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数列综合练习题1
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高中数学数列习题大合集
导读：数列习题合集不分顺序但求全面几乎囊括了全部题型，an(1)求出a2,a3,a4,并猜出,利用数学归纳法加以证明;(2)求n??，16.平面上有n个圆,其中任意两圆都相交,任意三圆不共点,试推测n个圆把平面分为，若u1=1,un=－f–1(un–1)(n≥2),试归纳出un的表示式,并用数学，数列习题合集不分顺序但求全面几乎囊括了全部题型213、（2000年广东高考题）设{an}是首项为1的正项
数列习题合集 不分顺序 但求全面 几乎囊括了全部题型
13、（2000年广东高考题）设{an}是首项为1的正项数列，且(n+1)a2n?1－nan+an+1an=0
(n=1,2,3,??)，则它的通项公式是an
（2）设数列{an}的公比为f(t)，作数列{bn}，使b1=1, bn=f??b??(n=2,3,4?)
?n?1?求数列{bn}的通项公式。
（3）求和Sn=b1b2－b2b3+b3b4－?+(－1)n－1bnbn+1 12、设数列{an}的首项a1=1, 前n项和Sn满足关系式。
3tSn－(2t+3)Sn－1=3t(其中t&0, n=2,3,4,?) （1）求证：数列{an}是等比数列。 11、已知x1&0，x1≠1且xn+1=
xn(xn?3)3xn?1
(n=1,2, ?)
试证：xn&xn+1或xn&xn+1(n=1,2,?)
10、数列的前n项的和Sn，满足关系式an=(n≥2且a1=3)，求an.
6、数列{an}中，a1=2, aa?1?
，则an an?3
在数列{an}中，a1=1, a2=3，且an+1=4an－3an－1，求an. 数列{an}和{bn}适合下列关系式an=5an－1－6bn－1
bn=3an－1－4bn－1，且a1=a, b1=b，求通项an和bn。 在数列{an}中，，a1=1, a2=2，三个相邻项an, an+1, an+2，当n为奇数时成等比数列；当n为偶数时成等差数列。
（2）求a1到a2n的和
5、在数列{an}中，a1=2, an+1=an+2n(n∈N*)，则a100. 5、等差数列{an}中，a3=2, a8=12，数列{bn}满足条件b1=4, an+bn=bn－1，那么数列{bn}的通项公式bn. 设数列{an}满足关系式：a1=－1, an=an?1?3(n?2,n?N*)
试证：（1）bn=lg(an+9)是等差数列
（2）试求数列{an}的通项公式。
(2?38)，试求m 36
11、等差数列{an}，设bn?()an，已知b1+b2+b3=，b1b2b3=，求数列{an}的通项公式。
（3）若数列{an}的第m项的值am?
10、已知Rt△ABC中，∠C=Rt∠,∠A, ∠B, ∠C所对的边分别是a, b, c，且a, b, c成等差数列，求tanA+tanB的值。
2、在等差数列{an}中，已知a2－a3－a7－a11－a13+a16=8，则a9的值为
已知数列{an}首项a1&1，公比q&0的等比数列，设bn=log2an(n∈N*)，且b1+b3+b5=6，b1b3b5=0，记{bn}的前n项和为Sn，当
????n最大时，求n的值。 12n
?an成立，试证明数列{an}为等差数列。 n2
若数列{an}的前n项之和为Sn，且满足lg(Sn+1)=n，求证：数列{an}是等比数列。 已知数列{an}的前n项和为Sn，对于任意的自然数n，均有
已知数列{an}中，a1=3，对于n∈N，以an, an+1为系数的一元二次方程anx2－2an+1x+1=0都有根α，β且满足（α
－1）（β－1）=2。
（1）求证数列{an－}是等比数列。
（2）求数列{an}的通项公式。
已知a、b、c是成等比数列的三个正数，且公比不等于1，试比较a+c与2b，a2+c2与2b2、a3+c3与2b3，?的大
小，由此得出什么一般性结论？并证明之。
（2003年全国高考题）已知数列{an}满足a1=1，an=3n－1+an－1(n≥2)
（1）求a2, a3;
（2）证明an?
