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我的高中导数数学笔记【慢更】收藏
吧务勿手滑本人2016广东高考考生，老实说，我数学水平一般，高考数学考得也不咋地。翻阅高中数学吧的精品贴，也已经能找到导数篇的笔记了。那为什么我还是要执着地把自己的笔记弄上来呢？第一个原因，我想引用村上春树在翻译《了不起的盖茨比》时所写：对于各位读者，有的选择总比没得选择要好。而我心目中导数部分的知识结构，也与之前各位大神的不太一样。第二个原因，正是因为我高考数学考得并不好，所以才会有一种不甘心的感觉。自认为在数学上花了很短时间，结果效果却不好，因此希望能为后来的学弟学妹提供模式和经验。综合以上原因，我决定把我的笔记电子化。由于贴吧不能直接粘图了，所以我只能不断截图传送门： 导数吧
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笔记镇楼，楼主喜欢刀剑神域
笔记的主要内容，应对全国卷21题函数与导数。函数与导数考点主要分为两类。一类是超越方程（函数）类，另一类是三次函数类。我打算先弄超越类内容包括1、基本知识点：2、几类基本方法3、几类基本题型其中，基本知识点包括：
1-1：常用导数表
1-2：考试常遇上的函数（建议记忆）
1-3：常用不等式
1-4：常用函数图像
1-5：洛必达法则的应用（只有应用，不说证明过程）
不熟悉的同学请查阅选修2-2，想了解更多基本函数表可以打开《高等数学》（同济大学出版社）中的附录，足以应付高考导数的四则运算略过……这些都很基本的说，很容易就记下来了，唯独指数与对数若很久不用很容易忘，但估计也没多难记
课本中对e的描述很少，为了帮助理解求导公式，在此补充。实际上e有许多非常神奇的应用，对数学史感兴趣的同学可以去知乎看看，会有很多意想不到的收获。数学在这个常数上体现了美感。
建议直接记住，不要再用四则运算公式，因为这些函数出现次数实在是太高啦
这些不等式的应用主要是缩放，或者选择填空中预先猜答案，也是建议直接记忆
1-5：常见函数图像推荐一款手机APP，我自己也在用Mathlab
Graphing Caculator这些图就是用它做出来的，建议从正规应用市场下载，百度上的搜索结果下载后有很多广告至少当时我下载时有很多广告。电脑方面的数学软件我推荐超级画板（本人没用过几何画板额），张景中院士的作品。网络上大部分的免费版都没有真正免费，但是用“文本作图”功能基本上就可以覆盖所有功能了……别问我要安装包，我也没有，删了
1-6洛必达法则好吧，这个描述并不完整，严谨准确的洛必达法则请查阅《高等数学》教材这个定理相当重要，在分离变量求最值的最后一步，往往需要这个在后面的内容会提到，在21题中，它的出现频率非常高！需要用它来猜答案不过同时注意，这个公式并不是万能的就是这样，草稿纸上可以用，但慎重考虑是否要写在试卷上。就算使用完全正确也不一定有分。当然，如果时间很少，蒙一蒙说不定也行呢？只能说存在风险了
了不起的盖茨比是我唯一读过的小说
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多项式除法用于分解因式，叙述如下：由于很多导数题目往往可以观察出一个零点，那么这个结论尤其重要，在解决三次函数问题时，也有应用，这个下面再说。接下来简要说操作：对于含字母的多项式一样适用，例如当然这些都比较基础，就不详细说了，相信各位老师都会讲那么基础知识就这样够了
接下来开始介绍我心目中的几类基本方法（手段）和导数压轴题考的基本问题我个人的收获是做导数题时不要苛求一步到位，应该把最终结论打成几个小目标，然后分别用不同的手段达成这些小目标。常考问题有以下几类：1、证明不等式恒成立2、不等式恒成立，求参数范围3、证明双元变量不等式4、构造恒成立（寻找有限区间）应付这些问题的手段有以下几种1、分离变量用洛必达法则猜答案2、猜出答案用分类讨论证明3、用二级结论放缩使问题变简单4、换元使二元变 一元（针对双元变量不等式问题）不过要先说明，方法总结一大堆，但并不代表我就能秒杀高考压轴题。整个高三我大型模拟考最终能完成导数题的次数大概占一半。能同时拿下解析几何和导数的大型模拟考只有一次说来惭愧，希望我发的东西能带来一点点启发吧……
先来看一下那几个基本问题大概长什么样（先不涉及解答）嗯……这题标准答案就是用图像法做的，主要是把问题转化得很巧妙然而，我并不是那样做的，甚至觉得那样很麻烦？！然后我就与图像法无缘了血的教训，希望学弟学妹能吸取教训，听老师话
看下一个：这一问就非常有意思了，可以挖掘出很多有关导数内容。解题方向有以下几种1、分类讨论解决问题。标准答案作风，容易让初学者惊奇为何如此巧妙2、分离变量，求高阶导，洛必达法则。浓厚贴吧风格，唯一有疑惑是最后洛必达法则使用有没分呢？不过前面的过程已经能保证拿到大部分分数了3、变形（但不是完全分离变量）成两个函数，一个恒在一个上方。运用高阶导数探究单调性和凹凸性，找出临界情况。这种方法入口很窄，而且凹凸性课本并未提到，很难说清……但明白人一看就明白我个人觉得第一第二方法结合最好。分离变量后不求导，直接洛必达法则得到一个值，作为分类讨论点的参考，再用分类讨论迅速解决问题，具体内容也是之后再说还值得一提的是，这题对我有别样意义。我第一次见到结构，就是在这里。我们之后还会再见面的，嗯。当时高二的楼主想了几个小时没想出怎么做这题。
下一个，双元变量不等式这两题以及今年的全国课标1导数题就是典型的双元变量不等式问题。第一道中，两个变量是有关系的；第二题中，两个变量在一定范围内随意变换，没关系。这也是双元变量的两类问题。对于双元变量不等式，解决方法有两种（1）换元，双元变一元（2）强行作差作商，两元归于一元当然空讲没什么意思，这个也放到后面再说。
下一个，构造恒成立上述两个问题，均要求考生构造出某个值。我把它叫做构造恒成立问题（构造数值，构造区间，构造函数），因为他们均需要满足恒成立某个式子的条件。这个让我颇头痛，经常在做题时非常显而易见结论的正确（趋近于0，趋近于无穷），然而这个结论却很难说明。因为课本并没有关于极限的过多知识，考试时也就无法使用“函数图像趋近于x轴”之类的表达。这也是我最没把握的题型之一，希望各位吧友能提供帮助。虽然好像并没有什么人的样子
这吧人都被赶跑了
排除这四类问题，还有一些莫名其妙的……比如说这个我不得不承认，我做这道题时第三问完全一头雾水，怎么看都觉得突兀？乍看这道题属于双元变量不等式，但实际上并没什么关系。这道题答案我就不公布了，已经做过类似题型的同学肯定能一眼看穿。这种题目我遇到得很少，万一考试真遇到完全陌生的题目，只能随机应变，如果吧友有什么很明确的思路，欢迎交流。现在我依然觉得这道题目的解法实在是神来之笔，不知如何才能想到
挺不错的啊，楼主继续更吧。。。这里同为广东考生，但现在才高一。
接下来，是为了解决上述问题常用的手段，他们是：1、洛必达法则，分类讨论解决含参数恒成立2、不等释放缩解决证明不等式恒成立3、设零点，可以运用的地方很多……4、换元法解决双元变量不等式，我逐个介绍
首先是含参数恒成立问题，接下来这一整楼都将用于“如何使用洛必达法则猜出答案”步骤如下：1、①观察是否当x等于某个特殊值（0，1,e……）时，不等式两边相等
这个特殊值是开区间端点也没问题
②或者你见到了能同时分子分母为0的式子
如果1步骤能找到，进入2步骤2、对式子进行分离变量，把参数单独移到一边3、检查另一边只含x的表达式是否满足以下条件：
①分式形式②分子分母取特殊值时可以同时为0（无穷）
简单来说就是能否用
洛必达法则4、使用洛必达法则，求出当x等于这个特殊值表达式的极限5、直接用这个极限解出参数范围，有99%的可能性就是答案（也就是说存在反例，下面会说）这是出题人的套路，已经是一个公开的秘密。接下来我们验证下还有很多，刚才在贴吧看到有人问题，就用那个作第二个例子猜出来的答案是正确的。为什么这一步如此重要？在分类讨论中，知道答案和不知道答案做题差别是非常大的！当各位学弟学妹经过足够多的训练，就已经不用这么麻烦一步一步去做了，一眼就能够看出答案（这并非什么很困难的事）又比如还有当然，如果题目根本没有满足那几个条件，那直接分离变量求导求极值就好。我个人认为这个公开的秘密能存在那么久，原因就是出题人想考察考生分类讨论能力故而把分离变量这条路堵死（不用洛必达法则就没办法求最值）。不过，我也发现含参数恒成立的模拟试题越来越少，或许因为洛必达法则被高中生滥用，以后题目会难觅这类题型踪影？ 那么接下里，就介绍那1%的可能性。可去间断点并不是最值点，我整个高中也只见过一道题 也就是说，分类讨论点并不是我们用洛必达法则得出的2不算这题，在我做过的所有题目中，洛必达法则得出的分类讨论点至少是整道题其中一个分类讨论点，而这道题目不是。换句话说，这层楼所介绍的办法是不严谨的，但如果能活用，无疑会节省大量时间。就是这样，洛必达法则如果想要严谨的运用，需要配合高阶求导，然而我不打算弄上来。那样就真的严重超纲……老实说，我觉得最好能够掌握《高等数学》上册再考高考，不仅对数学，对物理微分方程问题理解也有帮助
一个初中刚毕业的准高一觉得很有用但看不懂233333高中加油！
有待提高……
这几天更的慢一点……有事接下来这一楼我打算先放“用分离变量做导数压轴题——参数恒成立的结果”下一楼再放正确打开方式问题就在这里，可去间断点往往就是最值点，致使过程没法继续……手机党看图可能很辛苦，我会不定时把最新原文档分享出来的，毕竟公式编辑器没手写那么直接，这也是进度缓慢的原因之一
看起来很高深，但有些凌乱。你就用笔好好完整解答好了
接下来这层楼，用于展示“如何给不等式变形”，为下一步“证明猜出的答案是正确的”做准备变形有几类情况（个人总结，不一定最佳，有时会出现例外）下面给出示例（我的方法可能与标准答案不同！这也仅是我自己的理解） 在实际做题操作过程中，并不需要把每种情况分得那么细下文说的混合项指多项式乘对数或指数函数哪怕不是“含参数不等式”题目，单纯只是“证明不等式”也可以这样分情况变形下一楼将在这层楼基础上用分类讨论完成解答
这层楼将用来放我认为最佳的考试答案第一步：先解决不符合条件的的区间，缩小范围，拿到基本的分数第二步：证明参数在某区间内满足条件（某区间是在前两楼猜出来的）第三步：证明参数在其他区间不符合条件下面出现的“//”表示跟着的字是注释其实，参数恒成立问题的核心，我认为在于“变形”这一步，把题目进行等价转化，转化后的问题应该是好研究的。什么叫好研究？多项式就是好研究的。如果能够做到导函数的正负只与一个多项式有关，那基本就大功告成。在猜到了答案的情况下，只需要以答案为分界点进行讨论，会发生什么就写什么，自然就会得出符不符合题意的结论。上面这题是把lnx通过求导变成多项式，下面这个是把e^x提出变成多项式以上的问题，都是能做到“导函数的正负只与一个多项式有关”，但是有些题目，是做不到的，比如我们的情况3，那在这种状况下，最好的方法是保持原状，多次求导使导函数好处理上面三道题目参数都一定的范围，但有的题目参数只能是确定值，比如说下面这个
虽说参数恒成立问题的形式很多，但归根结底套路是不变的1、先缩小范围，证明明显不可能的区间2、根据猜到的答案进行分类讨论，根据分类，写出在这种情况下函数对应有什么性质，自然课推导出该分类情况是否符合题意
（这里面有诸多手段，比如上一题可以通过画图看出明显不可能，有比如上一题可以通过高阶求导推断函数性质，还可以通过熟悉的不等式构造出范围等，这些就要靠多加练习来掌握）3、排除剩余区间（找与题意不符的反例，①导函数在某区间有零点②导函数在某区间函数值正负确定③原函数在某区间单调④原函数在某范围函数值正负确定）
这是在吧里精华帖转过来的试题，可以练练手，我自己也会在找一些好的题目，毕竟参数恒成立套路就在那里，我也说完了，接下来就是训练
我能加精吗后面还有好多东西要打字输入啊，给点动力
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高二数学电子教案
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算法与程序框图
算法的概念
算法在中学数学课程中是一个新的概念，但没有一个精确化的定义，教科书只对它作了如下描述：“在数学中，算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确有限的步骤.”为了让学生更好理解这一概念，教科书先从分析一个具体的二元一次方程组的求解过程出发，归纳出了二元一次方程组的求解步骤，这些步骤就构成了解二元一次方程组的算法.教学中，应从学生非常熟悉的例子引出算法，再通过例题加以巩固.
