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数学定义性的东西.后天检查1.多边形的定义,性质,判定2.四边形的定义,性质,判定3.平行四边形的定义,性质,判定4.矩形的定义,性质,判定5.菱形的定义,性质,判定6.正方形的定义,性质,判定7.梯形的定义,性质,判定
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多边形1.定义：由在同一平面且不在同一直线上的三条或三条以上的线段首尾顺次连结且不相交所组成的封闭图形图形叫做多边形2.性质：多边形的外角和为360度,内角和为（n-2）180,对角线条数：(n-3)*n/23.判定 ：多边形...
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多边形的定义，性质，判定由在同一平面且不在同一直线上的三条或三条以上的线段首尾顺次连结且不相交所组成的封闭图形图形叫做多边形（简述：由三条或三条以上的线段首位顺次连接所组成的封闭图形叫做多边形）,在不同平面上的多条线段首尾顺次连结且不相交所组成的图形也被称为多边形,是广义的多边形。判定 (多边形：边数大于等于3) 判定和性质均用定义==================...
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●●●●●●●●高分追加!数学概念学得好的进,一般人可能不会一道判断题：若a平行b,则a在b方向上的投影是a的模；我想应该还可能是 -（a的模）因为夹角为180或为0但是答案给的是a的模×cosθ为什么?我的意思是答案给出的等于没给，就好比是一道题，你给出了公式而没解是没解出来了
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投影为|a|cosθ 怎么是负的模呢,没这么定义吧! 投影倒是可以为负数 向量之间的夹角【0,180°】
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……貌似两直线的夹角取值范围为[0,90]
多看看课本，这是定理呀，
投影的大小是a的模，但投影有方向性，可以这样看，a有起点和终点，投影也有起点和终点，因而有方向性，与b方向同是投影为正，否则为负。只需乘上cosθ即可。
高中生？跟你说了吧，投影是没有负值的，而且书上的定义是：a在b方向上的投影是|a|cosθ
对的，因为向量在坐标系中是可以任意移动的，和直线不一样，且移动时只考虑平移后它们的夹角。又因为夹角可能值为180度或0度。cosθ=1，所以是对的。
扫描下载二维码现在已有的回答都好吓人... &br&&figure&&img src=&/af968a8a6eb9b25b5c54_b.jpg& data-rawwidth=&120& data-rawheight=&58& class=&content_image& width=&120&&&/figure&对于大部分已经熟练的数学和物理工作者, 这实在是一个极为基础的问题. 但这个问题在我刚接触张量时也困扰了我很久. 张量的那么多定义, 究竟哪些是对的? (显然都是对的. ) 它们的关系是什么? 我尽可能简单地用我自己的话把我对它粗浅的理解讲得明白些. &br&&br&&ul&&li&A View from Physics&/li&&/ul&张量的概念早在19世纪末就被数学家提出了, 但这个概念真正发扬光大, 还是在相对论出现以后. 原因是, 在相对论中, 在不同的参考系下看同一个物理系统, 它&看起来&是不一样的: 比如粒子的动量和能量在不同的参考系下根据 Lorentz 变换相联系. &br&&br&这带来一个问题: 在 Bob 看来, 一个粒子的能动量是&img src=&///equation?tex=%28E_b%2C%5Cbm%7Bp%7D_b%29& alt=&(E_b,\bm{p}_b)& eeimg=&1&&. 如果你问 Bob, 这个粒子的能动量是多少, 他会告诉你是&img src=&///equation?tex=%28E_b%2C%5Cbm%7Bp%7D_b%29& alt=&(E_b,\bm{p}_b)& eeimg=&1&&. 但我 (Andrew) 听了以后, 必然是反对的: Bob 说的不对! 我看到的粒子的能动量明明是&img src=&///equation?tex=%28E_a%2C%5Cbm%7Bp%7D_a%29& alt=&(E_a,\bm{p}_a)& eeimg=&1&&! &br&&br&我们知道, Andrew 和 Bob 都没有说错. &img src=&///equation?tex=%28E_a%2C%5Cbm%7Bp%7D_a%29& alt=&(E_a,\bm{p}_a)& eeimg=&1&&和&img src=&///equation?tex=%28E_b%2C%5Cbm%7Bp%7D_b%29& alt=&(E_b,\bm{p}_b)& eeimg=&1&&可以通过恰当的 Lorentz 变换相互转化. &你说的我都懂&, 想必你已经看得不耐烦了, &可是这个粒子的能动量究竟是多少? & 由于参考系都是平权的, Andrew 和 Bob 的参考系并没有哪个更优越. 那我们干脆把它们都舍弃. 于是我们说, 这个粒子的能动量就由能动量张量&img src=&///equation?tex=T& alt=&T& eeimg=&1&&来描述. 能动量张量是一个不随坐标而改变的, 物理系统内在的量. (如果你对左边这句话的确切含义感到疑惑, 请先往下看. ) 它在 Andrew 的坐标系里看是&img src=&///equation?tex=%28E_a%2C%5Cbm%7Bp%7D_a%29& alt=&(E_a,\bm{p}_a)& eeimg=&1&&, 在 Bob 的坐标系里看是&img src=&///equation?tex=%28E_b%2C%5Cbm%7Bp%7D_b%29& alt=&(E_b,\bm{p}_b)& eeimg=&1&&, &img src=&///equation?tex=%28E_a%2C%5Cbm%7Bp%7D_a%29& alt=&(E_a,\bm{p}_a)& eeimg=&1&&按照 Lorentz 变换变成&img src=&///equation?tex=%28E_b%2C%5Cbm%7Bp%7D_b%29& alt=&(E_b,\bm{p}_b)& eeimg=&1&&. &br&&br&你现在肯定找到了一点感觉. 什么是张量? 如 A.Zee 书中所说: &b&A tensor is something that transforms like a tensor! 一个量, 在不同的参考系下按照某种特定的法则进行变换, 就是张量. &/b&&br&&br&用张量有什么好处? 物理定律是不会随参考系的变化而变化的. 考虑下面一个物理过程: 两个粒子1和2经过散射变成了3和4. 在 Andrew 看来, 能动量守恒是&img src=&///equation?tex=%28E_%7Ba%2C1%7D%2C%5Cbm%7Bp%7D_%7Ba%2C1%7D%29%2B%28E_%7Ba%2C2%7D%2C%5Cbm%7Bp%7D_%7Ba%2C2%7D%29%3D%28E_%7Ba%2C3%7D%2C%5Cbm%7Bp%7D_%7Ba%2C3%7D%29%2B%28E_%7Ba%2C4%7D%2C%5Cbm%7Bp%7D_%7Ba%2C4%7D%29& alt=&(E_{a,1},\bm{p}_{a,1})+(E_{a,2},\bm{p}_{a,2})=(E_{a,3},\bm{p}_{a,3})+(E_{a,4},\bm{p}_{a,4})& eeimg=&1&&. 但这样写, 并不能直接看出 Bob 也看到能动量守恒. 但如果用张量的语言直接写成: &img src=&///equation?tex=T_1%2BT_2%3DT_3%2BT_4& alt=&T_1+T_2=T_3+T_4& eeimg=&1&&, 我们立刻就知道它在 Andrew 看来是&img src=&///equation?tex=%28E_%7Ba%2C1%7D%2C%5Cbm%7Bp%7D_%7Ba%2C1%7D%29%2B%28E_%7Ba%2C2%7D%2C%5Cbm%7Bp%7D_%7Ba%2C2%7D%29%3D%28E_%7Ba%2C3%7D%2C%5Cbm%7Bp%7D_%7Ba%2C3%7D%29%2B%28E_%7Ba%2C4%7D%2C%5Cbm%7Bp%7D_%7Ba%2C4%7D%29& alt=&(E_{a,1},\bm{p}_{a,1})+(E_{a,2},\bm{p}_{a,2})=(E_{a,3},\bm{p}_{a,3})+(E_{a,4},\bm{p}_{a,4})& eeimg=&1&&, 在 Bob 看来是&img src=&///equation?tex=%28E_%7Bb%2C1%7D%2C%5Cbm%7Bp%7D_%7Bb%2C1%7D%29%2B%28E_%7Bb%2C2%7D%2C%5Cbm%7Bp%7D_%7Bb%2C2%7D%29%3D%28E_%7Bb%2C3%7D%2C%5Cbm%7Bp%7D_%7Bb%2C3%7D%29%2B%28E_%7Bb%2C4%7D%2C%5Cbm%7Bp%7D_%7Bb%2C4%7D%29& alt=&(E_{b,1},\bm{p}_{b,1})+(E_{b,2},\bm{p}_{b,2})=(E_{b,3},\bm{p}_{b,3})+(E_{b,4},\bm{p}_{b,4})& eeimg=&1&&. &b&用张量语言描述的物理定律自动保证了不随参考系变化的这一性质. 而且从记号的角度看, 用张量也更加简洁. [*]&/b&&br&&br&&ul&&li&Let us go deeper&/li&&/ul&我们已经从物理上理解了什么是张量. 物理学家到此就很满意了. 但严谨的数学家们并不满意. &你刚刚说张量是一个不随坐标而改变的, 物理系统内在的量&, 数学家质问道, &你说的我都懂, 可是张量究竟是什么?&&br&&br&如果你对线性代数略知一二, 可能知道线性变换这个概念. 线性变换这个概念的精髓之处在于, 它不依赖于线性空间的基的选取. 在某一组基下, 它的矩阵表示&img src=&///equation?tex=A& alt=&A& eeimg=&1&&是一个模样; 在另外一组基下, 它的矩阵表示&img src=&///equation?tex=A%27%3DTAT%5E%7B-1%7D& alt=&A'=TAT^{-1}& eeimg=&1&&是另一个模样, 其中&img src=&///equation?tex=T& alt=&T& eeimg=&1&&是基变换矩阵. 有一种常见的说法: &b&矩阵的意义是线性变换, 相似矩阵是同一个线性变换在不同的基下的表示. &/b&&br&&br&慢着! &同一个线性变换在不同的基下的表示&, 这难道不就是和之前说的张量是一回事嘛! Lorentz 变换就是 Minkowski 空间中的基变换, 能动量张量实质上就是一个线性变换. Andrew 和 Bob 看到的能动量张量, 不就是这个线性变换在不同的基下的表示吗? &br&&br&你现在肯定找到了一点感觉. 什么是张量? 在数学家眼中, 张量已经被抽象成了线性变换. &br&&br&当然, 数学家们还可以再进一步抽象这个概念, 提取出更普遍的 universal property. 这时, 张量被定义为张量积空间中的一个元素. 具体的定义不在此赘述, 请参考相关专著. 但尽管已经抽象到那样的程度, 其背后的思想依然是不变的. &br&&br&如果你通过上面的阅读理解了张量背后的思想, 再去看相关数学或物理专著上或繁杂或抽象的式子, 或许会开朗很多 :-)&br&&br&&br&最后引用陈维桓先生的《微分流形初步》一书中的一段话进行总结: &br&&blockquote&张量的概念是 G.Ricci 在19世纪末提出的. G.Ricci 研究张量的目的是为几何性质和物理规律的表达寻求一种在坐标变换下不变的形式. 他所考虑的张量是如同向量的分量那样的数组, 要求它们在坐标变换下服从某种线性变换的规律. 近代的理论已经把张量叙述成向量空间及其对偶空间上的多重线性函数, 但是用分量表示张量仍有它的重要性, 尤其是涉及张量的计算时更是如此.&/blockquote&&br&[*] 如果还定义了内积/缩并等运算, 还可以由张量迅速得到一些不变量. 此时会涉及对偶空间(因为内积本质是个线性函数)等概念, 进而涉及张量的协变和逆变. 为了行文简洁, 我在正文中没有提及这些概念. 但它们本质上和正文所说没有区别.
