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关于幂级数逐项积分的积分下限的讨论
　　摘要： 求幂级数和函数的方法与技巧是多种多样的，它的难度较大、技巧较高，对学生来说是一个难点，其中利用逐项积分法计算幂级数和函数的方法，学生在学习时，对积分下限选为0感到困惑，本文讨论了积分下限选为0的原因和积分下限的选取范围。 中国论文网 /7/view-4944877.htm　　Abstract： Methods and techniques of calculating power series and function are diverse. It is a more difficult and higher skillful task for students. In the method for calculating the power series sum function， there is an interesting method of using the termwise integration. The students are confused about the lower limit of the integral selected as 0 in this method. This article discussed the reasons of the lower limit of integration is selected as 0 and the selectting scope of the lower limit of integration. 　　关键词： 逐项积分；和函数；积分下限 　　Key words： termwise integration；sum function；the lower limit of integration 　　中图分类号：O172 文献标识码：A 文章编号：（3-02 　　0 引言 　　级数的理论已经发展的相当丰富和完整，在工程实践中有着广泛的应用，级数可以用来表示函数、研究函数的性质，也是进行数值计算的一种工具，它在自然科学、工程技术和数学本身都有广泛的作用。幂级数是数学分析的重要概念之一，是一类最简单的函数项级数，在幂级数理论中，对给定幂级数分析其收敛性，求收敛幂级数的和函数是重要内容之一。但学生往往对这一内容感到困难。产生这一问题的一个重要原因是教材中对这一问题讨论较少，仅有一两个例题，使得学生对幂级数求和中的诸多类型问题感到无从下手。很多专家学者研究了幂级数的求和问题，如邓俊兰和李鑫的《幂级数求和函数的类型与解法》[1]，孙艾明的《利用解微分方程求幂级数的和函数》[2]，彭凯军，孙胜先，苏灿荣的《利用微积分算子求幂级数的和函数》[3]等。学生在学习用逐项积分方法求未知幂级数和函数时，对积分下限的选取存在困惑，目前这一问题的讨论甚少，本文的研究就是针对这一问题。 　　1 幂级数■a■x■求和的逐项积分法 　　形如■a■（x-x■）■=a■+a■（x-x■）+a■（x-x■）■+…+a■（x-x■）■+…或■a■x■=a0+a1x+a2x2+…+anxn+…的函数项级数称为幂级数。 　　已知幂级数■a■x■的和函数，用逐项积分法求未知幂级数的和函数时，其方法和步骤如下[4]： 　　设幂级数■a■x■在收敛区间（-R，R）上的和函数为f（x），若x为（-R，R）上任意一点，则f（x）在0与x之间的这个区间上可积，且■f（t）dt=■■x■。 　　由此，若已知■a■x■=f（x），x∈（-R，R），用逐项积分法求幂级数■■x■的和函数S（x）的步骤：①将所求幂级数通过逐项求导后整理为已知和函数的幂级数，即S′（x）=■■x■′=■■x■′=■a■x■=f（x），其中x∈（-R，R）；②通过逆运算，求出所求幂级数的和函数。即■■x■=S（x）-S（0）=■S′（x）dt=■f（t）dt，其中x∈（-R，R）；③验证x=R和x=-R处的敛散性，从而得到所求幂级数的和函数。 　　2 逐项积分法使用中的两个问题 　　首先，已知幂级数■a■x■的和函数，用逐项积分法求未知幂级数的和函数时，积分上下限的选取问题。 　　两个问题：1、积分下限为什么选取为0；2、积分下限还可以在什么范围选取？ 　　对于问题1，原因有两个，原因一：由微积分学基本定理（原函数存在定理）[4]知若f（x）在[a，b]上连续，则由Φ（x）=■f（t）dt，x∈[a，b]所定义的函数Φ（x）在[a，b]上处处可导，且Φ′（x）=■■f（t）dt=f（x），x∈[a，b]。这样Φ（x）为f（x）的一个原函数，■f（t）dt=Φ（x）-Φ（a）。如果Φ（a）=0，则■f（t）dt=Φ（x）。幂级数■a■x■的和函数f（x）是收敛区间（-R，R）上的连续函数，且■■x■=S（x），如果S（0）=0，则S（x）=■f（t）dt。