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免费【年】五年高考数学（文、理）真题：解析几何【1】含解析复习提纲知识点分类汇编详细信息
免费【年】五年高考数学（文、理）真题：解析几何【1】含解析复习提纲知识点分类汇编数学H单元解析几何H1直线的倾斜角与斜率、直线的方程16．H1、H4已知直线l：mx＋y＋3m－3＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点．若|AB|＝23，则|CD|＝________．16．4直线l：m(x＋3)＋y－3＝0过定点(－3，3)，又|AB|＝23，∴|3m－3|1＋m22＋(3)2＝12，解得m＝－33.直线方程中，当x＝0时，y＝23.又(－3，3)，(0，23)两点都在圆上，∴直线l与圆的两交点为A(－3，3)，B(0，23)．设过点A(－3，3)且与直线l垂直的直线为3x＋y＋c1＝0，将(－3，3)代入直线方程3x＋y＋c1＝0，得c1＝23.令y＝0，得xC＝－2，同理得过点B且与l垂直的直线与x轴交点的横坐标为xD＝2，∴|CD|＝4.H2两直线的位置关系与点到直线的距离12．E5、H2已知实数x，y满足x－2y＋4≥0，2x＋y－2≥0，3x－y－3≤0，则x2＋y2的取值范围是________．12.45，13可行域如图中阴影部分所示，x2＋y2为可行域中任一点(x，y)到原点(0，0)的距离的平方．由图可知，x2＋y2的最小值为原点到直线AC的距离的平方，即|－2|52＝45，最大值为OB2＝22＋32＝13.H3圆的方程3．H2已知平行直线l1：2x＋y－1＝0，l2：2x＋y＋1＝0，则l1与l2的距离是________．3.255由两平行线间的距离公式得d＝|－1－1|22＋12＝255.18．H3、H4如图1?6，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一点A(2，4)．(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程；(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BC＝OA，求直线l的方程；(3)设点T(t，0)满足：存在圆M上的两点P和Q，使得TA→＋TP→＝TQ→，求实数t的取值范围．图1?618．解：圆M的标准方程为(x－6)2＋(y－7)2＝25，所以圆心M(6，7)，半径为5.(1)由圆心N在直线x＝6上，可设N(6，y0)．因为圆N与x轴相切，与圆M外切，所以0&y0&7，于是圆N的半径为y0，从而7－y0＝5＋y0，解得y0＝1.因此，圆N的标准方程为(x－6)2＋(y－1)2＝1.(2)因为直线l∥OA，所以直线l的斜率为4－02－0＝2.设直线l的方程为y＝2x＋m，即2x－y＋m＝0，则圆心M到直线l的距离d＝|2×6－7＋m|5＝|m＋5|5.因为BC＝OA＝22＋42＝25，而MC2＝d2＋BC22，所以25＝（m＋5）25＋5，解得m＝5或m＝－15.故直线l的方程为2x－y＋5＝0或2x－y－15＝0.(3)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)．因为A(2，4)，T(t，0)，TA→＋TP→＝TQ→，所以x2＝x1＋2－t，y2＝y1＋4.①因为点Q在圆M上，所以(x2－6)2＋(y2－7)2＝25.②将①代入②，得(x1－t－4)2＋(y1－3)2＝25.于是点P(x1，y1)既在圆M上，又在圆2＋(y－3)2＝25上，从而圆(x－6)2＋(y－7)2＝25与圆2＋(y－3)2＝25有公共点，所以5－5≤[（t＋4）－6]2＋（3－7）2≤5＋5，解得2－221≤t≤2＋221.因此，实数t的取值范围是．H4直线与圆、圆与圆的位置关系16．H1、H4已知直线l：mx＋y＋3m－3＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点．若|AB|＝23，则|CD|＝________．16．4直线l：m(x＋3)＋y－3＝0过定点(－3，3)，又|AB|＝23，∴|3m－3|1＋m22＋(3)2＝12，解得m＝－33.直线方程中，当x＝0时，y＝23.又(－3，3)，(0，23)两点都在圆上，∴直线l与圆的两交点为A(－3，3)，B(0，23)．设过点A(－3，3)且与直线l垂直的直线为3x＋y＋c1＝0，将(－3，3)代入直线方程3x＋y＋c1＝0，得c1＝23.令y＝0，得xC＝－2，同理得过点B且与l垂直的直线与x轴交点的横坐标为xD＝2，∴|CD|＝4.4．H4圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝()A．－43B．－34C.3D．24．A圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0化为标准方程为(x－1)2＋(y－4)2＝4，故圆心为(1，4)，圆心到直线的距离d＝|a＋4－1|a2＋1＝1，解得a＝－43.12．H4如图1?3，AB是圆的直径，弦CD与AB相交于点E，BE＝2AE＝2，BD＝ED，则线段CE的长为________．图1?312.233设圆的圆心为O，连接OD，可得BO＝32，△BOD∽△BDE，∴BD2＝BO?BE＝3，∴BD＝DE＝3.连接AC，易知△AEC∽△DEB，∴AEDE＝CEBE，即13＝EC2，∴EC＝233.18．H3、H4如图1?6，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一点A(2，4)．(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程；(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BC＝OA，求直线l的方程；(3)设点T(t，0)满足：存在圆M上的两点P和Q，使得TA→＋TP→＝TQ→，求实数t的取值范围．图1?618．解：圆M的标准方程为(x－6)2＋(y－7)2＝25，所以圆心M(6，7)，半径为5.(1)由圆心N在直线x＝6上，可设N(6，y0)．因为圆N与x轴相切，与圆M外切，所以0&y0&7，于是圆N的半径为y0，从而7－y0＝5＋y0，解得y0＝1.因此，圆N的标准方程为(x－6)2＋(y－1)2＝1.(2)因为直线l∥OA，所以直线l的斜率为4－02－0＝2.设直线l的方程为y＝2x＋m，即2x－y＋m＝0，则圆心M到直线l的距离d＝|2×6－7＋m|5＝|m＋5|5.因为BC＝OA＝22＋42＝25，而MC2＝d2＋BC22，所以25＝（m＋5）25＋5，解得m＝5或m＝－15.故直线l的方程为2x－y＋5＝0或2x－y－15＝0.(3)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)．因为A(2，4)，T(t，0)，TA→＋TP→＝TQ→，所以x2＝x1＋2－t，y2＝y1＋4.①因为点Q在圆M上，所以(x2－6)2＋(y2－7)2＝25.②将①代入②，得(x1－t－4)2＋(y1－3)2＝25.于是点P(x1，y1)既在圆M上，又在圆2＋(y－3)2＝25上，从而圆(x－6)2＋(y－7)2＝25与圆2＋(y－3)2＝25有公共点，所以5－5≤[（t＋4）－6]2＋（3－7）2≤5＋5，解得2－221≤t≤2＋221.因此，实数t的取值范围是．H5椭圆及其几何性质10．H5，H8如图1?2，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a&b&0)的右焦点，直线y＝b2与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是________．图1?210.63方法一：由y＝b2，x2a2＋y2b2＝1，可得B(－32a，b2)，C（32a，b2）.又由F(c，0)，得FB→＝(－32a－c，b2)，FC→＝(32a－c，b2).又∠BFC＝90°，所以FB→?FC→＝0，化简可得2a2＝3c2，即e2＝c2a2＝23，故e＝63.方法二：同方法一可得B(－32a，b2)，C(32a，b2)，所以BC＝3a，由椭圆的焦半径公式得BF＝a－exB＝a＋e?32a，CF＝a－exC＝a－e?32a，又∠BFC＝90°，所以BF2＋CF2＝BC2，即(a＋e?32a)2＋(a－e?32a)2＝(3a)2，式子两边同除以a2可得e2＝23，即e＝63.11．H5已知O为坐标原点，F是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a&b&0)的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点，P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为()A.13B.12C.23D.3411．A设M(－c，y0)，则AM所在直线方程为y＝y0－c＋a(x＋a)，令x＝0，得E（0，ay0－c＋a）.BM所在直线方程为y＝y0－c－a(x－a)，令x＝0，得y＝－ay0－c－a.由题意得－ay0－c－a＝12×ay0－c＋a，解得a＝3c，故离心率e＝ca＝13.19．H5，H8已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a&b&0)的离心率为32，A(a，0)，B(0，b)，O(0，0)，△OAB的面积为1.(1)求椭圆C的方程；(2)设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：|AN|?|BM|为定值．19．解：(1)由题意得ca＝32，12ab＝1，a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝1.所以椭圆C的方程为x24＋y2＝1.(2)证明：由(1)知，A(2，0)，B(0，1)．设P(x0，y0)，则x20＋4y20＝4.当x0≠0时，直线PA的方程为y＝y0x0－2(x－2)．令x＝0，得yM＝－2y0x0－2，从而|BM|＝|1－yM|＝1＋2y0x0－2.直线PB的方程为y＝y0－1x0x＋1.令y＝0，得xN＝－x0y0－1，从而|AN|＝|2－xN|＝2＋x0y0－1.所以|AN|?|BM|＝2＋x0y0－1?1＋2y0x0－2＝x20＋4y20＋4x0y0－4x0－8y0＋4x0y0－x0－2y0＋2＝4x0y0－4x0－8y0＋8x0y0－x0－2y0＋2＝4.当x0＝0时，y0＝－1，|BM|＝2，|AN|＝2，所以|AN|?|BM|＝4.综上，|AN|?|BM|为定值．20．H5已知椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a&b&0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线l：y＝－x＋3与椭圆E有且只有一个公共点T.(1)求椭圆E的方程及点T的坐标；(2)设O是坐标原点，直线l′平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A，B，且与直线l交于点P，证明：存在常数λ，使得|PT|2＝λ|PA|?|PB|，并求λ的值．20．解：(1)由已知得，a＝2b，则椭圆E的方程为x22b2＋y2b2＝1.由方程组x22b2＋y2b2＝1，y＝－x＋3，得3x2－12x＋(18－2b2)＝0.①方程①的判别式为Δ＝24(b2－3)，由Δ＝0，得b2＝3，此时方程①的解为x＝2，所以椭圆E的方程为x26＋y23＝1，点T的坐标为(2，1)．(2)证明：由已知可设直线l′的方程为y＝12x＋m(m≠0)，由方程组y＝12x＋m，y＝－x＋3，可得x＝2－2m3，y＝1＋2m3，所以P点坐标为(2－2m3，1＋2m3)，|PT|2＝89m2.设点A，B的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)．由方程组x26＋y23＝1，y＝12x＋m，可得3x2＋4mx＋(4m2－12)＝0.②方程②的判别式为Δ＝16(9－2m2)，由Δ&0，解得－322&m&322.由②得x1＋x2＝－4m3，x1x2＝4m2－123，所以|PA|＝2－2m3－x12＋1＋2m3－y12＝52|2－2m3－x1|，同理|PB|＝52|2－2m3－x2|．所以|PA|?|PB|＝54｜（2－2m3－x1）（2－2m3－x2）｜＝54｜（2－2m3）2－（2－2m3）(x1＋x2)＋x1x2｜＝54｜（2－2m3）2－(2－2m3)(－4m3)＋4m2－123｜＝109m2.故存在常数λ＝45，使得|PT|2＝λ|PA|?|PB|.21．H5，H7，H10平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a&b&0)的离心率是32，抛物线E：x2＝2y的焦点F是C的一个顶点．(1)求椭圆C的方程．(2)设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交于不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.(i)求证：点M在定直线上；(ii)直线l与y轴交于点G，记△PFG的面积为S1，△PDM的面积为S2，求S1S2的最大值及取得最大值时点P的坐标．图1?521．解：(1)由题意知a2－b2a＝32，可得a2＝4b2.因为抛物线E的焦点F（0，12），所以b＝12，a＝1，所以椭圆C的方程为x2＋4y2＝1.(2)(i)证明：设P（m，m22）(m＞0)，由x2＝2y，可得y′＝x，所以直线l的斜率为m，因此直线l的方程为y－m22＝m(x－m)，即y＝mx－m22.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)，联立方程x2＋4y2＝1，y＝mx－m22，得(4m2＋1)x2－4m3x＋m4－1＝0.由Δ＞0，得0＜m＜2＋5(或0＜m2＜2＋5)(*)，且x1＋x2＝4m34m2＋1.