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.已知各项均为正数的数列{an}满足a1=1，an+1+anoan+1-an=0．（Ⅰ）求证：数列{1an}是等差数列；（Ⅱ）求数列{2nan}前n项和Sn．
题型：解答题难度：中档来源：大连一模
（Ⅰ）∵an+1+anoan+1-an=0，∴an+1+anoan+1-ananoan+1=0，∴1an+1-1an=1，（3分）又1a1=1，∴数列{1an}是以1为首项，1为公差的等差数列．（4分）∴1an=1+（n-1）×1=n，an=1n．（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知2nan=no2n．Sn=1×21+2×22+…+n×2n．①2Sn=1×22+2×23+…+n×2n+1．②（9分）由①-②得-Sn=21+22+…+2n-n×2n+1．∴Sn=（n-1）2n+1+2．（12分）
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据魔方格专家权威分析，试题“.已知各项均为正数的数列{an}满足a1=1，an+1+anoan+1-an=0．（Ⅰ）求..”主要考查你对&&等差数列的定义及性质，数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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等差数列的定义及性质数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）
等差数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为an+1-an=d。 等差数列的性质：
（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列； （2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和； （3）m，n∈N*，则am＝an+(m-n)d；（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则as+at=ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有as+at=2ap； （5）若数列｛an｝，｛bn｝均是等差数列，则数列｛man+kbn｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。（6）（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即 （8）&仍为等差数列，公差为
&对等差数列定义的理解：
①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列．&②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有 还有 ③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d&0时，数列为递增数列；当d&0时，数列为递减数列；④ 是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；⑤证明一个数列是等差数列，只需证明an+1-an是一个与n无关的常数即可。
等差数列求解与证明的基本方法：
(1)学会运用函数与方程思想解题；(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a1，d，n，an，Sn，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．数列求和的常用方法：
1.裂项相加法：数列中的项形如的形式，可以把表示为，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和； 2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如的数列，其中为等差数列，为等比数列，均可用此法； 3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：& 数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。 数列求和特别提醒：
（1）对通项公式含有的一类数列，在求时，要注意讨论n的奇偶性；（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。
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与“.已知各项均为正数的数列{an}满足a1=1，an+1+anoan+1-an=0．（Ⅰ）求..”考查相似的试题有：
769194765809759379863992856718810037若数列{an}满足1/an+1-1/an=d(n为正整数d为常数)，则称数列{an}为调和数列，已知数列{1/x}为调和数列，且x1+x2+…+x20=200则x5+x16=
若数列{an}满足1/an+1-1/an=d(n为正整数d为常数)，则称数列{an}为调和数列，已知数列{1/x}为调和数列，且x1+x2+…+x20=200则x5+x16=
若数列{an}满足1/an+1-1/an=d(n为正整数d为常数)，则称数列{an}为调和数列，已知数列{1/x}为调和数列，且x1+x2+…+x20=200则x5+x16=
谁能帮帮忙
简单啊，那个20+1=21,5+16=21，X21-X19=D，把其中十项加和在减，然后找规律
提问者 的感言：谢谢
其他回答 (1)
x5+x16=20&
根据你给的定义 调和数列的倒数为等差数列 即{xn}是等差数列
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理工学科领域专家已知函数f(x)=(x-1)^2,g(x)=10(x-1),数列{an}、{bn}满足_百度知道
已知函数f(x)=(x-1)^2,g(x)=10(x-1),数列{an}、{bn}满足
bn=9&#47,(2)若t&gt,bn}是递增数列,数列{an},,0,数列{an-1}是等比数列,数列{t^n&#47,(an+1-an)g(an)+f(an)=0,求实数t的取值范围,g(x)=10(x-1),已知函数f(x)=(x-1)^2,10(n+2)(an-1)(1)求证,{bn}满足a1=2,
提问者采纳
所以两边除以an-1,得10*(an+1-an)+an-1=0,（1）由方程,9*t&gt,9)^n为递增数列,10)^n*(n+2),n+2该不等式恒成立条件是左边的比右边的最大值还要大,设其通项为cn=【1&#47,bn},5,a1-1=1,整理后得,10的等比数列。(2)带入an-1得bn=(9&#47,公比为9&#47,我们都有cn+1&gt,就行取n=1,=cn显然我们可以得,又有{t^n&#47,求得n&gt,(an+1-an)*10*（an-1)+(an-1)^2=0整理得（an-1)[10*(an+1-an)+an-1]=0,=6&#47,{an-1}就是首项为1,10&#47,(n+2)】*（10t&#47,(an+1-an)g(an)+f(an)=0得,=n+3&#47,10(an+1-1)=9(an-1),则an显然不是常数列,那么对于任意的自然数n,且不等于1,显然由a1=2,
