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第3章 关于实数的基本定理及闭区间上连续函数性质的证明.doc
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文档介绍：
第三章关于实数的基本定理及闭区间上连续函数性质的证明
§1. 关于实数的基本定理
前面我们粗略地了解了实数集的确界原理和数列的单调有界定理,给出了数列的柯西收敛准则.这三个命题以不同方式反映了实数集R的一种特性,通常称为实数的完备性、实数的连续性或实数的稠密性。有关实数集完备性的基本定理,除上述三个外,还有区间套定理、聚点定理和有限覆盖定理,在本节中将阐述这三个基本定理。共有六个基本定理:
1实数戴德德公理
2数列的单调有界定理
3区间套定理
致密性定理
5数列柯西收敛准则
6有限覆盖定理
定义设为数列,为正整数集的无限子集,且则数列
称为数列的一个子列,简记为.
保持原来次序自左至右任一选区无限多项,构成新的数列。
由定义可见,的子列的各项都选自,且保持这些项在中的先后次序.中的第项是中的第项,故总有.实际上本身也是正整数列的子列.
例如,子列由数列的所有偶数项所组成,而子列则由的所有奇数项所组成.又本身也是的一个子列,此时,,
数列本身以及去掉有限项后得到的子列,称为的平凡子列;数列与它的任一平凡子列同为收敛或发散,且在收敛时有相同的极限.不是平凡子列的子列,称为的非平凡子列.例如和都是的非平凡子列.
子列的下标不是表示在子列的第k项。所以子列收敛的定义是针对k的。
定理数列收敛的充要条件是:的任何非平凡子列都收敛.
证必要性设,是的任一子列.任给,存在正数,使得当时有
.由于,故当时更有,从而也有,这就证明了收敛(且与有相同的极限).
充分性考虑的非平凡子列,与.按假设,它们都收
敛.由于既是,又是的子列,故由刚才证明的必要性,
又既是又是的子列,同样可得
(9)式与(10)式给出
若数列的任何非平凡子列都收敛,则所有这些子列与必收敛于同一个极限.于是,若数列有一个子列发散,或有两个子列收敛而极限不相等,则数列一定发散.例如数列,其偶数项组成的子列收敛于1,而奇数项组成的子列收敛于—1,从而发散.再如数列,它的奇数项组成的子列即为,由于这个子列发散,故数列发散.由此可见,定理是判断数列发散的有力工具.
例:证明不收敛。
推论:若对任何:都有收敛,那么在的极限存在。
证明:若存在着两个不同的极限,选两个不同的子列,共同组成一个数列,则此列不收敛,与前提矛盾。
注意与归结原则的区别。
二上确界和下确界
1 区间与邻域
设、 R,且.我们称数集引为开区间,记作();数集称为闭区间,记作[];数集{}和{}都称为半开半闭区间,分别记作[)和(.以上这几类区间统称为有限区间.
无限区间:[) ,
,都称为无限区间.
有限区间和无限区间统称为区间.
设,.集合称为点的邻域,记作,或简单地写作U.
点的空心邻域定义为或简单地记作,注意的差别在于: 不包含点.
此外,我们还常用到以下几种邻域:
点的右邻域,简记为
点的左邻域,简记为
去除点后,分别为点的空心左、右领域,简记为.)
邻域,其中M为充分大的正数(下同);
邻域,领域.
2 有界集.确界原理
定义设为R中的一个数集.若存在数M(L),使得对一切,都有M(L),则称S为有上界(下界)的数集,数M(L)称为S的一个上界(下界).
若数集既有上界又有下界,则称为有界集.若不是有界集,则称为无界集.
例证明数集为正整数}有下界而无上界.
证显然,任何一个不大于1的实数都是的下界,故为有下界的数集.
为证N+无上界,按照定义只须证明:对于无论多么大的数M,总存在某个正整数,使得事实上,对任何正数(无论多么大),取,则,且.这就证明了无上界.
