 ?1 3sn 得 an ?1 3s n ?1 ? n ? 2 ? 故a n ?1 ? a n ?1 3sn ?1 3s n ?1 ?a n ? n ? 2 ? 得 a n ?1 ?4 3a n ? n ? 2 ? 又 a1 ? 1 ，a 2 ?1 3故该数列从第?1 ? n ? 1 ? ? 二项开始为等比数列故 a n ? ? 1 4 n ? 2 。 ? ? ?n ? 2? ? ? ? ?3 ? 3 ?【知识点归类点拔】对于数列 a n 与 s n 之间有如下关系： a n ? ?? s1 ? n ? 1 ? ? ? s n ? s n ?1 ? n ? 2 ? ?利用两者之间的关系可以已知 s n 求 a n 。 但注意只有在当 a 1 适合 a n ? s n ? s n ?1 ? n ? 2 ? 时两者才可以合并否则要写分段函数 的形式。 【练 12】 （2004 全国理） 已知数列 ? a n ? 满足 a1 ? 1, a n ? a1 ? 2 a 2 ? 3 a 3 ? ? ? ? n ? 1 ? a n ?1 ? n ? 2 ? 则数列 ? a n ? 的通项为 。?1 ? n ? 1 ? ? 答案： （将条件右端视为数列 ? na n ? 的前 n-1 项和利用公式法解答即可） a n ? ? n ! ? ?n ? 2? ?2【易错点 13】利用函数知识求解数列的最大项及前 n 项和最大值时易忽略其定义域限制是正整数集或其子 集（从 1 开始） 10例 13、等差数列 ? a n ? 的首项 a1 ? 0 ，前 n 项和 s n ，当 l ? m 时， s m ? s l 。问 n 为何值时 s n 最大? 【易错点分析】等差数列的前 n 项和是关于 n 的二次函数，可将问题转化为求解关于 n 的二次函数的最大 值，但易忘记此二次函数的定义域为正整数集这个限制条件。解析：由题意知 s n = f?n? ?na1 ?n ? n ? 1? 2d ?dd ? ? 2 n ? ? a1 ? ? n 此函数是以 n 为变量的二次函 2 2? ?数，因为 a1 ? 0 ，当 l ? m 时， s m ? s l 故 d ? 0 即此二次函数开口向下，故由 f?l ? ?f ? m ? 得当x ?l?m 2时 f? x ? 取得最大值，但由于 n ? N ? ，故若 l ? m 为偶数，当 nl ? m ?1 2时 s n 最大。?l?m 2时， s n 最大。当 l ? m 为奇数时，当 n ?【知识点归类点拔】数列的通项公式及前 n 项和公式都可视为定义域为正整数集或其子集（从 1 开始）上 的函数，因此在解题过程中要树立函数思想及观点应用函数知识解决问题。特别的等差数列的前 n 项和公 式是关于 n 的二次函数且没有常数项， 反之满足形如 s n ? an ? bn 所对应的数列也必然是等差数列的前2n 项和。此时由sn? sn ? ? an ? b 知数列中的点 ? n , ? 是同一直线上，这也是一个很重要的结论。此外形如 n ? n ?n前 n 项和 s n ? ca? c 所对应的数列必为一等比数列的前 n 项和。【练 13】 （2001 全国高考题）设 ? a n ? 是等差数列， s n 是前 n 项和，且 s 5 ? s 6 ， s 6 ? s 7 ? s 8 ，则下列 结论错误的是（）A、 d ? 0 B、 a 7 ? 0 C、 s 9 ? s 5 D、 s 6 和 s 7 均为 s n 的最大值。 答案：C（提示利用二次函数的知识得等差数列前 n 项和关于 n 的二次函数的对称轴再结合单调性解答） 【易错点 14】解答数列问题时没有结合等差、等比数列的性质解答使解题思维受阻或解答过程繁琐。 例 14、已知关于的方程 x ? 3 x ? a ? 0 和 x ? 3 x ? b ? 0 的四个根组成首项为2 23 4的等差数列，求a ? b 的值。【思维分析】注意到两方程的两根之和相等这个隐含条件，结合等差数列的性质明确等差数列中的项是如 何排列的。 解析：不妨设23 4是方程 x ? 3 x ? a ? 0 的根，由于两方程的两根之和相等故由等差数列的性质知方程22而方程 x ? 3 x ? b ? 0 的两根是等差数列的中间两 x ? 3 x ? a ? 0 的另一根是此等差数列的第四项，项，根据等差数列知识易知此等差数列为：27 35 31 3 5 7 9 ,b ? 从而 a ? b = 。 , , 故a ? 16 16 8 4 4, 4 4【知识点归类点拔】等差数列和等比数列的性质是数列知识的一个重要方面，有解题中充分运用数列的性 质往往起到事半功倍的效果。例如对于等差数列 ?a n ? ，若 n ? m ? p ? q ，则 a n ? a m ? a p ? a q ；11对于等比数列 ?a n ? ，若 n ? m ? u ? v ，则 a n ? a m ? a u ? a v ；若数列 ?a n ? 是等比数列， S n 是其前 n 项的和， k ? N * ，那么 S k ， S 2 k ? S k ， S 3 k ? S 2 k 成等比数列；若数列 ?a n ? 是等差数列， S n 是其前 n 项的和， k ? N ，那么 S k ， S 2 k ? S k ， S 3 k ? S 2 k 成等差数列等性质要熟练和灵活应用。*【练 14】 （2003 全国理天津理）已知方程 x ? 2 x ? m ? 0 和 x ? 2 x ? n ? 0 的四个根组成一个首项2 2为1 4的等差数列，则 m ? n =（）A、1B、3 4C、1 2D、3 8答案：C 【易错点 15】用等比数列求和公式求和时，易忽略公比ｑ＝１的情况 例 15、数列 { a n } 中， a 1 ? 1 ， a 2 ? 2 ，数列 { a n ? a n ? 1 } 是公比为 q （ q ? 0 ）的等比数列。 （I）求使 a n a n ? 1 ? a n ? 1 a n ? 2 ? a n ? 2 a n ? 3 成立的 q 的取值范围； （II）求数列 { a n } 的前 2 n 项的和 S 2 n ． 【易错点分析】对于等比数列的前 n 项和易忽略公比 q=1 的特殊情况，造成概念性错误。再者学生没有从 定义出发研究条件数列 { a n ? a n ? 1 } 是公比为 q （ q ? 0 ）的等比数列得到数列奇数项和偶数项成等比数 列而找不到解题突破口。使思维受阻。 解： （I）∵数列 { a n ? a n ? 1 } 是公比为 q 的等比数列，∴ a n ? 1 a n ? 2 ? a n a n ? 1 q ， a n ? 2 a n ? 3 ? a n a n ? 1 q ，2由 a n a n ?1 ? a n ?1 a n ? 2 ? a n ? 2 a n ? 3 得 a n a n ?1 ? a n a n ?1 q ? a n a n ?1 q2? 1 ? q ? q ，即2q ? q ?1 ? 0（q ? 0 ） ，解得 0 ? q ?21? 25．（II） 由数列 { a n ? a n ? 1 } 是公比为 q 的等比数列， 得a n ?1 a n ? 2 a n a n ?1? q?a n?2 an? q， 这表明数列 { a n } 的所有奇数项成等比数列，所有偶数项成等比数列，且公比都是 q ，又 a 1 ? 1 ， a 2 ? 2 ，∴当 q ? 1 时，S 2 n ? a 1 ? a 2 ? a 3 ? a 4 ? ? ? a 2 n ?1 ? a 2 n? ( a1 ? a 2 ? a 3 ? ? ? a n ) ? ( a 2 ? a 4 ? a 6 ? ? ? a 2 n )?a 1 (1 ? q )n1? q?a 2 (1 ? q )n1? q?3 (1 ? q )n1? q，当 q ? 1 时，S 2 n ? a 1 ? a 2 ? a 3 ? a 4 ? ? ? a 2 n ?1 ? a 2 n? ( a1 ? a 2 ? a 3 ? ? ? a n ) ? ( a 2 ? a 4 ? a 6 ? ? ? a 2 n )12? (1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1) ? ( 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ) ? 