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关于数列极限“ε-N”定义的教学探讨
极限概念是数学的基本概念，是微积分学的基础，是由静止到运动、由有限到无限的桥梁，体现了无限运动与无限逼近的思想，是高等数学的重要工具。高等数学课程中的主要内容包括连续性、可微性、可积性等都是用极限语言定义和认知的。因此，能否准确理解数列极限的概念，直接影响到整个高等数学知识的学习水平和数学能力的高低。本文结合具体教学实践，就数列极限概念教学中应该把握的几个问题给以阐述。
一、实例引入，归纳数列极限的直观定义
观察当n越来越大时，数列项的变化趋势：
（1）xn=1+1/n，（2 ）xn=1+（-1）n，（3 ）xn=2n。可以看出当自变量n越来越大时，上述数列有三种变化趋势：其一，数列（1）是单调减少越来越接近1。其二，数列（2）只有两个数值0和2。当自变量n越来越大时，xn的值在0和2之间来回摆动，无法趋于一个固定的数值。其三，数列（3）当自变量n越来越大时，数列xn数值单调增加且趋于无穷远，无法与一个有限的数值接近。第一变化趋势表明数列xn的极限存在，数值1为数列（1）的极限；第二和三种变化趋势的数列称为极限不存在。这样我们就归纳出数列xn的极限是常数a的直观定义，即当n无限增大时，数列的项xn无限接近一个常数a。
二、直观定义抽象化
上述直观定义不能解决数列极限及其相关的许多问题。例如，直接观察可以得到数列xn=nsin（1/n）和xn=（1+1/n）n的极限吗？显然很困难。因此，我们必须研究数列极限的精确定义，才能进一步获得极限的优良性质，然后利用它的性质去研究复杂数列极限的存在性。如何给出精确定义，要从直观定义加以分析。其关键是如何用数学符号描述上面例子中出现的&越来越逼近&，或者说&无限接近&的意义。首先要有一个接近的目标，其次是数列中的项随着下标的增加越来越接近这个目标。生活中&越来越接近一个目标&就是运动的物体离这个固定的目标之间的距离越来越小。以上述的数列（1）为例，这里讨论的目标就是一个确定的数值1，把数列xn中的项1+1/n看成运动的物体，也是一个数，只是这个数要随着自变量n的变化而变化。我们知道数轴上两点间的距离用差的绝对值表示，xn与目标1的远近用绝对值|xn-1|的大小表示。这样我们就把数列xn=1+1/n的极限是1的直观定义&当n无限增大时，xn无限接近一个常数1&翻译为&当n无限增大时，绝对值|xn-1|无限变小，要有多小就有多小&。其次，绝对值|xn-1|要有多小就有多小，这是xn与1的接近程度的问题。如何用数学符号描述无限变小，或者说要有多小就有多小？例如要使是xn与1的接近程度小于1/100，即|xn-1|=1/n&1/100，只需要n&100，也就是从100项以后所有的项与1的接近程度小于1/100。要使xn与1的接近程度小于1/104，即|xn-1|=1/n&1/104，只需要n&104，也就是从10000项以后所有的项与1的接近程度小于104。从这里分析可以发现两点：其一，给定一个接近程度，自变量一定存在一个起始时刻，从这一时刻以后，数列所有的项与1的距离小于这一给定的接近程度。接近程度越小，开始的时刻越大，成单调减少的依赖关系。这种依赖关系，正好描述了&当n增大时，绝对值|xn-1|变小&的关系。其二，虽然1/100和104很小，代表不了&要有多小就有多小&的意义，甚至接近程度1/00等很小的数都不能代表任意小，因为后面总有比它们更小的数。因此，数学中引入了字母&来描述任意小、或者要多小就多小的正数。任意取接近程度&，由|xn-1|=1/n&&可知n&1/&。由于&任意小，故1/&任意大，即存在正整数N=[1/&]，使得当n&N时，所有的项满足|xn-1|&&。到现在为止，学生从直观到抽象有了一定的认知，我们可以归纳出数列极限的&&-N&精确定义：任意&&0，存在正整数N，当n&N时，总成立|xn-a|&&。上述教学过程体现了由具体到一般、由直观到抽象的认知过程，符合数列极限精确定义形成的发展顺序。但是要领会这一定义的深刻内涵，老师还需要引导学生作深入细致的探讨。