同样可以证明:任何有限区间都是有界集,无限区间都是无界集;由有限个数组成的数集是有界集.
定义设是R中的一个数集.若数满足:
(i)对一切,有,即是的上界;
(ii)对任何存在,使得即又是的最小上界
则称数为数集的上确界,记作
定义设是R中的一个数集.若数满足:
(i)对一切,有,即是的下界
(ii)对任何,存在,使得即又是的最大下界,则称数为数集的下确界,记作
上确界与下确界统称为确界.
例设为区间中的有理数}.试按上、下确界的定义验证:
(i)对一切,显然有即是的上界.
ii对任何,若,则任取都有;若,则由有理数集在实数集中的稠密性,在中必有有理数即存在,使得.
类似地可验证
定理2 由上(下)确界的定义可见,若数集存在上(下)确界,则一定是唯一的.又若数集存在上、下确界,则有.
注2 数集S的确界可能属于,也可能不属于.
例设数集有上确界.证明:
证设,则对一
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下载次数：数分第6天课程——拉链定理，有界变差数列定理及压缩数列数分第6天课程——拉链定理，有界变差数列定理及压缩数列梅爷妙中谈百家号这个寒冷的季节因你的关注而变得温暖今天学长讲解数列极限中的拉链定理以及有界变差数列的收敛定理，压缩数列。分析：按照一般的思维，肯定是根据单调有界定理证明该数列收敛，那么首先判断它的单调性：作差法注意：大家要回顾下我刚才怎么分析这道题的，怎么联想到奇偶性数列的单调，对于这种类型的题，如果用单调有界定理的话，有些繁琐，不过可以用压缩数列的性质来求解，首先介绍有界变差数列的收敛定理。接下来介绍压缩数列注意：压缩数列在数列极限中用途很广，今天只是简单的介绍下，明天具体的讲解，所以大家一定要学会这个知识点哦！下面用压缩数列来求解刚才那道题。证明如下：打卡第6天4.27本文由百家号作者上传并发布，百家号仅提供信息发布平台。文章仅代表作者个人观点，不代表百度立场。未经作者许可，不得转载。梅爷妙中谈百家号最近更新：简介:人生是一种无法抗拒的前进作者最新文章相关文章今日头条bytedance 算法工程师
在算法中，经常需要用到一种与调和级数有关的方法求解，在分析该方法的复杂度时，我们会经常得到\(O(\frac{n}{1}+\frac{n}{2}+\ldots+\frac{n}{n})\)的复杂度，然后我们都知道这个式子是等价于\(O(n\log n)\)的。在筛素数、字符串连续重复子串等很多算法中都有用到，用处之广，性能之优。今天不妨来证明下这个等价式。
\(O(\frac{n}{1}+\frac{n}{2}+\ldots+\frac{n}{n})\)~\(O(n\log n)\)
要证明\(O(\frac{n}{1}+\frac{n}{2}+\ldots+\frac{n}{n})\)~\(O(n\log n)\)，只需证\(O(1+\frac{1}{2}+\ldots+\frac{1}{n})\)~\(O(\ln n)\)——式子1.