3 n ．a n?2 an的形式值得关注。另外，不要以为奇数项、偶数项都成等比数列，且公比相等，就是整个数列成等比数列， 解题时要慎重， 写出数列的前几项进行观察就得出正确结论.对等比数列的求和一定要注意其公比为 1 这种 特殊情况。高考往往就是在这里人为的设计陷阱使考生产生对现而不全的错误。 【练 15】 （2005 高考全国卷一第一问）设等比数列 ? a n ? 的公比为 q，前 n 项和 s n ? 0 （1）求 q 的取值范 围。 答案： ? ? 1, 0 ? ? ? 0, ?? ? 【易错点 16】在数列求和中对求一等差数列与一等比数列的积构成的数列的前 n 项和不会采用错项相减法 或解答结果不到位。 例 16、（2003 北京理）已知数列 ? a n ? 是等差数列，且 a1 ? 2, a1 ? a 2 ? a 3 ? 12 ． （1）求数列 ? a n ? 的通项公式（2）令 bn ? a n xn【知识点归类点拔】本题中拆成的两个数列都是等比数列，其中? q 是解题的关键，这种给出数列? x ? R ? 求数列 ? bn ? 前项和的公式。【思维分析】本题根据条件确定数列 ? a n ? 的通项公式再由数列 ? bn ? 的通项公式分析可知数列 ? bn ? 是一 个等差数列和一个等比数列构成的“差比数列” ，可用错项相减的方法求和。 解析： （1）易求得 a n ? 2 n （2）由（1）得 b n ? 2 nx 令 s n ? 2 x ? 4 x ? 6 x ? ? ? 2 nx （Ⅰ）则n23nxs n ? 2 x ? 4 x ? ? ? 2 ? n ? 1 ? x ? 2 nx2 3 nn ?1（Ⅱ）用（Ⅰ）减去（Ⅱ） （注意错过一位再相减）得?1 ? x ? s n? 2 x ? 2 x ? 2 x ? ? ? 2 x ? 2nx2 3 nn ?1? x ?1 ? x n ? 当 x ? 1 sn ? 1? x ? 1? x ? 2?? nxn ?1? ?当 ? ?x ? 1 时 sn ? 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2 n ? n ? n ? 1?综上可得：? x ?1 ? x n ? 当 x ? 1 sn ? 1? x ? 1? x ? 2?? nxn ?1? ? 当 x ? 1 时 sn ? 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2 n ? n ? n ? 1? ? ?【知识点归类点拔】一般情况下对于数列 ? c n ? 有 c n ? a n b n 其中数列 ? a n ? 和 ? bn ? 分别为等差数列和等 比数列，则其前 n 项和可通过在原数列的每一项的基础上都乘上等比数列的公比再错过一项相减的方法来 求解，实际上课本上等比数列的求和公式就是这种情况的特例。 【练 16】 （2005 全国卷一理）已知un ? a ? ann ?1b?an?2b ? ? ? ab2n ?1?bn?n ? N?求数列 ? a n ? 的 , a ? 0, b ? 0 ? 当 a ? b 时，13前 n 项和 s n答案： a ? 1 时 s n ?? n ? 1? a n ? 2? ?n ? 2? an ?1? a ? 2a2?1 ? a ?2当 a ? 1 时 sn ?n ? n ? 3? 2.【易错点 17】不能根据数列的通项的特点寻找相应的求和方法，在应用裂项求和方法时对裂项后抵消项的 规律不清，导致多项或少项。 例 17、求 S n ?1 1?1 1? 2?1 1? 2 ? 3? ??1 1? 2 ? 3?? ? n．【易错点分析】本题解答时一方面若不从通项入手分析各项的特点就很难找到解题突破口，其次在裂项抵 消中间项的过程中，对消去哪些项剩余哪些项规律不清而导致解题失误。 解：由等差数列的前 n 项和公式得 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ?n ( n ? 1) 2，∴1 1? 2 ? 3?? ? n∴ S n ? 2 (1 ?1 2?2 n ( n ? 1)1 2 ? 1 3? 2(1 n?1 1 1 3 ?， ， ?， , ) ，n 取 1 ，2 ， ， 就分别得到 , 1 1? 2 1? 2 ? 3 n ?11) ? ? ? 2( 1 n ? 1 n ?1 )) ? 2() ? 2(1 3?1 4? 2 (1 ?1 n ?1)?2n n ?1．【知识归类点拔】 “裂项法”有两个特点，一是每个分式的分子相同；二是每项的分母都是两个数（也可三 个或更多）相乘，且这两个数的第一个数是前一项的第二个数，如果不具备这些特点，就要进行转化。同 是要明确消项的规律一般情况下剩余项是前后对称的。常见的变形题除本题外，还有其它形式，例如：求1 1 ?22?1 2 ?42?1 3 ?62?? ?1 n ? 2n2，方法还是抓通项，即1 n ? 2n2?1 n(n ? 2) 1 n ??1 1 1 ( ? ) ，问题会很容易解决。另外还有一些类似“裂项法”的题目， 2 n n?2如： a n ?n ?1，求其前 n 项和，可通过分母有理化的方法解决。数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。 【练 17】 （2005 济南统考）求和 S n ?2 ?122 ?12＋4 ?124 ?12＋6 ?126 ?12＋?＋(2n) ? 12(2n) ? 12．答案： S n ? 1 ?1 1?1 3?1?1 3?1 5?1?1 5?1 7? ?? 1?1 2n ? 1?1 2n ? 1＝n ?2n 2n ? 1．【易错点 18】易由特殊性代替一般性误将必要条件当做充分条件或充要条件使用，缺乏严谨的逻辑思维。 例 18、 （2004 年高考数学江苏卷，20）设无穷等差数列{an}的前 n 项和为 Sn. 3 (Ⅰ)若首项 a 1 ? ，公差 d ? 1 ，求满足 S 2 ? ( S k ) 2 的正整数 k； 2 k (Ⅱ)求所有的无穷等差数列{an}，使得对于一切正整数 k 都有 S 时极易根据条件“对于一切正整数 k 都有 S2k2? ( S k ) 成立.2【易错点分析】 本小题主要考查数列的基本知识， 以及运用数学知识分析和解决问题的能力.学生在解第(Ⅱ)k2? ( S k ) 成立”这句话将 k 取两个特殊值确定出等差数列的首项和公差，但没有认识到求解出的等差数列仅是对已知条件成立的必要条件，但不是条件成立 14的充分条件。还应进一步的由特殊到一般。 解： （I）当 a 1 ? 由S23 2, d ? 1 时 S n ? na 1 ?1 2nn ( n ? 1) 2d ?3 2n?1 4n ( n ? 1) 2?1 2n ?n2k2? (S k ) , 得k4?k2? (1 2k22 ? k ) ，即k (3k ? 1) ? 0 又 k ? 0 , 所以 k ? 4 .（II）设数列{an}的公差为 d，则在 S2? ( S n ) 中分别取 k=1,2,得2?S1 ? (S1 ) 2 ? , ? ?S 4 ? (S 2 ) 2 ?? a 1 ? a 12 , ? 即? 4?3 2 ?1 2 d ? ( 2 a1 ? d) ? 4 a1 ? 2 2 ?2（1） （2）由（1）得 a 1 ? 0 或 a 1 ? 1 . 当 a 1 ? 0时 , 代入 ( 2 ) 得d ? 0或 d ? 6 ,,2若 a 1 ? 0 , d ? 0 , 则 a n ? 0 , S n ? 0 , 从而 S k ? ( S k ) 成立 若 a 1 ? 0 , d ? 6 , 则 a n ? 6 ( n ? 1), 由 S 3 ? 18 , ( S 3 ) 数列不符合题意.当 a 1 ? 1时 , 代入 ( 2 ) 得2? 324 , S n ? 216 知 s 9 ? ( S 3 ) , 故所得24 ? 6 d ? ( 2 ? d ) , 解得 d ? 0 或 d ? 2若 a 1 ? 1, d ? 0 , 则 a n ? 