三、深化认知，揭示概念的本质
1.&的任意性和N的相应性。定义中正数&是度量xn与a的接近程度，一经给出就视为固定，以便用它来求出相应的N，从这一时刻以后所有的项xn与a的接近程度才会小于&，即|xn-a|&&。通常N的大小依赖于事先给定的&，故记作N=N（&），表示N与&之间的关联性。并且由于&越小，找到的N就越大，所以N与&成单调减少的关系。
2.结合数轴直观和形象比喻。由于|xn-a|&&等价于a-&&xn&a+&，这表明了数列{xn}收敛于a的意思是，对任意的&&0，总存在正整数N，使得数列所有下标大于N的项都进入以a为中心，&为半径的区间（a-&，a+&） 内， 即xN+1 &（a-&，a+&），xN+2 &（a-&，a+&）等一直下去，并且一旦进入永不离开，从而在区间（a-&，a+&）之外至多只有有限的N项。如果我们把区间（a-&，a+&）比作用于装数列项的&口袋&，把&比作其开口的半径。由于&任意小，所以口袋的开口半径随&可以任意小。一旦&给定，那么口袋的开口就固定，这时应该进入口袋的项就义无反顾地装入，而不能进入的项就被拦截。所以存在的正整数N相当于&阀门&，只允许该进的进（下标大于N的项进），不该进的绝对不能进（下标小于等于N的项）。由于&越小，找到的N就越大，所以&口袋&越小，不能进入&口袋&的项就越多，但仍然只是有限项。
3.由于&是任意小的正数，那么2&或者&2等同样是任意小正数，因此定义中|xn-a|&&的&可以用&的倍数，即c&代替，其中c为固定正常数。同时，由于&任意小，所以我们可以限定&&1。并且，定义中|xn-a|&&也可改写为|xn-a|&&。
4.数列极限&&-N&定义中&任意&&0，存在正整数N&的语言顺序是不能颠倒的。如果表述为&存在正整数N，任意&&0，当n&N时，总成立|xn-a|&&&，那么数列{xn}就只能是特殊数列xn=a，n&N，这是平凡情形。
5.通过例子加强对数列极限&&-N&定义语言的应用探索。用定义去证明数列{xn}极限是a，由于接近程度&是预先给定的，所以当作已知条件，关键是在这个接近程度下，数列的哪些项与a的距离会小于这个接近程度&。也就是需要从不等式|xn-a|&&中求解出n大于h（&），并且h（&）是随&变小而变大的正值函数。此时取N=[h（&）]，则n&N的所有项与a的距离|xn-a|小于预先给定的&。可是通常由不等式|xn-a|&&很难解出n&h（&）。一般的方法是将绝对值|xn-a|放大到|xn-a|&cn&&，其中cn为趋于0的数列。由于N只要求存在，并不唯一，所以不同的放大路径得到的N可能不同。然而得到一个形式简单、直接反映随&变小而变大的N是最令人满意的。
总之，数列极限&&-N&语言是对数列极限的精确定义，严谨而科学，包含了丰富的数学思想方法，是高等数学知识体系推理论证的基础。鉴于此，通过适当的、切实有效的教学手段引导学生逐步理解掌握这一概念，对提高生学习高等数学的能力和水平具有重要意义。
参考文献：
[1]丁宣浩,陈义安,等.数学分析上册[M].北京:高等出版社,2014.
[2]同济数学系.高等数学第六版上册[M].北京:高等出版社,2011.
