[转载]基本不等式的几种证明方法摘录
基本不等式的几种证明方法摘录:
一、首先摘录整理的是华中师范大学数学与统计学学院的杨春波、程汉波老师的证明方法。
二、接下来是唐山齐建民老师博客中提到的罗增儒教授在“数学解题学引论”中用到的一种非常帅气的方法：
三、上学期听课时，浙江省台州市路桥区优质课评比活动中获得第一名的浙江省路桥中学毛梁成老师用到的其中一种方法：（学生用折纸来寻求基本不等式的几何意义）
方法：取两张正方形的纸张，记一张面积为a，另一张面积为b。
&&&&步骤一：把两张纸张沿对角线对折，把对折后的两部分纸张沿对角线靠拢，则两部分的总面积为（a+b）/2;
步骤二：此时靠拢的两张纸张的下半部分可看成一个矩形（见图），则其中一个边长为根号a，另一边为根号b，故矩形的面积为根号下
步骤三：由图显然可得基本不等式：矩形面积不大于整个面积。
不知道这样的几何意义是不是可以算是无字证明，不过学生倒是轻松就能理解、接受。思路与前面的一些方法大同小异，特别是前面提到的方法5，但是这样的处理还是有很多值得我学习的地方。作为学生的小组合作探究，引导学生自主感受生成的鲜活的知识，这样的小聪明，在我眼中是大智慧！
四、华东师范大学数学系的研究HPM专家汪晓勤教授在其文章“关于均值不等式的历史注记”（发表于“中学教研”2005年第10期）里提到的几种证明方法，其中有：
其中参考文献3是指：汪晓勤，陈剑飞.关于五种中项大小关系的若干几何解释.中学数学杂志，2004（7）。
以上网友发言只代表其个人观点，不代表新浪网的观点或立场。证明不等式的方法与技巧--《中学数学》1993年05期
证明不等式的方法与技巧
【摘要】：正 不等式在数学的许多分支中是十分有用的,不等式又是一个技巧性很强的分支,它有许多极有趣味的问题,对培养学生对数学的爱好以及培养他们的能力是有益的,本文就证明不等式的方法与技巧说说个人的意见。 1 不等式的证明方法证明不等式的方法很多,主要有比较法、分析法、缘合法、反证法等,其中比较法与分析法应用较广,综合法经常要运用一些已被证明的不等式,特别是几个
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400-819-9993不等式的证明不等式的证明慈利百家号今天我们来学一学证明不等式的另一种方式。看图：你看一下这道题，其实并没有什么难度，主要是借用一个中间量“1”来实现二者之间的比较，这也是比较常见的一种方法。可能有的同学会问这个办法是怎么看出来的，其实我刚刚做这道题的时候也是想着通过变化将分母约去，但是算到一半的时候我发现算不下去了，或者说有一定难度了，于是我又仔细看了看，想到了这个办法。其实做题的过程就是不断尝试的过程，慢慢做着，找到感觉就会好很多了，就会大致知道从哪个方向来入手了。谢谢大家的阅读，祝愿大家学习进步。本文由百家号作者上传并发布，百家号仅提供信息发布平台。文章仅代表作者个人观点，不代表百度立场。未经作者许可，不得转载。慈利百家号最近更新：简介:深知身在情长在，前尘不共彩云飞。作者最新文章相关文章重要不等式（用于计算与证明问题的不等式）_百度百科
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?用于计算与证明问题的不等式
重要不等式
（用于计算与证明问题的不等式）
重要不等式，是指在与中常用于计算与证明问题的不等式。包括，、、完全的均值不等式、、、、、等。
重要不等式柯西不等式
的一般证法有以下几种：
⑴Cauchy不等式的形式化写法就是：记两列数分别是ai,bi，则有 （∑ai2） * （∑bi2） ≥ （∑ai * bi)2.
成立条件：a1:b1=a2:b2=…=an:bn（当ai=0或bi=0时ai和bi都等于0，不考虑ai:bi，i=1,2,3,…,n)
我们令 f(x) = ∑（ai + x * bi)2 = （∑bi2） * x2 + 2 * （∑ai * bi) * x + (∑ai2）
则我们知道恒有 f(x) ≥ 0.
用二次函数无实根或只有一个实根的条件，就有 Δ = 4 * （∑ai * bi)2 - 4 * （∑ai2） * （∑bi2） ≤ 0.