在利用逐项积分法求幂级数的和函数的大多数情况，有S（0）=0，即S（x）=■f（t）dt，故通常情况下，选取积分下限为0。原因二：由阿贝尔定理知幂级数■a■x■的收敛区间是以原点为中心的区间（-R，R）。只要积分下限选为0，对任意的x∈（-R，R），都有[0，x]∈（-R，R）。从而幂级数■a■x■在[0，x]上一致收敛且每一项a■x■都连续，即满足逐项积分的条件；如果下限不为0，对任意的x∈（-R，R），不能保证[0，x]∈（-R，R）。 　　对于问题2，只要满足逐项积分的条件，即可用逐项积分法求幂级数的和函数，所以，选取积分下限a，只需满足对任意的x∈（-R，R），都有[a，x]∈（-R，R），即x∈（-R，R）。所求幂级数的和函数■■x■=S（x）=■f（t）dt+S（a）。通过下面的例题，验证一下，当选取积分下限为0和积分下限为a∈（-R，R）计算幂级数和函数时，得到结果一样。
　　例1：试求幂级数的和函数。 　　解：幂级数■■的收敛半径R=■=1，收敛区间为（-1，1）。 　　易知■■在x=-1处收敛，而在x=1发散，故■■的收敛域为[-1，1）。 　　①取积分下限为0时，设其和函数为S（x）， 　　经逐项求导得到：S′（x）=■xn=■，x∈（-1，1）， 　　再通过积分，还原得：S（x）-S（0）=■■dt=-ln（1-x），x∈[-1，1） 　　这里S（0）=0，于是求得：S（x）=-ln（1-x），x∈[-1，1）。 　　②取积分下限为a∈（-1，1），不妨设a=■，设其和函数为S（x）。经逐项求导得到：S′（x）=■xn=■，x∈（-1，1）， 　　再通过积分，还原得：S（x）-S■=■■dt=-ln（1-x）+ln■，x∈（-1，1）。 　　这里S■=+■■■■=-ln■，于是求得：S（x）=-ln（1-x），x∈[-1，1）。 　　由例1可以看出，虽然结果一样，但是选取积分下限为0，计算比较简单。 　　根据以上的讨论，可知，当已知幂级数■a■（x-x0）n的和函数，用逐项积分法求未知幂级数的和函数时，积分上下限的选取。 　　3 幂级数■a■（x-x0）n求和的逐项积分法 　　若已知■a■（x-x0）n=f（x），x∈（x0-R，x0+R），用逐项积分法求幂级数■■（x-x0）■的和函数S（x）的步骤： 　　①令x-x0=t，将所求幂级数■■tn+1通过逐项求导整理为已知和函数的幂级数■antn，即F'（t）=■■t■′=■■t■′=■a■t■，其中t∈（-R，R）； 　　②通过逐项积分，求出所求幂级数的和函数。■■t■=F（t）-F（0）=■F'（u）du=■F（u）du，其中t∈（-R，R）。即■■（x-x0）■=■■an（t-x0）ndt=■f（t）dt； 　　③验证x=x0-R和x=x0+R处的敛散性，从而得到所求幂级数的和函数。下面，通过例2，演示一下计算过程。 　　例2：试求幂级数■■的和函数。 　　解：幂级数■■的和函数为S（x），其收敛半径R=■=1，易知■■在x=-1+1=0和x=1+1=2均处收敛，故■■的收敛域为[0，2] 　　经逐项求导得到：S'（x）=■（-1）n（x-1）2n=■，x∈（0，2），再通过积分，还原得：S（x）-S（1）=■S′（t）dt=■■dt=arctan（x-1），x∈（0，2），又S（1）=0，求得：S（x）=arctan（x-1），x∈[（0，2）]。 　　4 总结 　　本文讨论了利用逐项积分法求幂级数和函数时积分下限选取为0的原因，一个原因是通常情况下，和函数S（x）当x=0时值为0；另一个原因是幂级数■anxn的收敛区间是以原点为中心的对称区间，即0为对称中心，故任意取自收敛区间的x，[0，x]都是可积区间。最后，本文给出，积分下限的选取范围不仅仅为0点，可以在收敛区间内任一点。并通过例题，验证其正确性。通过这样的讲解，突破了学习的一个难点，使学生在学习逐项积分法的时候，更容易掌握。 　　参考文献： 　　[1]邓俊兰，李鑫.幂级数求和函数的类型与解法[J].北京电力高等专科学校学报，2010（9）. 　　[2]孙艾明.利用解微分方程求幂级数的和函数[J].数学学习与研究，2011（15）. 　　[3]彭凯军，孙胜先，苏灿荣.利用微积分算子求幂级数的和函数[J].高等数学，2011（3）. 　　[4]华东师范大学数学系.数学分析（第四版下册）[M].北京：高等教育出版社，4.
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幂级数及其逐项求导与逐项积分后级数具有相同的收敛半径，但未必有相同的收敛域，那么这些级数的收敛域之间的
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幂级数及其逐项求导与逐项积分后级数具有相同的收敛半径，但未必有相同的收敛域，那么这些级数的收敛域之间的关系是否有一般规律？
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