现在已有的回答都好吓人... 对于大部分已经熟练的数学和物理工作者, 这实在是一个极为基础的问题. 但这个问题在我刚接触张量时也困扰了我很久. 张量的那么多定义, 究竟哪些是对的? (显然都是对的. ) 它们的关系是什么? 我尽可能简单地用我自己的话把我对它…
&p&强烈推荐《Deep Learning》这本书，之前看过小部分英文版，感觉很不错，不管是准备面试还是学习都可能是首选。&/p&&figure&&img src=&/v2-e3ff9fef799d_b.png& data-caption=&& data-rawwidth=&257& data-rawheight=&306& class=&content_image& width=&257&&&/figure&&p&这本书的中文版于号刚刚上市，现在随便都可以在某东、某宝等买到。&/p&&p&作者：由&b&Ian Goodfellow、Yoshua Bengio 和 Aaron Courville &/b&三位大牛合著的 AI 新圣经。&/p&&p&该书由北京大学数学科学学院统计学教授、北京大学大数据研究中心和北京大数据研究院数据科学教授&b&张志华&/b&审校，众多译者协力完成。&/p&&p&《深度学习》这本书从浅入深介绍了基础数学知识、机器学习经验以及现阶段深度学习的理论和发展，不管是人工智能技术爱好者，还是相关从业人员使用这本书都是非常有好处的。&/p&&p&&br&&/p&&p&有了“一书在手，天下我有”的感觉。&/p&&p&&br&&/p&&p&再贴一段关于这本书的介绍。&/p&&p&《深度学习》的一大特点是介绍深度学习算法的本质，脱离具体代码实现给出算法背后的逻辑，不写代码的人也完全可以看。为了方便读者阅读，作者特别绘制了本书的内容组织结构图，指出了全书20章内容之间的相关关系。读者可以根据自己的背景或需要，随意挑选阅读。&/p&&p&最后再贴下这本书中文版的目录。&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&/v2-a2ffbec8a4b9d_b.png& data-caption=&& data-rawwidth=&900& data-rawheight=&1273& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&900& data-original=&/v2-a2ffbec8a4b9d_r.png&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&/v2-8e94a94aea16374df6afdc80a9800313_b.png& data-caption=&& data-rawwidth=&898& data-rawheight=&1293& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&898& data-original=&/v2-8e94a94aea16374df6afdc80a9800313_r.png&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&/v2-f2a7cdafe3e038a011e1_b.png& data-caption=&& data-rawwidth=&900& data-rawheight=&1321& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&900& data-original=&/v2-f2a7cdafe3e038a011e1_r.png&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&/v2-6a5fee2fcac3cfc811ebe0_b.png& data-caption=&& data-rawwidth=&900& data-rawheight=&1294& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&900& data-original=&/v2-6a5fee2fcac3cfc811ebe0_r.png&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&/v2-0c281fcd9f09c3e2bec93fd8_b.png& data-caption=&& data-rawwidth=&900& data-rawheight=&1304& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&900& data-original=&/v2-0c281fcd9f09c3e2bec93fd8_r.png&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&/v2-fb195ef063e4_b.png& data-caption=&& data-rawwidth=&900& data-rawheight=&1322& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&900& data-original=&/v2-fb195ef063e4_r.png&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&/v2-75a4a2dbbcca_b.png& data-caption=&& data-rawwidth=&900& data-rawheight=&1312& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&900& data-original=&/v2-75a4a2dbbcca_r.png&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&/v2-602f37a8db881c5defc567_b.png& data-caption=&& data-rawwidth=&900& data-rawheight=&1308& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&900& data-original=&/v2-602f37a8db881c5defc567_r.png&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&/v2-6b31d95ddc6fc75ae795c_b.png& data-caption=&& data-rawwidth=&900& data-rawheight=&1342& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&900& data-original=&/v2-6b31d95ddc6fc75ae795c_r.png&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&/v2-7aa837d1c_b.png& data-caption=&& data-rawwidth=&900& data-rawheight=&352& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&900& data-original=&/v2-7aa837d1c_r.png&&&/figure&&p&最后，现在可预定《深度学习中文版》的纸质版，直接在淘宝或者京东上搜索“深度学习 中文版”即可找到，一两天就能收到货。&/p&&p&&br&&/p&&p&觉得有用的看官点个赞呗～&/p&&p&刚刚去找了一下这本书的英文版和中文版PDF，已经放在网盘链接里，有需自取。&/p&&p&&a href=&///?target=http%3A///s/1o8boqdc& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://&/span&&span class=&visible&&/s/1o8boqd&/span&&span class=&invisible&&c&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&/p&&p&&b&官方中文版&/b&的GitHub链接在此：&/p&&p&&a href=&///?target=https%3A///exacity/deeplearningbook-chinese& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&exacity/deeplearningbook-chinese&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&/p&&p&&br&&/p&&p&感谢点赞，谢谢你们，欢迎关注干货～&/p&
强烈推荐《Deep Learning》这本书，之前看过小部分英文版，感觉很不错，不管是准备面试还是学习都可能是首选。这本书的中文版于号刚刚上市，现在随便都可以在某东、某宝等买到。作者：由Ian Goodfellow、Yoshua Bengio 和 Aaron Courville 三位…
&p&&b&先上结论：犯人们被释放的概率可以超过30%。&/b&&/p&&br&&p&如果你没有意识到这个结论有多么&b&惊人&/b&的话，我们先来做一个计算：&/p&&br&&p&如果每个人&b&随机&/b&选择，那么他找到自己号码的概率是50%；所以，所有人都找到自己号码的概率将是1/2的100次方。这个值约等于：&/p&&br&&p&&b&0.0000008&/b&&/p&&br&&p&而采取一定的策略，我们可以使释放的概率&b&超过0.3&/b&！【停顿两秒，此处应有掌声】&/p&&br&&p&首先我们把这一行抽屉按顺序从1到100依次编上号。&/p&&br&&p&策略如下：&/p&&br&&p&&b&1.&/b&&b&每个人首先打开与自己的编号一样的抽屉。&/b&例如：1号犯人进房间之后首先打开1号抽屉。&/p&&br&&p&&b&2.&/b&&b&如果抽屉里就是他的编号，那么潇洒离场。&/b&例如：1号犯人发现1号抽屉里就是1号卡片，潇洒离场。&/p&&br&&p&&b&3.&/b&&b&否则，他接下来打开与该抽屉里的号码一样的抽屉。&/b&例如：1号犯人发现1号抽屉里放着72号卡片，那么他接下来打开72号抽屉。&/p&&br&&p&&b&4.重复第二、第三步，直到找到自己的号码后潇洒离场，或者打开50个抽屉也没找到后黯然神伤。&/b&&/p&&br&&p&就是这么简单。&/p&&br&&p&方便起见，我们用“总共8个抽屉、每人4次尝试”作为例子：&/p&&br&&p&假设排列如下：&/p&&figure&&img src=&/67db72ae9e_b.jpg& data-rawwidth=&385& data-rawheight=&70& class=&content_image& width=&385&&&/figure&&br&&p&于是：&/p&&br&&p&1号犯人首先打开1号抽屉，发现里边放着7号卡片；接着打开7号抽屉，发现里边放着5号卡片；接着打开5号抽屉，发现里边放着1号卡片，潇洒离场。&/p&&br&&p&2号犯人首先打开2号抽屉，接着依次打开4号、8号抽屉，然后潇洒离场。&/p&&br&&p&3号犯人依次打开3号、6号抽屉，然后潇洒离场。&/p&&br&&p&4号犯人依次打开4号、8号、2号抽屉，然后潇洒离场。&/p&&br&&p&5~8号犯人同理。&/p&&br&&p&所有犯人都被释放啦！&/p&&br&&p&但并非每次都这么走运，假设排列如下：&/p&&figure&&img src=&/7985fdf7af6c0cbb9bf88_b.jpg& data-rawwidth=&385& data-rawheight=&71& class=&content_image& width=&385&&&/figure&&br&&p&1号犯人依次打开1号、3号、7号、4号……心灰意冷，黯然神伤。&/p&&br&&p&2号犯人依次打开2号、1号、3号、7号……心灰意冷，黯然神伤。&/p&&br&&p&最后，除了6号犯人潇洒离场以外，所有犯人都黯然神伤。&/p&&br&&p&时而成功，时而失败，到底什么是影响成败的因素呢？不急不急，让我慢慢说。&/p&&br&&p&事实上，我们可以用“&b&置换群&/b&”来表示卡片的摆放。&/p&&br&&p&让我们先来看那个成功的例子：&/p&&br&&p&1号抽屉放着7号卡片，7号抽屉放着5号卡片，5号抽屉放着1号卡片；&/p&&br&&p&2号抽屉放着4号卡片，4号抽屉放着8号卡片，8号抽屉放着2号卡片；&/p&&br&&p&3号抽屉放着6号卡片，6号抽屉放着3号卡片。&/p&&br&&p&发现了吗？这个排列形成了3个“&b&环&/b&”。&/p&&br&&p&这个摆放可以用循环置换记法记为&b&(1 7 5)(2 4 8)(3 6)&/b&。如下图：&/p&&figure&&img src=&/f4d73dedbc61ab3755d34_b.jpg& data-rawwidth=&110& data-rawheight=&110& class=&content_image& width=&110&&&/figure&&br&&p&同理，那个失败例子的摆放可以记为&b&(1 3 7 4 5 8 2)(6)&/b&。如下图：&/p&&figure&&img src=&/17bcd11d38f9d_b.jpg& data-rawwidth=&110& data-rawheight=&110& class=&content_image& width=&110&&&/figure&&br&&p&不管卡片怎么摆放，我们都可以表示成“环”的形式，因为每个抽屉只能从一个卡片指来，而这个抽屉里的卡片又只能指向一个抽屉，且抽屉的个数是有限的。&/p&&br&&p&其中最小的“环”的长度就是1，最大的“环”的长度则等于抽屉总数。&/p&&br&&p&&b&当每个人首先选择了自己编号的抽屉之后，沿着“环”的路径打开抽屉，最后一个未打开过抽屉里的卡片号码将会是一开始选择的抽屉的编号，也就是自己的编号&/b&——因为这是个“环”嘛。&/p&&br&&p&所以，回到原题，只要卡片的摆放没有形成长度超过50的“环”，那么所有人都可以找到自己的号码。&/p&&br&&p&那么概率怎么算呢？&/p&&br&&p&首先，最多只可能有一个长度超过50的“环”，将其长度记为L。于是，总共有C(100, L)种构成该“环”的组合，每一种组合有(L-1)!种排列（注意不是L!，因为这是“环”）。这个“环”之外的卡片有(100-L)!种排列，所以对于每一个L来说，都有C(100, L)·(L-1)!·(100-L)!=100!/L种情况。而100张卡片的总排列数是100!，所以最终所有人都猜对的可能性就是：&/p&&br&&figure&&img src=&/ad731a27b05c43f271f7_b.jpg& data-rawwidth=&601& data-rawheight=&52& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&601& data-original=&/ad731a27b05c43f271f7_r.jpg&&&/figure&&br&&p&&b&≈ 0.31183&/b&&br&&/p&&br&我们把这个值与0.0000008比较一下，是不是天壤之别？&br&&br&&p&最后，以TBBT里的一句话来结束这个回答：&/p&&br&&figure&&img src=&/e4ccbde1fcf_b.jpg& data-rawwidth=&500& data-rawheight=&711& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&500& data-original=&/e4ccbde1fcf_r.jpg&&&/figure&&br&&br&参考资料/想了解更多可点击：&a href=&///?target=http%3A//en.m.wikipedia.org/wiki/100_prisoners_problem& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&100 prisoners problem&i class=&icon-external&&&/i&&/a&
先上结论：犯人们被释放的概率可以超过30%。 如果你没有意识到这个结论有多么惊人的话，我们先来做一个计算： 如果每个人随机选择，那么他找到自己号码的概率是50%；所以，所有人都找到自己号码的概率将是1/2的100次方。这个值约等于： 0.00000…
&ul&&li&&b&&i&如果你受过严格数学思维训练，你“从入门到精通” 掌握博弈论只需要一本书&/i&&/b&：&i&A Course in Game Theory &/i&( by Martin Osborne and Ariel Rubinstein).
