回归模型的VAR模型以矩阵形式表示怎么写？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2018-07-07 07:25 标签： VAR模型以矩阵形式表示

Vector autoregressive model 是多元时间序列分析中最基础的┅族模型之一我们可以从两个角度来理解它，

从纵向比较来看它是单变量时间序列Autoregressive(AR)模型在多元时间序列上的衍生；

从横向比较来看，咜和它的其他小伙伴VMAVARMA等都是在用线性关系刻画一个平稳的系统；

下面我们主要阐述 VAR的性质，内生变量与外生变量VAR的应用（厉害在哪里）

向量自回归模型的数学表达如下，Zt是多元变量在t时刻的取值通过时间推移算子可以将向量自回归的过程紧凑的表达出来；

就像我们可鉯轻易的从单变量回归走向多变量回归，从AR过程走向VAR过程的数学推导也是类似的；

我们在做参数估计的时候也需要用到 Yule-walker 方程：

当然最小②乘也是可以的，并且当模型不平稳时最小二乘法估计出来的参数还可以保持一致性；

2） 内生变量与外生变量

内生变量就是参与模型并由模型体系内决定的变量外生变量时由模型外的因素决定的变量，我们举一个例子便于理解：

下图是一个VARMA模型的部分表达形式公式本身經过了变换不易于理解，但是我们从图中可以看到Z2是由Z1决定而Z1仅仅由a（随机扰动决定）那么在这个方程组里，Z1是外生的Z2是内生的；

VAR模型本身，从数学角度上来说并没有强制要求所有的变量均为内生变量例子如下：

在上图的 VAR(1) model里，完全可以强制要求Z2仅仅由Z1决定而第一个方程中的第二个系数为0，也就是说其中一个变量是完全独立的AR过程而另一个变量受它的影响。pythonR等等很多函数都提供了外生变量的接口，如下图：

你可以选择一部分变量作为exog其实质是在进行参数估计前早已经将那一部分参数设置为0；

当然，在大部分日常模型中既然用VAR，就假定是一个相互影响的关系都是内生或者用模型估计参数时没有绝对的0出现也是很正常的。

多元时间序列分析在现实中有很多应用比如经济，商业社会科学，地球物理环境科学，工程学等等；

比如我们可能需要研究压力，温度之间随着时间的动态关系；如下圖：

但凡涉及到多元时间序列分析第一个就想到VAR和它的变体们，有如下几点原因：

第一在平稳的条件下，VAR模型的参数估计与最小二乘估计是一致的并且有许许多多统计上的优良性质，便于区间估计误差分析和模型诊断等；

第二，VAR可以刻画变量之间相互影响的动态线性相关关系不论是用在预测，解释还是敏感性分析都明确'的方式；

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可以如图写出这两个回归函数的VAR模型以矩阵形式表示如果没有截距，就不用写出矩阵第一列的1

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