因此x0＝2m34m2＋1，将其代入y＝mx－m22，得y0＝－m22（4m2＋1），因此y0x0＝－14m，所以直线OD的方程为y＝－14mx.联立方程y＝－14mx，x＝m，得点M的纵坐标yM＝－14，所以点M在定直线y＝－14上．(ii)由(i)知直线l的方程为y＝mx－m22.令x＝0，得y＝－m22，所以G（0，－m22）.又P（m，m22），F（0，12），D（2m34m2＋1，－m22（4m2＋1）），所以S1＝12?|GF|?m＝（m2＋1）m4，S2＝12?|PM|?|m－x0|＝12×2m2＋14×2m3＋m4m2＋1＝m（2m2＋1）28（4m2＋1），所以S1S2＝2（4m2＋1）（m2＋1）（2m2＋1）2.设t＝2m2＋1(t&1)，则S1S2＝（2t－1）（t＋1）t2＝2t2＋t－1t2＝－1t2＋1t＋2，当1t＝12，即t＝2时，S1S2取到最大值94，此时m＝22，满足(*)式，所以P点坐标为（22，14）.因此S1S2的最大值为94，此时点P的坐标为（22，14）.19．H5、H8设椭圆x2a2＋y23＝1(a&3)的右焦点为F，右顶点为A，已知1|OF|＋1|OA|＝3e|FA|，其中O为原点，e为椭圆的离心率．(1)求椭圆的方程；(2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上)，垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H，若BF⊥HF，且∠MOA≤∠MAO，求直线l的斜率的取值范围．19．解：(1)设F(c，0)，由1|OF|＋1|OA|＝3e|FA|，即1c＋1a＝3ca（a－c），可得a2－c2＝3c2.又a2－c2＝b2＝3，所以c2＝1，因此a2＝4.所以椭圆的方程为x24＋y23＝1.(2)设直线l的斜率为k(k≠0)，则直线l的方程为y＝k(x－2)．设B(xB，yB)，由方程组x24＋y23＝1，y＝k（x－2）消去y，整理得(4k2＋3)x2－16k2x＋16k2－12＝0，解得x＝2或x＝8k2－64k2＋3.由题意得xB＝8k2－64k2＋3，从而yB＝－12k4k2＋3.由(1)知，F(1，0)，设H(0，yH)，有FH→＝(－1，yH)，BF→＝9－4k24k2＋3，12k4k2＋3.由BF⊥HF，得BF→?FH→＝0，所以4k2－94k2＋3＋12kyH4k2＋3＝0，解得yH＝9－4k212k，因此直线MH的方程为y＝－1kx＋9－4k212k.设M(xM，yM)，由方程组y＝k（x－2），y＝－1kx＋9－4k212k，得xM＝20k2＋912（k2＋1）.在△MAO中，∠MOA≤∠MAO?|MA|≤|MO|，即(xM－2)2＋y2M≤x2M＋y2M，化简得xM≥1，即20k2＋912（k2＋1）≥1，解得k≤－64或k≥64，所以直线l的斜率的取值范围为（－∞，－64]∪[64，＋∞）.19．H5如图1?5，设椭圆x2a2＋y2＝1(a&1)．(1)求直线y＝kx＋1被椭圆截得的线段长(用a，k表示)；(2)若任意以点A(0，1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围．图1?519．解：(1)设直线y＝kx＋1被椭圆截得的线段为AM，由y＝kx＋1，x2a2＋y2＝1，得(1＋a2k2)x2＋2a2kx＝0，故x1＝0，x2＝－2a2k1＋a2k2.因此|AP|＝1＋k2|x1－x2|＝2a2|k|1＋a2k2?1＋k2.(2)假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P，Q，满足|AP|＝|AQ|.记直线AΡ，AQ的斜率分别为k1，k2，且k1，k2&0，k1≠k2.由(1)知，|AP|＝2a2|k1|1＋k211＋a2k21，|AQ|＝2a2|k2|1＋k221＋a2k22，故2a2|k1|1＋k211＋a2k21＝2a2|k2|1＋k221＋a2k22，所以(k21－k22)＝0.由于k1≠k2，k1，k2&0得1＋k21＋k22＋a2(2－a2)k21k22＝0，因此(1k21＋1)(1k22＋1)＝1＋a2(a2－2)，①因为①式关于k1，k2的方程有解的充要条件是1＋a2(a2－2)&1，所以a&2.因此，任意以点A(0，1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1&a≤2，由e＝ca＝a2－1a得，所求离心率的取值范围为0&e≤22.H6双曲线及其几何性质13．H6双曲线x2a2－y2b2＝1(a&0，b&0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点．若正方形OABC的边长为2，则a＝________．13．2不妨令B为双曲线的右焦点，A在第一象限，如图所示．因为四边形OABC为正方形，|OA|＝2，所以c＝22.因为直线OA是双曲线的一条渐近线，∠AOB＝π4，所以ba＝tanπ4＝1，即a＝b，又a2＋b2＝c2＝8，所以a＝2.3．H6在平面直角坐标系xOy中，双曲线x27－y23＝1的焦距是________．3．210由题目所给方程可得a2＝7，b2＝3，故c2＝10，所以焦距为210.5．H6已知方程x2m2＋n－y23m2－n＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是()A．(－1，3)B．(－1，3)C．(0，3)D．(0，3)5．A若已知方程表示双曲线，则(m2＋n)?(3m2－n)&0，解得－m2&n&3m2.又4＝4m2，所以m2＝1，所以－1&n&3.11．H6已知F1，F2是双曲线E：x2a2－y2b2＝1的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝13，则E的离心率为()A.2B.32C.3D．211．A易知离心率e＝|F1F2||MF2|－|MF1|，由正弦定理得e＝|F1F2||MF2|－|MF1|＝sin∠F1MF2sin∠MF1F2－sin∠MF2F1＝.13．H6已知双曲线E：x2a2－y2b2＝1(a&0，b&0)．若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E的离心率是________．13．2将x＝－c代入x2a2－y2b2＝1，得y＝±b2a.∵2|AB|＝3|BC|，∴2×2b2a＝3×2c，整理得2c2－2a2－3ac＝0，即2e2－3e－2＝0，解得e＝2或e＝－12(舍去)．6．H6已知双曲线x24－y2b2＝1(b&0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为()A.x24－3y24＝1B.x24－4y23＝1C.x24－y24＝1D.x24－y212＝16．D由题意及双曲线的对称性画出示意图如图所示，渐近线OB：y＝b2x.设Bx0，b2x0，则12?x0?b2x0＝2b8，∴x0＝1，∴B(1，b2)，∴12＋b24＝22，∴b2＝12，∴双曲线方程为x24－y212＝1.21．H6，H8，F3双曲线x2－y2b2＝1(b&0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线l过F2且与双曲线交于A，B两点．(1)若l的倾斜角为π2，△F1AB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；(2)设b＝3，若l的斜率存在，且(F1A→＋F1B→)?AB→＝0，求l的斜率．21．解：(1)设A(xA，yA)，F2(c，0)，c＝1＋b2，由题意，y2A＝b2(c2－1)＝b4，因为△F1AB是等边三角形，所以2c＝3|yA|，即4(1＋b2)＝3b4，解得b2＝2.故双曲线的渐近线方程为y＝±2x.(2)由已知，F1(－2，0)，F2(2，0)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l：y＝k(x－2)，显然k≠0.由x2－y23＝1，y＝k（x－2），得(k2－3)x2－4k2x＋4k2＋3＝0.因为l与双曲线交于两点，所以k2－3≠0，且Δ＝36(1＋k2)&0.设AB的中点为M(xM，yM)．由(F1A→＋F1B→)?AB→＝0，即F1M→?AB→＝0，知F1M⊥AB，故kF1M?k＝－1.又xM＝x1＋x22＝2k2k2－3，yM＝k(xM－2)＝6kk2－3，所以kF1M＝3k2k2－3，所以3k2k2－3?k＝－1，得k2＝35，故l的斜率为±155.H7抛物线及其几何性质10．H7以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点，已知|AB|＝42，|DE|＝25，则C的焦点到准线的距离为()A．2B．4C．6D．810．B设抛物线方程为y2＝2px(p&0)，点A在第一象限，点D在第二象限．根据抛物线的对称性可得点A的纵坐标为22，代入抛物线方程得x＝4p，即点A（4p，22）.易知点D（－p2，5），由于点A，D都在以坐标原点为圆心的圆上，所以16p2＋8＝p24＋5，解得p＝4，此即为抛物线的焦点到准线的距离．8．H7设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2＝2px(p&0)上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|＝2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为()A.33B.23C.22D．18．C如图，由题可知Fp2，0，设P点坐标为y202p，y0.显然，当y0&0时，kOM&0；当y0&0时，kOM&0.所以要求kOM的最大值，不妨设y0&0.因为OM→＝OF→＋FM→＝OF→＋13FP→＝OF→＋13(OP→－OF→)＝13OP→＋23OF→＝y206p＋p3，y03，所以kOM＝y03y206p＋p3＝2y0p＋2py0≤222＝22，当且仅当y20＝2p2时，等号成立．14．H7设抛物线x＝2pt2，y＝2pt(t为参数，p&0)的焦点为F，准线为l.过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B.设C（72p，0），AF与BC相交于点E.若|CF|＝2|AF|，且△ACE的面积为32，则p的值为________．14.6由题意得，抛物线的普通方程为y2＝2px，∴F（p2，0），∴|CF|＝3p，∴|AB|＝|AF|＝32p，∴A(p，±2p)．易知△AEB∽△FEC，∴|AE||FE|＝|AB||FC|＝12，故S△ACE＝13S△ACF＝13×3p×2p×12＝22p2＝32，∴p2＝6.∵p&0，∴p＝6.9．H7若抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是________．9．9由题意得，p＝2，则p2＝1，即原点到准线的距离是1.由点M到焦点的距离与到准线的距离相等，知点M到准线的距离为10，故M到y轴的距离为10－1＝9.20．H7有一块正方形菜地EFGH，EH所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到F点或河边运走．于是，菜地分为两个区域S1和S2，其中S1中的蔬菜运到河边较近，S2中的蔬菜运到F点较近，而菜地内S1和S2的分界线C上的点到河边与到F点的距离相等．现建立平面直角坐标系，其中原点O为EF的中点，点F的坐标为(1，0)，如图1?5所示．(1)求菜地内的分界线C的方程；(2)菜农从蔬菜运量估计出S1的面积是S2面积的两倍，由此得到S1面积的"经验值"为83.设M是C上纵坐标为1的点，请计算以EH为一边、另有一边过点M的矩形的面积，及五边形EOMGH的面积，并判断哪一个更接近于S1面积的"经验值"．图1?520．解：(1)因为C上的点到直线EH与到点F的距离相等，所以C是以F为焦点、以EH为准线的抛物线在正方形EFGH内的部分，其方程为y2＝4x(0&y&2)．(2)依题意，点M的坐标为(14，1).所求的矩形面积为52，所求的五边形面积为114.矩形面积与"经验值"之差的绝对值为｜52－83｜＝16，而五边形面积与"经验值"之差的绝对值为｜114－83｜＝112，所以五边形面积更接近于S1面积的"经验值"．22．H7、H8如图1?8，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x－y－2＝0，抛物线C：y2＝2px(p&0)．(1)若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程．(2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.①求证：线段PQ的中点坐标为(2－p，－p)；②求p的取值范围．图1?822．解：(1)抛物线C：y2＝2px(p&0)的焦点为p2，0，由点p2，0在直线l：x－y－2＝0上，得p2－0－2＝0，即p＝4.所以抛物线C的方程为y2＝8x.(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，线段PQ的中点M(x0，y0)，因为点P和Q关于直线l对称，所以直线l垂直平分线段PQ，于是直线PQ的斜率为－1，则可设其方程为y＝－x＋b.①证明：由y2＝2px，y＝－x＋b消去x得y2＋2py－2pb＝0.(*)因为P和Q是抛物线C上的相异两点，所以y1≠y2，从而Δ＝(2p)2－4×(－2pb)&0，化简得p＋2b&0.方程(*)的两根为y1，2＝－p±p2＋2pb，从而y0＝y1＋y22＝－p.因为M(x0，y0)在直线l上，所以x0＝2－p.因此，线段PQ的中点坐标为(2－p，－p)．②因为M(2－p，－p)在直线y＝－x＋b上，所以－p＝－(2－p)＋b，即b＝2－2p.由①知p＋2b&0，于是p＋2(2－2p)&0，所以p&43.因此，p的取值范围为0，43.20．H7、H9已知抛物线C：y2＝2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．