此书的深度，广度，视角，表述，例题等极优秀，也非常适合自学。另外，此书可免费下载，有中文译本，习题似乎也有答案。（关于数学思维能力的一个“小”测试：自己是不是能顺利读下以前未接触过的纯数学方向研究生级课本的前两章）&/li&&/ul&&br&&ul&&li&&b&&i&如果你认为自己可能欠缺数学思维训练，“从入门到精通” 掌握博弈论也只需要两本书&/i&&/b&：（一）： 任意本科程度的博弈论课本，如Gibbons, Osborne，等，乃至网上俯拾接是的本科博弈论讲义。这些教材大同小异；小异之处无关宏旨。（二）：接着学习 &i&A Course in Game Theory. &/i&学习本科博弈论后，你大约已经熟悉博弈论的思考方式，约定语言，基本概念，以至于接着读 Osborne and Rubinstein 的高度形式化（抽象）的表述有些踏实的“直觉”。&/li&&/ul&&br&&ul&&li&之前有人提到的 Fudenberg and Tirole 深度和广度都大，但讲解太过简略，适合参考，不适合自学。&/li&&/ul&
如果你受过严格数学思维训练，你“从入门到精通” 掌握博弈论只需要一本书：A Course in Game Theory ( by Martin Osborne and Ariel Rubinstein). 此书的深度，广度，视角，表述，例题等极优秀，也非常适合自学。另外，此书可免费下载，有中文译本，习题似…
先維基一下。&br&維基百科說：「 e，作为數學常數，是自然對數函數的底數，... 」&br&那自然對數又是個啥玩意？ &br&維基百科又說：「自然對數（Natural logarithm）是以e為底數的對數函數（lnx），...」&br&&br&這不就是一個赤果果的 tautology （同義反復）么？耍人呢。&br&好吧，別理書本和維基的胡說八道。用例子來說明。&br&&br&簡單的說，e就是&b&增長的極限&/b&。&br&&br&寫了兩段發現舉例子部份各種公式要貼圖實在是太瑣碎了。&b&強烈要求知乎加強編輯器的功能！！&/b&&br&&br&投降了..還是把果殼的文章搬過來吧..&br&&a href=&///?target=http%3A///article/50264/& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://www.&/span&&span class=&visible&&/article/50264&/span&&span class=&invisible&&/&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&i class=&icon-external&&&/i&&/a& &br&&blockquote&假定有一种单细胞生物，它每过24小时分裂一次。&br&那么很显然，这种生物的数量，每天都会翻一倍。今天是1个，明天就是2个，后天就是4个。我们可以写出一个增长数量的公式：&/blockquote&&figure&&img src=&/bf158d8e7fd01f39287f9_b.jpg& data-rawwidth=&136& data-rawheight=&30& class=&content_image& width=&136&&&/figure&&blockquote&上式中的x就表示天数。这种生物在x天的总数，就是2的x次方。这个式子可以被改成下面这样：&br&&/blockquote&&figure&&img src=&/7e44de5e04c6_b.jpg& data-rawwidth=&223& data-rawheight=&30& class=&content_image& width=&223&&&/figure&&blockquote&其中，1表示原有数量，100%表示单位时间内的增长率。&br&&br&我们继续假定：每过12个小时，也就是分裂进行到一半的时候，新产生的那半个细胞已经可以再次分裂了。&br&因此，一天24个小时可以分成两个阶段，每一个阶段都在前一个阶段的基础上增长50%。&/blockquote&&figure&&img src=&/11ccb8207d4acb084adc_b.jpg& data-rawwidth=&307& data-rawheight=&50& class=&content_image& width=&307&&&/figure&&blockquote&当这一天结束的时候，我们一共得到了2.25个细胞。其中，1个是原有的，1个是新生的，另外的0.25个是新生细胞分裂到一半的。&br&如果我们继续修改假设，这种细胞每过8小时就具备独立分裂的能力，也就是将1天分成3个阶段。&/blockquote&&figure&&img src=&/d7acc1a9a4f8077443cfc0c1ae5cfdf2_b.jpg& data-rawwidth=&358& data-rawheight=&50& class=&content_image& width=&358&&&/figure&&blockquote&那么，最后我们就可以得到大约2.37个细胞。&br&很自然地，如果我们进一步设想，这种分裂是连续不断进行的，新生细胞每分每秒都具备继续分裂的能力，那么一天最多可以得到多少个细胞呢？&/blockquote&&figure&&img src=&/9a7b20a6e99cc24dff1e0f_b.jpg& data-rawwidth=&308& data-rawheight=&50& class=&content_image& width=&308&&&/figure&&blockquote&当n趋向无限时，这个式子的极值等于2....。&br&&/blockquote&&figure&&img src=&/acbc82ac6a69b7ed1dec_b.jpg& data-rawwidth=&369& data-rawheight=&50& class=&content_image& width=&369&&&/figure&&blockquote&因此，当增长率为100%保持不变时，我们在单位时间内最多只能得到2.71828个细胞。数学家把这个数就称为e，它的含义是单位时间内，持续的翻倍增长所能达到的极限值。&/blockquote&&b&这个值是自然增长的极限，因此以e为底的对数，就叫做自然对数。 &/b&&br&&b&&br&&/b&&br&文章出處：阮一峰：数学常数e的含义 &a href=&///?target=http%3A///blog..& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://&/span&&span class=&visible&&/blog..&/span&&span class=&invisible&&&/span&&i class=&icon-external&&&/i&&/a&.&br&原文來源：&a href=&///?target=http%3A///articles..& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://&/span&&span class=&visible&&/art&/span&&span class=&invisible&&icles..&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&i class=&icon-external&&&/i&&/a&.