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极限概念是高等数学中最基本也是最重要的概念之一.用这个概念可以定义出微积分学的其他基本概念,数列极限是极限概念的先导,牢固掌握数列极限的概念,对进一步学习微积分学起到了至关重要的作用.数列极限的定义相对于初学者而言显得较为抽象和难于理解,可谓微积分学入门的拦路虎.如何帮助学生尽快而准确地掌握数列极限的定义是数学教师值得探究的课题.一、向学生介绍极限方法的来源,激发学生的学习兴趣,引导学生针对数列极限的定义提出问题普遍的高等数学教材中都是从刘徽的“割圆术”引出数列极限定义的.我国古代杰出的数学家刘徽于公元263年在注《九章算术》时,为了订正圆周率“周三径一”之误,在计算圆周率的过程中创立并使用了极限方法.他先借助圆的内接正多边形来无限分割圆,再通过计算圆的内接正多边形的边长来求得圆的周长,提出了“割之弥细,所失弥少.割之又割,以至于不可割,则与圆合体而无所失矣”的“以直代曲”的极限思想.恩格斯也曾深刻地指出:“高等数学的主要基础之...&
(本文共2页)
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数列极限的定义,对于习惯于初等数学中的常数及一些孤立、简单、直观的几何图形的初学者来说,确实是一个教学难点,也是重点.如何使学生从概念上消除ε-Ｎ语言的神秘感,认清ε与Ｎ与之间的关系是数列极限定义教学中的关键.解决这个问题,对高等数学的学习将起到决定性的作用.本文遵循认识论的规律,引导学生认清极限思想,从而达到掌握数列极限定义、认识其本质的目的.1　由数列ｎｎ+1的极限引入数列极限定义讨论数列:12,23,34…,ｎｎ+1,…通过观察,我们可以得出它的一些性质,如09.说明只要ｎ9,就有ｎｎ+1-199.说明只要ｎ99,就有ｎｎ+1-11ε-1.说明只要ｎ1ε-1,就有ｎｎ+1-1Ｎ时,有ａｎ-ａ0, Ｎ∈Ｎ, ｎＮ,有ａｎ-ａＮ时,有...&
(本文共2页)
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极限理论是数学分析的基础,数列极限是极限理论的重要组成部分。初学极限理论,往往对理解数列极限定义感到困难.总结多年的教学经验,我认为讲解数列极限定义比较好的方法是:通过数列极限实例,由具体到抽象,由浅入深,循序诱导引入数列极限的严格定义.1　循序渐进引入数列极限的严格定义数学中的许多概念不仅具有抽象性和概括性,而且是根据实际需要提出的,因此,在教学中要重视从实际问题中抽象出概念的过程.数列极限也是这样.讲数列极限,应该首先从求圆的周长切入,因为当圆内接正多边形的边数成倍增加时,得到一串圆内接正多边形周长数列{ln},此数列{ln}就是一个无限的数学模型.为了认识圆的周长,必须把圆的周长放在该圆的无限多个正多边形周长的变化过程之中,当n无限增大时,注重“无限”二字,这一串圆内接正多边形的极限位置“则与圆合体”.这时,数列 {ln}稳定于某个数l,则l为圆的周长.对一般数列 {an},当n无限增长时,an无限接近于一个常数A,则A是...&
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命题:设ba0,d0,且Xn=a(a+d)(a+2d)…(a+nd)b(b+d)(b+2d)…(b+nd),证明:limn→∞Xn=0.本文给出该命题的四种证法,之后给出该命题的应用.一、四种证法证法1:容易看出Xn+1Xn=a+(n+1)db+(n+1)d0,显然,由单调有界定理知:limn→∞Xn=X存在.由施图兹定理,有X=limn→∞nXnn=limn→∞[nXn-(n-1)Xn-1]=limn→∞[na+ndb+ndXn-1-(n-1)xn-1]=limn→∞n(a-b+d)+bb+ndxn-1=a-b+ddx,即x=a-b+ddx.由ba知x=0.证法2:由证法1知limn→∞Xn=X存在且x≥0.若x≠0,则limn→∞x2nxn=limn→∞x2nlimn→∞xn=1在ba0,d0的条件下,可知a+kdb+kda知ea-b2dx0,记u=y-x.由伯努利不等式(1+x)α≥1+αx,α≥0,x-1.如果γ和δ都是...&
(本文共2页)
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新新课课程程学学习习极限的思想已被人们广泛认可,高等数学中的许多重要概念,如导数、微分和积分等都是用极限来描述的,有些运算方法也是建立在极限理论的基础之上,因此极限已成为高等数学中最基本、最重要的概念之一。以下是笔者结合的例题归纳总结了求解数列极限的方法和技巧。一、递推数列类极限求法定理1:设数列an,若有自然数N及常数P(0≤P≤1),使当nN时,有an-a≤P an-1-a,则limn→∞an=a。证明:对任给的ε0,当nN时,若要an-a≤P an-1-a≤…≤Pn-N aN-a≤MPn-Nmax→N,lnεMPN/lnP→即可,由数列极限的定义,可知lni→m∞an=a。下面通过下面具体的数列说明定理1的应用。例1.设a10,an+1=2an+4an,求lni→m∞an。解:设limn→∞an=X,则由X=2X+X4或X2+4=0无解,知数列an发散。二、利用单调有界定理求极限定理(单调有界定理):单调有界的数列必有极限...&