12、有四个数a1, a2, a3, a4，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，且a1+a4, a2+a3是方程x2－21x+108=0的两根，a1+a4&a2+a3，求这四个数。 已知{an}是等比数列
（1）若m+n+=l+k，则am2an与alak有何关系？ （2）若l?
，则al与am、an有何关系？ 2
（3）若an&0, a6a8+2a6a10+a8a10=36，求a7+a9的值。
若在两个正数a, b中间插入两个数，使它们成等比数列，则公比为q1；若在a, b中间插入三个数，使它们成等比数列，则公比为q1, 那么q1与q2的关系是
4、在等比数列该数列{an}中，公比为q（q≠±1），则数列a2, a4, a6, ?，a2n的前n项和Tn为：
若等比数列{an}的前n项之和为A，前n项之积为B，各项倒数的和为C，求证：B?n。
已知数列{an}满足a1=4, an=4?
(n?2)，令bn?
（1）求证数列{bn}是等差数列。（2）求数列{an}的通项公式
(3)若b32b5=39，a4+a6=3，求b12b22b3?bn的最大或最小值。
（2）若a8+a13=m， 求b12b22b32?b20
12、已知等比数列{bn}与数列{an}满足bn=3ax(n∈N*)
（1）判断{an}是何种数列，并给出证明。 11、已知数列{an}中，an??
??2n?1(n为奇数?，试求数列{an}的前n项之和Sn. n??3?n为偶数?
10、设Sn是等差数列{an}前n项的和，已知S3与S4的等比项中为S5，S3与S4的等 差中项为1，求an。
8、数列0.5, 0.55, 0.555, 0.5555，?的前n项之和为 6、在等差数列{an}中，d≠0，S20=10A，则A的值： 4、数列{(－1)nn}的前2k－1项之和S2k－1(k∈N*)为：
1、在数列{an}中，Sn为其前n项之和，且Sn=2n－1，则a12?a2等于： ?a3???an
2、等差数列{an}前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为 求在区间[a, b]（b&a, a, b∈N*）上分母是3的不可约分数之和。
已知a&0, a≠1，数列{an}是首项为a，公比也为a的等比数列，令bn=nanlga(n∈N*) （1）求数列{bn}的前n项和Sn；
（2）若数列{bn}中的每一项总小于它后面的项，求a的取值范围。 数列{an}对一切自然数n都满足a1+2a2+22a3+?+2n－1an=9－6n
（1）求{an}的通项公式。
（2）若bn=an|sin|，求证：b1+b2+?+b2n－1&1
设{an} 是由正数组成的等比数列，它的前n项和为Sn，试比较logbSn+logbSn+2与2logbSn+1的大小。 求数列1，3x, 5x2, ?，(2n－1)xn－1前n项的和。 13、（2000年全国高考题）设{an}为等比数列，Tn=na1+(n－1)a2+?+2an－1+an，已知T1=1, T2=4。 （1）求数列{an}的首项和公式。 （2）求数列{Tn}的通项公式。
1. 设数列{an}的前n项和Sn=na＋n（n-1）b（n=1、2，?）a、b是常数，且b?0． （1）证明{an}是等差数列．
（2）证明以（an，n-1）为坐标的点Pn都落在同一条直线上，并写出此直线的方程。
n，2.设f(n)=1+23是否存在g(n)使等式f(1)＋f(2)?＋f(n-1)=g(n)f(n)-g(n)对n≥2的一切自然数都对立，并
证明你的结论。
3.已知一个圆内有n条弦，这n条弦中每两条都相交于圆内的一点，且任何三条不共点，试证：这n条弦将圆面分割成
n+n+122个区域。
4. 已知数列{an}满足条件：a1=1，a2=r，(r&0)且{anan+1}是公比为q(q&0)的等比数列，设bn=a2n-1＋a2n(n=1，2，?)，
(1)求出使不等式anan+1＋an+1an+2&an+2an+3(n?N)成立的q的取值范围；
1n??Sn，其中S=b＋b＋?＋b； (2)求bn和n12n
(3)设r=219.2-1，q=2，求数列{log2bn}的最大项与最小项的值。 5. 设等差数列{an}的前n项和为Sn.已知a3=12, S12＞0,S13＜0. (Ⅰ)求公差d的取值范围；
(Ⅱ)指出S1,S2,?,S12,中哪一个值最大,并说明理由. 6. 有两个无穷的等比数列{
an}和{bn},它们的公比的绝对值都小于1,它们的各项和分别是1和2,并且对于一切自
2an然数n,都有?bn,试求这两个数列的首项和公比.