为了证明式子1，需要证明4个定理：
1. 确界存在定理
2. 单调有界数列必定收敛
3. 数列\(\{(1+\frac{1}{n})^n\}\)单调增加，\(\{(1+\frac{1}{n})^{n+1}\}\)单调减少，两者收敛于同一极限
4. \(b_n=1+\frac{1}{2}+\ldots+\frac{1}{n}-\ln n\) 收敛
确界存在定理——实数系连续性定理
描述：非空有上界的数集必有上确界；非空有下界的数集必有下确界。
证明：&a href=&
& target=&_blank&&百度百科关于确界存在定理
单调有界数列必定收敛
描述：单调递增且有上界数列必定收敛，单调递减且有下界数列必定收敛
不妨设数列\(\{x_n\}\)单调增加且有上界，根据确界存在定理，由\(\{x_n\}\)构成的数集必有上确界\(\beta\)，满足：
(1) \(\forall n\in N^+:x_n\leq \\)
(2) \(\forall \epsilon&0,\exists x_{n_0}:x_{n_0}&\beta-\epsilon。\)
取\(N=n_0\)，\(\forall n&N:\beta-\epsilon&x_{n_0}\leq x_n\leq \beta\)，因而\(\{x_n-\beta\}&\epsilon\)，于是得到\(\lim_{n\rightarrow \infty}x_n=\beta\)
当数列单调递减且有下界时，同理。
数列\(\{(1+\frac{1}{n})^n\}\)单调增加，\(\{(1+\frac{1}{n})^{n+1}\}\)单调减少，两者收敛于同一极限
记\(x_n=\{(1+\frac{1}{n})^n\}\)，\(y_n=\{(1+\frac{1}{n})^{n+1}\}\)，利用平均不等式\(\sqrt[n]{a_1a_2\ldots a_n}\leq\frac{a_1+a_2+\ldots+a_n}{n}\)得到
\(x_n=\{(1+\frac{1}{n})^n\}\cdot1\leq [\frac{n(1+\frac{1}{n})+1}{n+1}]^{n+1}=x_{n+1}\)
\(\frac{1}{y_n}=(\frac{n}{n+1})^{n+1}\cdot 1\leq[\frac{(n+1)\frac{n}{n+1}+1}{n+2}]^{n+2}=\frac{1}{y_{n+1}}\)
这表示\(\{x_n\}\)单调增加，而\(\{y_n\}\)单调减少。又由于\(2=x_1\leq x_n&y_n\leq y_1=4\)，可知数列\(\{x_n\}\)，\(\{y_n\}\)都收敛（单调有界数列必收敛）。
因为\(y_n=x_n(1+\frac{1}{n})\)，所以它们具有相同的极限。习惯上用字母\(e\)来表示这一极限，即\(\lim_{n\rightarrow\infty}(1+\frac{1}{n})^n=\lim_{n\rightarrow\infty}(1+\frac{1}{n+1})^n=e\)
\(e=2.718\ 281\ 828\ 459\cdots\)是一个无理数。以\(e\)为底的对数称为自然对数，通常即为\(\ln x(=\log_ex)\)。
\(b_n=1+\frac{1}{2}+\ldots+\frac{1}{n}-\ln n\) 收敛
由上一定理可知，\((1+\frac{1}{n})^n&e&(1+\frac{1}{n})^{n+1}\)，由此得到\(\frac{1}{n+1}&\ln \frac{n+1}{n}&\frac{1}{n}\)。于是有：
\(b_{n+1}-b_n=\frac{1}{n+1}-\ln (n+1)+\ln n=\frac{1}{n+1}-\ln \frac{n+1}{n}&0\)
\(b_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{n}-\ln n&\ln \frac{2}{1}+\ln \frac{3}{2}+\ln \frac{4}{3}+\ldots+\ln \frac{n+1}{n}-\ln n=\ln (n+1)-\ln n&0\)
这说明数列\(\{b_n\}\)单调减少有下界，从而收敛。（单调有界数列必收敛）
已证明\(O(1+\frac{1}{2}+\ldots+\frac{1}{n})\)~\(O(\ln n)\)，因此可知\(O(\frac{n}{1}+\frac{n}{2}+\ldots+\frac{n}{n})\)~\(O(n\log n)\)
以后可能会附上用此公式的算法题目\(\ldots\)（待续）
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利用单调有界数列收敛准则证明下面数列极限存在x1=根号2,X(n+1)=根号2x,n=1,2,3.