1, S n ? n , 从而 S k 2 ? ( S k ) 2 成立 ; 若 a 1 ? 1, d ? 2 , 则 a n ? 2 n ? 1, S n ? 1 ? 3 ? ? ? ( 2 n ? 1) ? n 2 , 从而 S ? ( S n ) 2 成立 . 综上，共有 3 个满足条件的无穷等差数列： ①{an} : an=0，即 0，0，0，?；②{an} : an=1，即 1，1，1，?； ③{an} : an=2n－1，即 1，3，5，?， 【知识点归类点拔】事实上， “条件中使得对于一切正整数 k 都有 Sk2? ( S k ) 成立.”就等价于关于 k 的方2程的解是一切正整数又转化为关于 k 的方程的各项系数同时为零，于是本题也可采用这程等价转化的思想 解答，这样做就能避免因忽视充分性的检验而犯下的逻辑错误。在上述解法中一定要注意这种特殊与一般 的关系。 【练 18】 （2000 全国）已知数列 ? c n ? ,其中 c n ? 2 ? 3 ,且数列 ? c n ? 1 ? pc n ? 为等比数列.求常数 p （1）n n答案：p=2 或 p=3（提示可令 n=1,2,3 根据等比中项的性质建立关于 p 的方程，再说明 p 值对任意自然数 n 都成立） 【易错点 19】用判别式判定方程解的个数（或交点的个数）时，易忽略讨论二次项的系数是否为０．尤其 是直线与圆锥曲线相交时更易忽略. 例 19、已知双曲线 x ? y2 2? 4 ，直线 y ? k ? x ? 1 ? ，讨论直线与双曲线公共点的个数【易错点分析】讨论直线与曲线的位置关系，一般将直线与曲线的方程联立，组成方程组，方程组有几解， 则直线与曲线就有几个交点，但在消元后转化为关于 x 或 y 的方程后，易忽视对方程的种类进行讨论而 主观的误认为方程就是二次方程只利用判别式解答。 解析： 联立方程组 ?? y ? k ? x ? 1? ? ?x ? y ? 4 ?2 2消去 y 得到 1 ? k?2?x2当 ? 2 k x ? k ? 4 ? 0（1） 1 ? k2 22? 0 时，即 k ? ? 1 ，方程为关于 x 的一次方程，此时方程组只有解，即直线与双曲线只有一个交点。 （2）当?1 ? k 2 ? 0 2 3 ? 时即 k ? ? ，方程组只有一解，故直线与双曲线有一个交点（3）当 ? 2 3 ? ? 4 ? 4 ? 3k ? ? 0 ? ??1 ? k 2 ? 0 2 3 2 3 ? ? k ? 时，方程组有两个交点此时 ? 且 k ? ?1 。 （4）当 ? 2 3 3 ? ? 4 ? 4 ? 3k ? ? 0 ? ??1 ? k 2 ? 0 2 3 2 3 ? 时即 k ? 或k ? ? 时方程组无解此时直线与双曲线无交点。 ? 2 3 3 ? ? ? 4 ? 4 ? 3k ? ? 0 ?15综上知当 k ? ? 1 或 k ? ?2 3 3时直线与双曲线只有一个交点，当 ?2 3 3? k ?2 3 3且 k ? ? 1 。时直线与双曲线有两个交点，当 k ?2 3 3或k ? ?2 3 3时方程组无解此时直线与双曲线无交点。【知识点归类点拔】判断直线与双曲线的位置关系有两种方法：一种代数方法即判断方程组解的个数对应 于直线与双曲线的交点个数另一种方法借助于渐进线的性质利用数形结合的方法解答，并且这两种方法 的对应关系如下上题中的第一种情况对应于直线与双曲线的渐进线平行，此时叫做直线与双曲线相交但 只有一个公共点，通过这一点也说明直线与双曲线只有一个公共点是直线与双曲线相切的必要但不充分 条件。第二种情况对应于直线与双曲线相切。通过本题可以加深体会这种数与形的统一。【练 19】 （2005 重庆卷）已知椭圆 c 1 的方程为 （1）x24? y ? 1 ，双曲线 c 2 的左右焦点分别为 c 1 的左右2顶点，而 c 2 的左右顶点分别是 c 1 的左右焦点。 （1）求双曲线的方程（2）若直线 l : y ? kx ?2 与椭圆 c 1 及双曲线 c 2 恒有两个不同的交点，且与 c 2 的两个交点 A 和 B 满足 lOA ? OB ? 6 ，其中 O 为原??? ???? ?点， k 的取值范围。 求 答案： 1） （x2 23（2） ? 1, ? ? y ?1 ?? ? ?13 ? ?? 15 ? ?? 3 1? ?1 3? ,? ? ? ? , ?? ?? ? 3 2? ?2 3 ? ? ? ? ?2? ? ? ?? ,1 ? 15 ? ? 13（2）已知双曲线C： ，过点P（1，1）作直线l, 使l与C有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l共有 ____条。答案：4条（可知kl存在时，令l: y-1=k(x-1)代入 x2 22?y? 1 中整理有(4-k2)x2+2k(k-1)x-4(1-k )-4=0,∴ 当4-k =0即k=±2时，有一个公共点；当k≠±2时，由Δ =0有 k ? 不存在时，x=1也和曲线C有一个切点∴综上，共有4条满足条件的直线） 【易错点 20】易遗忘关于 sin ? 和 c o s ? 齐次式的处理方法。 例 20、已知 tan ? ?5 2，有一个切点另：当kl2 ，求（1）cos ? ? sin ? cos ? ? sin ?2； （2） sin222 ? ? sin ? . cos ? ? 2 cos ? 的值.【思维分析】将式子转化为正切如利用 1 ? sin ? ? cos ? 可将（2）式分子分母除去 sin ? 即可。解： （1）cos ? ? sin ? cos ? ? sin ?1? ?sin ? 2 221 ? tan ? 1? cos ? ? ? sin ? 1 ? tan ? 1? 1? cos ?2 2 2? ?3 ? 2 2 ；(2)sin ? ? sin ? cos ? ? 2 cos ? ?2sin ? ? sin ? cos ? ? 2 cos ? sin ? ? cos ?2sin ?2 2? cos ? 2 cos ? sin ? ?1 2 cos ??sin ??2 ?2?2?2 2 ?1?4? 32.【知识点归类点拔】利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到） ，进行弦、切互化，就 会使解题过程简化。 (1 ? sin ? ? cos ? ? sec ? ? tan ? ? tan ? cot ?2 2 2 216这些统称为 1 的代换) 常数 “1”的种种代换有着广泛的应用． 【练 20】（2004 年湖北卷理科） ． 已知 6 sin2? ? sin ? cos ? ? 2 cos ? ? 0 , ? ? [2?2, ? ], 求 sin( 2? ??3) 的值.tan ? ?答案： ?6 13?5 3 26（原式可化为 6 tan ? ? tan ?2? ? ? ? 2 ? 0 ， sin ? 2? ? ? ? 3? ??1 ? tan ? ? 2 ） 2 1 ? tan ?23【易错点 21】解答数列应用题，审题不严易将有关数列的第 n 项与数列的前 n 项和混淆导致错误解答。 例 21、如果能将一张厚度为 0.05mm 的报纸对拆,再对拆....对拆 50 次后,报纸的厚度是多少?你相信这时 报纸的厚度可以在地球和月球之间建一座桥吗?(已知地球与月球的距离约为 4 ? 10 米)8【易错点分析】 对拆 50 次后,报纸的厚度应理解一等比数列的第 n 项,易误理解为是比等比数列的前 n 项和。解析：对拆一次厚度增加为原来的一倍，设每次对拆厚度构成数列 a n ，则数列 a n 是以 a 1 = 0.05 ? 10 米3为首项，公比为 2 的等比数列。从而对拆 50 次后纸的厚度是此等比数列的第 51 项，利用等比数列的通项 公式易得 a51=0.05?10 ?2 =5.63?10 ,而地球和月球间的距离为 4?10-3 50 108&5.63?1010 故可建一座桥。 【知识点归类点拔】 以数列为数学模型的应用题曾是高考考查的热点内容之一，其中有很多问题都是涉及 到等差或者等比数列的前 n 项和或第 n 项的问题，在审题过程中一定要将两者区分开来。 