(1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明：AR∥FQ；(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．20．解：由题设知F（12，0）.设l1：y＝a，l2：y＝b，则ab≠0，且A（a22，a），B（b22，b），P（－12，a），Q（－12，b），R（－12，a＋b2）.记过A，B两点的直线为l，则l的方程为2x－(a＋b)y＋ab＝0.(1)证明：由于F在线段AB上，所以1＋ab＝0.记AR的斜率为k1，FQ的斜率为k2，则k1＝a－b1＋a2＝a－ba2－ab＝1a＝－aba＝－b＝k2，所以AR∥FQ.(2)设l与x轴的交点为D(x1，0)，则S△ABF＝12|b－a||FD|＝12|b－a|x1－12，S△PQF＝|a－b|2.由题设可得|b－a|x1－12＝|a－b|2，所以x1＝0(舍去)或x1＝1.设满足条件的AB的中点为E(x，y)．当AB与x轴不垂直时，由kAB＝kDE可得2a＋b＝yx－1(x≠1)．而a＋b2＝y，所以y2＝x－1(x≠1)．当AB与x轴垂直时，E与D重合．所以所求轨迹方程为y2＝x－1.21．H5，H7，H10平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a&b&0)的离心率是32，抛物线E：x2＝2y的焦点F是C的一个顶点．(1)求椭圆C的方程．(2)设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交于不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.(i)求证：点M在定直线上；(ii)直线l与y轴交于点G，记△PFG的面积为S1，△PDM的面积为S2，求S1S2的最大值及取得最大值时点P的坐标．图1?521．解：(1)由题意知a2－b2a＝32，可得a2＝4b2.因为抛物线E的焦点F（0，12），所以b＝12，a＝1，所以椭圆C的方程为x2＋4y2＝1.(2)(i)证明：设P（m，m22）(m＞0)，由x2＝2y，可得y′＝x，所以直线l的斜率为m，因此直线l的方程为y－m22＝m(x－m)，即y＝mx－m22.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)，联立方程x2＋4y2＝1，y＝mx－m22，得(4m2＋1)x2－4m3x＋m4－1＝0.由Δ＞0，得0＜m＜2＋5(或0＜m2＜2＋5)(*)，且x1＋x2＝4m34m2＋1.因此x0＝2m34m2＋1，将其代入y＝mx－m22，得y0＝－m22（4m2＋1），因此y0x0＝－14m，所以直线OD的方程为y＝－14mx.联立方程y＝－14mx，x＝m，得点M的纵坐标yM＝－14，所以点M在定直线y＝－14上．(ii)由(i)知直线l的方程为y＝mx－m22.令x＝0，得y＝－m22，所以G（0，－m22）.又P（m，m22），F（0，12），D（2m34m2＋1，－m22（4m2＋1）），所以S1＝12?|GF|?m＝（m2＋1）m4，S2＝12?|PM|?|m－x0|＝12×2m2＋14×2m3＋m4m2＋1＝m（2m2＋1）28（4m2＋1），所以S1S2＝2（4m2＋1）（m2＋1）（2m2＋1）2.设t＝2m2＋1(t&1)，则S1S2＝（2t－1）（t＋1）t2＝2t2＋t－1t2＝－1t2＋1t＋2，当1t＝12，即t＝2时，S1S2取到最大值94，此时m＝22，满足(*)式，所以P点坐标为（22，14）.因此S1S2的最大值为94，此时点P的坐标为（22，14）.H8直线与圆锥曲线（AB课时作业）10．H5，H8如图1?2，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a&b&0)的右焦点，直线y＝b2与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是________．图1?210.63方法一：由y＝b2，x2a2＋y2b2＝1，可得B(－32a，b2)，C（32a，b2）.又由F(c，0)，得FB→＝(－32a－c，b2)，FC→＝(32a－c，b2).又∠BFC＝90°，所以FB→?FC→＝0，化简可得2a2＝3c2，即e2＝c2a2＝23，故e＝63.方法二：同方法一可得B(－32a，b2)，C(32a，b2)，所以BC＝3a，由椭圆的焦半径公式得BF＝a－exB＝a＋e?32a，CF＝a－exC＝a－e?32a，又∠BFC＝90°，所以BF2＋CF2＝BC2，即(a＋e?32a)2＋(a－e?32a)2＝(3a)2，式子两边同除以a2可得e2＝23，即e＝63.19．H5，H8已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a&b&0)的离心率为32，A(a，0)，B(0，b)，O(0，0)，△OAB的面积为1.(1)求椭圆C的方程；(2)设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：|AN|?|BM|为定值．19．解：(1)由题意得ca＝32，12ab＝1，a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝1.所以椭圆C的方程为x24＋y2＝1.(2)证明：由(1)知，A(2，0)，B(0，1)．设P(x0，y0)，则x20＋4y20＝4.当x0≠0时，直线PA的方程为y＝y0x0－2(x－2)．令x＝0，得yM＝－2y0x0－2，从而|BM|＝|1－yM|＝1＋2y0x0－2.直线PB的方程为y＝y0－1x0x＋1.令y＝0，得xN＝－x0y0－1，从而|AN|＝|2－xN|＝2＋x0y0－1.所以|AN|?|BM|＝2＋x0y0－1?1＋2y0x0－2＝x20＋4y20＋4x0y0－4x0－8y0＋4x0y0－x0－2y0＋2＝4x0y0－4x0－8y0＋8x0y0－x0－2y0＋2＝4.当x0＝0时，y0＝－1，|BM|＝2，|AN|＝2，所以|AN|?|BM|＝4.综上，|AN|?|BM|为定值．22．H7、H8如图1?8，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x－y－2＝0，抛物线C：y2＝2px(p&0)．(1)若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程．(2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.①求证：线段PQ的中点坐标为(2－p，－p)；②求p的取值范围．图1?822．解：(1)抛物线C：y2＝2px(p&0)的焦点为p2，0，由点p2，0在直线l：x－y－2＝0上，得p2－0－2＝0，即p＝4.所以抛物线C的方程为y2＝8x.(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，线段PQ的中点M(x0，y0)，因为点P和Q关于直线l对称，所以直线l垂直平分线段PQ，于是直线PQ的斜率为－1，则可设其方程为y＝－x＋b.①证明：由y2＝2px，y＝－x＋b消去x得y2＋2py－2pb＝0.(*)因为P和Q是抛物线C上的相异两点，所以y1≠y2，从而Δ＝(2p)2－4×(－2pb)&0，化简得p＋2b&0.方程(*)的两根为y1，2＝－p±p2＋2pb，从而y0＝y1＋y22＝－p.因为M(x0，y0)在直线l上，所以x0＝2－p.因此，线段PQ的中点坐标为(2－p，－p)．②因为M(2－p，－p)在直线y＝－x＋b上，所以－p＝－(2－p)＋b，即b＝2－2p.由①知p＋2b&0，于是p＋2(2－2p)&0，所以p&43.因此，p的取值范围为0，43.20．H8，H9设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B(1，0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.(1)证明|EA|＋|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；(2)设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．20．解：(1)证明：因为|AD|＝|AC|，EB∥AC，故∠EBD＝∠ACD＝∠ADC，所以|EB|＝|ED|，故|EA|＋|EB|＝|EA|＋|ED|＝|AD|.又圆A的标准方程为(x＋1)2＋y2＝16，从而|AD|＝4，所以|EA|＋|EB|＝4.由题设得A(－1，0)，B(1，0)，|AB|＝2.由椭圆定义可得点E的轨迹方程为x24＋y23＝1(y≠0)．(2)当l与x轴不垂直时，设l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)．由y＝k（x－1），x24＋y23＝1，得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0，则x1＋x2＝8k24k2＋3，x1x2＝4k2－124k2＋3，所以|MN|＝1＋k2|x1－x2|＝12（k2＋1）4k2＋3.过点B(1，0)且与l垂直的直线m：y＝－1k(x－1)，A到m的距离为2k2＋1，所以|PQ|＝242－2k2＋12＝44k2＋3k2＋1.故四边形MPNQ的面积S＝12|MN||PQ|＝121＋14k2＋3.可得当l与x轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为(12，83)．当l与x轴垂直时，其方程为x＝1，|MN|＝3，|PQ|＝8，四边形MPNQ的面积为12.综上，四边形MPNQ面积的取值范围为已知椭圆E：x2t＋y23＝1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k&0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA.(1)当t＝4，|AM|＝|AN|时，求△AMN的面积；(2)当2|AM|＝|AN|时，求k的取值范围．20．解：(1)设M(x1，y1)，则由题意知y1&0.当t＝4时，椭圆E的方程为x24＋y23＝1，A(－2，0)．由已知及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为π4，因此直线AM的方程为y＝x＋2.将x＝y－2代入x24＋y23＝1得7y2－12y＝0，解得y＝0或y＝127，所以y1＝127.因此△AMN的面积S△AMN＝2×12×127×127＝14449.(2)由题意知t&3，k&0，A(－t，0)．将直线AM的方程y＝k(x＋t)代入x2t＋y23＝1得(3＋tk2)x2＋2t?tk2x＋t2k2－3t＝0.由x1?(－t)＝t2k2－3t3＋tk2得x1＝t（3－tk2）3＋tk2，故|AM|＝|x1＋t|1＋k2＝6t（1＋k2）3＋tk2.由题设知，直线AN的方程为y＝－1k(x＋t)，故同理可得|AN|＝6kt（1＋k2）3k2＋t.由2|AM|＝|AN|得23＋tk2＝k3k2＋t，即(k3－2)t＝3k(2k－1)．当k＝32时上式不成立，因此t＝3k（2k－1）k3－2.t&3等价于k3－2k2＋k－2k3－2＝（k－2）（k2＋1）k3－2&0，即k－2k3－2&0，由此得k－2&0，k3－2&0或k－2&0，k3－2&0，解得32&k&2.因此k的取值范围是(32，2)．19．H5、H8设椭圆x2a2＋y23＝1(a&3)的右焦点为F，右顶点为A，已知1|OF|＋1|OA|＝3e|FA|，其中O为原点，e为椭圆的离心率．(1)求椭圆的方程；(2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上)，垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H，若BF⊥HF，且∠MOA≤∠MAO，求直线l的斜率的取值范围．19．解：(1)设F(c，0)，由1|OF|＋1|OA|＝3e|FA|，即1c＋1a＝3ca（a－c），可得a2－c2＝3c2.又a2－c2＝b2＝3，所以c2＝1，因此a2＝4.所以椭圆的方程为x24＋y23＝1.(2)设直线l的斜率为k(k≠0)，则直线l的方程为y＝k(x－2)．设B(xB，yB)，由方程组x24＋y23＝1，y＝k（x－2）消去y，整理得(4k2＋3)x2－16k2x＋16k2－12＝0，解得x＝2或x＝8k2－64k2＋3.由题意得xB＝8k2－64k2＋3，从而yB＝－12k4k2＋3.由(1)知，F(1，0)，设H(0，yH)，有FH→＝(－1，yH)，BF→＝9－4k24k2＋3，12k4k2＋3.由BF⊥HF，得BF→?FH→＝0，所以4k2－94k2＋3＋12kyH4k2＋3＝0，解得yH＝9－4k212k，因此直线MH的方程为y＝－1kx＋9－4k212k.设M(xM，yM)，由方程组y＝k（x－2），y＝－1kx＋9－4k212k，得xM＝20k2＋912（k2＋1）.在△MAO中，∠MOA≤∠MAO?|MA|≤|MO|，即(xM－2)2＋y2M≤x2M＋y2M，化简得xM≥1，即20k2＋912（k2＋1）≥1，解得k≤－64或k≥64，所以直线l的斜率的取值范围为（－∞，－64]∪[64，＋∞）.21．H6，H8，F3双曲线x2－y2b2＝1(b&0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线l过F2且与双曲线交于A，B两点．(1)若l的倾斜角为π2，△F1AB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；(2)设b＝3，若l的斜率存在，且(F1A→＋F1B→)?AB→＝0，求l的斜率．21．解：(1)设A(xA，yA)，F2(c，0)，c＝1＋b2，由题意，y2A＝b2(c2－1)＝b4，因为△F1AB是等边三角形，所以2c＝3|yA|，即4(1＋b2)＝3b4，解得b2＝2.故双曲线的渐近线方程为y＝±2x.(2)由已知，F1(－2，0)，F2(2，0)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l：y＝k(x－2)，显然k≠0.