1.正确理解算法的概念,掌握算法的基本特点.
2.通过例题教学，使学生体会设计算法的基本思路.
3.通过有趣的实例使学生了解算法这一概念的同时，激发学生学习数学的兴趣.
教学重点：算法的含义及应用.
教学难点：写出解决一类问题的算法.
思路1（情境导入）
一个人带着三只狼和三只羚羊过河，只有一条船，同船可容纳一个人和两只动物，没有人在的时候，如果狼的数量不少于羚羊的数量狼就会吃羚羊.该人如何将动物转移过河？请同学们写出解决问题的步骤，解决这一问题将要用到我们今天学习的内容——算法.
思路2（情境导入）
大家都看过赵本山与宋丹丹演的小品吧，宋丹丹说了一个笑话，把大象装进冰箱总共分几步？
答案：分三步，第一步：把冰箱门打开；第二步：把大象装进去；第三步：把冰箱门关上.
上述步骤构成了把大象装进冰箱的算法，今天我们开始学习算法的概念.
思路3（直接导入）
算法不仅是数学及其应用的重要组成部分，也是计算机科学的重要基础.在现代社会里，计算机已成为人们日常生活和工作中不可缺少的工具.听音乐、看电影、玩游戏、打字、画卡通画、处理数据，计算机是怎样工作的呢？要想弄清楚这个问题，算法的学习是一个开始.
（1）解二元一次方程组有几种方法？
（2）结合教材实例总结用加减消元法解二元一次方程组的步骤.
（3）结合教材实例总结用代入消元法解二元一次方程组的步骤.
（4）请写出解一般二元一次方程组的步骤.
（5）根据上述实例谈谈你对算法的理解.
（6）请同学们总结算法的特征.
（7）请思考我们学习算法的意义.
讨论结果：
（1）代入消元法和加减消元法.
（2）回顾二元一次方程组
的求解过程，我们可以归纳出以下步骤：第一步，①+②×2，得5x=1.③
第二步，解③，得x=.
第三步，②-①×2，得5y=3.④
第四步，解④，得y=.
第五步，得到方程组的解为
(3)用代入消元法解二元一次方程组
我们可以归纳出以下步骤：
第一步，由①得x=2y－1.③
第二步，把③代入②，得2(2y－1)+y=1.④
第三步，解④得y=.⑤
第四步，把⑤代入③，得x=2×－1=.
第五步，得到方程组的解为
(4)对于一般的二元一次方程组
其中a1b2－a2b1≠0,可以写出类似的求解步骤：
第一步，①×b2-②×b1，得
（a1b2－a2b1）x=b2c1－b1c2.③
第二步，解③，得x=.
第三步，②×a1-①×a2，得（a1b2－a2b1）y=a1c2－a2c1.④
第四步，解④，得y=.
第五步，得到方程组的解为
(5)算法的定义：广义的算法是指完成某项工作的方法和步骤，那么我们可以说洗衣机的使用说明书是操作洗衣机的算法，菜谱是做菜的算法等等.
在数学中，算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确有限的步骤.
现在，算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题.
(6)算法的特征：①确定性：算法的每一步都应当做到准确无误、不重不漏.“不重”是指不是可有可无的，甚至无用的步骤，“不漏” 是指缺少哪一步都无法完成任务.②逻辑性：算法从开始的“第一步”直到“最后一步”之间做到环环相扣，分工明确，“前一步”是“后一步”的前提， “后一步”是“前一步”的继续.③有穷性：算法要有明确的开始和结束，当到达终止步骤时所要解决的问题必须有明确的结果，也就是说必须在有限步内完成任务，不能无限制地持续进行.
(7)在解决某些问题时，需要设计出一系列可操作或可计算的步骤来解决问题，这些步骤称为解决这些问题的算法.也就是说，算法实际上就是解决问题的一种程序性方法.算法一般是机械的，有时需进行大量重复的计算，它的优点是一种通法，只要按部就班地去做，总能得到结果.因此算法是计算科学的重要基础.
（1）设计一个算法，判断7是否为质数.
（2）设计一个算法，判断35是否为质数.
算法分析：（1）根据质数的定义，可以这样判断：依次用2—6除7，如果它们中有一个能整除7，则7不是质数，否则7是质数.
算法如下：（1）第一步，用2除7，得到余数1.因为余数不为0，所以2不
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关注微信公众号时代百分特训陪读中心数学教学中的智慧 数学教学中的智慧（1） 一． 提炼简缩性语言 数学的研究对象是现实世界的数量关系和空间形式。它是人类智慧的结晶，有着非常丰富的内容，它也 是一种非常高的文化品位。数学看不见摸不着，也听不见，但它存在于我们的心中，是一种发自于心灵深 处的呼唤。 数学广泛应用于生产、生活和科学技术之中。数学改变着人类的生产方式和生活方式，推动人类科学、文 明的前进。人类自从有了数学的萌芽，就开始了由自然王国向必然王国的转变，从黑暗、愚昧走向光明和 智慧。 高中数学教学中有无穷的智慧，她在吸引着我们老师和学生，也在不断地激励我们数学老师不断的挖掘、 提炼、总结和运用。 数学语言最精彩，数学语言最简练，数学语言中蕴涵着智慧，任何动人的文字语言在数学语言面前都黯然 失色。 在数学教学中挖掘、提炼简缩性语言是数学教学中的智慧之一。 例 1． 对数函数正负性质 由对数函数图象知： 当 a,x 位于 1 的同侧时，y&0; 当 a,x 位于 1 的异侧时，y&0 这个结果可以简缩为：“同正；异负” 例 2． 函数奇偶性与增减性的关系可以简缩为“奇同；偶异” 例 3． 数学归纳法证明中第二步可用简缩性语言表述为： 1． 回到定义中去；2。使用归纳法假设；3。看结论，向结论变 常用到的简缩性语言还有： “二次函数在给定区间上的值域（最值）” “在约束条件下求二元函数的值域（最值）” 等等。 数学教学中的智慧（2） 二．为学生做出从失败到成功的示范 问题是数学的心脏。学习数学主要是解题，而数学题的求解过程充满着艰难险阻与重重困难，特别是在 新题、难题面前更需要意志、毅力和智慧。智慧是在克服困难中产生并形成的。 作为数学教师，经常给学生辅导，答疑解惑，当学生问到新题、难题时，教师不应回避，要抓住机遇， 迎难而上，积极大胆动脑思考，动手分析演算，与学生共同研讨，积极采纳学生的正确见解，向学生展示 科学思维过程背景。 数学解题思考过程主要包括以下几个方面： 一．审题： （1）已知是什么？有没有读不懂的信息？ （2）图形是怎样的？有没有隐含信息？ （3）结论是什么？（结论也是已知信息，这是解数学题中最激动人心之处）已知信息与结论信息 之间有 无直接关系？ （4）结论能不能再简化一点？有没有具体简单情形或背景（模型）？ 如果解题思路没有形成，可再读一遍题，是否遗漏已知信息或隐含信息？1时代百分特训陪读中心二．形成解题计划 三．实施解题计划 四．反思： （1）有无遗漏或出现错误 （2）重新读题，感知题中已知信息与结论信息，使解题思路实现简缩，为今后解决同类型问题或新题积累 经验，加快今后解题的进程。 （3）能否把解题思路或方法推广到更一般、更广阔的背景之中？ （4）有没有别的更简单的解法？ （5）能否用简缩性语言归纳总结所用的解题思路或方法？ （6）其他 通常，在一个新问题面前，即使是教师，也不一定能迅速给出解答，往往需经历模糊、失败，一计不成， 再生一计的思考过程，而这一过程正好是智慧形成的过程。应该让学生深刻感受到，清晰、简练、优美的 解题思路总是伴随着模糊、失败，不断提出新的设想而产生，对于见多识广，经验丰富的教师也是如此。 从而使学生遇到新问题时，不拘泥于框框限制，敢想、敢试、敢探索，不断提高思想境界，追求新意。在 独立解题实践中积累经验，增长才干，体验智慧人生，逐步实现提高解决新问题能力的教学目标。 数学教学中的智慧（3） 三． 探索知识网络交汇点 培养直觉思维的能力 《考纲说明》中指出：对数学基础知识的考查，要求全面又突出重点。注重学科的内在联系和知识的综 合，重点知识是支撑学科知识体系的主要内容，考查时要保持高度的比例，并达到必要的深度，构成数学 试题的主体。学科的内在联系，包括代数、立体几何、平面解析几何三个分科之间的相互联系及在各自发 展过程中各部分知识间的纵向联系。知识的综合性，则是从学科的整体高度考虑问题，在知识网络交汇点 设计试题。 探索知识网络交汇点是数学教学中的智慧之一。 ⒈什么是知识网络交汇点？ 知识网络交汇点主要是指在数学的不同分支或不同课题中起支撑作用的、在各部分知识相互联系中起联结 作用的知识。 直观的理解，知识网络交汇点就是在立体结构的综合性问题中联结两个知识平面的交线，三个以上知识平 面交线的交汇点。下面以 2005 年全国高考数学试题全国卷（三）选择填空题中部分试题为例谈谈自己的看 法。 例⒈已知过点 A（-2，m）和 B（m，4）的直线与直线 2x+y—1=0 平行，则 m 的值为（ ） （A）0 ； （B）-8 ； （C）2； （D）10 解：由已知得 –2= ＝ 例⒉ 若 （A） 解：构造函数 由 ＝ 知 当０&ｘ&ｅ时，１－㏑ｘ&０，函数 ＝ 是（０，ｅ）上的单调增函数；当ｘ&ｅ时，１－㏑ｘ&０，函数 ＝ 有极大值 ． ＝ 是（ｅ，＋∞）的单调减函数；当ｘ＝ｅ时，函数 解得 ｍ＝－８ 则（ 故选（B ） ） 知识网络交汇点： 的充要条件是 ａ＝ ，ｂ＝ ，ｃ＝ ， ＝ ， ａ&ｂ&ｃ； （B）ｃ&ｂ&ａ； （C）ｃ&ａ&ｂ； （D）ｂ&ａ&ｃ2时代百分特训陪读中心作出函数＝ 的图象可知（C）答案正确． ＝ 的单调性． （B） ≤ｘ≤知识网络交汇点：函数 （A）例⒊ 设０≤ｘ&２π ，且 ＝sinx-cosx，则 ０≤ｘ≤π ； （C） ≤ｘ≤ ； （D） ≤ｘ≤ 解：∵ ＝ ＝sinx-cosx ∴sinx≥cosx ∴ ≤ｘ≤ ，故选（C） 知识网络交汇点：① =∣a∣ ②当角α 的终边落在直线ｙ＝ｘ上时，sinx＝cosx；当角α 的终边落在直线ｙ＝ｘ上方时，sinx &cosx； 当角α 的终边落在直线ｙ＝ｘ下方时，sinx&cosx 例⒋ 已知双曲线ｘ － ＝１的焦点为 , ，点 在双曲线上且 · ＝０，则点 到ｘ轴的距离为 （ ） ；（B） ； （C） ；（D） （A）２解：由已知得ａ＝１，ｂ＝ ，ｃ＝ ，且 ⊥ 又由于∣∣ ∣－∣ ∣∣＝２ ＝２ ∣ ∣ ＋∣ ∣ ＝∣ ∣ ＝１２ 由２∣ ∣∣ ∣ ＝∣ ∣ ＋∣ ∣ －∣∣ ∣－∣ ∣∣ ＝８ 得∣ ∣∣ ∣＝４ 设点 到ｘ轴的距离为ｘ，由等积法知 ２ ｘ＝４， 解得 ｘ＝ ，故选（C） 知识网络交汇点：代数恒等式 例⒌ 已知向量 ＝（ｋ，１２）， ＝（４，５）， ＝（－ｋ，１０），且Α 、Β 、C 三点共线，则ｋ＝ 解：∵ Α 、Β 、C 三点共线， ∴ ＝ｔ ＋（１－ｔ） ＝（２ｋｔ－ｋ，１０＋２ｔ） ∴ ２ｋｔ－ｋ＝４ (1) (1)(2) 解得 ｋ＝ { １０＋２ｔ＝５ (2), ＝ｔ ＋（１－ｔ） （人教版：高中数学课本第一册下１０７页例５） 例⒍ 已知在Γ Α Β С 中，∠Α С Β ＝９０ ，Β С ＝３，Α С ＝４， 是Α Β 上的一点，则点 到Α С ，Β С 的距离乘积的最大值是 解：以С 为原点，Α С 为ｘ轴正半轴，Β С 为ｙ轴正半轴建立平面直角坐标系． 