于是得到结论。
⑵用向量来证.
m=(a1,a2......an) n=(b1,b2......bn)
mn=a1b1+a2b2+......+anbn=(a1^+a2^+......+an^)^1/2乘以（b1^+b2^+......+bn^)^1/2乘以cosX．
因为cosX≤1，所以：a1b1+a2b2+......+anbn≤a1^+a2^+......+an^)^1/2乘以（b1^+b2^+......+bn^)^1/2
这就证明了不等式．
柯西不等式还有很多种，这里只取两种较常用的证法．
柯西不等式在求某些中和证明某些不等式时是经常使用的理论根据，我们在教学中应给予极大的重视。
巧拆常数：
例：设a、b、c 为正数且各不相等。
求证：2/(a+b)+2/(b+c)+2/(c+a)&9/(a+b+c)
分析：∵a 、b 、c 均为正数
∴为证结论正确只需证：2(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]&9
而2(a+b+c)=(a+b)+(a+c)+(c+b)
又 9=（1+1+1）×（1+1+1）
证明：2(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]=[(a+b)+(a+c)+(b+c)][1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]≥（1+1+1）（1+1+1）=9
又 a、b 、c 各不相等，故不能成立
∴原不等式成立。
像这样的例子还有很多，词条里不再一一列举，大家可以在参考资料里找到柯西不等式的证明及应用的具体文献．
重要不等式排序不等式
排序不等式是竞赛大纲要求的。
设有两组数 a1,a2，…… an，b1,b2，…… bn 满足 a1 ≤ a2 ≤……≤ an，b1 ≤ b2 ≤……≤ bn 则有 a1bn + a2bn-1 +……+ an b1≤ a1bt + a2bt +……+ anbt ≤ a1b1 + a2b2+……+ anbn，式中t1，t2，……，tn是1，2，……，n的任意一个排列， 当且仅当 a1 = a2 =……= an 或 b1 = b2 =……= bn时成立。
以上排序不等式也可简记为：反序和≤乱序和≤同序和.
证明时可采用逐步调整法。
证明：其余不变时，将a1b1 + a2b2 调整为a1b2 + a2b1 ，值变小，只需作差证明（a1 -a2）*（b1 -b2）≥0，这由题意可知成立。
依次类推，根据逐步调整法，得证。
亦可用以下方法：
设c1，c2，...,cn是a1，a2，...,an的任意一个排列，Si=c1+c2+...+ci，Ti=a1+a2+...+ai，其中i≤n。
显然，Si≥Ti,a1*bn+a2* bn-1+...+an* b1=(T2-T1）*bn+(T3-T2）*bn-1+...+(Tn-Tn-1）*b1=Tn*b1-Tn-1*(b1-b2）-...- T1*(bn-1-bn）≤Sn*b1-Sn-1*(b1-b2）-...-S1*(bn-1-bn)=(S2-S1）*bn+（S3-S2）*bn-1+...+(Sn-Sn-1)*b1=c1*a1+c2*a2+
...+cn*an.这样就证明了 反序和≤乱序和。
同理可证：乱序和≤同序和。
重要不等式切比雪夫不等式
切比雪夫不等式有两个
⑴设存在数列a1,a2,a3.....an和b1,b2,b3......bn满足a1≤a2≤a3≤.....≤an和b1≤b2≤b3≤......≤bn
那么，∑aibi≥（1/n）（∑ai）（∑bi）
⑵设存在数列a1,a2,a3,.....,an和b1,b2,b3,......,bn满足a1≤a2≤a3≤.....≤an和b1≥b2≥b3≥......≥bn
那么，∑aibi≤（1/n）（∑ai）（∑bi）
重要不等式琴生不等式
设f(x）为上凸函数，则f[(x1+x2+……+xn)/n]≥[f(x1）+f(x2）+……+f(xn)]/n，称为琴生不等式（幂平均）。
加权形式为：
f[(a1x1+a2x2+……+anxn)]≥a1f(x1）+a2f(x2)+……+anf(xn)，其中
ai≥0(i=1,2，……，n)，且a1+a2+……+an=1.