a3n(n＋1)(n＋2),试求数列{an}的前n项和. n7. 已知数列{}的前n项和
8. 有两个各项都是正数的数列{求这两个数列的通项公式. 9. 数列{
an},{bn}.如果a=1,b=2,a=3.且an,bn,an?1成等差数列, bn,an?1,bn?1成等比数列,试
an}是首项为23，公差为整数的等差数列，且前6项为正，从第7项开始变为负的，回答下列各问：
Sn,求Sn的最大值;
(1)求此等差数列的公差d; (2)设前n项和为(3)当
Sn是正数时,求n的最大值.
xn,?的第r项为t,而第t项为r,(0＜r＜t),试求x＋x＋?＋xn.
10. 已知等差数列lgx1,lgx2,?,lg
aax?2ai?1x?ai?2=0(i=1,2,3,?)是关于x的一组方ni11.已知数列{}是等差数列,其中每一项及公差d均不为零,设
(1)求所有这些方程的公共根;
m(2)设这些方程的另一个根为i,求证m1?1,m2?1,m3?1,?, mn?1,?也成等差数列.
12.已知圆C：x2＋(y－1)2=1和圆C1：(x－2)2＋(y－1)2=1,现在构造一系列的圆C1,C2,C3,?,圆C都相切,并都与OX轴相切.回答： (1)求圆
Cn?,使圆Cn?1与Cn和
CCCn?1nn(2)证明：两个相邻圆和在切点间的公切线长为;
111????)222C2C3Cn.
13. 设数列{
an}的前n项和Sn.已知首项a=3,且Sn?1+Sn=2an?1,试求此数列的通项公式an及前n项和Sn
AiBiCiDi(i=1,2,3,?),使相邻两个正方形边之间夹角为
14. 在边长为a的正方形A1B1C1D1内,依次作内接正方形
(1)求第n个内接正方形面积;
(2)求所有这些内接正方形面积的和.
aa15. 设有无穷数列{n},满足a1=1, n=3?an?1(n≥2).试回答：
an(1)求出a2,a3,a4,并猜出,利用数学归纳法加以证明;(2)求n??
16. 平面上有n个圆,其中任意两圆都相交,任意三圆不共点,试推测n个圆把平面分为几部分?用数学归纳法证明
17. 已知f(x)=x?9(x≤－3),
若a1=u1?u2,a2=u2?u3,?,an=un?un?1,?,求数列{an}的前n项的和Sn.
18. 设有前n项和为n?1的数列,将它的第n项的倒数作为新数列的第n项(n=1,2,?).试求此新数列的前n项的
19. 已知f(x)=x?9(x≤－3),
若u1=1,un=－f–1(un–1)(n≥2),试归纳出un的表示式,并用数学归纳法证明.
20. 在数列{an}中,a1=1,对于任意自然数n,当an为有理数时,an+1=2;当an为无理数时,an+1=2an－(2)n. lim
(1)求a2、a3、a4;(2)猜想{an}的通项公式并证明;(3)求n??(a1＋a2＋?＋an).