线段Α Β 方程为 ＋ ＝１ 即３ｘ＋４ｙ＝１２（０&ｘ&４），设 （ｘ，ｙ） 由 １２＝３ｘ＋４ｙ≥２ 解得ｘｙ≤３，故答案为３０ ２ ２ ２ ２ ２ ２（４，５）＝ｔ（ｋ，１２）＋（１－ｔ）（－ｋ，１０）知识网络交汇点：已知 、 不共线，Α 、Β 、 三点共线，则3时代百分特训陪读中心知识网络交汇点：二元均值不等式 ， 则 由上述数例可以看出，知识网络交汇点是教材知识体系中最重要、最基本、最一般的核心内容，是综合题 的咽喉，是站在更高的境界去分析、观察和处理高中数学中的各种问题．对知识网络交汇点的不同理解和 看法，可以设计出不同的解题思路和方法．探索知识网络交汇点是最具创造性思维和创新成果的源泉。在 数学教学中抓住了知识网络交汇点，就能培养学生对问题的迅速识别，敏锐而深入的洞察，综合性整体判 断，丰富的假设和想象，迅速作出试验性结论，达到高度省略、简化、浓缩方式洞察问题实质的直觉思维 形式，实现不断提高创造性思维的目的。 ⒉ 培养学生探索应用知识网络交汇点分析问题和解决问题，培养直觉思维能力的途径。 ⒉1 使学生深刻理解和掌握基础知识。在基础知识教学中，要把主要精力放在基本概念的发生过程、基本 定理发现和证明的思考过程、基本公式的推导过程上来。使学生掌握知识的来龙去脉，深刻理解其实质， 并能熟练地加以运用。 ⒉2 教师在讲解例题过程中，要给学生做出探索应用知识网络交汇点解决问题的示范，要使学生明确问题 的实质是什么，难点是怎样突破的。使学生懂得用基础知识分析解决问题，通过解题强化对基础知识理解 的辨证关系。 ⒉3 不断培养学生独立思考和创新精神。可以请学生讲解习题，给学生发表独立见解和展示思考过程的机 会，教师从中了解学生对知识网络交汇点突破的程度。课内作业力求精练，使学生能独立完成，并有余力 阅读课外书报刊，扩大知识视野，不断接受各种新信息，充实解题力量。使学生学会独立获取信息并转化 为知识能力的方法，在独立解题实践中积累经验，提高对知识网络交汇点识别和运用的自觉性。 ⒉4 培养学生良好的解题习惯。从已知、求解、图形等信息中探索知识网络交汇点，以简缩方式形成解题 思路，制定解题计划并予以实施，养成解后反思的习惯。不断实现对知识网络交汇点的有意识记、理解和 积累，提高分析问题解决问题能力的目标。 数学教学中的智慧（4） 四．兵教兵 彭莉华是我教过的文科班学生。进入高二时，数学成绩每次考试不到六十分。我在教学中树立了这样一个 理念：“学生之间互相提问、互相讲解、互相帮助，就会发挥巨大的作用。”因此，把学生分成三人一个 学习小组，进行兵教兵式学习。而彭莉华相对于另两名学生成绩要好些，就担任学习小组长。在学习小组 中，她给另两人讲的机会多一些。到了高三，彭莉华的数学成绩提高很快，每次月考成绩稳定在 100 分 （总分 150 分）以上，她经常高兴地说：“我在给同学讲题中理解了，记住了，熟练了。”在高考中，彭 莉华数学考了 135 分，总分进入了全市文科前十名，上了重点大学。 M．希尔伯曼在《积极学习，101 种有效教学策略》一书中一开始就写到： “2400 年前，孔子在论述教育时，曾说到： 对于我听过的东西，我会忘记。 对于我看过的东西，我会记得。 对于我做过的东西，我会理解。 这三句简洁的话可作为积极学习的精要。 我将孔子的智慧做一修改并扩展成我的积极学习信条： 对于我听过的东西，我会忘记。 对于我听过和看过的东西，我会记得一点。“ 对于我听过，看过并问过问题或与人讨论过的东西，我会开始理解。 对于我听过、看过、讨论过和做过的东西，我会从中获得知识和技能。4时代百分特训陪读中心对于我教过另外一个人的东西，我会掌握。” 从理论和实践来看，兵教兵是数学教学中的智慧之一。 作为教师，一个人的力量是单薄的，除了上课、辅导外，与学生接触机会不多。 作为学生，整天在一起相处，遇到问题，通过及时提问，共同思考，研究解决，这样可以激活思维，发挥 出巨大效益。同时，学生在互相提问中增进了友谊，加强了团结，对于一生都有很大益处。 我认为，学生从学生身上学到的东西，是学生从老师身上学到的许多倍。 兵教兵是我们数学老师的智慧武器。 数学教学中的智慧（5） 五．揭示知识来龙去脉 培养数学思维能力 高中数学课程标准指出：“教材应注意创设问题情境，从具体实例出发，展现数学知识的发生、发展过 程，使学生能够从中发现问题，提出问题，经历数学的发现和创造过程，了解知识的来龙去脉。” 揭示知识来龙去脉是数学教学中的智慧之一。 下面以四种命题为例谈谈自己在课堂教学实践中的看法与做法。 一．从四种命题的构造过程揭示数学概念的发生过程。 四种命题及其构造 原命题：若两个角是对顶角，则这两个角相等。 一般形式：若 p，则 q 问题 1：由原命题的题设和结论，可以构造出那些新的命题？ 逆命题：若两个角相等，则这两个角是对顶角。 一般形式：若 q，则 p 否命题：若两个角不是对顶角，则这两个角不相等。 一般形式：若┑p，则┑q 逆否命题：若两个角不相等，则这两个角不是对顶角。 一般形式：若┑q，则┑p 还有那些新命题吗？ 在这里，引导学生从具体熟悉的命题出发，以原命题的条件与结论为素材，研究创新构造新命题，出现了 命题的四种形式。一般地，在数学基础知识教学中，教师应注意引导学生由具体到抽象、由特殊到一般研 究揭示基本概念的发生过程，基本公式的推导过程，基本定理发现和证明中的思考过程，使学生掌握知识 的前后联系，来龙去脉，使数学基础知识的学习过程充满生动活泼。 二．由原命题与逆命题的真假关系揭示在数学教学中提高学生数学思维能力的重要性和科学方法。 问题 2： 研究四种命题（原命题以及由它构造出的新命题）有价值吗？ 基本结论 1： 原命题是真命题，逆命题不一定是真命题。否命题也不一定是真命题。 例 1． 已知方程 有两个正实根，求实数 m 的范围。 解：由已知可得 解得：0&m≤1 ∴ m 的范围为（0，1] 例 2． 已知方程 有两个大于 2 的实根，求实数 m 的范围。 错解：由已知可得5时代百分特训陪读中心为什么例 1.解法正确，而例 2.解法错误？这是因为例 1.中原命题： 若 的逆命题： 若 而例 2.中 若 若 正确解法： 解：已知等价于 （ 以下略） 此例说明，在解题当中，当逆用原命题是真命题时，一定要注意它的逆命题是真命题还是假命题。学生在 数学学习以及解题活动中，常会不自觉地把原命题是真命题应用于逆命题之中，造成思维混乱与解题失 误。这说明培养数学思维能力是非常重要的，此例为学生学会科学的思考方法提供了具体实例。 三．由原命题与它的逆否命题的真假关系揭示数学知识的理论价值。 基本结论 2： 原命题是真命题，逆否命题一定是真命题。 应用 1：判断命题的真假。 例 3 ：判断命题“若方程 没有实数根，则 ”的真假。 学生由题设推得 m&— ，认为这是一个假命题。然而，它的逆否命题“若 ，则方程 有实数根”是一个真命 题，所以它应该是一个真命题。 事实上，“若方程 没有实数根，则 m&— ”是真命题，而 =（—∞，— ）∪[— ，0) 由 p 或 q 的真值表易知命题 2 是真命题。 数学课程标准指出：“高中数学课程对于认识数学与自然界、数学与人类社会的关系，认识数学的科学 价值、文化价值、提高分析问题和解决问题的能力，形成理性思维，发展智力和创新意识具有基础性的作 用。”在例 3.中，由于从它的逆否命题为真命题发现在判定原命题真假中的失误，通过进一步分析，明确 了四种命题关系以及复合命题真值表的理论价值。一般地，深刻理解并掌握数学理论知识的内涵和实质， 就会在解题实践中站的更高，看的更远。不仅可以迅速明确解题思路，而且能够发现出现的问题及其产生 问题的原因，这就是数学理论的科学价值。 四．由逆命题与原命题的真假关系揭示反证法的实质。 数学课程标准指出：“体现相关内容的联系，帮助学生全面地理解和认识数学。” 应用： 为反证法提供了理论依据。 在证明原命题：“若 p，则 q”不易证明时，改证其逆否命题“若┐q,则┐p”，也就是通常所说的反证 法，由于证明过程中使用了原命题中没有的条件“若┐q”，这就为证明无中生有的增加了已知条件，即 “有效增设”，使证明易于进行。由原命题与它的逆否命题的真假关系揭示出反证法的实质，这充分说明 数学知识之间具有相互联系。在数学教学中，教师的作用就在于挖掘数学知识相互之间的关系，帮助学生 建立互相渗透，互相依托，互相关联的知识体系。 在新一轮课程改革的伟大实践中，数学教师的课堂教学应体现新课改的理念和精神。不断坚持揭示数学知 识的来龙去脉，建立知识之间的联系，构建整体数学知识体系，对于培养具有数学思维能力和创新精神人 才，实现新课改目标具有十分重要的意义。 数学教学中的智慧（6） 是真命题； 的逆命题： 。 是假命题6时代百分特训陪读中心六．