由x2－y23＝1，y＝k（x－2），得(k2－3)x2－4k2x＋4k2＋3＝0.因为l与双曲线交于两点，所以k2－3≠0，且Δ＝36(1＋k2)&0.设AB的中点为M(xM，yM)．由(F1A→＋F1B→)?AB→＝0，即F1M→?AB→＝0，知F1M⊥AB，故kF1M?k＝－1.又xM＝x1＋x22＝2k2k2－3，yM＝k(xM－2)＝6kk2－3，所以kF1M＝3k2k2－3，所以3k2k2－3?k＝－1，得k2＝35，故l的斜率为±155.H9曲线与方程20．H8，H9设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B(1，0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.(1)证明|EA|＋|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；(2)设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．20．解：(1)证明：因为|AD|＝|AC|，EB∥AC，故∠EBD＝∠ACD＝∠ADC，所以|EB|＝|ED|，故|EA|＋|EB|＝|EA|＋|ED|＝|AD|.又圆A的标准方程为(x＋1)2＋y2＝16，从而|AD|＝4，所以|EA|＋|EB|＝4.由题设得A(－1，0)，B(1，0)，|AB|＝2.由椭圆定义可得点E的轨迹方程为x24＋y23＝1(y≠0)．(2)当l与x轴不垂直时，设l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)．由y＝k（x－1），x24＋y23＝1，得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0，则x1＋x2＝8k24k2＋3，x1x2＝4k2－124k2＋3，所以|MN|＝1＋k2|x1－x2|＝12（k2＋1）4k2＋3.过点B(1，0)且与l垂直的直线m：y＝－1k(x－1)，A到m的距离为2k2＋1，所以|PQ|＝242－2k2＋12＝44k2＋3k2＋1.故四边形MPNQ的面积S＝12|MN||PQ|＝121＋14k2＋3.可得当l与x轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为(12，83)．当l与x轴垂直时，其方程为x＝1，|MN|＝3，|PQ|＝8，四边形MPNQ的面积为12.综上，四边形MPNQ面积的取值范围为已知抛物线C：y2＝2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．(1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明：AR∥FQ；(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．20．解：由题设知F（12，0）.设l1：y＝a，l2：y＝b，则ab≠0，且A（a22，a），B（b22，b），P（－12，a），Q（－12，b），R（－12，a＋b2）.记过A，B两点的直线为l，则l的方程为2x－(a＋b)y＋ab＝0.(1)证明：由于F在线段AB上，所以1＋ab＝0.记AR的斜率为k1，FQ的斜率为k2，则k1＝a－b1＋a2＝a－ba2－ab＝1a＝－aba＝－b＝k2，所以AR∥FQ.(2)设l与x轴的交点为D(x1，0)，则S△ABF＝12|b－a||FD|＝12|b－a|x1－12，S△PQF＝|a－b|2.由题设可得|b－a|x1－12＝|a－b|2，所以x1＝0(舍去)或x1＝1.设满足条件的AB的中点为E(x，y)．当AB与x轴不垂直时，由kAB＝kDE可得2a＋b＝yx－1(x≠1)．而a＋b2＝y，所以y2＝x－1(x≠1)．当AB与x轴垂直时，E与D重合．所以所求轨迹方程为y2＝x－1.H10单元综合7．H10已知椭圆C1：x2m2＋y2＝1(m&1)与双曲线C2：x2n2－y2＝1(n&0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则()A．m&n且e1e2&1B．m&n且e1e2&1C．m&n且e1e2&1D．m&n且e1e2&17．A由题意知，m2－1＝n2＋1，即m2－n2＝2，故m&n.易知e1e2＝m2－1m?n2＋1n＝m2n2＋m2－n2－1mn＝m2n2＋1mn&1，故选A.21．H5，H7，H10平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a&b&0)的离心率是32，抛物线E：x2＝2y的焦点F是C的一个顶点．(1)求椭圆C的方程．(2)设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交于不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.(i)求证：点M在定直线上；(ii)直线l与y轴交于点G，记△PFG的面积为S1，△PDM的面积为S2，求S1S2的最大值及取得最大值时点P的坐标．图1?521．解：(1)由题意知a2－b2a＝32，可得a2＝4b2.因为抛物线E的焦点F（0，12），所以b＝12，a＝1，所以椭圆C的方程为x2＋4y2＝1.(2)(i)证明：设P（m，m22）(m＞0)，由x2＝2y，可得y′＝x，所以直线l的斜率为m，因此直线l的方程为y－m22＝m(x－m)，即y＝mx－m22.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)，联立方程x2＋4y2＝1，y＝mx－m22，得(4m2＋1)x2－4m3x＋m4－1＝0.由Δ＞0，得0＜m＜2＋5(或0＜m2＜2＋5)(*)，且x1＋x2＝4m34m2＋1.因此x0＝2m34m2＋1，将其代入y＝mx－m22，得y0＝－m22（4m2＋1），因此y0x0＝－14m，所以直线OD的方程为y＝－14mx.联立方程y＝－14mx，x＝m，得点M的纵坐标yM＝－14，所以点M在定直线y＝－14上．(ii)由(i)知直线l的方程为y＝mx－m22.令x＝0，得y＝－m22，所以G（0，－m22）.又P（m，m22），F（0，12），D（2m34m2＋1，－m22（4m2＋1）），所以S1＝12?|GF|?m＝（m2＋1）m4，S2＝12?|PM|?|m－x0|＝12×2m2＋14×2m3＋m4m2＋1＝m（2m2＋1）28（4m2＋1），所以S1S2＝2（4m2＋1）（m2＋1）（2m2＋1）2.设t＝2m2＋1(t&1)，则S1S2＝（2t－1）（t＋1）t2＝2t2＋t－1t2＝－1t2＋1t＋2，当1t＝12，即t＝2时，S1S2取到最大值94，此时m＝22，满足(*)式，所以P点坐标为（22，14）.因此S1S2的最大值为94，此时点P的坐标为（22，14）.3．若PQ是圆x2＋y2＝9的弦，PQ的中点是(1，2)，则直线PQ的方程是()A．x＋2y－5＝0B．x＋2y－3＝0C．2x－y＋4＝0D．2x－y＝03．A由题知直线PQ的斜率是－12，故直线PQ的方程是y－2＝－12(x－1)，即x＋2y－5＝0.4．"k＝2"是"直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝2相切"的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．A直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝2相切?k2＝2，即k＝±2.故选A.4．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1a&b&0的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线与椭圆交于A，B两点，若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率e为()A.22B.2－3C.5－2D.6－34．D设F1F2＝2c，AF1＝m，∵△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，∴AB＝AF1＝m，BF1＝2m.由椭圆的定义可知△F1AB的周长为4a，∴4a＝2m＋2m，∴m＝2(2－2)a，∴AF2＝2a－m＝(22－2)a.∵AF12＋AF22＝F1F22，∴4(2－2)2a2＋4(2－1)2a2＝4c2，∴e2＝9－62，∴e＝6－3.1．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1a&b&0的离心率为22，过点M1，0的直线l交椭圆C于A，B两点，且MA＝λMB，当直线l垂直于x轴时，AB＝2.(1)求椭圆C的方程；(2)若λ∈12，2，求弦长AB的取值范围．1．解：(1)由e＝22，得ca＝22①.又当直线l垂直于x轴时，AB＝2，所以椭圆C过点1，22，代入椭圆方程得1a2＋12b2＝1②.又a2＝b2＋c2③，联立①②③可得a2＝2，b2＝1，所以椭圆C的方程为x22＋y2＝1.(2)当过点M的直线l的斜率为0时，点A，B为椭圆长轴的两端点，λ＝|MA||MB|＝2＋12－1＝3＋22&2或λ＝|MA||MB|＝2－12＋1＝3－22&12，不合题意，所以直线l的斜率不能为0.当直线l的斜率不为0时，可设直线l的方程为x＝my＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)．将直线方程代入椭圆方程得(m2＋2)y2＋2my－1＝0，由韦达定理可得y1＋y2＝－2mm2＋2④，y1y2＝－1m2＋2⑤，将④式两边平方除以⑤式可得y1y2＋y2y1＋2＝－4m2m2＋2.由|MA|＝λ|MB|可知，y1y2＝－λ，所以－λ－1λ＋2＝－4m2m2＋2，又λ∈12，2，所以－λ－1λ＋2∈－12，0，所以－12≤－4m2m2＋2≤0，解得m2∈0，27.易知|AB|2＝(1＋m2)|y1－y2|2＝(1＋m2)＝8m2＋1m2＋22＝81－1m2＋22，又m2∈0，27，所以1m2＋2∈716，12，所以|AB|∈2，928.1．已知椭圆C1：x2a2＋y2b2＝1(a&b&0)和椭圆C2：x22＋y2＝1的离心率相同，且点(2，1)在椭圆C1上．(1)求椭圆C1的方程．(2)设P为椭圆C2上一动点，过点P作直线交椭圆C1于A，C两点，且P恰为弦AC的中点，试判断△AOC的面积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．1．解：(1)由题知，2a2＋1b2＝1，a2＝b2＋c2，且ca＝22，得a2＝4，b2＝2，∴椭圆C1的方程为x24＋y22＝1.(2)当直线AC的斜率不存在时，必有P(±2，0)，此时|AC|＝2，S△AOC＝2.当直线AC的斜率存在时，设其斜率为k，点P(x0，y0)，则直线AC：y－y0＝k(x－x0)，与椭圆C1的方程联立，得(1＋2k2)x2＋4k(y0－kx0)x＋2(y0－kx0)2－4＝0.设A(x1，y1)，C(x2，y2)，则x0＝x1＋x22＝－2k（y0－kx0）1＋2k2，即x0＝－2ky0.又x20＋2y20＝2，∴y20＝11＋2k2，∴S△AOC＝12×|y0－kx0|1＋k2×1＋k2?16k2（y0－kx0）2－4（1＋2k2）[2（y0－kx0）2－4]1＋2k2＝2|y0－kx0|2（1＋2k2）－（y0－kx0）21＋2k2＝2（1＋2k2）|y0|2（1＋2k2）－（1＋2k2）2y201＋2k2＝2|y0|1＋2k2＝2.综上，无论P点怎样变化，△AOC的面积为常数2.4．如图K45?1所示，在平面直角坐标系xOy中，已知R(x0，y0)是椭圆C：x224＋y212＝1上的一点，从原点O向圆R：(x－x0)2＋(y－y0)2＝8作两条切线，分别交椭圆于点P，Q.(1)若R点在第一象限，且直线OP，OQ互相垂直，求圆R的标准方程．(2)若直线OP，OQ的斜率存在，并将其分别记为k1，k2，求k1?k2的值．(3)试问|OP|2＋|OQ|2是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．图K45?14．解：(1)由圆R的方程知，圆R的半径r＝22.因为直线OP，OQ互相垂直，且和圆R相切，所以|OR|＝2r＝4，即x20＋y20＝16①.又点R在椭圆C上，所以x2024＋y2012＝1②.联立①②，解得x0＝22，y0＝22，所以所求圆R的标准方程为(x－22)2＋(y－22)2＝8.(2)因为直线OP：y＝k1x和OQ：y＝k2x都与圆R相切，所以|k1x0－y0|1＋k21＝22，|k2x0－y0|1＋k22＝22，化简得(x20－8)k21－2x0y0k1＋y20－8＝0，(x20－8)k22－2x0y0k2＋y20－8＝0，所以k1，k2是方程(x20－8)k2－2x0y0k＋y20－8＝0的两个不相等的实数根，由韦达定理得，k1?k2＝y20－8x20－8.因为点R(x0，y0)在椭圆C上，所以x2024＋y2012＝1，即y20＝12－12x20，所以k1?k2＝4－12x20x20－8＝－12.(3)当直线OP，OQ不与坐标轴重合时，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)．由(2)知2k1k2＋1＝0，所以2y1y2x1x2＋1＝0，故y21y22＝14x21x22.因为点P，Q都在椭圆C上，所以x2124＋y2112＝1，x2224＋y2212＝1，即y21＝12－12x21，y22＝12－12x22，所以12－12x＝14x21x22，整理得x21＋x22＝24，所以y21＋y22＝12－12x21＋12－12x22＝12，所以|OP|2＋|OQ|2＝x21＋y21＋x22＋y22＝(x21＋x22)＋(y21＋y22)＝36.当直线OP，OQ与坐标轴重合时，显然有|OP|2＋|OQ|2＝36.综上，|OP|2＋|OQ|2＝36.数学H单元解析几何H1直线的倾斜角与斜率、直线的方程20．