先維基一下。 維基百科說：「 e，作为數學常數，是自然對數函數的底數，... 」 那自然對數又是個啥玩意？ 維基百科又說：「自然對數（Natural logarithm）是以e為底數的對數函數（lnx），...」 這不就是一個赤果果的 tautology （同義反復）么？耍人呢。 好…
这么多赞有点受宠若惊，承蒙各位厚爱，19号再更新点吧……&br&&br&--------------&br&&br&当年我刚到学校，excited，兴冲冲跑到食堂吃饭，遇一人在四人桌吃饭，周边三丈之内座位全空，心里暗暗一惊，这莫非是传说中绝顶高手在修炼时为了集中精力所散发出的空气墙，让看他的人均退避三舍，俗称“霸气”的一招？&br&虽然我也不是等闲之辈，但是还是无法直面如此强大的功力，我看好他位置，倒退着朝他的方向走过去。就在这个时候，我造出了一个成语，“芒刺在背”，供后人使用。&br&&br&近五尺之处，再退不能，我卯足了气：“这位兄台您远远望去已气宇不凡，日后当乃人中龙凤，小生初来乍到，尚不知有如此藏龙卧虎之士。能否收了霸气，供小生在这寻个可休息的地儿。”&br&&br&高斯轻轻一笑，霸气已收：“不用叫兄台，我们估计差不多大，19岁，也今年刚到。“&br&我搬动着自己的肩膀和腿，强制转过身来，作揖，道：“小生乃数学系，不知高人贵系？”&br&高斯：“哦， 我也数学系的。”&br&我：“几班的??苟富贵无相忘！”我露出了市井小人之态。&br&高斯：“教授。”&br&我：“……”&br&&br&第二天我翻开报纸《高斯教授昨日当选为最年轻院士》&br&&br&上课第一天，函数，我才知道，从今年起，系里的所有教材将会是内部教材。&br&“咦那我向学长拿的老教材还能用么？”，我心里不免嘀咕着。&br&好消息是，能用。&br&坏消息是，仅限于第一节课。&br&因为下课后老师说了这么一句：&br&“啊我们勉强把第一章讲完了。”&br&系主任在门口叫他，他回来后，对我们说：&br&“&br&你们下课复印一下这些手稿，&br&”&br&我以为这只是偶发事件，形势还卜严骏。&br&&br&第二门课，几何，直接就是“老教材不用了，用新教材”。&br&我隐隐觉得不妙了&br&&br&果然，第三周，这种事情又来了一次，我有点受不了：“老师……这到底是怎么回事？”&br&“这可是院士的最新成果，其他学校还没有呢。”&br&&br&到了期中&br&&br&系主任说就是口试，学生先选几个话题，高斯院士挑一个听你扯，他觉得行你就行。&br&&br&整个班只有黎曼同学过了。&br&同学们纷纷表示要转系。&br&&br&可以透漏的传言&br&1
他在19岁时“决定了要搞数学”才成为数学教授的，之前并不是实力不够。在当上院士之后，数学颁奖学界正在苦思冥想新的荣誉称号。&br&2 去年被纳入高中奥数的等差数列求和公式，是他小学搞得玩意。&br&3 他家不是很有钱，但是他小时候在北京有个政府官员的后台供他读书 。&br&4 后来他每个学期都和系主任表示自己又发现了三个数学分支，求开课，系主任说：&你上个学期的手稿我们还没搞懂，没人能讲你的课啊。&&br&高斯表示自己讲课，被系主任一句：“还有更多领域等着您去发现，请不要把目光局限在今年的学生身上。”高斯觉得很有道理。于是把新手稿交给系主任。&br&&br&&br&10月19日更-------&br&5 在数学界的一句话叫做&高斯会给后辈点机会&。&br& 是说其他人独立发现的“新定理”，说不准就是高斯在十年前已经记载在手稿的东西。&br&“我也懒得争到底谁先发现的，反正我肯定名留青史。”&br&洛必达脸上一红。&br&&br&&br&&br&&br&-------------------脑洞与现实的分界线----&br&&br&&br&差不多就是这样。&br&&br&===10月十九日==&br&&br&我们老师说过一番话，我没背下来，于是修改了下。&br&“顶级数学家挖坑，给后来的数学家创造饭碗，一流数学家填坑，得到荣耀，名留青史，而我们呢，就在灌水。”&br&我当时就找到了我的定位，是陪读。&br&&br&既然评论中出现了“高斯大魔王”字样，那我也拿乒乓界来“勉强地”比喻一番吧。&br&&br&高斯死后，整理遗物，发现了很多牛逼的东西。&br&&br&可以勉强理解成：张打赢全世界，退役十几年，大家才发现张其实是左撇子，右手握拍，只是觉得“完全不需要用左手”那样。&br&&br&&br&高斯也“让球”，非欧几何算是让掉了。&br&还有些其他的比如&br&&a href=&///?target=http%3A//zh.wikipedia.org/wiki/%25E9%25AB%%2596%25AF-%25E5%258D%259A%25E5%E5%25AE%259A%25E7%& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&高斯-博内定理&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&It is named after &a href=&///?target=http%3A//en.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gauss& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Carl Friedrich Gauss&i class=&icon-external&&&/i&&/a& who was aware of a version of the theorem but never published it, and &a href=&///?target=http%3A//en.wikipedia.org/wiki/Pierre_Ossian_Bonnet& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Pierre Ossian Bonnet&i class=&icon-external&&&/i&&/a& who published a special case in 1848.&br&高斯早发表就没博内同学什么事了，后者只是提了个特例就被冠名。&br&&br&&a href=&///?target=http%3A//en.wikipedia.org/wiki/Gauss%25E2%Seidel_method& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&高斯-塞德尔迭代法&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&“It was only mentioned in a private letter from Gauss to his student &a href=&///?target=http%3A//en.wikipedia.org/wiki/Christian_Ludwig_Gerling& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Gerling&i class=&icon-external&&&/i&&/a& in 1823.&br& A publication was not delivered before 1874 by Seidel.”&br&&br&高斯的东西超前世界整整51年（我知道我夸张了）&br&&br&&br&还有高斯-马尔科夫定理，统计学生肯定绕不过的。&br&&br&高斯死于1855年，马尔科夫1856年出生。这定理明显是从遗物流出来的。&br&&br&&br&最后，疯人院/饥渴班学生都是有自知之明的。&br&&br&就是这样。
这么多赞有点受宠若惊，承蒙各位厚爱，19号再更新点吧…… -------------- 当年我刚到学校，excited，兴冲冲跑到食堂吃饭，遇一人在四人桌吃饭，周边三丈之内座位全空，心里暗暗一惊，这莫非是传说中绝顶高手在修炼时为了集中精力所散发出的空气墙，让看他…
其它三项，不研究少数工科确实没用，但概率统计真乃应用数学之王。鄙人学业从数学院开始，以经济学院结束，现在在证券公司做苦逼行业研究，深有体会。&br&&br&概率统计抛开了数学中的“确定性”，以“不确定性”的视角看待世界，并且做出了“量化不确定性”的壮志，这种气魄，真的不是其它数学分支能够比拟。&br&大多数数学分支，比如数学分析（对不起，高等数学这么业余的词我实在不习惯），都是站在高峰看人类，是上帝的视角，研究出美轮美奂的数学公理框架。&br&但是概率统计，真正贴合日常生活中人类的感知。&br&&br&&b&在社会中，并不存在“给你一个因为，你还给我一个所以”的确定性。一切社会规律，都需要概率统计来挖掘！&/b&所以，绝大多数社会科学最终都会通过概率统计走向量化，这也是现在“经济学帝国主义”泛滥的原因——毕竟经济学是数学渗透最狠的社会科学了。&br&&br&&br&举几个例子。&br&1、经济学&br&经济学中，被称为恐怕是经济学最准确的定理是恩格尔系数：随着收入的提高，食物消费比重下降。这个没有概率统计的挖掘，仅仅凭眼睛是无效的。&br&因为恩格尔系数定理，如果翻译成数学语言：其实是“当收入提高时，在90%的情况下，食物消费比重有所下降”。只有明白了这一点，才能够有力驳斥对恩格尔系数的质疑——毕竟你总能找到增加了一点收入就去吃一顿大餐的反例。&br&2、游戏营销&br&游戏营销中有一个很有用的指标，叫做ARPU值。即平均每用户收入，一个游戏1千万用户，每个月收入5千万，那么月ARPU就是5元。&br&学了概率统计的人，就应该很敏感的意识到。5元的ARPU值，不是每多一个用户，就多5块钱的收入。5元只是期望（均值），但是期望仅仅是数据分布中的&b&一个&/b&重要指标而已，即使加上方差，也不能反映全部。&br&所以，5元的ARPU值游戏，和另一个5元ARPU值游戏，是本质上不一样的！&br&这一点，突出反映在中国和海外的手机游戏的区别。&br&一旦用概率统计分析海内外游戏的差别，就会发现，同样ARPU值为5的手机游戏，中国游戏方差极大，而海外游戏方差小很多。&br&所以继续深挖，采用另一个统计指标ARPPU，平均每付费用户收入，（上述游戏，如果有100万付费用户，ARPPU为50）&br&这个时候，你就能发现，同样是ARPU为5元的游戏，国内ARPPU可能是100，而海外的是30。&br&那么你需要做什么呢？这个时候经营过的人就能想出，面对海外市场，你应该扩大流量，让游戏好玩。面对国内市场，你要伺候好土豪，比如分级客服（交钱最多的VIP1，其次的VIP2，等等），比如弄几个人和金主土豪陪玩坑钱，等等等等。&br&而现在国内手游市场，就是这样做的。&br&3、考试&br&用概率统计的思路，你就知道考试是由三方面决定的。一、水平（期望）；二、稳定性（方差），以上两点决定了你分数的概率分布；三、运气（最后落在哪一个样本上）。&br&你能控制的只有前两项。&br&所以面对比较有希望的考试，或者高考这样考在每个分数都有用的考试，你应该做的是增加期望，减小方差两方面努力，就是努力做题目（提高期望），做题目做的面面俱到（减小方差）。&br&面对如数学竞赛这样考不上一等奖啥用都没有的考试，而你水平恰恰又差一个档次，希望相对较小，这时你要做的呢，就是努力做题目（提高期望），把最重要最可能考的类型钻研到很深，不太可能考的就算了（增加方差）。&br&4、知乎&br&或许我这个答案赞同不是最多，但我有自信，如果用&b& 赞同数/粉丝数&/b& 这个指标，我能排到比较前面。&br&呵呵，这个就不多解释了，大家都懂的。&br&但是量化之后，就能更进一步分析。比如前面说的”&b&粉丝赞同率&/b&“指标，还有”&b&非粉丝赞同数&/b&“指标等等，都可以画出曲线。&br&&br&走了，苦逼行研写报告去了。因为回答这篇问题，我有30%的可能要被老板骂了。&br&————————————————————————————————————&br&最后插两个小广告&br&知乎专栏：&a href=&/thanksalot& class=&internal&&&span class=&invisible&&http://&/span&&span class=&visible&&/than&/span&&span class=&invisible&&ksalot&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&/a&&br&公众号：小X的互联网投资&br&&p&&a href=&///?target=http%3A///r/rkOXj0PEVB4rrQfs9xa8& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://&/span&&span class=&visible&&/r/rkOXj0P&/span&&span class=&invisible&&EVB4rrQfs9xa8&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&i class=&icon-external&&&/i&&/a& (二维码自动识别)&/p&
其它三项，不研究少数工科确实没用，但概率统计真乃应用数学之王。鄙人学业从数学院开始，以经济学院结束，现在在证券公司做苦逼行业研究，深有体会。 概率统计抛开了数学中的“确定性”，以“不确定性”的视角看待世界，并且做出了“量化不确定性”的壮志…
&p&我们用 81x40 个 ASCII 字符，向 -Z 轴方向渲染一个单位球 &img src=&///equation?tex=x%5E2%2By%5E2%2Bz%5E2%3D1& alt=&x^2+y^2+z^2=1& eeimg=&1&&：&/p&&div class=&highlight&&&pre&&code class=&language-c&&&span class=&cp&&#include &math.h&&/span&
