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在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC=3acosB-ccosB．（I）求cosB的值；（II）若BAoBC=2，且b=22，求a和c的值．
题型：解答题难度：中档来源：渭南二模
（I）由正弦定理得a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，则2RsinBcosC=6RsinAcosB-2RsinCcosB，故sinBcosC=3sinAcosB-sinCcosB，可得sinBcosC+sinCcosB=3sinAcosB，即sin（B+C）=3sinAcosB，可得sinA=3sinAcosB．又sinA≠0，因此cosB=13．（6分）（II）由BAoBC=2，可得accosB=2，又cosB=13，故ac=6，由b2=a2+c2-2accosB，可得a2+c2=12，所以（a-c）2=0，即a=c，所以a=c=6．（13分）
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据魔方格专家权威分析，试题“在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC=3acosB-ccosB..”主要考查你对&&两角和与差的三角函数及三角恒等变换，正弦定理，余弦定理，向量数量积的运算&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
两角和与差的三角函数及三角恒等变换正弦定理余弦定理向量数量积的运算
两角和与差的公式：
倍角公式：
半角公式：
万能公式：
三角函数的积化和差与和差化积：
三角恒等变换：
寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择可以联系它们的适当公式，这是三角恒等变换的特点。三角函数式化简要遵循的"三看"原则:
(1)一看"角".这是最重要的一点,通过角之间的关系,把角进行合理拆分与拼凑,从而正确使用公式.(2)二看"函数名称".看函数名称之间的差异,从而确定使用的公式.(3)三看"结构特征".分析结构特征,可以帮助我们找到变形得方向,常见的有"遇到分式要通分"等.
(1)解决给值求值问题的一般思路:①先化简需求值得式子;②观察已知条件与所求值的式子之间的联系(从三角函数名及角入手);③将已知条件代入所求式子,化简求值.(2)解决给值求角问题的一般步骤:①求出角的某一个三角函数值;②确定角的范围;③根据角的范围确定所求的角.正弦定理：
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即=2R。 有以下一些变式： （1）； （2）； （3）。 正弦定理在解三角形中的应用：
（1）已知两角和一边解三角形，只有一解。 （2）已知两边和其中一边的对角，解三角形，要注意对解的个数的讨论。可按如下步骤和方法进行：先看已知角的性质和已知两边的大小关系。 如已知a，b，A，（一）若A为钝角或直角，当b≥a时，则无解；当a≥b时，有只有一个解； （二）若A为锐角，结合下图理解。①若a≥b或a=bsinA，则只有一个解。②若bsinA＜a＜b，则有两解。③若a＜bsinA，则无解。 也可根据a，b的关系及与1的大小关系来确定。　　　　　　　　　 &余弦定理：
三角形任意一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即。
在△ABC中，若a2+b2=c2，则C为直角；若a2+b2＞c2，则C为锐角；若a2+b2＜c2，则C为钝角。 余弦定理在解三角形中的应用：
（1）已知两边和夹角，（2）已知三边。 其它公式：
射影公式：两个向量数量积的含义：
如果两个非零向量，，它们的夹角为，我们把数量叫做与的数量积（或内积或点积），记作：，即。叫在上的投影。规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。 数量积的的运算律：
已知向量和实数λ，下面（1）（2）（3）分别叫做交换律，数乘结合律，分配律。（1）；（2）；（3）。向量数量积的性质：
设两个非零向量（1）；（2）；（3）；（4）；（5）当，同向时，；当与反向时，；当为锐角时，为正且，不同向，；当为钝角时，为负且，不反向，。
发现相似题
与“在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC=3acosB-ccosB..”考查相似的试题有：
783095412841774132879332815841873806在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且（2a-c）cosB=bcosC．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若点D_百度知道
在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且（2a-c）cosB=bcosC．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若点D
在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且（2a-c）cosB=bcosC．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若点D为BC边的中点，∠CAD=π6，CD=1，求c的值．