F1、H1、H5、H7、H8已知抛物线C1：x2＝4y的焦点F也是椭圆C2：y2a2＋x2b2＝1(a&b&0)的一个焦点，C1与C2的公共弦的长为26.(1)求C2的方程．(2)过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C2相交于C，D两点，且AC→与BD→同向．(i)若|AC|＝|BD|，求直线l的斜率；(ii)设C1在点A处的切线与x轴的交点为M，证明：直线l绕点F旋转时，△MFD总是钝角三角形．20．解：(1)由C1：x2＝4y知其焦点F的坐标为(0，1)．因为F也是椭圆C2的一个焦点，所以a2－b2＝1.①又C1与C2的公共弦的长为26，C1与C2都关于y轴对称，且C1的方程为x2＝4y，由此易知C1与C2的公共点的坐标为±6，32，所以94a2＋6b2＝1.②联立①②，得a2＝9，b2＝8，故C2的方程为y29＋x28＝1.(2)如图所示，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)．(i)因为AC→与BD→同向，且|AC|＝|BD|，所以AC→＝BD→，从而x3－x1＝x4－x2，即x1－x2＝x3－x4，于是(x1＋x2)2－4x1x2＝(x3＋x4)2－4x3x4.③设直线l的斜率为k，则l的方程为y＝kx＋1.由y＝kx＋1，x2＝4y得x2－4kx－4＝0，而x1，x2是这个方程的两根，所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.④由y＝kx＋1，x28＋y29＝1得(9＋8k2)x2＋16kx－64＝0.而x3，x4是这个方程的两根，所以x3＋x4＝－16k9＋8k2，x3x4＝－649＋8k2.⑤将④⑤代入③，得16(k2＋1)＝162k2（9＋8k2）2＋4×649＋8k2，即16(k2＋1)＝162×9（k2＋1）（9＋8k2）2，所以(9＋8k2)2＝16×9，解得k＝±64，即直线l的斜率为±64.(ii)证明：由x2＝4y得y′＝x2，所以C1在点A处的切线方程为y－y1＝x12(x－x1)，即y＝x1x2－x214.令y＝0，得x＝x12，即Mx12，0，所以FM→＝x12，－1.而FA→＝(x1，y1－1)，于是FA→?FM→＝x212－y1＋1＝x214＋1&0，因此∠AFM是锐角，从而∠MFD＝180°－∠AFM是钝角．故直线l绕点F旋转时，△MFD总是钝角三角形．19．H1、H5、H8已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a&b&0)的左焦点为F(－c，0)，离心率为33，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x2＋y2＝b24截得的线段的长为c，|FM|＝433.(1)求直线FM的斜率；(2)求椭圆的方程；(3)设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于2，求直线OP(O为原点)的斜率的取值范围．19．解：(1)由已知有c2a2＝13，又由a2＝b2＋c2，可得a2＝3c2，b2＝2c2.设直线FM的斜率为k(k&0)，则直线FM的方程为y＝k(x＋c)．由已知，有kck2＋12＋c22＝b22，解得k＝33.(2)由(1)得椭圆方程为x23c2＋y22c2＝1，直线FM的方程为y＝33(x＋c)，两个方程联立，消去y，整理得3x2＋2cx－5c2＝0，解得x＝－53c或x＝c.因为点M在第一象限，所以M的坐标为c，233c.由|FM|＝（c＋c）2＋233c－02＝433，解得c＝1，所以椭圆的方程为x23＋y22＝1.(3)设点P的坐标为(x，y)，直线FP的斜率为t，则t＝yx＋1，即y＝t(x＋1)(x≠－1)，与椭圆方程联立y＝t（x＋1），x23＋y22＝1，消去y，整理得2x2＋3t2(x＋1)2＝6.又由已知，得t＝6－2x23（x＋1）2&2，解得－32&x&－1或－1&x&0.设直线OP的斜率为m，则m＝yx，即y＝mx(x≠0)．与椭圆方程联立，整理可得m2＝2x2－23.①当x∈－32，－1时，有y＝t(x＋1)&0，因此m&0，于是m＝2x2－23，得m∈23，233.②当x∈(－1，0)时，有y＝t(x＋1)&0，因此m&0，于是m＝－2x2－23，得m∈－∞，－233.综上，直线OP的斜率的取值范围是－∞，－233∪23，233.H2两直线的位置关系与点到直线的距离15．B12、H2设曲线y＝ex在点(0，1)处的切线与曲线y＝1x(x&0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为________．15．(1，1)对y＝ex求导得y′＝ex，令x＝0，得曲线y＝ex在点(0，1)处的切线斜率为1，故曲线y＝1x(x&0)上点P处的切线斜率为－1，由y′＝－1x2＝－1，得x＝1，则y＝1，所以P的坐标为(1，1)．H3圆的方程14．H3、H4如图1?3，圆C与x轴相切于点T(1，0)，与y轴正半轴交于两点A，B(B在A的上方)，且|AB|＝2.图1?3(1)圆C的标准方程为________；(2)过点A任作一条直线与圆O：x2＋y2＝1相交于M，N两点，下列三个结论：①|NA||NB|＝|MA||MB|；②|NB||NA|－|MA||MB|＝2；③|NB||NA|＋|MA||MB|＝22.其中正确结论的序号是________．(写出所有正确结论的序号)14．(1)(x－1)2＋(y－2)2＝2(2)①②③(1)由题意，设圆心C(1，r)(r为圆C的半径)，则r2＝AB22＋12＝2，解得r＝2.所以圆C的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝2.(2)由(1)知，A(0，2－1)，B(0，2＋1)．设M(a，b)，则|MA||MB|＝a2＋[b－（2－1）]2a2＋[b－（2＋1）]2＝1－b2＋[b－（2－1）]21－b2＋[b－（2＋1）]2＝（2－1）b－（2－2）（2＋1）b－（2＋2）＝（2－1）（b－2）（2＋1）（b－2）＝（2－1）2（2＋1）（2－1）＝2－1；同理|NA||NB|＝2－1.所以|NA||NB|＝|MA||MB|，①正确；|NB||NA|－|MA||MB|＝12－1－(2－1)＝2，②正确；|NB||NA|＋|MA||MB|＝12－1＋2－1＝22，③正确．综上，正确结论的序号是①②③.7．H3过三点A(1，3)，B(4，2)，C(1，－7)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|＝()A．26B．8C．46D．107．C方法一：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将点A(1，3)，B(4，2)，C(1，－7)的坐标代入得方程组D＋3E＋F＋10＝0，4D＋2E＋F＋20＝0，D－7E＋F＋50＝0，解得D＝－2，E＝4，F＝－20，所以圆的方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0，即(x－1)2＋(y＋2)2＝25，所以MN＝225－1＝46.方法二：因为kAB＝－13，kBC＝3，所以kABkBC＝－1，所以AB⊥BC，所以△ABC为直角三角形，所以△ABC的外接圆圆心为AC的中点(1，－2)，半径r＝12AC＝5，所以MN＝225－1＝46.方法三：由AB→?BC→＝0得AB⊥BC，下同方法二．14．H3一个圆经过椭圆x216＋y24＝1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．14.x－322＋y2＝254设圆心为(t，0)(t&0)，则半径为4－t，所以4＋t2＝(4－t)2，解得t＝32，所以圆的标准方程为x－322＋y2＝254.8．H3、H4已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝()A．2B．42C．6D．2108．C由题设，得圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4，故圆C的圆心为(2，1)，半径为2.因为直线l为圆C的对称轴，所以圆心(2，1)在直线l上，则2＋a－1＝0，解得a＝－1，所以|AB|2＝|AC|2－|BC|2＝－4＝36，所以|AB|＝6.H4直线与圆、圆与圆的位置关系5．H4平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是()A．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0B．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0C．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0D．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝05．A设所求直线方程为2x＋y＋m＝0，则圆心到该直线的距离为|m|22＋1＝5，∴|m|＝5，即m＝±5.14．H3、H4如图1?3，圆C与x轴相切于点T(1，0)，与y轴正半轴交于两点A，B(B在A的上方)，且|AB|＝2.图1?3(1)圆C的标准方程为________；(2)过点A任作一条直线与圆O：x2＋y2＝1相交于M，N两点，下列三个结论：①|NA||NB|＝|MA||MB|；②|NB||NA|－|MA||MB|＝2；③|NB||NA|＋|MA||MB|＝22.其中正确结论的序号是________．(写出所有正确结论的序号)14．(1)(x－1)2＋(y－2)2＝2(2)①②③(1)由题意，设圆心C(1，r)(r为圆C的半径)，则r2＝AB22＋12＝2，解得r＝2.所以圆C的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝2.(2)由(1)知，A(0，2－1)，B(0，2＋1)．设M(a，b)，则|MA||MB|＝a2＋[b－（2－1）]2a2＋[b－（2＋1）]2＝1－b2＋[b－（2－1）]21－b2＋[b－（2＋1）]2＝（2－1）b－（2－2）（2＋1）b－（2＋2）＝（2－1）（b－2）（2＋1）（b－2）＝（2－1）2（2＋1）（2－1）＝2－1；同理|NA||NB|＝2－1.所以|NA||NB|＝|MA||MB|，①正确；|NB||NA|－|MA||MB|＝12－1－(2－1)＝2，②正确；|NB||NA|＋|MA||MB|＝12－1＋2－1＝22，③正确．综上，正确结论的序号是①②③.10．H4在平面直角坐标系xOy中，以点(1，0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________．10．(x－1)2＋y2＝2由直线mx－y－2m－1＝0得m(x－2)－(y＋1)＝0，故直线过点(2，－1)．当切线与过(1，0)，(2，－1)两点的直线垂直时，圆的半径最大，此时有r＝1＋1＝2，故所求圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝2.9．H4一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为()A．－53或－35B．－32或－23C．－54或－45D．－43或－349．D设反射光线所在直线的斜率为k，反射光线过点(－2，－3)关于y轴的对称点(2，－3)，∴反射光线所在直线方程为y＋3＝k(x－2)．又∵其与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，∴|－3k－2－2k－3|1＋k2＝1，解得k＝－43或k＝－34.10．H4，H7设直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，与圆(x－5)2＋y2＝r2(r&0)相切于点M，且M为线段AB的中点．若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是()A．(1，3)B．(1，4)&C．(2，3)D．(2，4)10．D当直线l与x轴垂直，且0&r&5时，满足条件的直线有且仅有2条．当直线l与x轴不垂直时，不妨设切点M(5＋rcosθ，rsinθ)(0＜θ＜π)，则切线斜率k＝－cosθsinθ.另一方面，由于M是AB的中点，故由点差法得k＝2rsinθ，则r＝－2cosθ，所以r＞2.因为M(5＋rcosθ，rsinθ)在抛物线内，所以r2sin2θ&4(5＋rcosθ)，又rcosθ＝－2，所以化简得r＜4，故2＜r＜4.当2＜r＜4时，由r＝－2cosθ知满足条件且在x轴上方的切点M只有1个，从而总的切线有4条．故选D.8．H3、H4已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝()A．2B．42C．6D．2108．C由题设，得圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4，故圆C的圆心为(2，1)，半径为2.因为直线l为圆C的对称轴，所以圆心(2，1)在直线l上，则2＋a－1＝0，解得a＝－1，所以|AB|2＝|AC|2－|BC|2＝－4＝36，所以|AB|＝6.H5椭圆及其几何性质20．H5、H8设椭圆E的方程为x2a2＋y2b2＝1(a&b&0)，点O为坐标原点，点A的坐标为(a，0)，点B的坐标为(0，b)，点M在线段AB上，满足|BM|＝2|MA|，直线OM的斜率为510.(1)求E的离心率e；(2)设点C的坐标为(0，－b)，N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为72，求E的方程．20．解：(1)由题设条件知，点M的坐标为23a，13b.又kOM＝510，所以b2a＝510，进而得a＝5b，c＝a2－b2＝2b，故e＝ca＝255.(2)由题设条件和(1)的计算结果可得，直线AB的方程为x5b＋yb＝1，点N的坐标为52b，－12b.设点N关于直线AB的对称点S的坐标为x1，72，则线段NS的中点T的坐标为54b＋x12，－14b＋74.