&span class=&cp&&#include &stdio.h&&/span&
&span class=&kt&&int&/span& &span class=&nf&&main&/span&&span class=&p&&()&/span& &span class=&p&&{&/span&
&span class=&kt&&float&/span& &span class=&n&&x&/span&&span class=&p&&,&/span& &span class=&n&&y&/span&&span class=&p&&;&/span&
&span class=&k&&for&/span& &span class=&p&&(&/span&&span class=&n&&y&/span& &span class=&o&&=&/span& &span class=&mi&&1&/span&&span class=&p&&;&/span& &span class=&n&&y&/span& &span class=&o&&&=&/span& &span class=&o&&-&/span&&span class=&mi&&1&/span&&span class=&p&&;&/span& &span class=&n&&y&/span& &span class=&o&&-=&/span& &span class=&mf&&0.05f&/span&&span class=&p&&,&/span& &span class=&n&&putchar&/span&&span class=&p&&(&/span&&span class=&sc&&'\n'&/span&&span class=&p&&))&/span&
&span class=&k&&for&/span& &span class=&p&&(&/span&&span class=&n&&x&/span& &span class=&o&&=&/span& &span class=&o&&-&/span&&span class=&mi&&1&/span&&span class=&p&&;&/span& &span class=&n&&x&/span& &span class=&o&&&=&/span& &span class=&mi&&1&/span&&span class=&p&&;&/span& &span class=&n&&x&/span& &span class=&o&&+=&/span& &span class=&mf&&0.025f&/span&&span class=&p&&)&/span&
&span class=&n&&putchar&/span&&span class=&p&&(&/span&&span class=&n&&x&/span& &span class=&o&&*&/span& &span class=&n&&x&/span& &span class=&o&&+&/span& &span class=&n&&y&/span& &span class=&o&&*&/span& &span class=&n&&y&/span& &span class=&o&&&&/span& &span class=&mi&&1&/span& &span class=&o&&?&/span& &span class=&sc&&'M'&/span& &span class=&o&&:&/span& &span class=&s&&&@@%#*+=;:. &&/span&&span class=&p&&[(&/span&&span class=&kt&&int&/span&&span class=&p&&)(&/span&
&span class=&p&&((&/span&&span class=&n&&x&/span& &span class=&o&&+&/span& &span class=&n&&y&/span& &span class=&o&&+&/span& &span class=&n&&sqrt&/span&&span class=&p&&(&/span&&span class=&mi&&1&/span& &span class=&o&&-&/span& &span class=&p&&(&/span&&span class=&n&&x&/span& &span class=&o&&*&/span& &span class=&n&&x&/span& &span class=&o&&+&/span& &span class=&n&&y&/span& &span class=&o&&*&/span& &span class=&n&&y&/span&&span class=&p&&)))&/span& &span class=&o&&*&/span& &span class=&mf&&0.f&/span& &span class=&o&&+&/span& &span class=&mi&&1&/span&&span class=&p&&)&/span&
&span class=&o&&*&/span& &span class=&mf&&5.0f&/span& &span class=&o&&+&/span& &span class=&mf&&0.5f&/span&&span class=&p&&)]);&/span&
&span class=&p&&}&/span&
&/code&&/pre&&/div&&p&编译运行结果：&/p&&figure&&img src=&/v2-1b68c932d3cbe_b.png& data-rawwidth=&1148& data-rawheight=&1126& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1148& data-original=&/v2-1b68c932d3cbe_r.png&&&/figure&&p&解释一下，这个单位球是投影在 &img src=&///equation?tex=xy& alt=&xy& eeimg=&1&& 平面上，所以 y 从上至下、x 从左至右迭代；而一般半角文字的显示长宽比是 2:1， y 轴用 1 / 20 = 0.05 增量，x 轴用 1 / 40 = 0.025。&/p&&p&我们知道单位球投影在 &img src=&///equation?tex=xy& alt=&xy& eeimg=&1&& 平面后，会在单位圆的范围，即 &img src=&///equation?tex=x%5E2%2By%5E2+%5Cle+1& alt=&x^2+y^2 \le 1& eeimg=&1&& ，在这范围内渲染单位球的表面，范围以外填上背景（'M' 字符）。&/p&&p&为了表示&b&立体感&/b&，需要按球体表面的法线着色。单位球的&b&表面法线等同于表面位置&/b&，表面位置／法线可以从单位球的方程解出：&/p&&img src=&///equation?tex=x%5E2%2By%5E2%2Bz%5E2%3D1+%5CLeftrightarrow+z+%3D+%5Cpm+%5Csqrt%7B1+-+x%5E2+-+y%5E2%7D& alt=&x^2+y^2+z^2=1 \Leftrightarrow z = \pm \sqrt{1 - x^2 - y^2}& eeimg=&1&&&p&因为面向我们的一面球面是向 +z 方向的，z 值取正号便可。&/p&&p&然后，通常着色的 Lambert 项是：&/p&&img src=&///equation?tex=%5Cmax%28%5Chat%7B%5Cmathbf%7BL%7D%7D%5Ccdot%5Chat%7B%5Cmathbf%7BN%7D%7D%2C+0%29& alt=&\max(\hat{\mathbf{L}}\cdot\hat{\mathbf{N}}, 0)& eeimg=&1&&&p&当中 &img src=&///equation?tex=%5Chat%7B%5Cmathbf%7BL%7D%7D& alt=&\hat{\mathbf{L}}& eeimg=&1&& 为光源方向， &img src=&///equation?tex=%5Chat%7B%5Cmathbf%7BN%7D%7D& alt=&\hat{\mathbf{N}}& eeimg=&1&& 为法线。需要 max 是因为两者夹角超过 90 度是不会获得光照。但这里采用了一个名为 &a href=&///?target=https%3A///wiki/Half_Lambert& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Half Lambert &i class=&icon-external&&&/i&&/a&的方案（最先用于《Half Life》游戏），把着色的过渡从 0 至 90 度，扩展至 0 至 180 度，使整个球体表面都有过渡着色（这种非物理正确的方法可用于模拟 SSS 或卡通化的效果）：&/p&&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7B%5Chat%7B%5Cmathbf%7BL%7D%7D%5Ccdot%5Chat%7B%5Cmathbf%7BN%7D%7D+%2B+1%7D%7B2%7D& alt=&\frac{\hat{\mathbf{L}}\cdot\hat{\mathbf{N}} + 1}{2}& eeimg=&1&&&figure&&img src=&/v2-75f3ac4f0c28ecc457d14e_b.png& data-rawwidth=&500& data-rawheight=&310& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&500& data-original=&/v2-75f3ac4f0c28ecc457d14e_r.png&&&/figure&&p&（左为 Lambert 项，右为 Half Lambert 项）&/p&&p&为简单起见，我们采用 &img src=&///equation?tex=%5Chat%7B%5Cmathbf%7BL%7D%7D%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B3%7D%7D%7B3%7D+%26+%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B3%7D%7D%7B3%7D+%26+%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B3%7D%7D%7B3%7D%5Cend%7Bbmatrix%7D& alt=&\hat{\mathbf{L}}=\begin{bmatrix}\frac{\sqrt{3}}{3} & \frac{\sqrt{3}}{3} & \frac{\sqrt{3}}{3}\end{bmatrix}& eeimg=&1&& 作为光源方向，那么着色就变成：&/p&&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7B%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B3%7D%7D%7B3%7D%5Chat%7B%5Cmathbf%7BN%7D%7D+%2B+1%7D%7B2%7D& alt=&\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}\hat{\mathbf{N}} + 1}{2}& eeimg=&1&&&p&最后，我们把亮度结果映射至 10 个字符。 &/p&&h2&相关答案和文章&/h2&&ul&&li&&a href=&/question//answer/& class=&internal&&如何用 C 语言画「心形」？ - 知乎&/a&&/li&&li&&a href=&/question//answer/& class=&internal&&如何用 C 语言画一个“圣诞树”？&/a&&/li&&li&&a href=&/question//answer/& class=&internal&&马赛克球体如何用AI或者PS做出来？ - 知乎&/a&&/li&&li&&a href=&/p/& class=&internal&&如何用 C 语言画这个图 - 知乎专栏&/a&&/li&&li&&a href=&/p/& class=&internal&&用 C 语言画科赫雪花 - 知乎专栏&/a&&/li&&/ul&
我们用 81x40 个 ASCII 字符，向 -Z 轴方向渲染一个单位球 x^2+y^2+z^2=1：#include &math.h&
#include &stdio.h&
int main() {
for (y = 1; y &= -1; y -= 0.05f, putchar('\n'))
for (x = -1; x &= 1; x += 0.025f)
putchar(x * x + y *…
&p&赌局规则：&b&两人各自亮出硬币的一面。如果两人都是正面，那么A给B3元，如果两人都是反面，A给B1元，剩下的情况B给A2元。&/b&&/p&&p&误导：都是正面的概率是1/4，都是反面也是1/4，一正一反的概率是1/2。
那么通过这个游戏，B获得的奖励的期望：
E（x）＝（1/4）×3+（1/4）×1－（1/2）×2＝0
&b&看似公平&/b&。&/p&&p&上述解法的错误分析：
&b&亮出硬币正反面的概率是可以控制的！不是抛硬币的随机事件。&/b&&/p&&p&其实这道题不是简单的概率问题，而是一个经典的&b&零和混合策略博弈问题&/b&。
&/p&&p&假设A出正面的概率是p?，B出正面的概率是p?