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（Ⅰ）方法一：∵，∴．∵（2a-c）cosB=bcosC，∴．∴2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC．∴2sinAcosB=sin（B+C）=sinA．∵A∈（0，π），∴sinA≠0．∴．∵B∈（0，π），∴．方法二：∵（2a-c）cosB=bcosC，∴2+c2?b22ac＝ba2+b2?c22ab，化简得&a2+c2-b2=ca，∴2+c2?b22ac＝12，∵B∈（0，π），∴，（Ⅱ）在△ACD，△ABD中，．由（Ⅰ）知：．∵点D为BC边的中点，，∴∠ABC=π-=，∴，化简得，∵，∴2C∈（0，π），∴2C=或，即或，当时，△ABC为等边三角形，由CD=1可得：AB=2CD=2；当时，，所以△ABD为等边三角形，由CD=1可得：AB=BD=CD=1．综上得，c=2或c=1．
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在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知bcosC=（2a-c）cosB．（1）求角B的大小；（2）若a，b，c
在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知bcosC=（2a-c）cosB．（1）求角B的大小；（2）若a，b，c成等比数列，试确定△ABC的形状．
我有更好的答案
（1）∵bcosC=（2a-c）cosB∴由正弦定理得，sinBcosC=（2sinA-sinC）cosB，sinBcosC=2sinAcosB-sinCcosB，sin（B+C）=2sinAcosB，∵B+C=π-A，∴sin（B+C）=sinA，∴cosB=，则B=60°；（2）∵a，b，c成等比数列，∴b2=ac，由（1）得，B=60°，根据余弦定理得，b2=a2+c2-2accosB，∵b2=ac，∴ac=a2+c2-ac，即（a-c）2=0，∴a=c，故三角形是等边三角形．
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在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且3bcosC-3ccosB=a,则tan(B-C)的最大值为
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设该三角形的外接圆直径为 D，则有：a/sinA = b/sinB = c/sinC = D那么：a =DsinA, b = DsinB, c = DsinC代入上式，得到：3DsinBcosC - 3DsinCcosB = DsinA化简：3(sinBcosC - cosBsinC) = sinA = sin(B+C) = sinBcosC + cosBsinC2sinBcosC = 4cosBsinCsinBcosC = 2cosBsinCsinB/cosB = 2sinC/cosCtanB = 2tanC那么：tan(B-C) = (tanB - tanC)/(1+tanB*tanC)
= tanC/(1+2tan²C)
= 1/[1/tanC + 2tanC]因为分母：1/tanC + 2tanC ≥ 2√[(1/tanC)(2tanC) = 2√2
注：a + b ≥ 2√(ab)所以，tan(B-C) ≤ 1/(2√2) = √2/4即 tan(B-C) 的最大值 为 √2/4
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3bcosC-3ccosB=a3sinBcosC-3sinCcosB=sinA3sinBcosC-3sinCcosB)=sin(B+C)3sinBcosC-3sinCcosB=sinBcosC+sinCcosBsinBcosC=2sinCcosBsinB/cosB=2sinC/cosCtanB=2tanCtan(B-C)=(tanB-tanC)/(1+tanBtanC)=(2tanC-tanC)/(1+2tanC*tanC)=tanC/[1+2(tanC)^2]=1/[(1/tanC)+(2tanC)](1/tanC)+(2tanC)&=2√[(1/tanC)*(2tanC)]=2√2当且仅当1/tanC=2tanC,tanC=√2/2时有最小值,当取等号时,最小值=2√2[(1/tanC)+(2tanC)]最小值=2√2所以,tan(B-C)=1/[(1/tanC)+(2tanC)]最大值=√2/4
对原式适当变形即可，最后用均值不等式。
关键在于找到三个角中正切值的关系式，如果全部转化为正弦或余弦就很麻烦了。
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在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且满足（2a-c）cosB=bcosC（1）求角B的大小；（2）若，求△ABC的面积S．
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（1）在△ABC中，由（2a-c）cosB=bcosC以及正弦定理可得2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC，即 2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，求得cosB=，可得&B=．（2）若，由余弦定理可得 cosB=2+c2-b22ac=2-72ac==，故有ac=3，故△ABC的面积S=acosinB=×3×sin=．
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（1）在△ABC中，由（2a-c）cosB=bcosC以及正弦定理可得2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，求得cosB的值，可得&B的值．（2）由条件利用余弦定理可得 cosB=2+c2-b22ac=，可得ac=3，从而求得△ABC的面积S=acosinB 的值．
本题考点：
正弦定理；余弦定理．
考点点评：
本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，根据三角函数的值求角，属于中档题．
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