以少胜多 在数学教学的各个环节中，不少教师热衷于大容量，从课堂讲授内容、例题的数量、作业量，到测验次数 都超负荷，不仅老师教的辛苦，而且学生学的艰难。到头来，老师越教越没劲，学生越学越害怕。常见的 现象是，数学教与学投入最多，而数学考试特别是高考成绩最不理想。 以少胜多是数学教学中的智慧之一。 首先，课堂容量应宜少不宜多。老师在课堂上不要说与教学无关的话，不要把自己对职业、对学校领导、 对社会的牢骚话带入课堂。要节省每一分、每一秒，直奔课堂教学主题。在内容上，力求简练，抓住本质 与要害予以展开分析，做到游刃有余。课堂容量适度，能使学生听得懂，跟得上，也能使学生积极参与。 只有让学生能学会，才能激发学生的学习兴趣和热情，才能使学生在学会中会学，也才能收到事半功倍、 举一反三、以一当十的效果。 在基础知识教学中，课堂容量适度可以使学生从基本概念的发生过程，基本定理的发现与证明过程，基本 公式的推导过程中体验知识的来龙去脉、内涵和外延，使基础知识在学生心中扎根、发芽、开花、结果。 使基础知识成为学生解题力量的源泉。数学教学的精髓是对基础知识的理解和运用，离开了学生的思考， 单靠大容量灌输，只能是事倍功半。 在习题课教学中，一些老师每节课讲授十几道题，而实际上每道题只提示了一下，说了一下思路，而没有 认真解完一道题，导致学生在解题中经常出现中途夭折，漏洞百出，失误很多，在考试中差错率高，成绩 差。 我在数学教学中坚持以少胜多的观点。对于习题每节课不超过三个题，要讲，就讲深、讲透、讲到底。坚 持把一道题解完，包括具体求解方程组、不等式组等等都给学生做出示范。解完一道题，引导学生反思， 揭示出该题与课本基础知识的联系、基本技能与发展，与以往解题经验相互应，进行横向、纵向比较，建 立起知识体系。因为容量适中，所以学生能听懂，能学会，课堂对于学生是享受，而不是痛苦。 每节课讲完后，留出五分钟左右的时间，一是让学生提问题，有没有没听懂的地方，疑点是什么，学生有 无新见解，等等；二是让学生把讲过的内容复习一遍，需要记笔记的地方让学生记上，同桌之间可以相互 交流，对课堂内容加深理解；三是避免拖堂，保证按时下课，一个经常拖堂的老师，其教学质量肯定不会 好，按时上下课是教师的良好习惯。 关于作业，我每次不超过 5 道题，而且明确提出允许大于等于 2 来处理，不歧视只做两道题的学生，因为 老师说话算数。作业适量是为了让大部分学生能轻松愉快的完成作业，而且是独立完成作业，使完成作业 成为学生的自觉行动。同时，学生早一些完成作业，有余力阅读教材和教辅资料，投入课外解题之中，有 时间和精力与教材对话，与同学商量讨论问题。 数学教学中的智慧（7） 七．让学生与教材对话 数学教与学，实质上是教师围绕教材教，学生利用教材学。就课程资源来看，最根本的课程资源是教材。 让学生与教材对话，是数学教学中的智慧之一。 首先，教师要给学生做出与教材对话的示范。在基础知识教学中，教师要把教材当作重要学习内容来对 待。对于教材中的问题背景、概念、定理、例习题给予高度关注，把基本概念的内涵和外延讲清、讲细、 讲透，经常在学生面前高度赞扬教材内容及概念、公式、定理在数学知识体系中的重要地位和价值，结合 数学史介绍数学知识在发生和形成过程中伟大的数学家先驱对于科学和人类文明的重大贡献，以激励学生 热爱数学，研读教材的兴趣。 对于教材中的习题，一些老师自认为太简单，学生肯定会做为理由而不去关注，把重心过早放在课外难题 上，出现课外习题与教材脱节的情形，致使学生对教材不熟悉，缺乏坚实的根基，把思考性很强的数学变7时代百分特训陪读中心成了纯粹的技能训练，形成记题型，背套路的生搬硬套式教学模式，致使数学越学越难，越难越怕，严重 挫伤了学生学习数学的热情。 在数学教学中，老师经常把新问题、高考题、难题与教材内容和课本上习题加以比较，找寻根源，建立联 系，使学生明确高考试题题在书外，根在书内的道理。老师重视课本，学生就会经常研读课本，不断与教 材对话，用心体会教材内容，不断提高对教材的认识。只有认识深刻，有独到体会和见解，才能在解题中 加以熟练运用。 在一些学校的管理层中，存在着忽视课本的现象，他们认为高考不会从课本上出题，因而安排教学进度 时，要求教师赶进度，把新课很快上完。更有甚者，在假期补课中，在学生没有教材的情况下盲目赶进 度，把赢得的时间用于题海战术上，导致学生独立分析问题解决问题能力的下降，给学生学习造成更大困 难。 从多年来的高考试题来看，数学试题侧重于课本基础知识的灵活运用与延伸，与教材联系非常紧密。平时 重视与课本对话的学生，高考成绩就高，平时脱离教材基础知识指导的学生成绩就低。 我在高三数学教学中，首先检查学生课本到位情况。特别是补习班学生，容易出现重视做题忽视教材的 情形。我在每章知识复习中，至始至终把课本带着，经常告诫学生那些与教材基础知识联系密切的习题是 重点习题，教材上有的，必须高度关注。经常向学生介绍这样的学习理念：用基础知识指导解题，通过解 题强化、活化理解课本基础知识。抓住了课本，就是抓住了要害，促使学生与教材对话。 数学教学中的智慧（8） 八．关注学生思维最近发展区 数学学习本身是一种满足人类对科学文化的需要，就象吃饭一样，当有某种欲望时，就觉得学习很有意 思，对获得老师帮助有一种发自内心的感激，这对于促进学生良好品德的形成也有很大的意义和价值。 在数学教学中，关注学生思维最近发展区，在学生最需要的时候给予指点、鼓励和帮助，是数学教学中的 智慧之一。 在辅导课上，我一般不集体讲，而是采取个别指导，答疑解惑，给学生留出自己思考、阅读、求解的时 间，然后有问题的提出来，我给予点拨性提示，帮助学生把断线的思维连接起来，形成思维回路，这样做 的理由有以下几点： 1．摆正了老师、教材和学生三者之间的关系。教师是引领者，学生是学习实践者，教材是知识的精华，是 学习的内容。老师给学生留出时间，让学生阅读教材，理解教材，然后提出问题，和老师交流，老师是学 生学习的坚强后盾，帮助学生及时解决存在的困难和问题。 2．培养了创新精神。学生先独立思考，然后提出问题。所提问题是学生已经通过独立思考后提出来的，经 过老师指点，就会与学生思维碰撞出智慧的火花，使学生有顿悟之感，经过学生独立解决，学生从老师身 上学到了科学的思想方法，养成了独立分析问题解决问题的良好习惯，对学生今后在大学学习和从事工作 后都具有发展功能。相反，如果教师在课堂、自习辅导上不停地讲，把所有题都讲完了，学生没有思考的 时间和空间，不是积极主动建构知识，而是消极被动接受老师传递的解题信息和技能，就会造成一种老师 逼着学生，知识成为一种强加于学生头上的感觉，学生也就失去了学习的欲望，虽然老师教的很辛苦，很 卖力，但学生却不领情。 有这样一个故事。一位父亲严令儿子到外边去挣一块钱拿回来。母亲心疼儿子，给了儿子一块钱，让他到 外边转一段时间后回来。当儿子把钱交给父亲时，父亲顺手把钱扔到壁炉中烧掉了。然后严责儿子，令他 第二天必须出去挣一块钱拿回来。当儿子第二天把钱拿回来后，父亲又将钱扔到壁炉中烧掉了，十分严厉 的责骂儿子欺骗了自己。到了第三天，母亲对儿子说，我现在也帮不了你了，你还是出去挣一块钱拿回来8时代百分特训陪读中心吧。当儿子把钱拿回来的时候，父亲又将钱扔到壁炉中，这一次儿子不顾一切地将手伸到壁炉中把钱拿了 出来。父亲满意地微笑了，知道儿子懂得了挣钱的艰难，学会了珍惜。 这个故事使我联想到我们现在的学校教育中来。不少老师不辞辛苦，认真备课，查资料，费尽心机从各种 不同解题思路中优选最精彩、最简单的解题思路，课堂上老师讲的津津有味，但学生却觉得很平常。老师 们经常这样说，讲过的学生都不会；刚讲了的考试都错了；等等。 3．老师从学生身上发现了问题，了解了学生在当前学习中存在的问题与需求，就会有的放矢地进行备课和 研究。对于学生熟悉的问题，教师就可以不讲，集中解答学生中存在的共同问题，使教学活动充满智慧与 活力。教师也可以及时了解教情与学情，避免发生因面面俱到而造成大量无效劳动的现象。 4．学习是一种独立的心智活动，老师无法代替学生的学习。没有学生的积极思考，再高明的老师也不会教 出好成绩。相反，优秀教师常常不是只凭借自己的力量，而是鼓励、指导学生树立信心，积极投入学习。 数学教学中的智慧（9） 九．使用两次以上叫做方法 在数学教学活动中，解题方法与技能的掌握、积累、熟练、迁移是一个主动的形成与建构的过程。在这一 过程中，若能以心理学中的有意识记原理对学生加以引导，就会加快知识形成与运用的步伐，不断把新知 识、新问题纳入原有知识体系之中，形成前后联系、新旧连结的知识和方法体系。 使用了两次以上就叫做方法，这是数学教学中的智慧之一。 在数学教学中，当用了某种方法求解完一道题后，教师要引导学生进行总结，形成基本技能，用语言进行 归纳提炼，使学生从所提炼的语言中体验所用技能与方法，形成一个知识整块。 例如二次函数在给定区间上的值域（最值）是高考中的重点内容。它由二次函数在这个区间上的图象和性 质所确定。反映出开口方向、对称轴处的函数值、区间端点处的函数值以及单调性等知识内容之间的联 系。在开始接触此类问题时，给学生细致予以讲解，并归纳可能遇到的不同情形，然后给出这类题的总标 题：“二次函数在给定区间上的值域（最值）”。当第二次遇到此类问题时，从总标题就可以激活基本技 能与方法体系，自觉应用于求解问题之中。 再例如，在约束条件下求二元函数的值域（最值）是高考中考查最频繁的内容之一。这是一个内容丰富， 有着广阔实际背景，具有跨学科的知识体系。在教学中开始遇到时，应从降元法（从约束条件中解出一个 来，连同取值范围代入二元函数中，将二元函数化为一元函数）；三角换元法；不等式法等进行求解并归 纳总结。在此基础上给出总标题：“在约束条件下求二元函数的值域（最值）。”在第二次遇到时，从总 标题加以激活，使学生迅速明确问题的实质与类型，从问题背景中找寻约束条件，然后应用基本技能解 题，就会对这一问题有了整体理解和深刻认识，在以后解题中就更加自觉了。 