重要不等式均值不等式
a2 + b2≥ 2ab （a与b的平方和不小于它们的乘积的2倍）
当a、b 分别大于0时，上式可变为a+b ≥2√ab
有可分以下几种情况：
⑴对实数a,b，有a2+b2≥2ab （当且仅当a=b时取“=”号），a2+b2≥-2ab
⑵对非负实数a,b，有a+b≥2√ab≥0，即（a+b)/2≥√ab≥0
⑶对负实数a,b，有a+b&0&2√ab
⑷对实数a,b，有a(a-b）≥b(a-b)
⑸对非负数a,b，有a2+b2≥2ab≥0
⑹对非负数a,b，有a2+b2≥[(a+b)2]/2≥ab
⑺对非负数a,b,c，有a2+b2+c2≥[(a+b+c)2]/3
⑻对非负数a,b,c，有a2+b2+c2≥ab+bc+ac
⑼对非负数a,b，有a2+ab+b2≥[3(a+b)2]/4
⑽对实数a,b,c，有（a+b+c)/3≥（abc)1/3
重要不等式完全均值不等式
√[(a2+ b2)/2] ≥（a+b)/2 ≥√ab ≥2/(1/a+1/b)
（二次幂平均≥算术平均≥≥调和平均）
证明：（证明过程引自他出）
设a，b是两个正数，
M2=√[(a2+b2)/2]，A=(a+b)/2，G=√ab，H=2/(1/a+1/b)
分别表示a，b两元的二次幂平均，算术平均，和调和平均。证明： M2≥A≥G≥H。
证明 在ABCD中，AB∥CD，记AB=b，CD=a。
EiFi(i=1,2,3,4）是平行于梯形ABCD的底边且被梯形两腰所截的线段。
如果E1F1分梯形为等积的两部分，那么
E1F1=√[(a2+b2)/2]。
如果E2F2分梯形的，那么
E2F2=(a+b)/2。
如果E3F3分为两，那么
E3F3=√ab。
如果E4F4通过梯形两交点的，那么
E4F4=2/(1/a+1/b）。
从图中直观地证明E1F1≥E2F2≥E3F3≥E4F4，当a=b时取。
对于n元，√[(x12+x22+...+xn2）/n]≥(x1+x2+...+xn)/n≥(x1x2...xn)1/n≥n/[(1/x1)+(1/x2)+...+(1/xn)]
重要不等式幂平均不等式
：ai&0（1≤i≤n），且α&；β，则有（∑ai^α/n)^1/α≥（∑ai^β/n)^1/β成立
iff a1=a2=a3=……=an 时取等号
设ai&0，pi&0（1≤i≤n），且α&；β，则有
（∑pi*ai^α/∑pi)^1/α≥（∑pi*ai^β/∑pi)^1/β
iff a1=a2=a3=……=an， p1=p2=p3=……=pn 时取等号。
- 调和平均（-1次幂）， -（0次幂）， - 算术平均（1次幂）， ， - 二次平均（2次幂）
重要不等式权方和不等式
a1 ^ （m+1） / b1^m + a2 ^ （m+1） / b2^m + a3 ^ （m+1） / b3^m + …… + an ^ （m+1） / bn^m ≥ (a1+a2+a3+ …… +an) ^ （m+1） / (b1+b2+b3+ …… +bn)^m
a,b,n为正整数，m&0 或 m&-1
当且仅仅当a1/b1=a2/b2=...=an/bn时，等号成立
a1 ^ （m+1） / b1^m + a2 ^ （m+1） / b2^m + a3 ^ （m+1） / b3^m + …… + an ^ （m+1） / bn^m ≤ (a1+a2+a3+ …… +an) ^ （m+1） / (b1+b2+b3+ …… +bn)^m
a,b,n为正整数，-1&m&0
当且只有当a1/b1=a2/b2=...=an/bn时，等号成立
的等价形式：
（Holder不等式）：∑[i=1，n]ai*bi≤（∑[i=1，n]ai^p）^（1/p) * （∑[i=1,n]bi^q)^（1/q)
上式中1/p+1/q=1,ai,bi为
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周一至周五
9：00&22：00
不等式证明的几种实用方法
　　摘 要：中国论文网 /9/view-3881200.htm　　不等式的证明方法多种多样，具有很强的技巧性和综合性.主要介绍运用微积分理论和概率模型来证明不等式，归纳总结出多种证明不等式的实用方法.　　关键词：微分；积分；不等式　　1.引言　　关于不等式的证明方法有很多，找到恰当的解决方法是不等式和很多知识融会贯通的结果，不同的证明方法在数学中有着不同重要思想，既能丰富数学知识，又能发展数学逻辑思维能力.它没有固定的模式，方法因题而异，恰当的方法可以使不等式得到简捷的证明。　　除了分析法、综合法、反证法、换元法、放缩法、数学归纳法等也能解决初等数学中多数不等式证明问题，但对于一些不等式的证明，单靠初等方法是不够的，因此，需要借助大学数学中微积分理论和概率模型来更进一步加深证明不等式的研究。接下来重点探讨证明不等式的几种实用方法。　　2.不等式的证明方法　　2.1利用函数的连续性　　例1：设?f（x）?