【练 21】 （2001 全国高考）从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅 游产业，根据规划，本年度投入 800 万元，以后每年投入将比上年减少1 5，本年度当地旅游业收入估计为400 万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加1 4.(1)设 n 年内(本年度为第一年)总投入为 an 万元，旅游业总收入为 bn 万元，写出 an,bn 的表达式； (2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入（1）an=800+800?(1－1 5)+?+800?(1－1 5n)n－1=?n800?(1－1 5)k－1=4000?［1－(4 5)］nk ?1bn=400+400?(1+1 4)+?+400?(1+1 4)k 1=－?400?(5 4)k 1=1600?［(－5 4)n－1］k ?1（2）至少经过 5 年，旅游业的总收入才能超过总投入 【易错点 22】单位圆中的三角函数线在解题中一方面学生易对此知识遗忘，应用意识不强，另一方面易将 角的三角函数值所对应的三角函数线与线段的长度二者等同起来，产生概念性的错误。 例 21、下列命题正确的是（）17A、 ? 、 ? 都是第二象限角，若 sin ? ? sin ? ，则 tan ? ? tan ? B、 ? 、 ? 都是第三象限角，若cos ? ? cos ? ，则 sin ? ? sin ? C、 ? 、 ? 都是第四象限角，若 sin ? ? sin ? ，则 tan ? ? tan ? D、 ? 、 ? 都是第一象限角，若 cos ? ? cos ? ，则 sin ? ? sin ? 。【易错点分析】学生在解答此题时易出现如下错误：（1）将象限角简单理解为锐角或钝角或 270 到 360 度 之间的角。（2）思维转向利用三角函数的单调性，没有应用三角函数线比较两角三角函数值大小的意识 而使思维受阻。 解析：A、由三角函数易知此时角 ? 的正切线的数量比角 ? 的正切线的数量要小即 tan ? ? tan ? B、同 理可知 sin ? ? sin ? C、知满足条件的角 ? 的正切线的数量比角 ? 的正切线的数量要大即tan ? ? tan ? 。正确。D、同理可知应为 sin ? ? sin ? 。【知识点归类点拔】单位圆的三角函数线将抽象的角的三角函数值同直观的有向线段的数量对应起来，体 现了数形结合的数学思想，要注意一点的就是角的三角函数值是有向线段的数量而不是长度。三角函数 线在解三角不等式、比较角的同名函数值的大小、三角关系式的证明都有着广泛的应用并且在这些方面 有着一定的优越性。 例如利用三角函数线易知 ? ? ? 0,? ?? ?? , sin ? ? ? ? tan ? ，sin ? ? cos ? ? 1 2?等。 【练 22】（2000 全国高考）已知 sin ? ? sin ? ，那么下列命题正确的是（） A、 若 ? ? 、都是第一象限角，则 cos ? ? cos ? B、若 ? ? 、都是第二象限角，则 tan ? ? tan ? B、 若 ? ? 、都是第三象限角，则 cos ? ? cos ? D、若 ? ? 、都是第四象限角，则 tan ? ? tan ? 答案：D 【易错点 23】在利用三角函数的图象变换中的周期变换和相位变换解题时。易将 ? 和 ? 求错。例 23．要得到函数 y ? sin ? 2 x ?? ?? ?1 ? 的图象，只需将函数 y ? sin x 的图象（） 2 3?A、 先将每个 x 值扩大到原来的 4 倍，y 值不变，再向右平移 B、 先将每个 x 值缩小到原来的?3个单位。 个单位。1 4倍，y 值不变，再向左平移?3C、 先把每个 x 值扩大到原来的 4 倍，y 值不变，再向左平移个 D、 先把每个 x 值缩小到原来的?6单位。1 4倍，y 值不变，再向右平移?6个单位。18【易错点分析】 y ? sin1 2x 变换成 y ? sin 2 x 是把每个 x 值缩小到原来的1 4倍，有的同学误认为是扩大到原来的倍，这样就误选 A 或 C，再把 y ? sin 2 x 平移到 y ? sin ? 2 x ?? ?? ?? 有的同学平移方向错了， 3?有的同学平移的单位误认为是?3。解析：由 y ? sin1? ? ? x 变形为 y ? sin ? 2 x ? ? 常见有两种变换方式，一种先进行周期变换，即将 2 3? ?1 4倍得到函数 y ? 2 sin 2 x 的图象，y ? sin1 2x 的图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的再将函数 y ? 2 sin 2 x 的图象纵坐标不变，横坐标向右平移?6单位。即得函数 y ? sin ? 2 x ?? ?? ??。 3?或者先进行相位变换，即将 y ? sin1 2x 的图象上各点的纵坐标不变，横坐标向右平移2? 3个单位，得到函数 y ? sin1? 2? ? ? ? ?1 ?x? ? ? sin ? x ? ? 的图象，再将其横坐标变为原来的 4 倍即得即得函数 2? 3 ? 3? ?2? ? ? y ? sin ? 2 x ? ? 的图象。 3? ?【知识点归类点拔】利用图角变换作图是作出函数图象的一种重要的方法，一般地由 y ? sin x 得到y ? A sin ? w x ? ? ? 的图象有如下两种思路：一先进行振幅变换即由 y ? sin x 横坐标不变，纵坐标变为原来的 A 倍得到 y ? A sin x ， 再进行周期变换即由 y ? A sin x 纵坐标不变， 横坐标变为原来的1?倍，得到 y ? A sin wx ，再进行相位变换即由 y ? A sin wx 横坐标向左（右）平移? ?个单位，即得 y ? A sin ? ? x ?? ?? ? ? ?? ? A sin ? ? x ? ? ? ，另种就是先进行了振幅变换后，再进行相位变换即由y ? A sin x 向左（右）平移 ? 个单位，即得到函数 y ? A sin ? x ? ? ? 的图象，再将其横坐标变为原来的1?倍即得 y ? A sin ? w x ? ? ? 。 不论哪一种变换都要注意一点就是不论哪一种变换都是对纯粹的变量 x 来说的。 【练 23】（2005 全国卷天津卷）要得到的图象，只需将函数的图象上所有的点的19A、 横坐标缩短为原来的1 2倍（纵坐标不变），再向左平移 ? 个单位长度。B、横坐标缩短为原来的1 2倍（纵坐标不变），再向左平移 ? 个单位长度。C、横坐标伸长为原来的 2 倍（纵坐标不变），再向左 平移 ? 个单位长度。D、横坐标伸长为原来的 2 倍（纵坐标不变），再向右平移 ? 个单位长度。 答案：C 【易错点 24】没有挖掘题目中的确隐含条件，忽视对角的范围的限制而造成增解现象。 例 24、已知 ? ? ? 0, ?? ， sin ?? co s ? ?7 13求 tan ? 的值。【易错点分析】本题可依据条件 sin ? ? co s ? ?7 13，利用 sin ? ? cos ? ? ? 1 ? 2 sin ? cos ? 可解得 sin ? ? co s ? 的值，再通过解方程组的方法即可解得 sin ? 、 cos ? 的值。但在解题过程中易忽视sin ? co s ? ? 0 这个隐含条件来确定角 ? 范围，主观认为 sin ? ? co s ? 的值可正可负从而造成增解。解析：据已知 sin ? ? co s ? ?7 13（1）有 2 sin ? co s ? ? ?120 169? 0 ，又由于 ? ? ? 0, ? ? ，故有 1 ? 2 sin ? co s ? ? 17 13（2）sin ? ? 0, cos ? ? 0 ，从而 sin ? ? co s ? ? 0 即 sin ? ? co s ? ?联立（1）（2）可得 sin ? ?12 13, co s ? ?5 13，可得 tan ? ?12 5。【知识点归类点拔】在三角函数的化简求值过程中，角的范围的确定一直是其重点和难点，在解题过程中 要注意在已有条件的基础上挖掘隐含条件如：结合角的三角函数值的符号、三角形中各内角均在 ? 