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如何用单调有界数列收敛定理证明柯西收敛定理？
百度文库里找到了，可是我觉得其中的推理好像有问题，有没有高人，求教
我有更好的答案
单调有界数列必有极限是极限理论中一个很重要的结论,而柯西收敛准则则以另一种形式表这了这一结论。本文就是利用数学理论证明了这两个定理是等价的。如果Xn∈R并且d(Xn,Xn+1)≤d(Xn-1,Xn)/2。数列{xn}有极限的充要条件是：对任意给定的ε&0，有一正整数N，当m,n&N时，有|xn-xm|&ε成立。函数f(x)在无穷远处有极限的充要条件是：对任意给定的ε&0，有Z属于实数，当x,y&Z时，有|f(x)-f(y)|&ε成立。证明举例：证明：xn=1-1/2+1/3-1/4+......+ [(-1)^(n+1)]/n 有极限证：对于任意的m,n属于正整数，m&n |xn-xm|=| [(-1)^(n+2)]/(n+1)+......+[(-1)^(m+1)]/m |当m-n为奇数时 |xn-xm|=| [(-1)^(n+2)]/(n+1)+......+[(-1)^(m+1)]/m |&1/n(n+1)+1/(n+1)(n+2)+......+1/(m-1)m=（1/n-1/m）→0由柯西收敛原理得{xn}收敛当m-n为偶数时 |x珐长粹短诔的达痊惮花n-xm|=| [(-1)^(n+2)]/(n+1)+......+[(-1)^(m+1)]/m |&1/n(n+1)+1/(n+1)(n+2)+......+1/(m-2)(m-1)-1/m=(1/n-1/(m-1)-1/m）→0由柯西收敛原理得{xn}收敛综上{xn}收敛，即{xn}存在极限数列{xn}有极限的充要条件是：对任意给定的ε&0，有一正整数N，当m,n&N时，有|xn-xm|&ε成立。
证明：只要证明两个定理是等价的即可。必要性，用那个文档中的方法就行。下面看充分性。1、首先证明Cauchy列有界
取e=1,根据Cauchy列定义，取自然数N，当n&N时有c
|a(n)-a(N)|&e=1由此得：
|a(n)|=|a(n)-a(N)+a(N)|&=|a(n)-a(N)|+|a(N)|&1+|a(N)|
(通俗理解，a(n)无论怎么样也大不过a(N)绝对值加1，显然根据经验这是有界的。但数学里需要严格的表达，下面因为N前的N-1个项，有最大值，所以得出了有界).令：
M=Max{|a(1)|,|a(2)|,……,|a(N)|,|a(N)|+1}这样就证明了，对于任何n都有a(n)&=M。所以Cauchy列有界。2、其次在证明收敛
因为Cauchy列有界，所以根据Bozlano-Weierstrass定理（有界数列有收敛子列）存在一个子列aj(n)以A为极限。那么下面就是要证明这个极限A也就是是Cauchy列的极限。（注意这种证明方法是实数中常用的方法：先取点性质，然后根据实数稠密性，考虑点领域的性质，然后就可以证明整个实数域的性质了）因为Cauchy列{a(n)}的定义，对于任意的e&0，都存在N,使得m、n&N时有
|a(m)-a(n)|&e/2取子列{aj(n)}中一个j(k),其中k&N,使得
|aj(k)-A|&e/2因为j(k)&=k&N,所以凡是n&N时，我们有
|a(n)-A|=|a(n)-aj(k)|+|aj(k)-A|&e/2+e/2=e这样就证明了Cauchy列收敛于A.即得结果：Cauchy列收敛
我问的是用单调有界数列收敛定理证明，不是用Bozlano-Weierstrass定理（话说取这么长的名字干毛啊，叫聚点定理不就得了）
这个是我从别处复制过来的。这个聚点定理我也没学过。那就直接用那个文档上的必要性证明，那个证明哪里不妥么？？证明若an单调有界，那么必有极限。设liman=a所以对于任意ε&0，必然存在N(ε)，使得当m，n&N(ε)时，满足|am-a|&=ε/2，|an-a|&=ε/2，那么对于任意ε&0，必然存在N(ε)，使得当m，n&N(ε)时，满足|am-an|=|(am-a)-(an-a)|&=|am-a|+|an-a|&=ε/2+ε/2=ε所以an是柯西数列。这样对不对啊
那你就讲解一下那个证明嘛，真的看不懂啊
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