使用两次以上叫做方法，关键是我们数学老师要善于总结，注意知识的前后联系，从数学题海中进行提 炼，找寻共同点，揭示本质联系，形成规律，从无序中找寻有序，丛杂乱无章中进行归类排队，形成智 慧。 数学教学中的智慧（10） 十．知识是骨架，例题是血肉 在数学教学中，既有知识教学，又有例题教学。知识是骨架，例题是血肉，二者密切结合，就会形成活生 生的知识体系，这是数学教学中的智慧之一。 下面看一个例子。 非均匀分组与均匀分组问题 例 1．6 名同学分成三组 （1）每组 1 人，2 人，3 人有多少种不同的分法？9时代百分特训陪读中心（2）每组 2 人，有多少种不同的分法？ 解（1） =60（种） 错解（2） =90（种） 为什么（1）中解法正确，（2）中同样解法是错误的？ 这是因为（1）是非均匀分组问题；（2）是均匀分组问题。 事实上，在均匀分组问题中，若用 a、b、c、d、e、f 分别表示 6 名同学，在下列分组中，出现重复： 中先抽 a,b; 中再抽 c,d; 中后抽 e,f; 中先抽 a,b; 中再抽 e,f； 中后抽 c,d; ?? 可以看出，在分组为 a,b.;c,d;e,f 的情形下，重复 种，其他情形类似。 例（2）中正确解答为： 一般地 ，将 n 个不同元素均匀分成 m 组，每组 ，分法种数为 在此例中，非均匀分组与均匀分组这一知识骨架（包括问题，解法），如果离开了例题这一血肉作为衬 托，就会成为说不清，不知所以然；如果只有例题，没有提炼知识，也就缺乏骨架，不成体系，无法形成 具体生动的活生生的知识体系。 所以，没有知识作为骨架解题就会无从下手，就会迷失方向；但没有例题作为载体，知识就失去了存在的 意义和价值，成为一具没有生命力的僵尸。作为教师，明确了这一点，就会在教学中不断地把知识和例题 有机结合起来，使数学课堂教学充满生命活 数学教学中的智慧（11） 十一.三步走策略 数学教学中经常出现这样的情况：高考中常考的重点题由于有难度，因此难以落实，学生考试时忘而生 畏，出现大面积空白。对于重点难题的落实，采取三步走的策略，是数学教学中的智慧之一。 例如求解含字母参数的一元二次不等式、分式不等式，由于需要分类讨论，难度很大，但这种题题型明 显，若能突破几道题，就可以消除学生心中的畏难情绪。我在最近的高三数学教学中，采取了三步走的策 略： 第一步：在单元测试中设置了一道含参数的分式不等式，让学生在测验中做； 第二步：备课组全体老师在单元测试讲评中给学生讲解； 第三步：以原题形式在 12 月月考中进行了考试。 虽然在 12 月月考中学生对此题答对的不足百分之二十，但大多数学生敢于动手做，较之以前有了很大进 步。在讲评中全校各班学生非常重视，经过多次反复，同学们终于把一道题做对了，理解了，对此类问题 也就不怕了。 数学题难做，数学也确实难学。学生对一个问题的理解和掌握要经过多次反复、心灵肉搏才能实现。平时 单元测试、月考应成为学生磨练的阵地，每次月考设置一道或两道典型题（但月考前不能给学生透露信 息），经过多次反复，使学生做熟，起到抛砖引玉的作用 数学教学中的智慧（12） 十二.顺藤摸瓜，扩大成果 在数学教学中，当我们在求解某一道题时，如果只停留在这一道题上，解过就忘了，它的价值就很小，没 有发挥出最大效益。如果我们能以此问题的求解为基础，顺藤摸瓜，向它的纵深延伸，就会获得更大的收 获。 顺藤摸瓜，扩大成果是数学教学中的智慧之一。10时代百分特训陪读中心看一个例子。高二数学课本（上）不等式一章中复习参考题中有一道题： m 是什么实数时，方程 x?+(m-3)x+m=0 的两个根都是正数？ 解：已知推出 Γ =(m-3)?-4m≥0 -(m-3)= &0 ② m= &0 ①②③ 解得 ③ 0&m≤1 ①抓住机遇，顺藤摸瓜，扩大成果。 问题 1.已知方程 x?+(m-3)x+m=0 有两个负根,求实数 m 的取值范围. 问题 2. 已知方程 x?+(m-3)x+m=0 有两个大于 2 的根, 求实数 m 的取值范围. 问题 3. 已知方程 x?+(m-3)x+m=0 有两个小于 2 的根, 求实数 m 的取值范围. 问题 4. 已知方程 x?+(m-3)x+m=0 的一个根大于 2,另一个根小于 2, 求实数 m 的取值范围. 这样就从一道题出发,深入到一元二次方程实根分布领域之中了。在这个过程中,既顺藤摸瓜,又充满着智慧, 使学生在不知不觉中进入到一个新的天地. 普遍联系的观点是辩证唯物主义的观点,是科学的认识论和方法论.作为数学教师,在教学中首先要做到心中 有数,不放过引申、推广、扩大成果的机遇，用挑战性的眼光和胆识来处理教材和问题，要做深入细致的研 究。对于一个数学问题，它与周围相关问题的联系是什么？共性是什么？核心问题是什么？进而使课本上 的知识、例题活起来，动起来，把数学教学一步一步地推向前进。 数学教学中的智慧（13） 十三.变更主元 数学教学中，特别是在函数、不等式内容中，经常出现求字母参数范围问题。常以关于 x 的一元二次方程 （不等式）、二次函数等形式出现，正面讨论常常要分几种情形研究，比较复杂。如果采取变更主元（把 字母参数作为主元），求解就容易多了。 变更主元是数学教学中的智慧之一。 例 1．若关于 x 的不等式 x?-4x-m≥0 对于任意 x∈(0,1)恒成立，求实数 m 的取值范围 解：由 x?-4x-m≥0 x∈(0,1)恒成立，得 m≤x?-4x，x∈(0,1)的最小值。 解得 m≤-3 回顾与反思：其中，求 f(x)= x?-4x，x∈(0,1)的最小值为二次函数在给定区间上的值域（最值），属于基 本技能。 例 2．设实数 a∈[-1,3],函数 f(x)=x?-(a+3)x+2a,当 f(x)&1 恒成立时，求实数 x 的取值范围 解：由已知得 x?-(a+3)x+2a-1&0，a∈[-1,3]恒成立 化为 g(a)=(2-x)a+x?-3x-1&0,a∈[-1,3]恒成立 由一次函数的性质可得 g(-1)=x?-2x-3&0 ① g(3)=x?-6x+5&0 ② ① ②取交集得 x 的范围是(-∞，-1)∪(5，+∞) 变更主元体现了从不同侧面观察、分析问题解决问题的辩证唯物主义观点。 数学教学中的智慧（14） 十四.以例题为机遇，推广到一般11时代百分特训陪读中心数学课本中有许多重要的例题和习题，它们以具体、简单的面目出现，但却隐含着许多重要的一般规律。 老师在讲解例题时，不轻易放过它们，而是以此为机遇，推广到一般当中，揭示出其实质性的东西。 以例题为机遇，推广到一般，这是数学教学中的智慧之一。 高一数学（上）课本中，指数函数部分有这样一个例题： 例 2．说明下列函数的图象与指数函数 y=2 的 x 次方的图象的关系，并画出它们的示意图 （1）y=2 的 x+1 次方； 图象； （2）将指数函数 y=2 的 x 次方的图象向右平行移动 2 个单位长度，就得到函数 y=2 的 x-2 次方的图象。 以此为机遇，加以推广： 一般地，函数 y=f(x+a)的图象是由 y=f(x)的图象向左平行移动 a 个单位长度而得到的；函数 y=f(x-a)的图 象是由函数 y=f(x)的图象向右平行移动 a 个单位而得到的。 随即给出跟踪练习，加以巩固。一个激动人心的智慧就形成了。 高一数学课本（上）指数函数部分研究指数函数图象时，指出 y=2 的-x 次方的图象与 y=2 的 x 次方的图象 关于 y 轴对称。 推广到一般：函数 y=f(-x)的图象与 y=f(x)的图象关于 y 轴对称。 例 3．高一课本（上）函数部分有一道例题： 函数 y=|x|的图象 可及时推广到 y=|x-a|的图象 又可及时推广到 y=f(|x|)的图象关于 y 轴对称 更一般地，可以推广到 y=f(|x-a|)的图象关于直线 x=a 对称。这些都是高考中命题最频繁的部位。 等等。 新课程提出了课程资源的概念。课程资源包括教材、教师和学生。而教师是课程资源的核心和灵魂。教师 的作用决定课程资源的开发并实现其教学价值。 如果能在教材学习中紧紧抓住机遇，不失时机地加以推广，不仅使学生深刻理解教材的价值和编写意图， 而且可以使数学课堂教学处处放射出智慧的光芒，使学生热爱教材，挖掘教材，体会教材，不断增加新的 体会，在不知不觉中提高数学的素养。 数学教学中的智慧（15） 十五.独立解题是根本，老师指导是关键 个案回放： 梁玲，高三补习班学生。在应届高三学习时，上课老师讲的都能听懂，但由于缺乏独立解题，在考试 中见了题似是而非，难于做出准确判断，好象会做，但又不知从何下手动笔去写。高考成绩离二本线相差 1 50 多分而落榜。 诊断： 与梁玲情况相似的同学为数不少。在我们相当一些学校的教学活动中，老师包揽一切，从课堂到自习辅 导，从课内到课外，老师几乎是一讲到底。特别是高三复课教学中，题量大，内容多，老师只得不停地 讲，占用了学生大量的自主学习时间，剥夺了学生独立发展的空间。加上各科考试、检测纷至沓来，学生 处于忙于奔命，穷于应付的状态之中。作业无法完成，许多学生只得靠抄袭作业应付老师检查。其结果是 造成学生听老师讲的多，自己独立做的少。题目是老师讲了，不是学生自己做了。造成当时听懂了，过后 （2） y=2 的 x-2 次方 得出结果（1）将指数函数 y=2 的 x 次方的图象向左平行移动 1 个单位长度，就得到函数 y=2 的 x+1 次方的12时代百分特训陪读中心没印象，自己做时仍然不会，不知从何下手。学生独立解题能力下降是造成教学质量下降的重要原因之 一。 让学生明确独立解题是根本，老师指导是关键是数学教学中的智慧之一。 那么，怎样才能提高学生的独立解题能力呢？ 1． 正确认识解题的内涵。 什么是解题？所谓解题是自己解了的时候，才叫做解题。 2． 独立解题是根本。 就解题而言，坚持独立解题是提高解题能力，取得高考优异成绩的根本所在。这是因为：（1）高考试题在 不断创新，对能力要求高，考场是学生独立做题。因此，只有坚持独立解题，才能在高考中立于不败之 地。