0, ??区间内、与已知角的三角函数值的大小比较结合三角函数的单调性等。本题中实际上由单位圆中的三角函数 线可知若 ? ? ? 0,? ?? ??? ? ? 则必有 sin ? ? co s ? ? 1 ,故必有 ? ? ? , ? ? 。 2? ? 2 ?1 5 , ? ? ? 0, ? ? ，则 co t ? 的值是。【练 24】（1994 全国高考）已知 sin ? ? co s ? ? 答案： ?3 4【易错点 25】根据已知条件确定角的大小，没有通过确定角的三角函数值再求角的意识或确定角的三角函 数名称不适当造成错解。例 25、若 sin ? ?5 5, sin ? ?10 10，且 ? 、 ? 均为锐角，求 ? ? ? 的值。【易错点分析】本题在解答过程中，若求 ? ? ? 的正弦，这时由于正弦函数在 ? 0, ?? 区间内不单调故满足条件的角有两个， 两个是否都满足还需进一步检验这就给解答带来了困难， 但若求 ? ? ? 的余弦就不易 出错，这是因为余弦函数在 ? 0, ?? 内单调，满足条件的角唯一。20解析： sin ? ? 由5 5, sin ? ?10 10且 ? 、 均为锐角知解析： sin ? ? 由 ?5 5, sin ? ?10 10且? 、? 均为锐角知 cos ? ?2 5 5, cos ? ?3 10 10,则 cos ? ? ? ???2 5 5?3 10 10?5 5?10 10?2 2由? 、 ? 均为锐角即 ? ? ? ? ? 0, ? ? 故 ? ? ? ? ?【知识点归类点拔】根据已知条件确定角的大小，一定要转化为确定该角的某个三角函数值，再根据此三 角函数值确定角这是求角的必然步骤，在这里要注意两点一就是要结合角的范围选择合适的三角函数名称 同时要注意尽量用已知角表示待求角，这就需要一定的角的变换技巧如： 2? ? ? ? ? ? 二是依据三角函数值求角时要注意确定角的范围的技巧。 【练 25】（1）在三角形 A B C 中，已知 sin A ? 答案： arcco s? ? ??? ? ? 等。3 5, co s B ?5 13，求三角形的内角 C 的大小。16 65（提示确定已知角的余弦值，并结合已知条件确定角 A 的范围）（2）（2002 天津理，17）已知 cos（α ＋?4）＝3? ? 3 ? ，求 cos（2α ＋ ）的值. , ≤α ＜ 5 2 2 4答案： cos ? 2 ? +? ?? ?? ? ? ? ? ? 31 2 ? ? cos ? 2 ? ? ? ? ? ? =－ 4? 4? 4? 50 ? ?【易错点 26】对正弦型函数 y ? A sin ? ? x ? ? ? 及余弦型函数 y ? A cos ? ? x ? ? ? 的性质：如图象、 对称轴、对称中心易遗忘或没有深刻理解其意义。 例 26、如果函数 y ? sin 2 x ? a cos 2 x 的图象关于直线 x ? ??8对称，那么 a 等于（）A.2 B.－ 2 C.1D.－1【易错点分析】函数 y ? A sin ? ? x ? ? ? 的对称轴一定经过图象的波峰顶或波谷底，且与 y 轴平行，而 对称中心是图象与 x 轴的交点，学生对函数的对称性不理解误认为当 x ? ? 解析： （法一）函数的解析式可化为 y ?2?8时，y=0，导致解答出错。2a ? 1 sin ? 2 x ? ? ? ，故 y 的最大值为 a ? 1 ，依题意，? ?直线 x ? ??8是函数的对称轴，则它通过函数的最大值或最小值点即 sin ? ?? ?? ? ? ? ? a cos ? ? ? 4? ? 4??2 a ? 1 ，解得 a ? ? 1 .故选 D21（法二）依题意函数为 y ?a ? 1 sin ? 2 x ? arctan a ? ,直线 x ? ?2?8是函数的对称轴,故有3? ? ? ? ? ? ? ? ? ，而 arctan a ? ? ? , ? 2 ? ? ? ? ? arctan a ? k ? ? , k ? z ，即： arctan a ? k ? ? 4 2 ? 8? ? 2 2?故 arctan a ? ??4，从而 a ? ? 1 故选 D.（法三）若函数关于直线 x ? ??8是函数的对称则必有 f?0? ?? ? ? f ? ? ? ，代入即得 a ? ? 1 。 ? 4?【知识点归类点拔】对于正弦型函数 y ? A sin ? ? x ? ? ? 及余弦型函数 y ? A cos ? ? x ? ? ? 它们有无 穷多条对称轴及无数多个对称中心， 它们的意义是分别使得函数取得最值的 x 值和使得函数值为零的 x 值， 这是它们的几何和代数特征。希望同学们认真学习本题的三种解法根据具体问题的不同灵活处理。 【练 26】 （2003 年高考江苏卷 18）已知函数 f ( x ) ? sin( ? x ? ? )(? ? 0 , 0 ? ? ? ? ) 上 R 上的偶函数， （1） 其图象关于点 M ( 答案： ? ?3? 4, 0 ) 对称，且在区间 [ 0 ,?2] 上是单调函数，求 ? 和ω 的值.?2,? ?2 3或2 。（ 2 ） 2005 全 国 卷 一 第 17 题 第 一 问 ） 设 函 数 的 f （? x ? ? sin ? 2 x ? ? ? ? ??3? 4?? ???，y ? f ? x ? 图象的一条对称轴是直线 x ??8，求 ?答案： ? = ?【易错点 27】利用正弦定理解三角形时，若已知三角形的两边及其一边的对角解三角形时，易忽视三角形 解的个数。 例 27、在 ? A B C 中， B ? 30 , A B ? 2 3, A C ? 2 。求 ? A B C 的面积 【易错点分析】根据三角形面积公式，只需利用正弦定理确定三角形的内角 C，则相应的三角形内角 A 即 可确定再利用 s ? ??1 2b c sin A 即可求得。 但由于正弦函数在区间 ? 0, ? ? 内不严格格单调所以满足条件的角可能不唯一，这时要借助已知条件加以检验，务必做到不漏解、不多解。解析：根据正弦定理知：AB sin C?AC sin B即2 3 sin C?2 sin 30?得 sin C ?3 2，由于AB sin 30 ? AC ? AB 即满足条件的三角形有两个故 C ? 60 或 120 .则 A ? 30 或 90 故相应的三角形面积为 s ??????1 2? 2 3 ? 2 ? sin 3 0 ??3或1 2?2 3?2 ? 2 3.【知识点归类点拔】正弦定理和余弦定理是解三角形的两个重要工具，它沟通了三角形中的边角之间的内 在联系，正弦定理能够解决两类问题（1）已知两角及其一边，求其它的边和角。这时有且只有一解。 （2） 已知两边和其中一边的对角，求其它的边和角,这是由于正弦函数在在区间 ? 0, ?? 内不严格格单调，此时三角形解的情况可能是无解、一解、两解，可通过几何法来作出判断三角形解的个数。如：在 ? A B C 中， 已知 a,b 和 A 解的情况如下： 22（1）当 A 为锐角（2）若 A 为直角或钝角【练 27】 （2001 全国）如果满足 ? ABC ? 60 ， A C ? 2 ， B C ? k 的三角表恰有一个那么 k 的取值 范围是（）A、 8 3 B、 0 ? k ? 1 2 C、 k ? 1 2 D、 0 ? k ? 1 2 或 k ? 8 3 答案：D 【易错点 28】 三角形中的三角函数问题。 对三角变换同三角形边、 角之间知识的结合的综合应用程度不够。 例 28、 （2005 湖南高考）已知在△ABC 中，sinA（sinB＋cosB）－sinC＝0，sinB＋cos2C＝0，求角 A、 （1） B、C 的大小. 【易错点分析】本题在解答过程中若忽视三角形中三内角的联系及三角形各内角大小范围的限制，易使思 维受阻或解答出现增解现象。 解法一 由 sin A (sin B ? cos B ) ? sin C ? 0 得 sin A sin B ? sin A cos B ? sin( A ? B ) ? 0 .?所以 sin A sin B ? sin A cos B ? sin A cos B ? cos A sin B ? 0 . 即 sin B (sin A ? cos A ) ? 