(本文共2页)
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数列极限是由初等数学向高等数学过渡的关键内容,它是数学由具体到抽象、由有限到无限的桥梁,是微积分学的基础,微积分学中几乎所有的重要基本概念,如连续、导数、积分等都是建立在数列极限概念的基础上,因此学好数列极限非常重要,所以历来也是教学的重点及难点.虽然这部分的内容,高职班学生大多在高中阶段已经接触到,但许多学生反映,对这一概念比较模糊,甚至连许多对这一内容的习题都能解答的同学,自己也弄不清为什么要这样解答,因此,如何进行数列极限概念的教学,值得我们去探讨研究,本人从自己的教学实践,谈谈对数列极限概念的教学方法.首先,在数列极限概念的引入时,应采用“形象化”,给学生一开始对数列的极限就有一个比较生动、清晰的概念,在教学中首先给一些具体数列.例1战国时代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过的一句话:“一尺之木,日取一半,万世不竭.”也就是说一根一尺长的木棒,每天截去一半,这样的过程可以一直无限地进行下去.将每天截后的木棒排成一列,...&
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一、引言数列极限是数学这门学科的重要内容之一。对于一些复杂极限,直接按照极限的定义来求就显得很困难,不仅计算量大,而且不一定就能求出结果。因此,为了解决求极限的问题,我们在研究比较复杂的数列极限问题时,通常先考查该数列极限的存在性问题;如果有极限,我们再考虑如何计算此极限(也就是极限值的计算问题)。这就是极限理论的两个基本问题。求数列极限的方法多种多样,比如:化简通项求极限、单调有界原理求极限等。现在我通过一些具体的例子,和大家一起探讨求数列极限的常用技巧与方法。二、求数列极限的常用技巧与方法1.化简通项求极限在求一些比较复杂的数列极限,特别是处理通项为n项和式的一类很特殊的极限时,经常先对通项进行化简,化简时往往利用链锁消去法。其工作原理如下:若limn→∞an=∞,an≠0,则nk=1Σ(1ak-1ak+1)=(1a1-1a2)+(1a2-1a3)+…+(1ak-1ak+1)=1a1-1ak+1。因此limn→∞nk=1Σ(...&
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你可能喜欢有没有必要掌握数列极限的第二定义（ε-N定义）及其几何意义？为什么？
都有必要!为后续要学的微分、积分、无穷级数打下基础并深理解。
在数列{an}收敛的情况下，作为函数的φ（ε）一定存在。但φ（ε）不一定具有表达式。
由an-aφ（ε），实际上是解一个不等式方程。在an比较复杂的情况下，可能...
设x=lna,a=e^xx+o(1)
∵对任意ε&0，可取到N1，使得当n&N1时,|x/(n-1)+o(n/(n-1))|N2时,o(1)0，取N=max{N...
若S是有限集，则supS=a∈S。已知supS=a不∈S，∴S是无限集。
取εn&0,且εn→0（n→∞），在S∩（a-εn,a)中取Xn,且使Xn,则数列{X...
sinx-siny=2sin[(x-y)/2]cos[(x+y)/2],
∴|sinx-siny|0,要1/(2√n)1/(2ε),即n&1/(4ε^2),
这个题目不明了~~~这样的题目你要注明上标和下标，等你注明清楚我可以帮你解
答: 我觉得正常的小孩子的血压他应该是会比大人低一点吧,大概就是你自己也是可以给她去医院做相关的检测,定期三个月给做体检,可以在网上进行搜索的。
答: x->0:lim(1+x)^(-1/x)
=1/[x->0:lim(1+x)^(1/x)
x->∞:limxsin(1/x)
=1/x->0:lim[...
答: 计算科学是一门什么样的学科？
答：计算学科（通常也称作计算机科学与技术）作为现代技术的标志，已成为世界各国经济增长的主要动力。但如何认识这门学科，它究竟属于理科...
答: 补课是比较错误的方式。我一直到高中毕业没补过课。爸妈也不管我，随我学什么。我打游戏和化学都挺好。现在在大学读书，很深刻地感受到教育是钱买不来的。在实验室做小型的...
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