（2）只有在独立解题实践中才能积累经验，增长才干。高考重点考查学生对基础知识掌握的程度，对 基本技能熟练的程度，同时考查学生应用所学知识分析问题、解决问题的能力。而这一切，都必须在独立 解题实践中才能实现。（3）提高独立解题能力是学生终身发展的需要。高考只是人生重要的一步，进入大 学与未进入大学今后的路都很长。终身学习与发展都离不开独立解题能力。因此，在中学阶段养成独立分 析解决问题的能力对一生发展与取得成就都有重要意义。 3． 提高独立解题能力的有效途径。 （1）重视课本基础知识。基础知识是解题力量的源泉。对课本上的概念、法则、公式、定理、例题、习题 等应反复熟练掌握，该记的要记，该背的要背，应提倡有意识记，避免熟视无睹，达到呼之欲出的程度。 （2）坚持用基础知识指导解题。基础知识为解题提供了思路和方向，在解题时，把题中信息与基础知识相 联系。如果基础知识熟练，思维回路就畅通。遇到读不懂的问题时，就回到课本基础知识当中，看看相关 基础知识有无缺陷，然后继续读题，从基础知识中寻求打通思维回路的金钥匙。 （3）通过解题熟练掌握基础知识。解完一道题，及时进行反思。从基础知识进行回顾、总结，加深理解， 提炼知识网络交汇点。平时解了一道题，如果通过它熟练了基础知识和基本技能，积累了新的知识网络交 汇点，对今后解题提供了经验，所做的题就有较大价值。如果对于做过的题没有反思，做题就没有多大意 义，因为高考中遇到同样题的机会几乎为零。如果重视不断反思与积累，基础知识就会雄厚，独立解题能 力就会得到很大程度提高，就会以充满自信的心态走向高考考场，夺取优异成绩。 4．老师指导是关键。 坚持学生独立解题的观点，并不是说老师的指导不重要。在学习中，老师的指导作用与学生独立解题相辅 相成，相得益彰。二者是和谐的统一。 老师是学生学习的坚强后盾和领路人。因为有老师在身边，所以学 生学习无后顾之忧，能够放开手脚大胆实施独立解题，有困难和疑点时可以和老师商量，得到老师的帮 助，从而加快知识形成与反馈的步伐。同时，学生做了一份题，考了一次试以后，经过老师分析讲评，认 识就会有很大提高。因为老师经常把一道题看成一类题，集中同学当中各种不同思路，通过集思广益，资 源共享，使学生受益匪浅。通过老师指导，可以加快学生知识体系形成和能力发展的进程。因此，老师的 指导在提高学生高考成绩上起着关键作用。 所以，在高三复课过程中，学生一方面要坚持独立解题，提高分析问题解决问题的能力；另一方面，遇到 疑难问题时要多与老师联系，充分发挥课堂教学这个主渠道作用，和老师团结协作，共同度过高三这段人 生历程中最关键、最艰辛、最激动人心的岁月。 题海茫茫，我们无法穷尽它；高考是一个难解的未知数，我们无法预料它。但我们坚信：只有那些通过我 们用心血和汗水解出来的题目才是最有价值的，因为它曾经伴随着我们在拼搏中成长的岁月，给我们带来 无数次苦辣酸甜情感体验，深深地植根于我们的心中，具有无法比拟的生命力。 数学教学中的智慧（16）13时代百分特训陪读中心十六.没有复杂,何谓简单? 在数学解题教学中,常常会出现这种情况：对于一道数学题,当用一种方法求解时,表面上看思路很自然,但 实施起来却很难。当我们用另一种方法求解时,实施起来却很简单.这时候,正确处理复杂与简单的辨证关系, 即先经历复杂,再体验简单,就会揭示出数学的简单美感。 没有复杂,何谓简单?从复杂中体验简单,这是数学教学中的智慧之一。 例：已知抛物线的方程为 y?=4x，过焦点 F 的直线交抛物线于 A、B 两点，若|AB|=8，O 为坐标原点，试求 Γ OAB 的重心 G 的横坐标 先由学生自己做（采取作业、单元测试、课外习题等形式）。 学生一般采取先设出直线 y=k(x-1)，利用方程组消元后，由|AB|=8 及弦长公式待定斜率 k，求出 A、B 两点 的横坐标，再求Γ OAB 的重心 G 的横坐标。学生在用上述思路求解时，觉得很复杂，运算难度大。 当学生经历了复杂以后，就会产生渴望简单的需求。 老师再从抛物线焦半径公式|PF|=x+p/2 角度给予点拨。 解：设 A(x ，y )，B(x(2),y(2)) 8=|AB|=|AF|+|BF|=(x +1)+(x(2)+1)得到 x +x(2)=6 得到Γ OAB 的重心 G 的横坐标 x=(x +x(2)+0)/3=6/3=2 在复杂与简单的关系问题上，只有经历了复杂，才能体验简单中的智慧。如果没有经历复杂，不把复杂与 简单加以对比，就不会有简单的感受。如果只给学生讲授经过筛选后的简单思路和方法，就会失去智慧的 提炼，只能算做技巧。 数学教学中的智慧（17） 十七.正确对待思维受挫 在解数学题时，常会遇到挫折。在挫折面前，一种态度是产生畏难情绪，望而却步，自我宣布失败，致使 解题中途夭折；另一种态度是遇到挫折时，回过头来重新审视，看问题的已知与求解信息要求，调整思 路，使思维回路重新接通，这是正确的态度。 正确对待思维受挫是数学教学中的智慧之一。 例：已知动点 P(x,y),满足等式 10√(x-1)?+(y-2)?=|3x+4y|，则点 P 的轨迹是（ A． 椭圆；B.双曲线；C.抛物线；D.两条相交直线 此题一开始的思路是化简，把方程求出来，但右边出现 xy 交叉项，致使思维受挫。重新审题：题中并未要 求把方程求出来，只需判断轨迹类型即可。仔细观察方程左边具有两点间距离形式，这就启示我们从圆锥 曲线第二定义入手来考虑。 由点到直线距离公式的形式，将所给方程改写为 √(x-1)?+(y-2)?/(|3x+4y|/5)=1/2 得 P(x,y)到定点 A(1,2)的距离与它到定直线 3x+4y=0 的距离之比为定值 1/2∈(0,1),由椭圆第二定义知，P 点轨迹是椭圆，故选 A 此例说明，当一个数学问题展现在我们面前时，我们对它的问题背景感知是不同的。有些背景清晰的展现 在我们面前，有些背景被暂时掩盖着，一时表现出模糊状态，对解题思路形成障碍。在这种情况下，如果 我们不轻言放弃，重新审题就会有新发现，使被掩盖的背景（几何意义、距离等）清晰地展示在我们面 前，形成新的解题思路。这就是说，成功，源于契而不舍的坚守。 数学教学中的智慧（18） 十八.准确是前提,速度靠积累 ）14时代百分特训陪读中心个案回放： 彭蕾，在高二以前一直是年级学习尖子。但进入高三以来，月考中解题速度慢，做不完，成绩出现下滑。 后来，她在考试中采取加快速度的办法，但却出现差错多，失误多，基础题失分的情况，反而使月考成绩 出现更大的下滑趋势。父母和老师对此非常着急，她自己更是焦虑不安，害怕考试，不愿看那令人心酸的 分数排名表。 诊断: 彭蕾同学面临的问题是一个带有普遍性的问题。高考不同于学校组织的阶段性期中期末考试，它具有选拔 人才的功能，因此知识综合和能力要求都很高。到了高三，月考试题已靠近高考模拟题，具有实战性要 求。在此种情况下，一些平时靠死记硬背学习的同学就会感觉不适应，出现解题准确性与速度之间的矛 盾，致使学习受阻。 那么，怎样才能尽快适应高三学习，及早进入高考复课角色，防止成绩出现滑坡，以稳定发展的学习成绩 和坚实心态投入学习和高考之中呢？ 1． 准确是前提。 我们知道，在考试中答对一道题可得满分。答错一道题就是零分，劳而无功且耽误时间，出现隐含丢分， 损失很大。要做到准确，（1）是审题要细，在考试中坚持读三遍题，先在草稿纸上从已知信息、结论信 息、图形信息等揭示出已知与求解的联系，形成解题计划，然后在卷面上予以实施。有些同学在考试中不 注意审题，漏洞百出；有些同学在考试中一开始就在卷面上写，导致试卷乱糟糟地，差错率很高，影响成 绩。（2）是不断减少失误。每次考试后，进行认真反思，应得多少分，实得多少分，相差多少，失误在什 么地方，如何使失误逐步趋向于零，等等。 2． 速度靠积累。 关于速度，不能心急。（1）是采取递进式，就是在每次考试中，在保证准确的前提下，逐步增加解题个 数，这样就会在高考中实现准确与速度的统一。（2）是在平时解题与考试中不断积累。积累基础知识体 系，其中包括基本问题体系与思想方法体系。每解完一道题，都应回头反思，形成完整印象，总结出简缩 性语言，以便在遇到同类型问题时，与以往解题经验相联系，达到提高解题速度的目的。 3． 化生题为熟题。 生题，是我们未曾解过的题。在解题过程中，经常遇到生题，这是学习不断深入和进步的需要。实际上， 熟题是我们曾经解过的生题。所以，在学习和考试中遇到生题是正常的，关键是我们如何正确对待它。有 些同学喜欢做熟题，见了生题就怕，就躲避，这是错误的态度。只有我们敢于正视生题，勇敢地去解决 它，就会把生题化为熟题，实现新的积累，达到提高准确性与速度的目的。即使在开始接触并解决生题的 过程中用了较长时间也是值得的，因为我们通过解决生题得到的收获比解较多熟题得到的收获要多得多。 我们的学习历程就是在不断解决新问题中进步的。 4． 正视困难。 在我们人生的历程中，常会遇到困难，这是正常的。同学们在学习中遇到困难，这是学习进步的需要。对 于困难有两种态度，一种是消极态度，就是不愿接受困难，不去努力克服困难，而是害怕困难，总想回避 困难。这种态度常会在遇到困难时因缺乏心理准备而束手无策，导致心理障碍的加剧。这些同学面对一道 难题，就容易出现自我宣布失败。这样以来，既谈不上准确，也谈不上速度，难以实现超越。另一种态度 是积极态度，就是勇敢地正视困难，克服困难，在克服困难中实现超越，超越自己，超越别人。所以说， 困难是机遇，困难是挑战，困难是超越，人生成功的道路是由不断克服困难而铺就的。翻过了那道山，就 会发现一片广阔的新天地，这就是人生的新境界。这些同学遇到困难时思想解放，不受框框限制，敢想敢 试敢探索，大胆动脑思考，动手分析演算，一计不成，又生一计，在不断克服困难中提高了解题的准确性15时代百分特训陪读中心与速度。困难成了这些同学超越的良好机遇。让我们感谢遇到的每一个困难，它使我们提前了解并克服了 自己的弱点，增强了自己的竞争力量。 高三时间紧，高考给我们的人生提供了强大的动力。