0 . 因为 B ? ( 0 , ? ), 所以 sin B ? 0 ， 从而 cos A ? sin A . 由 A ? ( 0 , ? ), 知 A ?3 4?4. 从而 B ? C ?3 4? .由 sin B ? cos 2 C ? 0 得 sin B ? cos 2 ( ? ? B ) ? 0 . 即 sin B ? sin 2 B ? 0 .亦即 sin B ? 2 sin B cos B ? 0 . 由此得 cos B ?1 2,B ??3,C ?5? 12. 所以 A ??4, B ??33? 2,C ?5? 12.解法二：由 sin B ? cos 2 C ? 0 得 sin B ? ? cos 2 C ? sin(? 2 C ). 由 0 ? B 、 c ?? ，所以B ?3? 2? 2C 或 B ? 2C ??2. 即 B ? 2C ?3? 2或 2C ? B ??2.由sin A (sin B ? cos B ) ? sin C ? 0 得 sin A sin B ? sin A cos B ? sin( A ? B ) ? 0 .所以 sin A sin B ? sin A cos B ? sin A cos B ? cos A sin B ? 0 . 即 sin B (sin A ? cos A ) ? 0 . 因为 sin B ? 0 ， 所以 cos A ? sin A . 由 A ? ( 0 , ? ), 知 A ? 合要求.再由 2 C ? B ??4. 从而 B ? C ?3? ， B+2C= 知.3? 2不1 2? ，得 B ??3,C ?5? 12. 所以 A ??4, B ??3,C ?4 5? 122、 （北京市东城区 2005 年高三年级四月份综合练习）在△ABC 中，a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边，23且cos B cos C? ?b 2a ? c. （Ⅰ）求角 B 的大小（Ⅱ）若 b ?13 , a ? c ? 4 ，求△ABC 的面积.【思维分析】根据正弦定理和余弦定理将条件化为三角形边的关系或角的关系解答。 （Ⅰ）解法一：由正弦定理cos B cos C b 2a ? ca sin A ? b sin B ? c sin C ? 2 R 得 a ? 2 R sin A , b ? 2 R sin B , c ? 2 R sin C . 将上式代入已知? ?得cos B cos C? ?sin B 2 sin A ? sin C.即2 sin A cos B ? sin C cos B ? cos C sin B ? 0 . 2 sin A cos B ? sin( B ? C ) ? 0 . 故 A+B+C= ? ，? sin( B ? C ) ? sin A. ? 2 sin A cos B ? sin A ? 0 . ? sin A ? 0 ,? cos B ? ?角，? B ? 2 ? .31 2. ? B 为三角形的内解 法 二 ： 由 余 弦 定 理 得cos B cos C ? ? b 2a ? c2cos B ?? ?a ?c ?b2 22, cos C ?b ?c ?a2 222 acb 2a ? c . 整理得 a 222 bc2将 上 式 代 入得2a ?c ?b2 22?2 ab a ?b ?c2 2 22 ac2? c ? b ? ? ac .2 3? cos B ?a ?c ?b 2 ac?? ac 2 ac? ?1 2. ? B 为三角形的内角，? B ?2 2 2? .（Ⅱ）将 b ?2 213 , a ? c ? 4 , B ?2 3? 代入余弦定理 b? a ? c ? 2 ac cos B 得1 2 ). ? ac ? 3 . ? S ? ABC ?1 2 ac sin B ? 3 4 3.b? ( a ? c ) ? 2 ac ? 2 ac cos B ,? 13 ? 16 ? 2 ac (1 ?【知识点归类点拔】三角形中的三角函数问题一直是高考的热点内容之一。对正余弦定理的考查主要涉及 三角形的边角互化（如判断三角形的形状等，利用正、余弦定理将条件中含有的边和角的关系转化为边或 角的关系是解三角形的常规思路） ，三角形内的三角函数求值、三角恒等式的证明、三角形外接圆的半径等 都体现了三角函数知识与三角形知识的交汇，体现了高考命题的原则。 【练 28】 （2004 年北京春季高考）在 ? B 中，a，b，c 分别是 ?，B ? 的对边长，已知 （1） AC A ?，C a，b，c 成等比数列，且 a? ?c b c a c ?A 的大小及 ? ，求2 2b s in B c的值。答案： ? A ? 60 ，?b sin B c?3 2（2）（2005 天津）在△ABC 中，∠A、∠B、∠C 所对的边长分别为 a、b、c，设 a、b、c 满足条 件 b ? c ? bc ? a 和2 2 2c b?1 2?3 。求∠A 和 tan B 的值。答案： ? A ? 60 ， tan B ??1 2【易错点 29】含参分式不等式的解法。易对分类讨论的标准把握不准，分类讨论达不到不重不漏的目的。 例 29、解关于 x 的不等式a ( x ? 1) x?2＞1(a≠1).【易错点分析】将不等式化为关于 x 的一元二次不等式后，忽视对二次项系数的正负的讨论，导致错解。24解：原不等式可化为：( a ? 1) x ? ( 2 ? a ) x?2 a ?2 a ?1＞0，即［(a－1)x+(2－a)］(x－2)＞0.当 a＞1 时， 原不等式与(x－)(x－2)＞0 同解.若a ?2 a ?1≥2， 0≤a＜1 时， 即 原不等式无解； 若a ?2 a ?1＜2，即 a＜0 或 a＞1，于是 a＞1 时原不等式的解为(－∞， 当 a＜1 时，若 a＜0，解集为(a ?2 a ?1)∪(2，+∞).a ?2 a ?1，2)；若 0＜a＜1，解集为(2，a ?2 a ?1)综上所述：当 a＞1 时解集为(－∞， 解集为 ? ；当 a＜0 时，解集为(a ?2 a ?1)∪(2，+∞)；当 0＜a＜1 时，解集为(2，a ?2 a ?1)；当 a=0 时，a ?2 a ?1，2).【知识点分类点拔】解不等式对学生的运算化简等价转化能力有较高的要求，随着高考命题原则向能力立 意的进一步转化，对解不等式的考查将会更是热点，解不等式需要注意下面几个问题： (1)熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式(组)的解法. (2)掌握用序轴标根法解高次不等式和分式不等式，特别要注意因式的处理方法. (3)掌握无理不等式的三种类型的等价形式，指数和对数不等式的几种基本类型的解法. (4)掌握含绝对值不等式的几种基本类型的解法. (5)在解不等式的过程中， 要充分运用自己的分析能力， 把原不等式等价地转化为易解的不等式.(6)对于含字 母的不等式，要能按照正确的分类标准，进行分类讨论.【练 29】 （2005 年江西高考）已知函数 f ( x ) ?x2ax ? b( a , b 为常数）,且方程 f ( x ) ? x ? 12 ? 0 有两个实根为 x1 ? 3, x 2 ? 4. （1）求函数 f ( x ) 的解析式； （2）设 k ? 1 ,解关于 x 的不等式： f ( x ) ?2( k ? 1) x ? k 2?x答案： f ( x) ?x2?x( x ? 2 ) .① 当 1 ? k ? 2 时 , 解 集 为 (1, k ) ? (2, ?? ); ② 当 k ? 2 时 , 不 等 式 为( x ? 2 ) (x ? 1)? 0 解集为 (1, 2) ? (2, ?? ); ③当 k ? 2 时,解集为 (1, 2) ? ( k , ?? ).2【易错点 30】求函数的定义域与求函数值域错位 例 30、已知函数 f?x? ?2 2 lg ? ? m ? 3 m ? 2 ? x ? 2 ? m ? 1 ? x ? 5 ? （1）如果函数 f ? x ? 的定义域为 ? ?R 求实数 m 的取值范围。 （2）如果函数 f2? x ? 的值域为 R 求实数 m 的取值范围。