那么A的平均收益则为 &/p&&img src=&///equation?tex=E%28A%29%3D-3%2AP1%2AP2-1%2A%281-P1%29%281-P2%29%2B2%5BP1%281-P2%29%2B%281-P1%29P2%5D& alt=&E(A)=-3*P1*P2-1*(1-P1)(1-P2)+2[P1(1-P2)+(1-P1)P2]& eeimg=&1&&&p&B的收益则是&/p&&img src=&///equation?tex=E%28B%29%3D3%2AP1%2AP2%2B1%2A%281-P1%29%2A%281-P2%29-2%5BP1%2A%281-P2%29%2B%281-P1%29%2AP2%5D& alt=&E(B)=3*P1*P2+1*(1-P1)*(1-P2)-2[P1*(1-P2)+(1-P1)*P2]& eeimg=&1&&&p&这个游戏只有一个混合策略纳什均衡(Nash equilibrium)，即(p?,p?)=(3/8,3/8)。
&/p&&blockquote&如果一个策略组合使任何一个参与人的策略都是相对于其他参与人的策略的最佳策略，这个策略就构成一个纳什均衡，不管这个策略是混合策略还是纯策略。
混合策略纳什均衡是面对其他博弈者选择的不确定性的一个理性对策，其主要特征是作为混合策略一部分的每一个纯策略有相同的期望值，否则，一个博弈者会选择那个期望值最高的策略而排除所有其他策略,这意味着原初的状态不是一个均衡。
&/blockquote&&br&&p&而如果使用了达到纳什均衡的那个策略，即&b&p1=p2=3/8&/b&。&/p&&p&那么，无论B选择什么策略都会有相同的收益期望。&/p&&p&结论：A以3/8的概率出正面，假设B以任意y（0≤y≤1）的概率出正面&/p&&p&&b&E（B）＝（3/8）*3*y＋（5/8）（1－y）*1－【（3/8）*（1－y）＋（5/8）*y】*2＝－1/8
&/b&&/p&&p&即n轮游戏后，B平均每轮要输1/8元。&/p&&p&---------------------------------专业的分割线-------------------------------------------&/p&&p&原答案省略了运用纳什均衡的计算过程&/p&&p&混合策略纳什均衡就是使双方无论做出何种选择，&b&收益都要最大化&/b&，则在上述情况下，应该&b&要使不论B做出何种选择，收益相等&/b&。（我的简单理解）&/p&&p&参照上述的公式E(A)&/p&&img src=&///equation?tex=-3%2AP1%2B2%281-P1%29%3D-1%281-P1%29%2B2%2AP1& alt=&-3*P1+2(1-P1)=-1(1-P1)+2*P1& eeimg=&1&&&p&（方程左边为B出正面的情况，右边为B出反面的情况）&/p&&p&解得P1=3/8，此时A的期望为1/8 （套用上述求E（A）的公式）&/p&&p&同理P2=3/8，此时B的期望为-1/8（套用上述求E（B）的公式）&/p&&p&--------------------------这是一条条分割线--------------------------------------------&/p&&p&关于纳什均衡的跟深入理解与运用，我也要和各位一起钻研。希望大家能分享一些更深入透彻的理解方法。&/p&&p&答案前前后后改了3遍，感谢各位提出的宝贵意见 &a class=&member_mention& href=&///people/978b26f36b55fc3a38820cbf71207c99& data-hash=&978b26f36b55fc3a38820cbf71207c99& data-hovercard=&p$b$978b26f36b55fc3a38820cbf71207c99&&@Ly Rus&/a& &a class=&member_mention& href=&///people/59e961e9aba08ebbaecff4a7& data-hash=&59e961e9aba08ebbaecff4a7& data-hovercard=&p$b$59e961e9aba08ebbaecff4a7&&@飞翔的沙子&/a& &a class=&member_mention& href=&///people/d310ea6b756a518e3bd693d461f3c680& data-hash=&d310ea6b756a518e3bd693d461f3c680& data-hovercard=&p$b$d310ea6b756a518e3bd693d461f3c680&&@五糟&/a& &/p&&p&评论区里大神用算法模拟此赌局策略，验证策略的可靠性，十分感谢。&/p&&p&&a class=&member_mention& href=&///people/80d153dd2f25c82123ab7& data-hash=&80d153dd2f25c82123ab7& data-hovercard=&p$b$80d153dd2f25c82123ab7&&@萝莉即正义&/a& &a class=&member_mention& href=&///people/8ae6e40b53f761e1b0b6f0ca33b45b0e& data-hash=&8ae6e40b53f761e1b0b6f0ca33b45b0e& data-hovercard=&p$b$8ae6e40b53f761e1b0b6f0ca33b45b0e&&@谢耳朵&/a& &a class=&member_mention& href=&///people/f2efefbb1f4ccf4adbcddf& data-hash=&f2efefbb1f4ccf4adbcddf& data-hovercard=&p$b$f2efefbb1f4ccf4adbcddf&&@黄二麻子&/a& &/p&&p&我也想知道怎么用算法模拟。&/p&&p&感谢 &a class=&member_mention& href=&///people/abf8d3d5c364c63ae8bbab44e397c451& data-hash=&abf8d3d5c364c63ae8bbab44e397c451& data-hovercard=&p$b$abf8d3d5c364c63ae8bbab44e397c451&&@动态分区&/a& 的算法。&/p&&p& & A=rep(0,10000)
& B=rep(0,10000)
& R=rep(0,10000)
& M=rep(0,99)
& p=seq(from=0,to=0.99,by=0.01)
& for (time in 1:99){
for (i in 1:10000){
if (runif(1)&0.625) A[i]=1
else A[i]=0
for (i in 1:10000){
if (runif(1)&p[time]) B[i]=1
else B[i]=0
for (i in 1:10000){
if(B[i]==1 && A[i]==1) R[i]=-3
if(B[i]==0 && A[i]==0) R[i]=-1
if(B[i]==1 && A[i]==0) R[i]=2
if(B[i]==0 && A[i]==1) R[i]=2
M[time]=mean(R)
& plot(p[1:99],M)
[1] 0.1251596 &/p&&p&对于各位所说的现实情形，如双方心理，策略变化等主观因素。我的回答是：
&/p&&p&现实远比数学模型复杂，这个解答忽略了很多客观，主观因素。纳什均衡也远比上述复杂，用一个数学模型去解释复杂的心理与现实环境，或许不太现实，或许我能力不够。&/p&&p&又一个结论：&b&两硬币同一面，则A给B2元，一正一反，则B给A两元。这个规则对AB公平，即不论采取何种策略，都无法保证赢。期望等于零。&/b&&/p&&p&------------------------------懒得划分割线-------------------------------&/p&&p&我一介知乎小透明，承众多知友厚爱，竟得到这么多赞，感激不胜。&/p&&p&很多知友都对博弈论感兴趣，那我推荐几本挺好的教材吧。&/p&&p&&b&《妙趣横生博弈论》&/b&（迪克西特，奈尔伯夫）（入门级，侧重与经济学领域）&/p&&p&&b&《策略博弈》&/b&（迪克西特，斯克丝）（系统，简要地介绍博弈论的基础知识，解释清晰，逻辑严密，涉及数学，经济，军事等邻域，语音和逻辑不会特绕，当然，细心思考更能理解博弈论的精妙）&/p&&p&&b&《博弈论战略分析入门》&/b&（老师推荐的，目前还没看，不枉作评论）&/p&&p&&b&耶鲁大学关于博弈论的公开课&/b&值得推荐&/p&&p&地址：&a href=&///?target=http%3A///special/gametheory/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&耶鲁大学公开课：博弈论_全24集_网易公开课&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&/p&&p&另外：转载请私信，注明作者。&/p&
赌局规则：两人各自亮出硬币的一面。如果两人都是正面，那么A给B3元，如果两人都是反面，A给B1元，剩下的情况B给A2元。误导：都是正面的概率是1/4，都是反面也是1/4，一正一反的概率是1/2。
那么通过这个游戏，B获得的奖励的期望：
E（x）＝（1/4）×3+（1…
如果可以超过光速，相对论确实允许回到过去。有打油诗为证：&br&&br&&blockquote&年轻女郎名伯蕾，神行有术光难追。&br&爱因斯坦来指点，今日出游昨日归。&br&&br&—— 伽莫夫 《从一到无穷大》&/blockquote&&br&但是，要做的这一点，方法比你想象的可能要复杂一点。&br&&br&&b&1. 关于快子(tachyon)&/b&&br&&br&要达到回到过去的目的，首先我们要解决超光速运动的难题。&br&&br&但是，我们无法让你亲身体验超光速运动，因为作为一个拥有正常质量的物体，你的质量会随着速度提高而增加。即使耗尽宇宙中的所有能量，也无法把你加速到光速，更不用说超过光速了。我们必须寻找一种天生就能超光速运动的物质，来完成这个使命。&br&&br&快子是一种假想中的粒子，它&b&总是&/b&以超过光速的速度运动。迄今为止，真正的快子从来没有被发现过，物理学家们对这种粒子是否能够存在也一直存在争议。下面我们先来看看快子的一些奇妙特性。&br&&br&根据洛伦兹不变性，狭义相对论同样适用于超光速运动的快子。所以，一个静质量为m，速度为v的快子具有能量&br&&figure&&img src=&/cc543d06bdf_b.png& data-rawwidth=&119& data-rawheight=&58& class=&content_image& width=&119&&&/figure&由于快子速度v大于光速c，不难看出，上面分母中根号内的值是负数，也就是说，分母是虚数。而一个物体的能量必须是实数，这就要求&b&快子的静质量也是虚数&/b&。&br&&br&超光速运动的快子可以赶上它发出的光（如果快子可以发出可见光让你看见），所以，当一个快子向你飞来时，你不会看见它。只有当它经过你以后，它发出的光才会到达。同时，它经过你以后发出的光也会被你看见。这时候的视觉效果是，一个快子一分为二，向相反的方向飞去。&br&&figure&&img src=&/b771e8d11d8e1cc38ffa3b_b.png& data-rawwidth=&739& data-rawheight=&246& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&739& data-original=&/b771e8d11d8e1cc38ffa3b_r.png&&&/figure&上图（2）中的蓝色快子影像来自它到达你以前发出的光，看起来它朝着快子运动方向相反的方向飞去。而红色影像来自它经过你以后发出的光，这个影像运动方向和快子运动方向一致。由于多普勒效应，这两个影像的光会分别表现出蓝移和红移的效果。&br&&br&不过这只是光学上的小把戏，不用把它看成真正的逆转时间，飞回过去。下面我们来看看怎么让快子真正地回到过去。&br&&br&&b&2. 简单的实验&/b&&br&&br&&figure&&img src=&/2efb89a4b7971ccfc4c1ebf06d2ab7d6_b.png& data-rawwidth=&582& data-rawheight=&263& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&582& data-original=&/2efb89a4b7971ccfc4c1ebf06d2ab7d6_r.png&&&/figure&&br&在这个例子中，站在A处的猫向站在B处的老鼠发射了一个速度为a快子。假设猫发出快子的时间是t0，老鼠接受到快子的时间是t1，那么两者之间的时间差就是&br&&figure&&img src=&/7a26acbfe1cfc6f_b.png& data-rawwidth=&193& data-rawheight=&41& class=&content_image& width=&193&&&/figure&对于这个简单的结果，连站在中间的狗也不会有什么异议。所以，虽然我们用上了超光速的快子，却并没有看到回到过去的效果。&br&&br&下面我们改进一下这个实验，让狗以速度v（小于光速）向右运动。&br&&figure&&img src=&/506fd43c7bd3e158c02e1e91f69a4f9e_b.png& data-rawwidth=&582& data-rawheight=&246& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&582& data-original=&/506fd43c7bd3e158c02e1e91f69a4f9e_r.png&&&/figure&现在，狗在一个不同的惯性系中，它对时间t0和t1也有了不一样的认识，而两个事件（“猫发出快子”和“老鼠接收到快子”）之间的时间差需要用洛伦兹变换来计算：&br&&figure&&img src=&/b26e6f9b16c206a6a9578b_b.png& data-rawwidth=&362& data-rawheight=&111& class=&content_image& width=&362&&&/figure&虽然狗的运动速度v小于光速c，但是快子的速度a大于光速c。在av&c^2的条件下，上面计算结果中的分子将会是负数（例如，v=0.2c，a=6c）。这就意味着对于狗来说，老鼠接收到快子早于猫发出快子 —— 因果关系颠倒了。&br&&br&当然，从猫和老鼠的角度来看，并没有什么不妥。因果关系仍然是正常的。那么，三个动物做出的相互矛盾的观察，哪一个是对的呢？狭义相对论认为，没有一个惯性系优于其他的惯性系，所以，它们都是对的。&br&&br&&b&3. 狭义相对论中的同时性（simultaneity)&/b&&br&&br&这里的分析是基于狭义相对论中的&b&同时性&/b&概念。多数人对狭义相对论的理解是“钟慢尺缩”，却对同时性了解甚少。&br&&br&&b&相对论中的因果关系&/b&不是指逻辑上的因果关系（如”天上下雨，地上就湿”），而是指两个事件之间能否以光速传递信息。如果两个事件之间可以以光速传递信息，那么两个事件就有因果关系，也就是所谓的光锥之内。如果不能以光速在两个事件之间传递信息，我们就可以认为两个事件&b&可以&/b&同时发生（它们在彼此的光锥之外）。然而，这个同时性也是相对的，不同惯性系中的观察者对事件的顺序会有不同的观察结果。&br&&figure&&img src=&/812cbb3af6aefea_b.png& data-rawwidth=&666& data-rawheight=&357& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&666& data-original=&/812cbb3af6aefea_r.png&&&/figure&&br&比如，在上面的图中，站在中间的狗会认为猫和老鼠同时开枪，而向右边运动的狗却会认为老鼠比猫线开枪。同样，由于所有的惯性系都是平等的，所以它们的观察结果都是正确的。&br&&br&在运动速度小于光速的情况下，有因果关系的事件无论从哪一个惯性系观察，时间的先后顺序都不会有区别——原因总是早于结果。然而，在超光速运动的惯性系中，因果关系也会被颠倒——结果可能先于原因，就像第2节中的例子一样。&br&&br&&b&4. 发送消息到过去&/b&&br&&br&在第2节的例子中，你可以认为狗是一个无关紧要的旁观者，所以这个结果好像并不十分有趣。不过，从这个例子我们可以得到一个启示：&b&要想让快子回到过去，我们需要利用一个相对运动的惯性系&/b&。&br&&br&我们来设计一种能够让你和过去通信的装置——快子电话（tachyonic antitelephone）。这个装置包含两个部分：&br&&br&1. 你拿着的快子发送和接受装置&br&2. 