在有限的学习时间里，抓住了准确与速度这个根本环 节，实现二者的和谐发展与统一，就可以充满自信地夺取高考优异成绩。 准确是前提,速度靠积累是数学教学中的智慧之一. 数学教学中的智慧（19） 十九.归类 在数学教学中，把习题的共同特征揭示出来，进行归类，便于学生形成完整的题型体系，构建起知识网 络。 归类，是数学教学中的智慧之一。 例：函数 y=f(x)的图象关于直线 x=a 对称定理及应用。 定理：函数 y=f(x)的图象关于直线 x=a 对称的充要条件是，函数 y=f(x)对于定义域内的任意 x 都有 f(a-x) =f（a+x） 应用： 例 1.已知定义在实数集 R 上的函数 f(x)满足 f(2+x)=f(2-x),若方程 f(x)=0 有且仅有三个根,并且已知 x=0 是方程的一个根,求方程的另外两个根. 解:由已知得，函数 y=f(x)的图象关于直线 x=2 对称，因为 x=0 是一个根，所以 x=4 是另一个根。由于方程 f(x)=0 有且仅有三个根,则第三个根只能是 2 例 2．已知函数 y=f(x)的图象对一切实数 x 满足 f(1-x)=f(1+x), 并且当 x≤1 时，f(x)=x?+1，那么当 x&1 时，f(x)= 解：由已知得，函数 y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称，因此，当 x&1 时， f(x)=(x-2)?+1 例 3．已知函数 y=f(x)对一切实数 x 满足 f(x)=f(4-x)，若 f(x)=0 恰有六个根，则这六个根之和为 解：已知得，函数 y=f(x)的图象关于直线 x=2 对称，若 2-a 是 f(x)=0 的一个根，则 2+a 也是 f(x)=0 的一 个根，所以 f(x)=0 的六个根之和为 (2-a)+(2+a)+(2-b)+(2+b)+(2-c)+(2+c)=12 例 4．已知函数 f(x)的最小正周期是 8，且等式 f(4-x)=f(4+x)对一切实数 x 成立，试判断函数 f(x)的奇偶 性。 解：由 f(4-x)=f(4+x)对一切实数 x 成立得 f(x)= f(8-x)进而得 f(-x)= f(8+x)= f(x) 所以 f(x)是偶函数 例 5．已知函数 f(2x+1) 是偶函数，则函数 f(2x)的图象的对称轴是 解：由 f(2x+1) 是偶函数得 f(-2 x+1)=f(2x+1) f[2(1/2 -x)]=f[2(1/2 +x )] 函数 f(2x)的图象的对称轴是 1/2 例 6．如果函数 f(x)=x?+bx+c 对任意实数 t 都有 f(2+t)=f（2-t），那么 A． f(2)&f(1)&f(4)； B.f(1)&f(2)&f(4)； D.f(4)&f(2)&f(1) C．f(2)&f(4)&f(1)； (或 f(2a-x)=f(x))解:由已知有,函数 f(x)的图象的对称轴是 x=2,作图知, f(2)&f(1)&f(4),故选 A16时代百分特训陪读中心将数学习题按照共同特征加以归类,体现出数学知识中的核心概念的思想. 数学教学中的智慧（20） 二十.找寻抽象中的具体原型 数学具有高度的抽象性，因而具有更加广泛的应用性。 在数学教学中，经常遇到抽象问题，难以理解。在这种情形下，若能找寻它的具体问题背景和原型， 就会加速对抽象问题理解的步伐，利用具体原型的性质明确抽象问题的解题方向，使解题思路明晰起来。 找寻抽象中的具体原型是数学教学中的智慧之一。 举一个抽象函数问题的例子。 例：设函数 f(x)是定义在 R 上的函数，对任意 m，n，都有 f(m)·f(n)=f(m+n),且当 x&0 时,f(x)&1 ① 证明：f(0)=1 ② 当 x&0 时，0&f(x)&1 ③ 判断并证明 f(x)的单调性 分析：这是抽象函数问题，是高考中的重点内容之一。它不象具体函数那样有具体背景容易感知、理解并 形成解题思路，因而使学生望而生畏，难以下手。如果从运算关系特征来看，与指数函数运算中同底数幂 相乘，指数相加类似。因而它的原型是指数函数型。又由当 x&0 时,f(x)&1 知，它是指数函数当底 a∈(0,1) 型。当有了原型以后，抽象问题就有了具体背景，它的性质特征和解题方向就明确了。 具体求解如下： ① 证明：由 f(0)=f(0+0)=f(0)·f(0) (1) 若 f(0)=0，则对任意 x ，有 f(x)=f(x +0)= f(x) ·f(0)=0，这与当 x&0 时,f(x)&1 矛盾。所以，f(0)≠0, 代入（1）得 f(0)=1（这与指数函数经过（0，1）点相呼应） ② 解：当 x&0 时，- x&0，f(-x)&1 （2） 1=f(0)=f(x-x)=f(x)·f(-x) （3） （2）（3）得 x&0 时，0&f(x)&1 ③ 由原型知，f(x)是 R 上的单调递减函数 证明：设 x1 ，x2 ∈R，且 x1&x2， f(x2)=f[x1+(x2-x1)]=f(x1)·f(x2-x1) （4） 由 x2-x1& 0 及已知得 0&f(x2-x1) &1 （5） 把（5）代入（4）知 f(x2) & f(x1) 所以 f(x)是 R 上的单调递减函数 关于抽象函数除了指数函数以外，还有线性函数原型，对数函数原型，幂函数原型，三角函数原型。 在抽象问题中，当找寻到它的原型后，抽象问题就有了具体背景作为依托，解题方向就明确了。 数学教学中的智慧（21） 二十一.创造和谐的课堂 课堂教学活动，是学校教学活动中的主渠道。课堂教学活动的质量决定着学生的学习质量。 创造和谐的课堂是数学教学中的智慧之一. 下面谈谈自己对创造和谐课堂教学的看法。 一 坚持以人为本，关注学生的情感体验，实现师生之间、学生之间、教学内容的难易之间的和谐，使 课堂成为教学思想萌发的源泉。 课堂活动的主体对象是学生，以人为本实质上是以学生为本。在课堂教学活动中，教师应当心中有学生， 对问题的分析与讲述应考虑学生的情感体验。对于问题的结论，教师要把重心放在知识的形成过程上来，17时代百分特训陪读中心让学生从已有的生活经验与知识基础感知基本概念的发生过程，要给学生留出思考的时间和空间。要让学 生知道，自己通过思考把问题搞懂了，而不是教师强加给自己 的知识。 在课堂教学活动中，教师应尽量把复杂问题分成若干个简单问题。引导学生讨论，让学生参与学习活动 ， 力争让更多学生有发言机会。教师要认真听取学生的发言，让学生觉得自己在和老师平等的讨论问题 ，老 师在关注着自己，师生之间是和谐相处的关系。 在安排教学内容时，教师要兼顾不同学生的情感需求和体验。复杂一点的问题，由优秀生回答，简单一点 的问题，由学习困难的学生回答。对于重要基础知识和基本技能，教师不要性急，给全体学生留有理解掌 握的时间和空间。从课本上基本内容出发，由浅入深，逐步拓宽加深。要让学生明确知识的来龙去脉，课 本上是怎样叙述的，基本概念的内涵和外延是什么？等等。使课堂教学这个教学的主体实践场所成为“让 学生在学会中会学”、“只有在独立解题实践中才能不断积累经验，增长才干”、“基础知识是解题力量 的源泉”、“当学生在掌握知识中能够获得长久情感体验并实现心理满足，就会感受到学习的幸福和欢 乐”等等教学思想萌发的源泉 。 二 为学生营造创新的和谐条件，分享学生成功的喜悦。 课堂教学活动由师生共同建构而成，是师生共同成长的活的具体生动的统一体。在课堂教学活动中，老师 不仅要善于讲解，更要善于倾听。学生不仅是知识的接受者，而且是知识的创新者和延伸者。 在课堂教学活动中，教师要关注学生的感受，把创新的机会留给学生。在知识结论形成的最后阶段，老师 要不动声色，让学生来说，来发现。老师面带微笑地倾听学生的发言，鼓励学生发表各自的不同见解。让 学生从老师的眼神、微笑、语言和手势中感受到和谐、信任和鼓励。 在课堂教学活动中，老师有时侯也有被难住的情况，这是正常的。因为对于一个问题的认识，常会经历感 知、理解、深化的过程。这一过程伴随着由复杂到简单，由模糊到清晰的艰难历程，没有克服艰难险阻就 没有进步和超越。在这种时候，老师要以谦虚的品格和学生商量，看学生中有没有好的办法与思路，也可 以留给学生思考，老师自己也不放弃研究。当学生中有了独到见解时，老师首先让学生来讲解，来表达， 并给予热情鼓励，老师则作为学生成功喜悦分享者的角色。老师在向外班学生介绍这一思路时，要注意知 识产权保护，声明此清晰、简练的解题思路来自于某某同学，大家要向他（她）学习。 三 关注各科学习，减少课业负担，使学生保持旺盛的求知欲望，让各科之间和谐良性发展，为学生终身发 展奠定所必须知识基础。 教师的工作既体现教师的个体劳动，又更具团结协作的整体性质。由于目前我国中小学评价体系中过分强 调教师的个体成绩，容易造成一些教师只关注自身所任课程的考试分数，忽略其他学科及学生的均衡发 展。例如大量占用学生自习时间讲题，给学生施加压力，布置超量作业，与其他学科争时间，等等。造成 部分学生的严重偏科，致使一些学科滞后，拖腿，给学生造成损失。 学习具有双重性，教师的主观愿望和努力程度以及能力水平在课堂教学中有较大的作用。但学生的学习热 情和参与意识也不可低估。课堂教学内容的容量、难易程度要与学生的整体实际相和谐，要让学生能学 懂，因为只有在学会中才能会学。如果给学生留有思考的余地，学生就会保持旺盛的求知欲望，也就是始 终有一种饥饿感，而不是吃的多，难消化，出现厌学等不和谐的情况。 四 教师的人格力量是创造和谐课堂的根本条件。 首先，教师的喜 怒哀乐直接影响着课堂教学的和谐程度。有些教师干着教师职业看着其他行业，总觉得当 教师不好，心情悲观，带着这种情绪走向课堂，既缺乏热情又没有激情，课堂气氛沉闷，学生盼着下课。 有些老师把自己对教师职业的不满情绪在课堂上向学生发牢骚，影响学生的学习情绪。有些老师在课堂上 用很长时间说与教学无关的话，浪费学生的宝贵时间。有些老师在课堂上因个别学生违犯课堂纪律就怒不 可遏，向全班学生发火、停课，等等。