又点T在直线AB上，且kNS?kAB＝－1，从而有54b＋x125b＋－14b＋74b＝1，72＋12bx1－52b＝5，解得b＝3，所以a＝35，故椭圆E的方程为x245＋y29＝1.21．H9、H5、H8、H10一种作图工具如图1?6所示．O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DN＝ON＝1，MN＝3.当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕O转动一周(D不动时，N也不动)，M处的笔尖画出的曲线记为C.以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图1?7所示的平面直角坐标系．(1)求曲线C的方程．(2)设动直线l与两定直线l1：x－2y＝0和l2：x＋2y＝0分别交于P，Q两点．若直线l总与曲线C有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．图1?6图1?721．解：(1)设点D(t，0)(|t|≤2)，N(x0，y0)，M(x，y)，依题意，MD→＝2DN→，且|DN→|＝|ON→|＝1，所以(t－x，－y)＝2(x0－t，y0)，且（x0－t）2＋y20＝1，x20＋y20＝1，即t－x＝2x0－2t，y＝－2y0，且t(t－2x0)＝0.由于当点D不动时，点N也不动，所以t不恒等于0，于是t＝2x0，故x0＝x4，y0＝－y2，代入x20＋y20＝1，可得x216＋y24＝1，即所求的曲线C的方程为x216＋y24＝1.(2)(i)当直线l的斜率不存在时，直线l为x＝4或x＝－4，都有S△OPQ＝12×4×4＝8.(ii)当直线l的斜率存在时，设直线l：y＝kx＋mk≠±12，由y＝kx＋m，x2＋4y2＝16，消去y，可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－16＝0.因为直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，所以Δ＝64k2m2－4(1＋4k2)(4m2－16)＝0，即m2＝16k2＋4.①又由y＝kx＋m，x－2y＝0，可得P2m1－2k，m1－2k；同理可得Q－2m1＋2k，m1＋2k.由原点O到直线PQ的距离d＝|m|1＋k2和|PQ|＝1＋k2|xP－xQ|，可得S△OPQ＝12|PQ|?d＝12|m||xP－xQ|＝12|m|?2m1－2k＋2m1＋2k＝2m21－4k2.②将①代入②得，S△OPQ＝2m21－4k2＝84k2＋14k2－1.当k2&14时，S△OPQ＝8?4k2＋14k2－1＝81＋24k2－1&8；当0≤k2&14时，S△OPQ＝8?4k2＋11－4k2＝8－1＋21－4k2.因0≤k2&14，则0&1－4k2≤1，21－4k2≥2，所以S△OPQ＝8－1＋21－4k2≥8，当且仅当k＝0时取等号．所以当k＝0时，S△OPQ的最小值为8.综合(i)(ii)可知，当直线l与椭圆C在四个顶点处相切时，△OPQ的面积取得最小值8.18．H5、H10如图1?4，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a&b&0)的离心率为22，且右焦点F到左准线l的距离为3.(1)求椭圆的标准方程；(2)过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC＝2AB，求直线AB的方程．图1?418．解：(1)由题意，得ca＝22，且c＋a2c＝3，解得a＝2，c＝1，则b＝1，所以椭圆的标准方程为x22＋y2＝1.(2)当AB⊥x轴时，AB＝2，又CP＝3，不合题意．当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线AB的方程代入椭圆方程，得(1＋2k2)x2－4k2x＋2(k2－1)＝0，则x1，2＝2k2±2（1＋k2）1＋2k2，C点的坐标为2k21＋2k2，－k1＋2k2，且AB＝（x2－x1）2＋（y2－y1）2＝（1＋k2）（x2－x1）2＝22（1＋k2）1＋2k2.若k＝0，则线段AB的垂直平分线为y轴，与左准线平行，不合题意，从而k≠0，故直线PC的方程为y＋k1＋2k2＝－1kx－2k21＋2k2，则P点的坐标为－2，5k2＋2k（1＋2k2），从而PC＝2（3k2＋1）1＋k2|k|（1＋2k2）.因为PC＝2AB，所以2（3k2＋1）1＋k2|k|（1＋2k2）＝42（1＋k2）1＋2k2，解得k＝±1，此时直线AB的方程为y＝x－1或y＝－x＋1.20．H5、H8已知椭圆C：9x2＋y2＝m2(m&0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.(1)证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．(2)若l过点m3，m，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．20．解：(1)证明：设直线l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)．将y＝kx＋b代入9x2＋y2＝m2，得(k2＋9)x2＋2kbx＋b2－m2＝0，故xM＝x1＋x22＝－kbk2＋9，yM＝kxM＋b＝9bk2＋9.于是直线OM的斜率kOM＝yMxM＝－9k，即kOM?k＝－9.所以直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．(2)四边形OAPB能为平行四边形．因为直线l过点m3，m，所以l不过原点且与椭圆C有两个交点的充要条件是k&0，k≠3.由(1)得直线OM的方程为y＝－9kx.设点P的横坐标为xP，由y＝－9kx，9x2＋y2＝m2，得x2P＝k2m29k2＋81，即xP＝±km3k2＋9.将点m3，m的坐标代入(1)中l的方程得b＝m（3－k）3，因此xM＝k（k－3）m3（k2＋9）.四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即xP＝2xM，于是±km3k2＋9＝2×k（k－3）m3（k2＋9），解得k1＝4－7，k2＝4＋7.因为k&0，k≠3，所以当l的斜率为4－7或4＋7时，四边形OAPB为平行四边形．19．H5，H8已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a&b&0)的离心率为22，点P(0，1)和点A(m，n)(m≠0)都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M.(1)求椭圆C的方程，并求点M的坐标(用m，n表示)；(2)设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N，问：y轴上是否存在点Q，使得∠OQM＝∠ONQ？若存在，求点Q坐标；若不存在，说明理由．19．解：(1)由题意得b＝1，ca＝22，a2＝b2＋c2，解得a2＝2，故椭圆C的方程为x22＋y2＝1，设M(xM，0)．因为m≠0，所以－1&n&1.直线PA的方程为y－1＝n－1mx，所以xM＝m1－n，即Mm1－n，0.(2)因为点B与点A关于x轴对称，所以B(m，－n)，设N(xN，0)，则xN＝m1＋n."存在点Q(0，yQ)使得∠OQM＝∠ONQ"等价于"存在点Q(0，yQ)使得|OM||OQ|＝|OQ||ON|"，即yQ满足y2Q＝|xM||xN|.因为xM＝m1－n，xN＝m1＋n，m22＋n2＝1，所以y2Q＝|xM||xN|＝m21－n2＝2.所以yQ＝2或yQ＝－2.故在y轴上存在点Q，使得∠OQM＝∠ONQ，点Q的坐标为(0，2)或(0，－2)．13．H5设F是双曲线C：x2a2－y2b2＝1的一个焦点，若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为________．13.5由已知，令F(－c，0)，虚轴的一个端点B(0，b)，B恰为线段PF的中点，故P(c，2b)．又P在双曲线上，代人双曲线方程得c2a2－4b2b2＝1，即e＝ca＝5.20．F1、H1、H5、H7、H8已知抛物线C1：x2＝4y的焦点F也是椭圆C2：y2a2＋x2b2＝1(a&b&0)的一个焦点，C1与C2的公共弦的长为26.(1)求C2的方程．(2)过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C2相交于C，D两点，且AC→与BD→同向．(i)若|AC|＝|BD|，求直线l的斜率；(ii)设C1在点A处的切线与x轴的交点为M，证明：直线l绕点F旋转时，△MFD总是钝角三角形．20．解：(1)由C1：x2＝4y知其焦点F的坐标为(0，1)．因为F也是椭圆C2的一个焦点，所以a2－b2＝1.①又C1与C2的公共弦的长为26，C1与C2都关于y轴对称，且C1的方程为x2＝4y，由此易知C1与C2的公共点的坐标为±6，32，所以94a2＋6b2＝1.②联立①②，得a2＝9，b2＝8，故C2的方程为y29＋x28＝1.(2)如图所示，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)．(i)因为AC→与BD→同向，且|AC|＝|BD|，所以AC→＝BD→，从而x3－x1＝x4－x2，即x1－x2＝x3－x4，于是(x1＋x2)2－4x1x2＝(x3＋x4)2－4x3x4.③设直线l的斜率为k，则l的方程为y＝kx＋1.由y＝kx＋1，x2＝4y得x2－4kx－4＝0，而x1，x2是这个方程的两根，所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.④由y＝kx＋1，x28＋y29＝1得(9＋8k2)x2＋16kx－64＝0.而x3，x4是这个方程的两根，所以x3＋x4＝－16k9＋8k2，x3x4＝－649＋8k2.⑤将④⑤代入③，得16(k2＋1)＝162k2（9＋8k2）2＋4×649＋8k2，即16(k2＋1)＝162×9（k2＋1）（9＋8k2）2，所以(9＋8k2)2＝16×9，解得k＝±64，即直线l的斜率为±64.(ii)证明：由x2＝4y得y′＝x2，所以C1在点A处的切线方程为y－y1＝x12(x－x1)，即y＝x1x2－x214.令y＝0，得x＝x12，即Mx12，0，所以FM→＝x12，－1.而FA→＝(x1，y1－1)，于是FA→?FM→＝x212－y1＋1＝x214＋1&0，因此∠AFM是锐角，从而∠MFD＝180°－∠AFM是钝角．故直线l绕点F旋转时，△MFD总是钝角三角形．20．H5、H8平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a&b&0)的离心率为32，左、右焦点分别是F1，F2.以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上．(1)求椭圆C的方程．(2)设椭圆E：x24a2＋y24b2＝1，P为椭圆C上任意一点．过点P的直线y＝kx＋m交椭圆E于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q.(i)求|OQ||OP|的值；(ii)求△ABQ面积的最大值．20．解：(1)由题意知2a＝4，则a＝2，又ca＝32，a2－c2＝b2，可得b＝1，所以椭圆C的方程为x24＋y2＝1.(2)由(1)知，椭圆E的方程为x216＋y24＝1，(i)设P(x0，y0)，|OQ||OP|＝λ，由题意知Q(－λx0，－λy0)．因为x204＋y20＝1，且（－λx0）216＋（－λy0）24＝1，即λ24x204＋y20＝1，所以λ＝2，即|OQ||OP|＝2.(ii)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．将y＝kx＋m代入椭圆E的方程，可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－16＝0，由Δ&0，可得m2&4＋16k2，①则有x1＋x2＝－8km1＋4k2，x1x2＝4m2－161＋4k2，所以|x1－x2|＝416k2＋4－m21＋4k2.因为直线y＝kx＋m与y轴交点的坐标为(0，m)，所以△OAB的面积S＝12|m||x1－x2|＝216k2＋4－m2|m|1＋4k2＝2（16k2＋4－m2）m21＋4k2＝24－m21＋4k2m21＋4k2.设m21＋4k2＝t.将y＝kx＋m代入椭圆C的方程，可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，由Δ≥0，可得m2≤1＋4k2.②由①②可知0&t≤1，因此S＝2（4－t）t＝2－t2＋4t.故S≤23，当且仅当t＝1，即m2＝1＋4k2时，S取得最大值23，由(i)知，△ABQ的面积为3S，所以△ABQ面积的最大值为63.20．H5、H8已知椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a&b&0)的半焦距为c，原点O到经过两点(c，0)，(0，b)的直线的距离为12c.(1)求椭圆E的离心率；(2)如图1?7，AB是圆M：(x＋2)2＋(y－1)2＝52的一条直径，若椭圆E经过A，B两点，求椭圆E的方程．图1?720．解：(1)过点(c，0)，(0，b)的直线方程为bx＋cy－bc＝0，则原点O到该直线的距离d＝bcb2＋c2＝bca，由d＝12c，得a＝2b＝2a2－c2，解得离心率ca＝32.(2)方法一：由(1)知，椭圆E的方程为x2＋4y2＝4b2.①依题意，圆心M(－2，1)是线段AB的中点，且|AB|＝10.易知，AB与x轴不垂直，设其方程为y＝k(x＋2)＋1，代入①得(1＋4k2)x2＋8k(2k＋1)x＋4(2k＋1)2－4b2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－8k（2k＋1）1＋4k2，x1x2＝4（2k＋1）2－4b21＋4k2.由x1＋x2＝－4，得－8k（2k＋1）1＋4k2＝－4，解得k＝12.从而x1x2＝8－2b2.