一个装在宇宙飞船上面的快子反射装置，它接收到快子信号后，会立即把快子反射回去。&br&&br&&figure&&img src=&/4e85cbfbad3adcc71ec610_b.png& data-rawwidth=&666& data-rawheight=&227& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&666& data-original=&/4e85cbfbad3adcc71ec610_r.png&&&/figure&&br&快子电话的操作方法很简单：你向飞船发射快子信号，飞船把快子信号反射回来给你。&br&&br&和前面的简单例子比较，你会发现这个飞船实际上同时扮演了老鼠和狗的角色——它既是一个运动的惯性系，还能够接受快子信号。这就意味着它可以在信号发出之前接受到信号，并且有可能在信号发出之前把信号给你送回去。所以，这是一个货真价实的和过去通话的装置。&br&&br&我们来看一个具体的例子。&br&&br&现在，你打算用这个快子电话发一笔横财。具体方法是，在彩票头奖号码出炉以后，把号码发给过去的自己。&br&&br&最初，飞船和你的距离为0，并以0.8倍光速（0.8c）远离你运动。根据洛伦兹变换，这个速度将导致运动中的物体的时间以0.6的比例膨胀（洛伦兹因子为0.6）。&br&&br&&b&首先我们从你的惯性系来分析&/b&。&br&&br&&ol&&li&你的时间过去300天以后，彩票头奖号码公布了。你向用快子向飞船发出彩票号码。快子速度为2.4倍光速（2.4c）。&br&&/li&&li&150天以后（第450天），你计算快子运动了150 x 2.4 = 360“光天”的距离（模仿光年的概念，我们把“光天”定义为光运动一天走过的距离）。&br&&/li&&li&由于飞船以0.8c的速度走了450天，它也应该走了450 x 0.8 = 360 光天，所以，在第450天，飞船应该接收到信号了。&br&&/li&&li&由于相对论的时间膨胀效果，飞船上的时间实际上只过了450 x 0.6 = 270天。&br&&/li&&/ol&&br&&b&现在我们转移到飞船的惯性系。&/b&&br&&br&&br&&ol&&li&飞船把用2.4倍光速的快子把信号反射回去。&br&&/li&&li&135天以后，快子信号可以飞行135 x 2.4 = 324光天。&br&&/li&&li&同时，相对飞船来说，你以0.8c的速度运动了270 + 135 = 405天，你应该距离飞船 405 x 0.8 = 324 光天。&br&&/li&&li&所以，你应该在第405天收到信号。&br&&/li&&li&由于相对论的时间膨胀效果，你的时间只过去了405 x 0.6 = 243天。&br&&/li&&/ol&所以，你在发出彩票号码以前300 - 243 = 57天以前收到了彩票号码，如愿以偿地获得了头奖。&br&&br&&b&5. 悖论&/b&&br&&br&然而故事还没有完，得到头奖以后，你发现既然钱已经到手，就没有必要在向过去的自己发送彩票号码了。这无疑就导致了一个悖论——如果不发送号码，过去的自己就不能得到号码。如果你真的不再发送号码，会有什么后果呢？你的银行账户汇噗的一声清零还是你依然可以纸醉金迷的度过余生呢？&br&&br&其实，即使你没有改变主意，悖论也会发生。在你用快子信号发出彩票号码的时候，你并没有中奖。当彩票号码被送回过去以后，你在过去中奖了。那么，现在的你，是中奖了还是没有中奖呢？你会吃惊地发现银行账户多了一笔巨款，还是理所当然的接受这个结果呢？&br&&br&对于任何从未来影响过去的理论，无论是快子还是虫洞，悖论似乎都是不可避免的。包括爱因斯坦在内的物理学家们都认识到了这一点。爱因斯坦的观点是，这种悖论并不影响我们对因果关系的认识，它只能说明，超光速运动是不可能的。&br&&br&然而，今天的物理学家们也没有完全否定快子的可能性。近年来也有一些新的理论试图消除超光速导致的悖论。比如，”自洽原则“理论认为，宇宙有自己固有的机制来防止悖论的产生。如果这个理论成立的话，在上面的例子中，宇宙也许会通过我们还无法认识的机制，阻止你中奖，或者强迫你把那个快子信号送出去，从而避免产生悖论。此外，诞生于量子物理的多世界理论（平行宇宙）也试图通过分叉的时间线来解释和避免悖论——如果你影响的过去是另一个平行宇宙，悖论自然就不不存在了。
如果可以超过光速，相对论确实允许回到过去。有打油诗为证： 年轻女郎名伯蕾，神行有术光难追。 爱因斯坦来指点，今日出游昨日归。 —— 伽莫夫 《从一到无穷大》 但是，要做的这一点，方法比你想象的可能要复杂一点。 1. 关于快子(tachyon) 要达到回到过去…
这个时候，受人以渔，不如直接做一道水煮鱼。&br&&br&我的数学错题本，直接拿去。&br&&br&[印象笔记共享链接]&br&&a href=&///?target=https%3A///shard/s535/sh/d45f6543-ba2f--f78ded9b03ee/0e08cfa5db019211aed78e& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&https://www.&/span&&span class=&visible&&/shard/s535&/span&&span class=&invisible&&/sh/d45f6543-ba2f--f78ded9b03ee/0e08cfa5db019211aed78e&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&figure&&img src=&/v2-7edd6bef2d1ae_b.jpg& data-rawwidth=&1080& data-rawheight=&5877& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1080& data-original=&/v2-7edd6bef2d1ae_r.jpg&&&/figure&&br&本人2008年参加的广东文科高考，数学考了130分。肯定不及很多大牛，可我本身数学是属于那种很差的类型，就是靠着自己的总结和背记，结果在最后的高考中，基础最差的数学考了最高分。&br&笔记是2008年备考时手写的，字写得差，将就下吧。这段时间想起来，在公司做了彩色扫描。&br&可以给现在还没有思路的考生同学直接上手复习，也可以给高一高二的同学参考。&br&本人反对知识产权，请大家随意转发。
这个时候，受人以渔，不如直接做一道水煮鱼。 我的数学错题本，直接拿去。 [印象笔记共享链接]
本人2008年参加的广东文科高考，数学考了13…
&h2&&b&&a href=&///?target=http%3A///mining-bitcoin-with-pencil-and-paper-& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Mining Bitcoin With Pencil and Paper&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&/b&&/h2&&p&&b&楼主，这里有教程，我很看好你。解出来以后比特币的开采就有你掌控了。挣钱了记得给我冲50元话费。&/b&&/p&&p&&b&结论写在这吧：作者做了个比喻，用手算出哈希值的难度比在全世界的沙子里面找到特定的一粒沙子还要难，可能性还要低。&/b&&/p&&p&&b&教程每天算出来手算的速度是0.67hash（不吃不喝不睡）,楼主经过训练以后速度应该有所提升，和现在主流挖矿机比起来挖矿机的速度是楼主的一百万的三次方倍（&/b&quintillion&b&）。&/b&&/p&&p&&b&但是楼主没问难不难，只问可不可以，所以答案是可以的。&/b&&/p&&p&Ken Shirriff&/p&&figure&&img data-rawheight=&566& src=&/v2-8bfc4179b3dde3787746c_b.png& data-rawwidth=&800& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&/v2-8bfc4179b3dde3787746c_r.png&&&/figure&&p&I decided to see how practical it would be to mine Bitcoin with pencil and paper. It turns out that the SHA-256 algorithm used for mining is pretty simple and can in fact be done by hand. Not surprisingly, the process is extremely slow compared to hardware mining and is entirely impractical. But performing the algorithm manually is a good way to understand exactly how it works.&/p&&p&&i&&b&我决定看看用铅笔和纸来演算挖比特币的矿是不是一件可行的事情。结果我发现挖矿所用的SHA-256算法其实很简单并且也可以用手算。当然了，与硬件挖矿相比这个过程是漫长的，但这不失为一中理解比特币挖矿算法的一种好方法。&/b&&/i&&/p&&p&&b&The mining process&/b&&/p&&h2&Bitcoin mining is a key part of the security of the Bitcoin system. The idea is that Bitcoin miners group a bunch of Bitcoin transactions into a block, then repeatedly perform a cryptographic operation called hashing zillions of times until someone finds a special extremely rare hash value. At this point, the block has been mined and becomes part of the Bitcoin block chain. The hashing task itself doesn't accomplish anything useful in itself, but because finding a successful block is so difficult, it ensures that no individual has the resources to take over the Bitcoin system. For more details on mining, see my &a href=&///?target=http%3A///2014/02/bitcoin-mining-hard-way-algorithms.html& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Bitcoin mining article&i class=&icon-external&&&/i&&/a&.&/h2&&p&&i&比特币挖矿是比特币系统安全的保证。中心思想就是比特币矿工们汇聚到一个矿区并且重复进行加密的哈希运算（&b&不计其数的，zillion应该是比trillion还大的多得多的计量单位。&/b&）直到找到产生合适的哈希的字符串。到此为止，这个区块就已经被挖到了并成为了比特币区块链上的一环。哈希运算本省并没有任何意义。但是挖矿的难度由于是巨大的，这就保证了没有任何一个人可以有足够多的资源占据整个比特币系统。&/i&&/p&&p&A cryptographic hash function takes a block of input data and creates a smaller, unpredictable output. The hash function is designed so there's no &short cut& to get the desired output—you just have to keep hashing blocks until you find one by brute force that works. For Bitcoin, the hash function is a function called &a href=&///?target=http%3A//en.wikipedia.org/wiki/SHA-2& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&SHA-256&i class=&icon-external&&&/i&&/a&. To provide additional security, Bitcoin applies the SHA-256 function twice, a process known as double-SHA-256.&/p&&p&&i&&b&加密的哈希计算确保了解出这个运算没有任何捷径，只能够不断觉得进行运算用暴力的方法直至成功。&/b&&/i&&/p&&p&In Bitcoin, a successful hash is one that starts with enough zeros. [1] Just as it is rare to find a phone number or license plate ending in multiple zeros, it is rare to find a hash starting with multiple zeros. But Bitcoin is exponentially harder. Currently, a successful hash must start with approximately 17 zeros, so only one out of 1.4x1020 hashes will be successful. In other words, finding a successful hash is harder than finding a particular grain of sand out of &a href=&///?target=http%3A//www.npr.org/blogs/krulwich///which-is-greater-the-number-of-sand-grains-on-earth-or-stars-in-the-sky& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&all the grains of sand on Earth&i class=&icon-external&&&/i&&/a&.&/p&&p&The following diagram shows a &a href=&///?target=http%3A///b/286819& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&block&i class=&icon-external&&&/i&&/a& in the Bitcoin blockchain along with its hash. The yellow bytes are hashed to generate the block hash. In this case, the resulting hash starts with enough zeros so mining was successful. However, the hash will almost always be unsuccessful. In that case, the miner changes the nonce value or other block contents and tries again.&/p&&p&&i&Structure of a Bitcoin block&/i&&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img data-rawheight=&372& src=&/v2-a35c14b89d_b.png& data-rawwidth=&636& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&636& data-original=&/v2-a35c14b89d_r.png&&&/figure&&h2&&b&The SHA-256 hash algorithm used by Bitcoin&/b&&/h2&&p&The SHA-256 hash algorithm takes input blocks of 512 bits (i.e. 64 bytes), combines the data cryptographically, and generates a 256-bit (32 byte) output. The SHA-256 algorithm consists of a relatively simple round repeated 64 times. The diagram below shows one round, which takes eight 4-byte inputs—A through H—then performs a few operations, and generates new values of A through H.