?bn?c()?()???()?
nnn21. 是否存在常数a、b、c使等式n对一切n?N成立?证明你的结论. 1
22. 已知数列{an}、{bn}中,a1=b1=1,an=an–1＋2,bn=2bn–1(n≥2).设Sn=a1b1＋a2b2＋?＋anbn,求Sn及n??.
23. 设数列{an}的前n项和Sn可表示为Sn=1＋ran(r?1),求适合n??
=1的r的范围.
(1?b)24. 设数列a1,a2,?,an,?的前n项的和Sn与an的关系是Sn=－ban＋1－,其中b是与n无关的常数,且b?－
(1)求an和an-1的关系式;(2)用n和b表示an的表达式
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高考数列这类问题虽然没有解析几何那样大的计算量，没有太多需要理解的东西，也不需要立体几何中的空间想象力，然而数列中涉及到的的递推思想、函数思想、分类讨论思想以及数列求和、求通项公式的各种方法和技巧贯穿与整个高中数学之中，高中最常见的数列题型就是求通项公式和数列求和两种了，我本人从事多年高中数学教学工作，结合我多年的教学经验，下面三好网名师给大家介绍一下数列的几种常见解题思路。
1.几种常见求通项公式的方法
（1）观察法。此类方法通过观察前面几项的特征和规律来总结出它的通项公式，在应试的时候一般适用于选择题或填空题，可以快速的得到答案，节省思考时间，但要注意的是看清楚题设条件。
（2）逆推法。既已知Sn，反过来求an的方法。这一类的题目在试卷中比较常见，属于常规的考察题目，用逆向思维来思考解题思路会比较容易，利用求和公式Sn+1=Sn+an+1要特别注意a1的情况不能忽略。
以上五类是平时考察最多，也最常用的求数列通项的方法，做题之前要结合题目所给数列的特征，具体问题具体分析，注意题目中常量之间的隐含的数量关系，然后再选择合适的解题思路和方法，就能很轻松的达到求解目的。要特别注意的是无论什么情况都不能忽略了特殊情况，也就是a1的数值。
2.几种常用的数列求和方法
（1）公式法。此类方法适用于一些能够直接判断题目中数列基本类型的题目，直接应用数列的有关性质和公式能很快写出前n项和，在这里不做过多介绍。
（2）分组求和法。若题目所给数列的通项公式既不是等比数列也不是等差数列，但是通项公式却可以分解为一个等差数列和一个等比数列的和，那么我们就采用分组的方法进行求和。此时分组以后会构成一个等差数列和一个等比数列的和的形式，可以分别利用求和公式求和之后再相加。
（3）并项求和法。通常有些大题中不会给出一眼就能看出来的最基本的数列，这样就要求我们要对原数列进行变换，有时候把数列中的一项或者两项加起来运算后得到心得数列具有明显的等差或者等比数列特征，那么我们就可以用并向求和法来解这类问题。
（4）裂项相消法。有时碰到题目中所给的数列通项公式是分式形式，通常要想办法消除一些多余的项，这时最简洁的方法应该采用裂项相消法对数列进行求和，即将数列的通项公式写成两项之差，相加后进行求和，例如=这种形式就可以写成=（-）的形式，然后在用裂项相消的方式求和。这种方式思路较为清晰，使用的关键在于能够看出数列的特征必须具备化简的条件，有时特征不是很明显时就需要对通项公式先化简变形以后再裂项相消。
（5）错位相减法。如果所给数列的通项公式是由一个等差数列和一个等比数列对应项的积组成的相应特征，这时候通常能用错位相减法解决问题，这个错位相减法和裂项相消法原理都是一样的，都是利用式子本身的特征，采用相加消去多余的项，最后达到求和的目的。
以上介绍的解题几个思路通过两部分内容（即求通项公式和对数列前n项求和）对数列的解题思路进行了总结，然而，这只是方法，更多的还是需要学生们具体问题具体分析，根据实际情况和题设条件及问题，自己灵活应用，并且要学会积累总结。
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