于是|AB|＝1＋122|x1－x2|＝52（x1＋x2）2－4x1x2＝10（b2－2）.由|AB|＝10，得10（b2－2）＝10，解得b2＝3.故椭圆E的方程为x212＋y23＝1.方法二：由(1)知，椭圆E的方程为x2＋4y2＝4b2.②依题意，点A，B关于圆心M(－2，1)对称，且|AB|＝10.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x21＋4y21＝4b2，x22＋4y22＝4b2，两式相减并结合x1＋x2＝－4，y1＋y2＝2，得－4(x1－x2)＋8(y1－y2)＝0.易知AB与x轴不垂直，则x1≠x2，所以AB的斜率kAB＝y1－y2x1－x2＝12.因此直线AB的方程为y＝12(x＋2)＋1，代入②得x2＋4x＋8－2b2＝0，所以x1＋x2＝－4，x1x2＝8－2b2.于是|AB|＝1＋122|x1－x2|＝52（x1＋x2）2－4x1x2＝10（b2－2）.由|AB|＝10，得10（b2－2）＝10，解得b2＝3.故椭圆E的方程为x212＋y23＝1.20．H5、H8、H9如图1?5所示，椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a&b&0)的离心率是22，过点P(0，1)的动直线l与椭圆相交于A，B两点．当直线l平行于x轴时，直线l被椭圆E截得的线段长为22.图1?5(1)求椭圆E的方程．(2)在平面直角坐标系xOy中，是否存在与点P不同的定点Q，使得|QA||QB|＝|PA||PB|恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．20．解：(1)由已知得，点(2，1)在椭圆E上，因此2a2＋1b2＝1，a2－b2＝c2，ca＝22，解得a＝2，b＝2，所以椭圆E的方程为x24＋y22＝1.(2)当直线l与x轴平行时，设直线l与椭圆相交于C，D两点．如果存在定点Q满足条件，则有|QC||QD|＝|PC||PD|＝1，即|QC|＝|QD|，所以Q点在y轴上，可设Q点的坐标为(0，y0)．当直线l与x轴垂直时，设直线l与椭圆相交于M，N两点，则M，N的坐标分别为(0，2)，(0，－2)．由|QM||QN|＝|PM||PN|，得|y0－2||y0＋2|＝2－12＋1，解得y0＝1或y0＝2，所以若存在不同于点P的定点Q满足条件，则Q点坐标只可能为(0，2)．下面证明：对任意直线l，均有|QA||QB|＝|PA||PB|.当直线l的斜率不存在时，由上可知，结论成立．当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y＝kx＋1，A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．联立x24＋y22＝1，y＝kx＋1，得(2k2＋1)x2＋4kx－2＝0.其判别式Δ＝(4k)2＋8(2k2＋1)&0，所以x1＋x2＝－4k2k2＋1，x1x2＝－22k2＋1，因此1x1＋1x2＝x1＋x2x1x2＝2k.易知点B关于y轴对称的点B′的坐标为(－x2，y2)．又kQA＝y1－2x1＝kx1－1x1＝k－1x1，kQB′＝y2－2－x2＝kx2－1－x2＝－k＋1x2＝k－1x1，所以kQA＝kQB′，即Q，A，B′三点共线，所以|QA||QB|＝|QA||QB′|＝|x1||x2|＝|PA||PB|.故存在与P不同的定点Q(0，2)，使得|QA||QB|＝|PA||PB|恒成立．19．H1、H5、H8已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a&b&0)的左焦点为F(－c，0)，离心率为33，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x2＋y2＝b24截得的线段的长为c，|FM|＝433.(1)求直线FM的斜率；(2)求椭圆的方程；(3)设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于2，求直线OP(O为原点)的斜率的取值范围．19．解：(1)由已知有c2a2＝13，又由a2＝b2＋c2，可得a2＝3c2，b2＝2c2.设直线FM的斜率为k(k&0)，则直线FM的方程为y＝k(x＋c)．由已知，有kck2＋12＋c22＝b22，解得k＝33.(2)由(1)得椭圆方程为x23c2＋y22c2＝1，直线FM的方程为y＝33(x＋c)，两个方程联立，消去y，整理得3x2＋2cx－5c2＝0，解得x＝－53c或x＝c.因为点M在第一象限，所以M的坐标为c，233c.由|FM|＝（c＋c）2＋233c－02＝433，解得c＝1，所以椭圆的方程为x23＋y22＝1.(3)设点P的坐标为(x，y)，直线FP的斜率为t，则t＝yx＋1，即y＝t(x＋1)(x≠－1)，与椭圆方程联立y＝t（x＋1），x23＋y22＝1，消去y，整理得2x2＋3t2(x＋1)2＝6.又由已知，得t＝6－2x23（x＋1）2&2，解得－32&x&－1或－1&x&0.设直线OP的斜率为m，则m＝yx，即y＝mx(x≠0)．与椭圆方程联立，整理可得m2＝2x2－23.①当x∈－32，－1时，有y＝t(x＋1)&0，因此m&0，于是m＝2x2－23，得m∈23，233.②当x∈(－1，0)时，有y＝t(x＋1)&0，因此m&0，于是m＝－2x2－23，得m∈－∞，－233.综上，直线OP的斜率的取值范围是－∞，－233∪23，233.19．H5、H8已知椭圆x22＋y2＝1上两个不同的点A，B关于直线y＝mx＋12对称．(1)求实数m的取值范围；(2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点)．图1?619．解：(1)由题意知m≠0，可设直线AB的方程为y＝－1mx＋b.由x22＋y2＝1，y＝－1mx＋b，消去y，得12＋1m2x2－2bmx＋b2－1＝0.因为直线y＝－1mx＋b与椭圆x22＋y2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b2＋2＋4m2&0.①将AB的中点M2mbm2＋2，m2bm2＋2的坐标代入直线方程y＝mx＋12，解得b＝－m2＋22m2.②由①②得，m&－63或m&63.(2)令t＝1m∈－62，0∪0，62，则|AB|＝t2＋1?－2t4＋2t2＋32t2＋12，且O到直线AB的距离d＝t2＋12t2＋1.设△AOB的面积为S(t)，所以S(t)＝12|AB|?d＝12－2t2－122＋2≤22，当且仅当t2＝12时，等号成立．故△AOB面积的最大值为22.21．H5、H8如图1?6所示，椭圆x2a2＋y2b2＝1(a&b&0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQ⊥PF1.(1)若|PF1|＝2＋2，|PF2|＝2－2，求椭圆的标准方程；(2)若|PF1|＝|PQ|，求椭圆的离心率e.图1?621．解：(1)由椭圆的定义，得2a＝|PF1|＋|PF2|＝(2＋2)＋(2－2)＝4，故a＝2.设椭圆的半焦距为c，由已知PF1⊥PF2，得2c＝|F1F2|＝|PF1|2＋|PF2|2＝（2＋2）2＋（2－2）2＝23，即c＝3，从而b＝a2－c2＝1.故所求椭圆的标准方程为x24＋y2＝1.(2)方法一：如图，设点P(x0，y0)，由点P在椭圆上，且PF1⊥PF2，得x20a2＋y20b2＝1，x20＋y20＝c2，求得x0＝±aca2－2b2，y0＝±b2c.由|PF1|＝|PQ|&|PF2|得x0&0，从而|PF1|2＝aa2－2b2c＋c2＋b4c2＝2(a2－b2)＋2aa2－2b2＝(a＋a2－2b2)2.由椭圆的定义，|PF1|＋|PF2|＝2a，|QF1|＋|QF2|＝2a.从而由|PF1|＝|PQ|＝|PF2|＋|QF2|，得|QF1|＝4a－2|PF1|.又由PF1⊥PF2，|PF1|＝|PQ|，知|QF1|＝2|PF1|，因此(2＋2)|PF1|＝4a，即(2＋2)(a＋a2－2b2)＝4a，于是(2＋2)(1＋2e2－1)＝4，解得e＝12×1＋42＋2－12＝6－3.方法二：如图，由椭圆的定义，得|PF1|＋|PF2|＝2a，|QF1|＋|QF2|＝2a.从而由|PF1|＝|PQ|＝|PF2|＋|QF2|，得|QF1|＝4a－2|PF1|.又由PF1⊥PQ，|PF1|＝|PQ|，知|QF1|＝2|PF1|，因此，4a－2|PF1|＝2|PF1|，得|PF1|＝2(2－2)a，从而|PF2|＝2a－|PF1|＝2a－2(2－2)a＝2(2－1)a.由PF1⊥PF2，知|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝(2c)2，因此e＝ca＝|PF1|2＋|PF2|22a＝（2－2）2＋（2－1）2＝9－62＝6－3.H6双曲线及其几何性质4．H6下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y＝±2x的是()A．x2－y24＝1B.x24－y2＝1C.y24－x2＝1D．y2－x24＝14．C选项A，B中的双曲线的焦点在x轴上，不正确；C中的双曲线的焦点在y轴上，且渐近线方程为y＝±2x，符合题意；D中的双曲线的焦点在y轴上，但渐近线方程为y＝±12x，不符合题意．故选C.7．H6已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1的离心率e＝54，且其右焦点为F2(5，0)，则双曲线C的方程为()A.x24－y23＝1B.x29－y216＝1C.x216－y29＝1D.x23－y24＝17．C由题知ca＝54，c＝5，解得a＝4，c＝5，故b2＝c2－a2＝9.8．H6将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(a≠b)同时增加m(m&0)个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则()A．对任意的a，b，e1&e2B．当a&b时，e1&e2；当a&b时，e1&e2C．对任意的a，b，e1&e2D．当a&b时，e1&e2；当a&b时，e1&e28．De1＝1＋b2a2，e2＝1＋（b＋m）2（a＋m）2.不妨令e1&e2，化简得ba&b＋ma＋m(m&0)，得bm&am，即b&a.同理可得，当b&a时，有e1&e2.故选D.12．H6、H10在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2－y2＝1右支上的一个动点．若点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为________．12.22不妨设点P(x0，x20－1)(x0≥1)，则点P到直线x－y＋1＝0的距离d＝x0－x20－1＋12.令u(x)＝x－x2－1＝1x＋x2－1，则u(x)是单调递减函数，且u(x)&0.当x→＋∞时，u(x)→0，所以d&22，故cmax＝22.11．H6已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为()A.5B．2C.3D.211．D由题意，设双曲线的方程为x2a2－y2b2＝1(a&0，b&0)，如图所示，设M在第一象限，由题意知|AB|＝|BM|＝2a，∠ABM＝120°，所以在△ABM中，|AM|＝23a，所以M(2a，3a)，代入双曲线方程得（2a）2a2－（3a）2b2＝1，解得a2＝b2，所以e＝2.故选D.5．H6已知M(x0，y0)是双曲线C：x22－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点．若MF1→?MF2→&0，则y0的取值范围是()A.－33，33B.－36，36C.－223，223D.－233，2335．A由题意不妨取F1(－3，0)，F2(3，0)，所以MF1→＝(－3－x0，－y0)，MF2→＝(3－x0，－y0)，所以MF1→?MF2→＝x20＋y20－3&0.又点M在曲线C上，所以有x202－y20＝1，即x20＝2＋2y20，代入上式得y20&13，所以－33&y0&33，故选A.10．H6已知双曲线x2a2－y2＝1(a&0)的一条渐近线为3x＋y＝0，则a＝________．10.33双曲线x2a2－y2＝1(a&0)的渐近线方程是y＝±1ax，又知一条渐近线为3x＋y＝0，所以1a＝3，解得a＝33.3．H6若双曲线E：x29－y216＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于()A．11B．9C．5D．33．B由题知PF1－PF2＝±6，所以PF2＝PF1±6＝－3或9(负值舍去)，故PF2＝9.15．H6、H7平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：x2a2－y2b2＝1(a&0，b&0)的渐近线与抛物线C2：x2＝2py(p&0)交于点O，A，B.若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为________．15.32设OA所在的直线方程为y＝bax，OB所在的直线方程为y＝－bax，抛物线C2的焦点为F，则可知，A2pba，2pb2a2，B－2pba，2pb2a2，F0，p2.又∵F为△OAB的垂心，∴AF⊥OB，即AF→?OB→＝0.又∵AF→＝－2pba，p2－2pb2a2，OB→＝－2pba，2pb2a2，∴4p2b2a2＋2pb2a2p2－2pb2a2＝0，整理得5a2＝4b2，∴e＝ca＝a2＋b2a2＝1＋b2a2＝1＋54＝32.14．H6、H7若抛物线y2＝2px(p&0)的准线经过双曲线x2－y2＝1的一个焦点，则p＝________．14．22双曲线x2－y2＝1的左焦点为(－2，0)，所以－p2＝－2，故p＝22.5．H6，H8过双曲线x2－y23＝1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|＝()A.433B．23C．6D．435．D易知双曲线的右焦点为F(2，0)，渐近线方程为y＝±3x.将x＝2代入渐近线方程，得y＝±23，故|AB|＝43.6．