【易错点分析】此题学生易忽视对 m ? 3 m ? 2 是否为零的讨论，而导致思维不全面而漏解。另一方面 对两个问题中定义域为 R 和值域为 R 的含义理解不透彻导致错解。 解析： （1）据题意知若函数的定义域为 R 即对任意的 x 值 m?22 ? 3m ? 2 ? x ? 2 ? m ? 1? x ? 5 ? 0 恒成立，令 g ? x ? ? m ? 3 m ? 2 x ? 2 ? m ? 1 ? x ? 5 ，当 m ? 3 m ? 2 =0 时，即 m ? 1 或 2 。经2 2??225验证当 m ? 1 时适合，当 m 2 ? 3 m ? 2 ? 0 时，据二次函数知识若对任意 x 值函数值大于零恒成立，只需? m 2 ? 3m ? 2 ? 0 9 9 解之得 m ? 1 或 m ? 综上所知 m 的取值范围为 m ? 1 或 m ? 。 ? 4 4 ?? ? 0（2）如果函数 f? x ? 的值域为 R 即对数的真数 ? m 22? 3 m ? 2 ? x ? 2 ? m ? 1 ? x ? 5 能取到任意的正2数，令 g ? x ? ? m ? 3 m ? 2 x ? 2 ? m ? 1 ? x ? 5 当 m ? 3 m ? 2 =0 时，即 m ? 1 或 2 。经验证2??2当 m ? 2 时适合，当 m 2 ? 3 m ? 2 ? 0 时，据二次函数知识知要使的函数值取得所有正值只需? m 2 ? 3m ? 2 ? 0 9 9 解之得 2 ? m ? 综上可知满足题意的 m 的取值范围是 2 ? m ? 。 ? 4 4 ?? ? 0【知识点归类点拔】对于二次型函数或二次型不等式若二次项系数含有字母，要注意对字母是否为零进行 讨论即函数是一次函数还是二次函数不等式是一次不等式还是二次不等式。同时通过本题的解析同学们要 认真体会这种函数与不等式二者在解题中的结合要通过二者的相互转化而获得解题的突破破口。再者本题 中函数的定义域和值域为 R 是两个不同的概念，前者是对任意的自变量 x 的值函数值恒正，后者是函数值 必须取遍所有的正值二者有本质上的区别。 【练 30】已知函数 f? x? ??a2? 1 ? x ? 2 ? a ? 1 ? x ? 2 的定义域和值域分别为 R 试分别确定满足2条件的 a 的取值范围。答案： （1） a ? 1 或 a ? ? 3 （2） ? 3 ? a ? 1 或 a ? ? 1 【易错点 31】不等式的证明方法。学生不能据已知条件选择相应的证明方法,达不到对各种证明方法的灵活 应用程度。 例 31、已知 a＞0，b＞0，且 a+b=1.求证：(a+1 a)(b+1 b)≥25 4.【易错点分析】此题若直接应用重要不等式证明，显然 a+ 明方法。1 a和 b+1 b不能同时取得等号，本题可有如下证证法一：(分析综合法）欲证原式，即证 4(ab)2+4(a2+b2)－25ab+4≥0，即证 4(ab)2－33(ab)+8≥0，即证 ab ≤1 4或 ab≥8.∵a＞0，b＞0，a+b=1，∴ab≥8 不可能成立∵1=a+b≥2ab ，∴ab≤1 21 4，从而得证.证法二：(均值代换法)设 a=1 2+t1，b=1 2+t2.∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴t1+t2=0，|t1|＜1 2 ? t1 ) ? 12，|t2|＜1 4 1 21 22? (a ?1 a)( b ?1 b)?a ?12?b ?12( ?(1a 1 4b 5 41 2? 2? t2 ) ? 12( ?1 4? t 1 ? t 1 ? 1)( ( 1 2 ? t 1 )(2? t 2 ? t 2 ? 1) ? t2 )? t12 2 21 2? t2 25 ? 1 4 3 2 t2 ? t22 2 4( ?1 4? t 1 ? t 1 ? 1)( 1 42? t 2 ? t 2 ? 1) ?22(? t2 ) ? t2 1 4 ? t2225 ? 25 16 ? . 1 4 4?16? t2? t2显然当且仅当 t=0，即 a=b=1 2时，等号成立.证法三：(比较法）∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴a+b≥2ab ，∴ab≤1 426(a ?1 a)( b ? 1 a1 b)? 1 b25 4?a ? 1 b ? 1 25 4 a b ? 33 ab ? 8 (1 ? 4 ab )( 8 ? ab ) ? ? ? ? ?0 a b 4 4 ab 4 ab2 2 2 2? (a ?)( b ?)?25 4ab ，∴ab≤1 4.证法四：(综合法)∵a+b=1， a＞0，b＞0，∴a+b≥225 ? 2 ? (1 ? ab ) ? 1 ? 16 1 3 9 ? 2 ? 1 ? ab ? 1 ? ? ? (1 ? ab ) ? ? ? 1 4 4 16 ? ?4 ? ab ?即(a ? 1 a )( b ? 1 b )? 25 4? 2 ? (1 ? ab ) ? 1 25 ? ? ?? ab 4 ? ? ?证法五：(三角代换法)∵ a＞0，b＞0，a+b=1，故令 a=sin α ，b=cos α ，α ∈(0，22?2)2(a ?1 a)( b ?21 b) ? (sin22? ?sin12?)(cos ? ?21 cos ?2 2)?sin4? ? cos ? ? 2 sin ? cos ? ? 24 24 sin 4 ? 2 sin222??( 4 ? sin? ) ? 1624 sin ? ( 4 ? sin 4 sin2? 2? ) 2?2? sin22? ? 1, ? 4 ? sin2? ? 4 ? 1 ? 3 .2? ? 16 ? 25 ? ? ? 1 1 ? ? 2 4 sin 2? ?2 2?25 4即得 ( a ?1 a)( b ?1 b)?25 4.【知识点归类点拔】1.不等式证明常用的方法有：比较法、综合法和分析法，它们是证明不等式的最基本 的方法.(1)比较法证不等式有作差(商)、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过 程必须详细叙述；如果作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则考虑用判别式法证. (2)综合法是由因导果，而分析法是执果索因，两法相互转换，互相渗透，互为前提，充分运用这一辩证关 系，可以增加解题思路，开扩视野. 2.不等式证明还有一些常用的方法：换元法、放缩法、反证法、函数单调性法、判别式法、数形结合法等. 换元法主要有三角代换，均值代换两种，在应用换元法时，要注意代换的等价性.放缩性是不等式证明中最 重要的变形方法之一，放缩要有的放矢，目标可以从要证的结论中考查.有些不等式，从正面证如果不易说 清楚，可以考虑反证法.凡是含有“至少” “惟一”或含有其他否定词的命题，适宜用反证法. 证明不等式时，要依据题设、题目的特点和内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思 维，并掌握相应的步骤、技巧和语言特点.【练 31】 （2002 北京文）数列 x n? ?由下列条件确定： x1? a ? 0 , x n ?1 ?1? a ? ? xn ? ?, n ? N ? ? 2? xn ? ?（1）证明：对于 n ? 2 总有 x n ?a ,（2）证明：对于 n ? 2 ，总有 x n ? x n ? 1 .【易错点 32】函数与方程及不等式的联系与转化。学生不能明确和利用三者的关系在解题中相互转化寻找 解题思路。 例 32、 已知二次函数 f ( x ) 满足 f ( ? 1) ? 0 ， x ? f x( ) ? ( 且 x1?1 )2对一切实数 x 恒成立.(1)227求 f (1) ；(2) 求 f ( x ) 的解析式； (3) 求证： ?n1 f (k )?2n n? 2( n ? N ).i ?1【易错点分析】对条件中的不等关系向等式关系的转化不知如何下手，没有将二次不等式与二次函数相互 转化的意识，解题找不到思路。 解： （1）由已知令 x ? 1 得： 1 ? f (1) ?1 2(1 ? 