&/p&&p&&i&SHA-256 算法把输入为64bytes的区块整合成加密数据并产生了32byte的输出。SHA-256 算法包含了相对而言简单的64轮操作。下面的图展示了把8个4byte的输入从A到H，展开了一些运算以后产生了从A到H新的值。&/i&&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img data-rawheight=&565& src=&/v2-4bcfbae0e4c124a77b83a_b.png& data-rawwidth=&800& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&/v2-4bcfbae0e4c124a77b83a_r.png&&&/figure&&p&&i&One round of the SHA-256 algorithm showing the 8 input blocks A-H, the processing steps, and the new blocks.&/i& &i&&a href=&///?target=https%3A//commons.wikimedia.org/wiki/File%3ASHA-2.svg%23mediaviewer/File%3ASHA-2.svg& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Diagram&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&/i& &i&created by kockmeyer,&/i& &i&&a href=&///?target=http%3A//creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&CC BY-SA 3.0&i class=&icon-external&&&/i&&/a&.&/i&&/p&&p&The blue boxes mix up the values in non-linear ways that are hard to analyze cryptographically. Since the algorithm uses several different functions, discovering an attack is harder. (If you could figure out a mathematical shortcut to generate successful hashes, you could take over Bitcoin mining.)&/p&&p&&i&&b&右侧深蓝色的格子里面把输入的数值用非线性的方法进行整合，这样就很难进行分析。因为这种算法用到了数种方法，找到一条捷径就更难了。如果谁找出来了，他就能掌管比特币的开采。&/b&&/i&&/p&&p&The &i&Ma&/i& majority box looks at the bits of A, B, and C. For each position, if the majority of the bits are 0, it outputs 0. Otherwise it outputs 1. That is, for each position in A, B, and C, look at the number of 1 bits. If it is zero or one, output 0. If it is two or three, output 1.&/p&&p&&b&&i&Ma这个运算主要关注与A,B和C的值。如果他们主要的值是0.那输出就是0.如果主要不是0，那输出就是1.比如说，A,B,C上都是0或者1，那么输出0，如果是2或3那么就输出1.&/i&&/b&&/p&&p&The &i&Σ0&/i& box rotates the bits of A to form three rotated versions, and then sums them together modulo 2. In other words, if the number of 1 bits is odd, the sum is 1; otherwise, it is 0. The three values in the sum are A rotated right by 2 bits, 13 bits, and 22 bits.&/p&&p&&i&&b&Σ0转换A的值并且相加，找出除以2的余数。如果1bits是偶数那么总和为偶，不然就为0.三个值加起来的总和是A向右移2bits，13bits和22bits。&/b&&/i&&/p&&p&The &i&Ch&/i& &choose& box chooses output bits based on the value of input E. If a bit of E is 1, the output bit is the corresponding bit of F. If a bit of E is 0, the output bit is the corresponding bit of G. In this way, the bits of F and G are shuffled together based on the value of E.&/p&&p&&b&&i&Ch的值由E的输入来决定。如果E的bit为1，那么输出为F的bit。如果E为0，那么输出为G的bit。这样F 和 G 一定程度上有E决定。&/i&&/b&&/p&&p&The next box &i&Σ1&/i& rotates and sums the bits of E, similar to &i&Σ0&/i& except the shifts are 6, 11, and 25 bits.&/p&&p&&i&&b&Σ1与Σ0类似，只是向右移6,11,25bits.&/b&&/i&&/p&&p&The red boxes perform 32-bit addition, generating new values for A and E. The input &i&Wt&/i& is based on the input data, slightly processed. (This is where the input block gets fed into the algorithm.) The input &i&Kt&/i& is a constant defined for each round.[2]&/p&&p&&b&&i&红格子产生了新的A和E. 输入的Wt是由输入的数据决定的，经过稍微的处理。输入的Kt 是一个常数由每一轮运算定义。&/i&&/b&&/p&&p&As can be seen from the diagram above, only A and E are changed in a round. The other values pass through unchanged, with the old A value becoming the new B value, the old B value becoming the new C value and so forth. Although each round of SHA-256 doesn't change the data much, after 64 rounds the input data will be completely scrambled. [3]&/p&&p&&b&&i&每一轮只有A和E产生了变化。其他的值都没有变。旧的A变成了新的B.旧的B变成了新的C.尽管每一轮都没有太大的变化，但是六十四轮以后输入的值就会有翻天覆地的变化。&/i&&/b&&/p&&h2&&b&Manual mining&/b&&/h2&&p&The video below shows how the SHA-256 hashing steps described above can be performed with pencil and paper. I perform the first round of hashing to mine a block. Completing this round took me 16 minutes, 45 seconds.&/p&&p&&a href=&///?target=https%3A///watch%3Ftime_continue%3D1%26v%3Dy3dqhixzGVo& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&https://www.&/span&&span class=&visible&&/watch?&/span&&span class=&invisible&&time_continue=1&v=y3dqhixzGVo&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&i class=&icon-external&&&/i&&/a& &b&&i&这里有视频地址，需要翻墙才能看。&/i&&/b&&/p&&p&To explain what's on the paper: I've written each block A through H in hex on a separate row and put the binary value below. The &i&maj&/i&or peration appears below C, and the shifts and &i&Σ0&/i& appear above row A. Likewise, the &i&choose&/i& operation appears below G, and the shifts and &i&Σ1&/i& above E. In the lower right, a bunch of terms are added together, corresponding to the first three red sum boxes. In the upper right, this sum is used to generate the new A value, and in the middle right, this sum is used to generate the new E value. These steps all correspond to the diagram and discussion above.&/p&&p&&i&&b&解释一下我在纸上做了什么，我把从A到H分别在一行上面十六进制转换为二进制。主要的运算写在C下面。bits转换和Σ0展示在A行上面。同样的，choose运算在G下面，bits转换和Σ1在E的上方。在右下角，相对应于三个红格子的数值被加了上去。在右上方，总和被用于产生一个新的A值。在右中侧，总和被用于产生新的E值。&/b&&/i&&/p&&p&I also manually performed another hash round, the last round to finish hashing the Bitcoin block. In the image below, the hash result is highlighted in yellow. The zeroes in this hash show that it is a successful hash. Note that the zeroes are at the end of the hash. The reason is that Bitcoin inconveniently reverses all the bytes generated by SHA-256. [4]&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img data-rawheight=&489& src=&/v2-ba9c7faccefee_b.png& data-rawwidth=&636& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&636& data-original=&/v2-ba9c7faccefee_r.png&&&/figure&&h2&&b&What this means for mining hardware&/b&&/h2&&p&Each step of SHA-256 is very easy to implement in digital logic—simple Boolean operations and 32-bit addition. (If you've studied electronics, you can probably visualize the circuits already.) For this reaon, custom &a href=&///?target=http%3A///5994446/digital-drills-the-monster-machines-that-mine-bitcoin& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&ASIC chips&i class=&icon-external&&&/i&&/a& can implement the SHA-256 algorithm very efficiently in hardware, putting hundreds of rounds on a chip in parallel. The image below shows a mining chip that runs at 2-3 billion hashes/ &a href=&///?target=http%3A//zeptobars.ru/en/read/bitfury-bitcoin-mining-chip& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Zeptobars&i class=&icon-external&&&/i&&/a& has more photos.&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img data-rawheight=&600& src=&/v2-3144a9faeeaa964cc6a008c2ff2f065e_b.png& data-rawwidth=&1000& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1000& data-original=&/v2-3144a9faeeaa964cc6a008c2ff2f065e_r.png&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&In contrast, Litecoin, Dogecoin, and similar altcoins use the &a href=&///?target=http%3A//en.wikipedia.org/wiki/Scrypt& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&scrypt&i class=&icon-external&&&/i&&/a& hash algorithm, which is intentionally designed to be difficult to implement in hardware. It stores 1024 different hash values into memory, and then combines them in unpredictable ways to get the final result. As a result, much more circuitry and memory is required for scrypt than for SHA-256 hashes. You can see the impact by looking at &a href=&///?target=http%3A///& class=& wrap ext