H6、H7已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a&0，b&0)的一条渐近线过点(2，3)，且双曲线的一个焦点在抛物线y2＝47x的准线上，则双曲线的方程为()A.x221－y228＝1B.x228－y221＝1C.x23－y24＝1D.x24－y23＝16．D双曲线x2a2－y2b2＝1(a&0，b&0)的渐近线是y＝±bax.因为一条渐近线过点(2，3)，所以2ba＝3.抛物线y2＝47x的准线是x＝－7，因为双曲线的一个焦点在直线x＝－7上，所以a2＋b2＝7，解得a＝2，b＝3，所以双曲线的方程为x24－y23＝1.9．H6双曲线x22－y2＝1的焦距是________，渐近线方程是________．9．23y＝±22xc2＝a2＋b2＝3?c＝3，则焦距为23，渐近线方程为y＝±22x.10．H6、E1设双曲线x2a2－y2b2＝1(a&0，b&0)的右焦点为F，右顶点为A，过F作AF的垂线与双曲线交于B，C两点，过B，C分别作AC，AB的垂线，两垂线交于点D.若D到直线BC的距离小于a＋a2＋b2，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是()A．(－1，0)∪(0，1)B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－2，0)∪(0，2)D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)10．A由题意得A(a，0)，不妨取Bc，b2a，Cc，－b2a，由双曲线的对称性知D在x轴上，设D(x0，0)，由BD⊥AC得b2a－0c－x0?b2aa－c＝－1，解得c－x0＝b4a2（c－a），由题可知c－x0＝b4a2（c－a）&a＋a2＋b2＝a＋c，所以b4a2&c2－a2＝b2?b2a2&1?0&ba&1.因为双曲线渐近线的斜率为±ba，所以渐近线斜率的取值范围是(－1，0)∪(0，1)．H7抛物线及其几何性质20．F1、H1、H5、H7、H8已知抛物线C1：x2＝4y的焦点F也是椭圆C2：y2a2＋x2b2＝1(a&b&0)的一个焦点，C1与C2的公共弦的长为26.(1)求C2的方程．(2)过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C2相交于C，D两点，且AC→与BD→同向．(i)若|AC|＝|BD|，求直线l的斜率；(ii)设C1在点A处的切线与x轴的交点为M，证明：直线l绕点F旋转时，△MFD总是钝角三角形．20．解：(1)由C1：x2＝4y知其焦点F的坐标为(0，1)．因为F也是椭圆C2的一个焦点，所以a2－b2＝1.①又C1与C2的公共弦的长为26，C1与C2都关于y轴对称，且C1的方程为x2＝4y，由此易知C1与C2的公共点的坐标为±6，32，所以94a2＋6b2＝1.②联立①②，得a2＝9，b2＝8，故C2的方程为y29＋x28＝1.(2)如图所示，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)．(i)因为AC→与BD→同向，且|AC|＝|BD|，所以AC→＝BD→，从而x3－x1＝x4－x2，即x1－x2＝x3－x4，于是(x1＋x2)2－4x1x2＝(x3＋x4)2－4x3x4.③设直线l的斜率为k，则l的方程为y＝kx＋1.由y＝kx＋1，x2＝4y得x2－4kx－4＝0，而x1，x2是这个方程的两根，所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.④由y＝kx＋1，x28＋y29＝1得(9＋8k2)x2＋16kx－64＝0.而x3，x4是这个方程的两根，所以x3＋x4＝－16k9＋8k2，x3x4＝－649＋8k2.⑤将④⑤代入③，得16(k2＋1)＝162k2（9＋8k2）2＋4×649＋8k2，即16(k2＋1)＝162×9（k2＋1）（9＋8k2）2，所以(9＋8k2)2＝16×9，解得k＝±64，即直线l的斜率为±64.(ii)证明：由x2＝4y得y′＝x2，所以C1在点A处的切线方程为y－y1＝x12(x－x1)，即y＝x1x2－x214.令y＝0，得x＝x12，即Mx12，0，所以FM→＝x12，－1.而FA→＝(x1，y1－1)，于是FA→?FM→＝x212－y1＋1＝x214＋1&0，因此∠AFM是锐角，从而∠MFD＝180°－∠AFM是钝角．故直线l绕点F旋转时，△MFD总是钝角三角形．15．H6、H7平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：x2a2－y2b2＝1(a&0，b&0)的渐近线与抛物线C2：x2＝2py(p&0)交于点O，A，B.若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为________．15.32设OA所在的直线方程为y＝bax，OB所在的直线方程为y＝－bax，抛物线C2的焦点为F，则可知，A2pba，2pb2a2，B－2pba，2pb2a2，F0，p2.又∵F为△OAB的垂心，∴AF⊥OB，即AF→?OB→＝0.又∵AF→＝－2pba，p2－2pb2a2，OB→＝－2pba，2pb2a2，∴4p2b2a2＋2pb2a2p2－2pb2a2＝0，整理得5a2＝4b2，∴e＝ca＝a2＋b2a2＝1＋b2a2＝1＋54＝32.14．H6、H7若抛物线y2＝2px(p&0)的准线经过双曲线x2－y2＝1的一个焦点，则p＝________．14．22双曲线x2－y2＝1的左焦点为(－2，0)，所以－p2＝－2，故p＝22.10．H4，H7设直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，与圆(x－5)2＋y2＝r2(r&0)相切于点M，且M为线段AB的中点．若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是()A．(1，3)B．(1，4)&C．(2，3)D．(2，4)10．D当直线l与x轴垂直，且0&r&5时，满足条件的直线有且仅有2条．当直线l与x轴不垂直时，不妨设切点M(5＋rcosθ，rsinθ)(0＜θ＜π)，则切线斜率k＝－cosθsinθ.另一方面，由于M是AB的中点，故由点差法得k＝2rsinθ，则r＝－2cosθ，所以r＞2.因为M(5＋rcosθ，rsinθ)在抛物线内，所以r2sin2θ&4(5＋rcosθ)，又rcosθ＝－2，所以化简得r＜4，故2＜r＜4.当2＜r＜4时，由r＝－2cosθ知满足条件且在x轴上方的切点M只有1个，从而总的切线有4条．故选D.6．H6、H7已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a&0，b&0)的一条渐近线过点(2，3)，且双曲线的一个焦点在抛物线y2＝47x的准线上，则双曲线的方程为()A.x221－y228＝1B.x228－y221＝1C.x23－y24＝1D.x24－y23＝16．D双曲线x2a2－y2b2＝1(a&0，b&0)的渐近线是y＝±bax.因为一条渐近线过点(2，3)，所以2ba＝3.抛物线y2＝47x的准线是x＝－7，因为双曲线的一个焦点在直线x＝－7上，所以a2＋b2＝7，解得a＝2，b＝3，所以双曲线的方程为x24－y23＝1.5．H7如图1?2所示，设抛物线y2＝4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是()A.|BF|－1|AF|－1B.|BF|2－1|AF|2－1C.|BF|＋1|AF|＋1D.|BF|2＋1|AF|2＋15．A作准线x＝－1，过点A，B分别作它的垂线，交y轴分别为M，N，因为两个三角形的高相等，所以△BCF与△ACF的面积之比就是BC与AC的长度之比，即S△BCFS△ACF＝|CB||CA|＝|BN||AM|.根据抛物线的性质，抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等，则|BN||AM|＝|BF|－1|AF|－1，故选A.H8直线与圆锥曲线（AB课时作业）20．H5、H8设椭圆E的方程为x2a2＋y2b2＝1(a&b&0)，点O为坐标原点，点A的坐标为(a，0)，点B的坐标为(0，b)，点M在线段AB上，满足|BM|＝2|MA|，直线OM的斜率为510.(1)求E的离心率e；(2)设点C的坐标为(0，－b)，N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为72，求E的方程．20．解：(1)由题设条件知，点M的坐标为23a，13b.又kOM＝510，所以b2a＝510，进而得a＝5b，c＝a2－b2＝2b，故e＝ca＝255.(2)由题设条件和(1)的计算结果可得，直线AB的方程为x5b＋yb＝1，点N的坐标为52b，－12b.设点N关于直线AB的对称点S的坐标为x1，72，则线段NS的中点T的坐标为54b＋x12，－14b＋74.又点T在直线AB上，且kNS?kAB＝－1，从而有54b＋x125b＋－14b＋74b＝1，72＋12bx1－52b＝5，解得b＝3，所以a＝35，故椭圆E的方程为x245＋y29＝1.21．H9、H5、H8、H10一种作图工具如图1?6所示．O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DN＝ON＝1，MN＝3.当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕O转动一周(D不动时，N也不动)，M处的笔尖画出的曲线记为C.以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图1?7所示的平面直角坐标系．(1)求曲线C的方程．(2)设动直线l与两定直线l1：x－2y＝0和l2：x＋2y＝0分别交于P，Q两点．若直线l总与曲线C有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．图1?6图1?721．解：(1)设点D(t，0)(|t|≤2)，N(x0，y0)，M(x，y)，依题意，MD→＝2DN→，且|DN→|＝|ON→|＝1，所以(t－x，－y)＝2(x0－t，y0)，且（x0－t）2＋y20＝1，x20＋y20＝1，即t－x＝2x0－2t，y＝－2y0，且t(t－2x0)＝0.由于当点D不动时，点N也不动，所以t不恒等于0，于是t＝2x0，故x0＝x4，y0＝－y2，代入x20＋y20＝1，可得x216＋y24＝1，即所求的曲线C的方程为x216＋y24＝1.(2)(i)当直线l的斜率不存在时，直线l为x＝4或x＝－4，都有S△OPQ＝12×4×4＝8.(ii)当直线l的斜率存在时，设直线l：y＝kx＋mk≠±12，由y＝kx＋m，x2＋4y2＝16，消去y，可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－16＝0.因为直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，所以Δ＝64k2m2－4(1＋4k2)(4m2－16)＝0，即m2＝16k2＋4.①又由y＝kx＋m，x－2y＝0，可得P2m1－2k，m1－2k；同理可得Q－2m1＋2k，m1＋2k.由原点O到直线PQ的距离d＝|m|1＋k2和|PQ|＝1＋k2|xP－xQ|，可得S△OPQ＝12|PQ|?d＝12|m||xP－xQ|＝12|m|?2m1－2k＋2m1＋2k＝2m21－4k2.②将①代入②得，S△OPQ＝2m21－4k2＝84k2＋14k2－1.当k2&14时，S△OPQ＝8?4k2＋14k2－1＝81＋24k2－1&8；当0≤k2&14时，S△OPQ＝8?4k2＋11－4k2＝8－1＋21－4k2.因0≤k2&14，则0&1－4k2≤1，21－4k2≥2，所以S△OPQ＝8－1＋21－4k2≥8，当且仅当k＝0时取等号．所以当k＝0时，S△OPQ的最小值为8.综合(i)(ii)可知，当直线l与椭圆C在四个顶点处相切时，△OPQ的面积取得最小值8.20．H5、H8已知椭圆C：9x2＋y2＝m2(m&0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.(1)证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．(2)若l过点m3，m，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．20．解：(1)证明：设直线l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)．将y＝kx＋b代入9x2＋y2＝m2，得(k2＋9)x2＋2kbx＋b2－m2＝0，故xM＝x1＋x22＝－kbk2＋9，yM＝kxM＋b＝9bk2＋9.于是直线OM的斜率kOM＝yMxM＝－9k，即kOM?k＝－9.所以直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．(2)四边形OAPB能为平行四边形．因为直线l过点m3，m，所以l不过原点且与椭圆C有两个交点的充要条件是k&0，k≠3.由(1)得直线OM的方程为y＝－9kx.设点P的横坐标为xP，由y＝－9kx，9x2＋y2＝m2，得x2P＝k2m29k2＋81，即xP＝±km3k2＋9.将点m3，m的坐标代入(1)中l的方程得b＝m（3－k）3，因此xM＝k（k－3）m3（k2＋9）.四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即xP＝2xM，于是±km3k2＋9＝2×k（k－3）m3（k2＋9），解得k1＝4－7，k2＝4＋7.因为k&0，k≠3，所以当l的斜率为4－7或4＋7时，四边形OAPB为平行四边形．20．B12、H8在直角坐标系xOy中，曲线C：y＝x24与直线l：y＝kx＋a(a&0)交于M，N两点．(1)当k＝0时，分别求C在点M和N处的切线方程．(2)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM＝∠OPN？说明理