已知{an}是已知an为等差数列列，其前n项的和为Sn，{bn}是等比数列，且a1=b1=1，a3+b3=12

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2018-06-20 17:01 标签： 已知an为等差数列
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已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn，{bn}是等比数列，且a1=b1=2，a4+b4=27，S4-b4=10．（Ⅰ）求数列{an}与{bn}的通项公式；（Ⅱ）记Tn=anb1+an-1b2+an-2b3+…+a1bn，求Tn．
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（Ⅰ）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，由a1=b1=2，得a4=2+3d，b4=2q3，s4=8+6d，由条件a4+b4=27，s4-b4=10，得方程组3＝278+6d-2q3＝10，解得，故an=3n-1，bn=2n，n∈N*．（Ⅱ）方法一，由（Ⅰ）得，Tn=2an+22an-1+23an-2+…+2na1；&& ①；2Tn=22an+23an-1+…+2na2+2n+1a1；&&&& ②；由②-①得，Tn=-2（3n-1）+3×22+3×23+…+3×2n+2n+2=n-1)1-2+2n+2-6n+2=10×2n-6n-10．（n∈N*）．方法二：数学归纳法，③当n=1时，T1+12=a1b1+12=16，-2a1+10b1=16，故等式成立，④假设当n=k时等式成立，即Tk+12=-2ak+10bk，则当n=k+1时有，Tk+1=ak+1b1+akb2+ak-1b3+…+a1bk+1=ak+1b1+q（akb1+ak-1b2+…+a1bk）=ak+1b1+qTk=ak+1b1+q（-2ak+10bk-12）=2ak+1-4（ak+1-3）+10bk+1-24=-2ak+1+10bk+1-12．即Tk+1+12=-2ak+1+10bk+1，因此n=k+1时等式成立．③④对任意的n∈N*，Tn+12=-2an+10bn成立．∴Tn=-2an+10bn-12=10×2n-6n-10．（n∈N*）．
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（Ⅰ）直接设出首项和公差，根据条件求出首项和公差，即可求出通项．（Ⅱ）法一：借助于错位相减求和；法二：用数学归纳法求解．
本题考点：
等差数列与等比数列的综合；数列的求和．
考点点评：
本题主要考察等差数列和等比数列的综合问题．解决这类问题的关键在于熟练掌握基础知识，基本方法．并考察计算能力．
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Copyright (C) 2018 Baidu已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn，{bn}是等比数列，且a1=b1=2，a4+b4=27，S4-b4=10．（Ⅰ）求数列{an}_百度知道
已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn，{bn}是等比数列，且a1=b1=2，a4+b4=27，S4-b4=10．（Ⅰ）求数列{an}
已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn，{bn}是等比数列，且a1=b1=2，a4+b4=27，S4-b4=10．（Ⅰ）求数列{an}与{bn}的通项公式；（Ⅱ）记Tn=anb1+an-1b2+an-2b3+…+a1bn，求Tn．
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（Ⅰ）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，由a1=b1=2，得a4=2+3d，b4=2q3，s4=8+6d，由条件a4+b4=27，s4-b4=10，得方程组3＝278+6d?2q3＝10，解得，故an=3n-1，bn=2n，n∈N*．（Ⅱ）方法一，由（Ⅰ）得，Tn=2an+22an-1+23an-2+…+2na1；&& ①；2Tn=22an+23an-1+…+2na2+2n+1a1；&&&& ②；由②-①得，Tn=-2（3n-1）+3×22+3×23+…+3×2n+2n+2=n?1)1?2+2n+2-6n+2=10×2n-6n-10．（n∈N*）．方法二：数学归纳法，③当n=1时，T1+12=a1b1+12=16，-2a1+10b1=16，故等式成立，④假设当n=k时等式成立，即Tk+12=-2ak+10bk，则当n=k+1时有，Tk+1=ak+1b1+akb2+ak-1b3+…+a1bk+1=ak+1b1+q（akb1+ak-1b2+…+a1bk）=ak+1b1+qTk=ak+1b1+q（-2ak+10bk-12）=2ak+1-4（ak+1-3）+10bk+1-24=-2ak+1+10bk+1-12．即Tk+1+12=-2ak+1+10bk+1，因此n=k+1时等式成立．③④对任意的n∈N*，Tn+12=-2an+10bn成立．∴Tn=-2an+10bn-12=10×2n-6n-10．（n∈N*）．
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考点点评：
熟练掌握等差数列和等比数列的通项公式、数列的单调性是解题的关键．
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