这些都造成课堂教学的不和谐，影响教学质量的提高。18时代百分特训陪读中心其次，教师的人格力量，是和谐课堂的根本条件。教师的人格力量包括乐观、开朗、热情、信任和鼓励。 当教师充满自信面带微笑走上讲台时，“同学们好。”“老师好。”的互致问候就显得是那样真诚、实 在，形成热烈、渴望与和谐的课堂气氛。一个热爱教育事业，情系学生的老师就会把讲坛视作圣坛，不容 任何灰尘去坫污。当老师处于和谐的课堂之中时，常会激情不断，才华横溢，灵感突现。和谐课堂为教师 展示才能和学术水平、创造辉煌人生提供了坚强的阵地，许多好的思想和见解是在课堂上发源的。人们常 说的借景生情就是这个道理。学生积极参与学习活动，认真听讲，在激情处师生开怀大笑，都为教师热爱 讲坛创造了难以忘怀的人生轨迹。当偶有个别学生迟到、看课外书、小声说话等违纪现象，教师一个示意 性的眼神，一句幽默的一语双关的话都在和谐的气氛下悄然进行。 五、民主、平等是和谐课堂的重要表现形式。 和谐课堂是充满民主的课堂，是活课堂，是动态的课堂。目前，在一些老师的课堂中，老师一讲到底，满 堂灌，独角戏的现象依然存在着。少数老师不管学生懂了还是没懂，自顾自往下讲。当学生提出疑问时， 被老师视做故意捣乱、违犯课堂纪律等来处理，严重挫伤了学生的学习积极性。一个老师，不论他（她） 的教学水平有多高，课讲的多么好，离开了对学生感受的了解 ，离开了学生的积极参与，都只能是老师的 一相情愿或是主观愿望与教学实际的脱离。 一个具有民主意识的教师，在课堂上不仅研究自己怎样把问题讲清楚，而且注意听取学生的观点和见解， 把教与学密切联系起来。在课堂上给学生留有说的时间和空间，宁可老师少说些，都要让学生动手、动 口。只有师生处于互相平等的地位，学生才能放开的想，大胆地说。教师应允许学生发表错误见解，实际 上，正确来源于对错误的分析与比较，错误孕育着正确。只有让学生把错误见解表达出来，老师才能把握 学生学习的脉搏。有些老师发现学生有错误见解时，就讽刺、挖苦，使学生不敢讲话，这是不对的。 总之，和谐课堂是笑声琅琅的课堂，他以学生学会学习为追求，以学生终身发展为境界，成为每一个人终 身美好记忆的巨大源泉。教师创造了和谐课堂，就为学生保持了一个充满着赞赏和尊重的学习环境，使学 生能够主动、乐观、开朗、活泼、友善的发展。 干巴巴的数学 静悄悄地流 干巴巴的老树皮，在书画家眼里是夺人魂魄的美丽；干巴巴的黄土地，在感悟生活、异地重归人的眼里是 透着泪花的美丽，那是他灵魂的栖息地。 一个红苹果、一朵白玫瑰、一块蓝宝石，在数学家眼里无非是干巴巴的数字“1”，正是它，构成了澎湃的 数的海洋；一个干巴巴的字母，让数学充满了活力；?? ——正是这干巴巴的数学，造就了那么多的经济学家，实现了人类财富之梦； ——正是这干巴巴的数学，天文学家便能在笔头上遥望太空； ——正是这干巴巴的数学，点燃了画家艺术的灵光； ——正是这干巴巴的数学，生物学家解开了生命之谜； ——正是这干巴巴的数学，清晰地阐明了自然界的和谐； ——正是这干巴巴的数学，让世界变得不再遥不可及； ——正是这干巴巴的数学，显示着它的“美丽魅力”。 哦，让这干巴巴的美丽，流过宇宙，再流回人们心里，流淌回旋的是数学研究精神！ 数学教学中的智慧（22） 二十二.逆推 在数学教学中，经常遇到探索性问题，若从正面考虑，不易找寻解题思路，如果从反面进行逆推，就会把 探索性问题化为确定性问题，然后给予验证，解题思路就会明晰起来。19时代百分特训陪读中心例：在双曲线 3x?-y?=1 上能否找到两点 A、B，使 A、B 两点关于直线 y=（1/2）x 对称？若能找到，求出 A B 的方程，若找不到，说明理由。 分析：这是一个存在性探索性问题，采取逆推法，假设存在直线 AB，这样就把探索性问题化成直接求解并 验证的问题了。 解：假设存在 A、B 满足条件，则直线 AB 的方程为 y=-2x+b，代入 3x?-y?=1 消去 y 化简得 x?-4bx+b?+1=0 △=16b?-4(b?+1)&0 得 b?&1/3 ① 由 AB 中点 M(2b,-3b)在直线 y=（1/2）x 上得 -3b=（1/2）b 得 b =0 不满足① ，所以所求直线 AB 不存在。 逆推是数学教学中的智慧之一。 数学教学中的智慧（23） 二十三.题不在难 张博是我教的 2004 届高三学生。 在进入高三后的第二次月考中，我发现张博的数学成绩出现严重下滑，就和他谈心，了解情况。原来，进 入高三以后，他的父母对他的期望值很高，父亲给他买了一本数学难题解答，想在短期内提高他的数学成 绩。但他发现自己越看难题越没信心，看过后遇到题越不会做了，他感到很苦恼，并征求我的意见。 我深知数学学习中独立思考的重要性。就通过以往学生的学习经验和事例向他分析题不在难，关键是要独 立思考，要坚持自己把一道题做完的思想。我说，什么是解题？只有当自己解了的时候，才叫做解题，看 题解不利于学习经验的积累和学习成绩的提高。建议他停止看题解的做法，把学习重心放到课本基础知识 和中档题上来。 在 2004 年高考中，张博数学考了 138 分，上了重点大学。 题不在难是数学教学中的智慧之一。 数学教学中的智慧（24） 二十四.以退为进 在解数学题时，问题常常以一般形式给出来，不易发现问题背景的意图，这时若能退到最简单的情形， 就容易揭示出问题的实质。 例：如果甲的身高数或体重数至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙；在 100 个小伙子中，如果某人不亚于 其他 99 人，就称他为棒小伙子。那么，100 个小伙子中的棒小伙子最多可能有 A． 1 个； B. 2 个; C .3 个; D.100 个 (1998 年全国高中数学联赛试题) 分析:先退到两个小伙子的情形,如果 甲的身高数&乙的身高数，且 乙的体重数&甲的体重数 可知棒小伙子最多有 2 人。 再考虑三个小伙子的情形，如果 甲的身高数&乙的身高数&丙的身高数，且 丙的体重数&乙的体重数&甲的体重数 可知棒小伙子最多有 3 人。 这时就会体会出小伙子中的豆芽菜与胖墩现象。 （ ）20时代百分特训陪读中心由此可以设想，当有 100 个小伙子时，设每个小伙子为 Ai，(i=1,2,······,100),其身高数为 xi，体 重数为 yi，当 y100&y99&······&yi&yi-1&······&y1 且 x1&x2&······&xi&xi+1&······&x100 时， 由身高看，Ai 不亚于 Ai+1,Ai+2,······，A100； 由体重看，Ai 不亚于 Ai-1，Ai-2，······，A1 所以，Ai 不亚于其他 99 人(i=1,2,······,100) 所以，Ai 为棒小伙子(i=1,2,······,100) 因此，100 个小伙子中的棒小伙子最多可能有 100 个 从此例看出，有了开始的退，就会有后来的进。 以退为进是数学教学中的智慧之一。 数学教学中的智慧（25） 二十五.由局部到整体 在解数学问题时,有时候问题较大,不易求解。若采取由局部到整体来解决，就容易求解。 例：将一个四棱锥的四个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色。如果只有 5 种颜色可供使用， 那么不同的染色方法种数是多少？ 解：如图，四棱锥 S-ABCD 的顶点染色互不相同。先考虑局部 S，A，B 的染法，则 S 有 5 种不同染法，A 有 4 种不同染法，B 有 3 种不同染法，因此有 5×4×3=60 种不同染法。 当 S，A，B 已染好时，假定其颜色分别为 红、黄、蓝 ，另两种颜色为黑、紫 当 C 染黄时，D 可染蓝、黑之一 ， 有 3 种 不同 染法； 当 C 染紫时，D 可染蓝、黑之一 ，有 2 种 不同染法 ； B D 当 C 染黑时，D 可染蓝、紫之一，有 2 种不同染法。 于是在 S，A，B 染好的条件下，C，D 还有 3+2+2=7 种不同的染法。 因此共有 60 ×7=420 种不同的染法。 由局部到整体是数学教学中的智慧之一。 数学教学中的智慧（26） 二十六.介绍数学应用实例 数学广泛应用于生产、生活、科技实践之中。在数学教学中，如果经常向学生介绍数学知识应用的实例， 就会激发学生的学习热情和兴趣。 例：要用一张铁皮卷成一个底面直径为 1 的直角圆柱体烟筒，沿着怎样的曲线裁下，才能使直角接口处恰 好密封？ 让学生取一张纸，剪成宽度为π （取 3.14）的矩形，作出函数 y=sinx,x∈[0,π ]的图象，沿图象裁下，将 所得两张卷成圆柱体，，相接成直角，接口处恰好密封。 当学生从亲自制作的模型中体会到所学的知识有用时，他（她）们就会产生一种无法比拟的求知欲望，以 极大的热情投入到学习和探索之中。 A C ， S 。21时代百分特训陪读中心介绍数学应用实例是数学教学中的智慧之一。 数学教学中的智慧（27） 二十七.从不同角度审视 在数学解题教学中，对于一道题，当我们从不同角度审视时，就会有不同的解题思路，揭示出不同的知 识背景。 例：已知函数 f(x)=sin2x+acos2x 的图象关于直线 x=-π /8 对称，则 a 的值为 A．√2； B.-√2； C.-1； D.1 思路一.：从三角函数内部角度审视，函数 y=sinx 的图象在 y=±1 处有对称轴 x=kл +(л /2),(k∈Z),可得 解法一:f(x)=√1+a sin(2x+α ),其中 tanα =a,因为函数 f(x)的图象关于直线 x=-π /8 对称,所以 sin[2(л /8)+α ]=±1 （-л /4）+α =kπ +(π /2) (k∈Z), a=tanα =-1,故选 C 思路二：从一般函数的对称轴定理角度审视，有函数 y=f(x)的图象关于直线 x=a 对称的充要条件是 f(a-x) =f(a+x)(f（2a-x)=f(x)),可得 解法二：已知函数 f(x)