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已知数列{an}满足a1=1，a2=λ（λ＜3且λ≠-2），且an+2=an+1+6an．（n∈N*）．（1）证明：数列{an+1+2an}与数列{an+1-3an}都是等比数列；（2）若an+1＞an（n∈N*）恒成立，求λ的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：不详
解析：（1）由an+2=an+1+6an得an+2+2an+1=3（an+1+2an）an+2-3an+1=-2（an+1-3an）…（4分）由λ＜3是λ≠-2知a2+2a1≠0，a2-3a1≠0，故有an+2+2an-1an+1+2an=3，an+2-3an+1an+1-3an=-2∴数列{an+1+2an}与数列{an+1-3an}都是等比数列．…（6分）（2）由（1）知：an+1+2an=（λ+2）3n-1①an+1-3an=（λ-3）（-2）n-1②…（7分）由①-②得5an=（λ+2）3n-1+（3-λ）（-2）n-15an+1=（λ+2）3n+（3-λ）（-2）n…（8分）∴5（an+1-an）=（2λ+4）o3n-1+（3λ-9）o（-2）n-1＞0，又∵λ＜3，化简得2λ+49-3λ＞(-23)n-1…（10分）对于任意n∈N*，总有(-23)n-1≤1…（11分）∴2λ+49-3λ＞1，解之得1＜λ＜3…（12分）
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据魔方格专家权威分析，试题“已知数列{an}满足a1=1，a2=λ（λ＜3且λ≠-2），且an+2=an+1+6an．（n∈N*..”主要考查你对&&等比数列的定义及性质&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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等比数列的定义及性质
等比数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。 等比数列的性质：
在等比数列｛an｝中，有 （1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则aman=apaq；当m+n=2p时，aman=ap2； （2）若m，n∈N*，则am=anqm-n； （3）若公比为q，则｛｝是以为公比的等比数列； （4）下标成等差数列的项构成等比数列； （5）1）若a1＞0，q＞1，则｛an｝为递增数列； 2）a1＜0，q＞1， 则｛an｝为递减数列； 3）a1＞0，0＜q＜1，则｛an｝为递减数列； 4）a1＜0， 0＜q＜1， 则｛an｝为递增数列； 5）q＜0，则｛an｝为摆动数列；若q＝1，则｛an｝为常数列。
等差数列和等比数列的比较：
如何证明一个数列是等比数列：
证明一个数列是等比数列，只需证明是一个与n无关的常数即可（或an2=an-1an+1）。
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已知数列{an}满足a1=2，前n项和为Sn，an+1=pan+n-1(n为奇数)-an-2n(n为偶数)．（Ⅰ）若数列{bn}满足bn=a2n+a2n+1（n≥1），试求数列{bn}前n项和Tn；（Ⅱ）若数列{cn}满足cn=a2n，试判断cn是否为等比数列，并说明理由；（Ⅲ）当p=12时，问是否存在n∈N*，使得（S2n+1-10）c2n=1，若存在，求出所有的n的值；若不存在，请说明理由．
题型：解答题难度：中档来源：奉贤区二模
（Ⅰ）据题意得bn=a2n+a2n+1=a2n-a2n-2×2n=-4n，所以{bn}成等差数列，故Tn=-2n2-2n（4分）（Ⅱ）当p=12时，数列{cn}成等比数列；当p≠12时，数列{cn}不为等比数列理由如下：因为cn+1=a2n+2=pa2n+1+2n=p（-a2n-4n）+2n=-pcn-4pn+2n，所以cn+1cn=-p+2n(1-2p)cn，故当p=12时，数列cn是首项为1，公比为-12等比数列；当p≠12时，数列{cn}不成等比数列（9分）（Ⅲ）当p=12时，a2n=cn=(-12)n-1，a2n+1=bn-a2n=-4n-(-12)n-1（10分）因为S2n+1=a1+b1+b2+…+bn=-2n2-2n+2（n≥1）（12分）∵（S2n+1-10）c2n=1，∴4n2+4n+16=4n，设f（x）=4x-4x2-4x-16（x≥2），则g（x）=f'（x）=4xln4-8x-4，∴g'（x）=（ln4）24x-8＞0（x≥2），且g（2）=f'（2）＞0，∴f（x）在[2，+∞）递增，且f（3）=0，f（1）≠0，∴仅存在惟一的n=3使得（S2n+1-10）c2n=1成立（16分）
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等比数列的定义及性质数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）
等比数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。 等比数列的性质：
在等比数列｛an｝中，有 （1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则aman=apaq；当m+n=2p时，aman=ap2； （2）若m，n∈N*，则am=anqm-n； （3）若公比为q，则｛｝是以为公比的等比数列； （4）下标成等差数列的项构成等比数列； （5）1）若a1＞0，q＞1，则｛an｝为递增数列； 2）a1＜0，q＞1， 则｛an｝为递减数列； 3）a1＞0，0＜q＜1，则｛an｝为递减数列； 4）a1＜0， 0＜q＜1， 则｛an｝为递增数列； 5）q＜0，则｛an｝为摆动数列；若q＝1，则｛an｝为常数列。
等差数列和等比数列的比较：
如何证明一个数列是等比数列：
证明一个数列是等比数列，只需证明是一个与n无关的常数即可（或an2=an-1an+1）。 数列求和的常用方法：
1.裂项相加法：数列中的项形如的形式，可以把表示为，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和； 2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如的数列，其中为等差数列，为等比数列，均可用此法； 3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：& 数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。 数列求和特别提醒：
（1）对通项公式含有的一类数列，在求时，要注意讨论n的奇偶性；（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。
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