1) ? 1 ? f (1) ? 1.2（2）令 f ( x ) ? ax2? bx ? c ( a ? 0 ) 由 f ( ? 1) ? 0 , f (1) ? 1 得：1 1 1 1 1 ?a ? b ? c ? 0 2 2 ? b ? , c ? ? a 即 f ( x ) ? ax ? x ? ? a 则 x ? f ( x ) ? ( x ? 1) ? 2 2 2 2 2 a?b?c?1 ?1 ? 2 1 ? ax ? x ? ? a ? 0 对任意实数恒成立，即： 2 2 ? ? (1 ? 2 a ) x 2 ? x ? 2 a ? 0 ?对任意实数 x 恒成立就是? a ? 0, 1 ? 2 a ? 0 ? 1 1 1 2 1 1 1 2 ? ? ? 1 ? (2a ? ) ? 0 ? a ? , c ? 则 f ( x ) ? x ? x ? 2 4 4 4 2 4 ? 2 ? ? 2 ? (4 a ? 1) ? 0 ?（3）由（2）知 f ( x ) ?1 4( x ? 1)2故1 f (k )?4 ( k ? 1)2?4 ( k ? 1)( k ? 2 )? 4(2n1 k?1?1 k?2)??n1 f (k )? 4(1 2?1 3?1 3?1 4?? ?1 n?1?1 n?2)?i ?1?n?2故原不等式成立．【知识点归类点拔】函数与方程的思想方法是高中数学的重要数学思想方法函数思想，是指用函数的概念 和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中 的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组） ，然后通过解方程（组）或不等式（组） 来使问题获解。有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。对于不等式恒成立， 引入新的参数化简了不等式后，构造二次函数利用函数的图像和单调性进行解决问题，其中也联系到了方 程无解，体现了方程思想和函数思想。一般地，我们在解题中要抓住二次函数及图像、二次不等式、二次 方程三者之间的紧密联系，将问题进行相互转化。 【 练 32 】 2005 潍 坊 三 月 份 统 考 ） 已 知 二 次 函 数 f ( x ) ? ax （2? bx ? c ( a , b , c ? R ) ， 满 足f ( ? 1 ) ? 0；且对任意实数 x 都有 f ( x ) ? x ? 0 ；当 x ? (0, 2) 时有 f ( x ) ?( x ? 1) 42, （1）求（2）证明 a ? 0, c ? 0; （3）当 x ? [ ? 1, 1] 时，函数 g ( x ) ? f ( x ) ? m x ( m ? R ) 是 f (1) 的值；28单调的，求证： m ? 0 或 m ? 1 . （1） f (1) ? 1. （2）运用重要不等式（3）略 【易错点 33】利用函数的的单调性构造不等关系。要明确函数的单调性或单调区间及定义域限制。 例 33、记 f? x ? ? ax 22? bx ? c ，若不等式 f ? x ? ? 0 的解集为 ?1, 3 ? ，试解关于 t 的不等式f?t2? 8? ? f ?2 ? t?。【易错点分析】此题虽然不能求出 a,b,c 的具体值，但由不等式的解集与函数及方程的联系易知 1,3 是方 程 ax ? bx ? c ? 0 的两根，但易忽视二次函数开口方向，从而错误认为函数在 ? 2, ?? ? 上是增函数。 解析：由题意知 f? x ? ? a ? x ? x1 ? ? ? x 2 ? ? a ? x ? 1 ? ? x ? 3 ? ，且 a2? 0 故二次函数在区间 ? 2, ?? ?上是增函数。又因为 8 ? t ? 8, 2 ? t 等价于 8 ? t ? 2 ? t 即 t ?2 2? 2 ，故由二次函数的单调性知不等式 f?t? 8? ? f ?2 ? t2?t ? 6 ? 0 故 t ? 3 即不等式的解为： ? 3 ? t ? 3 。【知识点分类点拔】函数的单调性实质是就体现了不等关系，故函数与不等式的结合历来都是高考的热点 内容，也是我们解答不等式问题的重要工具，在解题过程中要加意应用意识，如指数不等式、对数不等式、 涉及抽象函数类型的不等式等等都与函数的单调性密切相关。 【练 33】 （2005 辽宁 4 月份统考题） （1） 解关于 x 的不等式 log 答案： 1 ? a ? 2 时， 当 解集为 { x | 2 ? 当 a ? 2 时解集为 { x | 2 ? （2）2( x ? 1) ? log 4 [ a ( x ? 2 ) ? 1] ( a ? 1)3 2 且 x ? 2}1 a? x ? a 或 x ? 2} 当 a ? 2 时， 解集为 { x | x ?1 a? x ? 2或 x ? a} 。（2005 全国卷Ⅱ）设函数 f? x??2| x ?1| ? | x ?1|,求使 f? x ? ≥的 22 的 x 取值范围。答案：x 取值范围是 [3 4, ?? )【易错点 34】数学归纳法的应用。学生易缺乏应用数学归纳法解决与自然数有关问题的意识，忽视其步骤 的规范性及不理解数学归纳法的每一步的意义所在。 例 34、自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强 度对鱼群总量的影响。用 x n 表示某鱼群在第 n 年年初的总量，n∈N＊，且 x1 ＞0。不考虑其它因素，设在 第 n 年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与 x n 成正比，死亡量与 x2 n成正比，这些比例系数依次为正常数 a，b，*c。 （Ⅰ）求 x n ? 1 与 x n 的关系式； （Ⅱ）猜测：当且仅当 x1 ，a，b，c 满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不要求证明） （Ⅲ）设 a＝2，b＝1，为保证对任意 x1 ∈（0,2） ，都有 x n ＞0， n ? N ， 则捕捞强度 b 的最大允许值是多少？证明你的结论。 【易错点分析】本题为数列模型应用题,主要考查数列、不等式和数学归纳法。2005 年高考主要涉及两种 类型应用题，一种类型为概率，另一种为数列。给我们信息：数学越来越贴近生活，数学越来越强调实用 性, 我们在备考中要注意对几种常见模型建模的训练；可见，高考数学越来越注意与函数、不等式、导数、 向量等工具结合，这是将来高考的方向， 【解析】 （I）从第 n 年初到第 n+1 年初，鱼群的繁殖量为 ax ，被捕捞量为 b x ，死亡量为cx2 n因此 x n ? 1 ? x n ? ax n ? bx n ? cx2 n即 x n ? 1 ? x n ? a ? b ? 1 ? cx n ? n ? N 。*29（II）若每年年初鱼群总量保持不变，则 x n 恒等于 x1 ， n ? N ，从而由上式得 x n ? a ? b ? cx n*? 恒等于零, n ? N 故 a ? b ? cx1 ? 0 即 x1 ?*a?b c因为 x1 &0，所以 a ? b .猜测：当且仅当 a ? b ，且x1 ?a?b c时，每年年初鱼群的总量保持不变.*（Ⅲ）若 b 的值使得 x n &0， n ? N ，由 x n ? 1 ? x n ? 3 ? b ? x n?知 0 ? xn ? 3 ? b , n ? N*特别地，有 0 ? x1 ? 3 ? b . 即 0 ? b ? 3 ? x1 ，而 x1 ∈(0, 2)，所以 b ? ( 0 ,1] ，由此猜测 b 的最 大允许值是 1. 下证 当 x1 ∈(0, 2) ，b=1 时，都有 x n ∈(0, 2), n ? N 。 ①当 n=1 时，结论显*然成立.②假设当 n=k 时结论成立，即 x k ∈(0, 2),则当 n=k+1 时， x k ?1 ? x k ? 2 ? x k? ? 0 .又因为x k ?1 ? x k ? 2 ? x k? ? ? ? xk? 1 ? ? 1 ? 1 ? 2 .所以 x k ? 1 ∈(0, 2)，故当 n=k+1 时结论也成立