在[0，1]上连续，且，求证：?c，0≤c≤1，使得|?f?（c）|≥4。?　　证明：由于|?f?（c）|≥4?14|?f?（c）|≥1?14|?f?（c）|≥∫?????1????0?xf（x）dx??　　?1=∫?????1????0xf（x）dx=∫?????1????0xf（x）dx-12∫?????1????0f（x）dx?　　=∫?????1????0（x-12）f（x）　　=∫?????12????0（x-12）f（x）dx　　+∫?????1?????12（x-12）f（x）dx?　　≤∫?????12????0（12-x）|f（x）|dx　　+∫?????1?????12（x-12）|f（x）|dx?　　∵f（x）在[0，1]上连续，∴|f（x）|在[0，1]上连续，于是必?一个c，0≤c≤1，使得|f（c）|?max??????x∈[0，1]?|f（x）|?　　?1≤|f（c）|∫?????12????0（12-x）dx　　+∫?????1?????12（x-12）dx?　　=14|f（c）|，?　　?|f（c）≥4|　　2.2 利用三角函数法　　例2：设函数f（x），g（x）在＼[a，b＼]内可积，且f（x）<1，g（x）<1，?　　试证：∫???b???af（x）g（x）±（1-f?2（x））（1-g?2（x））dx≤b-a?　　证明：∵|f（x）|<1，|g（x）|<1，?∴可令f（x）?=sin?u，g（x）?=sin?v，??　　于是　　2.3 构造辅助函数的方法　　例3：求证： 1+12+13+14+...+12?n<n，（n≥3）　　设f（n）= 1+12+13+14+...+12?n-n，　　f（n+1）= 1+12+13+14+...+12??n+1?-（n+1）　　?　　则f（n+1）-f（n）=12?n+1+12?n+2+...+12??n+1?-1<2?n2?n+1-1<0，　　故f（n+1）<f（n），原式得证.　　此题表面看似无从比较，巧妙构造一个函数后，运用了后一项减前一项的作差思想，以及中间穿插不等式缩放思想准确的得出结论，使问题变得简单易懂.　　2.4 利用微分中值定理　　例4：设不恒为常数f（x）在＼[a，b＼]上连续，在（a，b）内可导，且f（a）=f（b），证明：在（a，b）内至少?一点c∈（a，b），证明：在（a，b）内至少?一个ε，使f'（ε）>0?　　证明：∵f（a）=f（b）且f（x）不恒为常数∴至少?一点c∈（a，b）使得f（c）≠f（a）=f（b），不妨设f（c）>f（a）=f（b），显然f（x）在＼[a，c＼]上满族拉格朗日定理条件，于是至少?一个ε∈（a，c），使f'（ε）=f（c）-f（a）c-a>0，同理可证f（c）<f（a）=f（b）的情形　　2.5利用函数的单调增减性　　例5：证明：当0<x<π2时，2πx<?sin?x<x?　　证明：只证?sin?x>2π，显然?sin?x>2πx?sinxx>2π?　　令f（x）=sinxx-2π，　　2.6利用函数的极值与最值性　　例6：0≤x≤1，p>1证明： 12??p-1?≤x?p+（1-x）?p≤1　　证明：?　　故F（x）在x=12处取极小值，　　∵F（1）=F（0）=1，F（12）=12??p-1??　　∴F（x）在＼[0，1＼]上最大值为1，最小值为12??p-1?，故12??p-1?≤x?p+（1-x）?p≤1　　2.7利用函数的凹凸性　　例7：证明：xlnx+ylny>（x+y）lnx+y2，（x>0，y>0，x≠y）?　　证明：令f（t）=tlnt（t>0）f'（t）=lnt+1f"=1t>0f（t）=1t>0?　　f（t）=tlnt在（x，y）或（y，x）；x>0，y>0是凹的?　　∴12＼[f（x）+f（y）＼]>f（x+y2）?　　即12＼[xlnx+ylny＼]>x+y2lnx+y2?　　亦即12xlnx+ylny>（x+y）lnx+y2　　2.8利用泰勒公式　　例8：设函数f（x）在＼[0，1＼]上二阶可导，f（0）=f（1），且|f"（x）|≤2，试证明：|f'（x）|≤1.?　　证明： 取0≤x≤1，由泰勒公式分别有：　　由于f（0）=f（1），则将以上两式做差，整理得：　　2.9利用幂级数展开式　　例9： 当x∈（0，1），证明1+x1-x>e??2x?. 　　证明： 因11-x，e??2x?分别可写成幂级数展开式，有　　1+x1-x=（1+x）（1+x+x?2+…+x?n+…）1+2x+2x?2+…+2x?n+…，x∈（0，1）；　　e??2x?=1+2x+2?22！x?2+…+2?nn！x?n+…，x∈（-∞，+∞）.　　则左边的一般项为2x?n，右边的一般项为2?nx?nn！，因此当n≥3时，有2>2?nn！，所以1+x1-x>e??2x?，x∈（0，1）.　　2.10引入参数证明不等式　　例10： 设f（x），g（x）在区间＼[a，b＼]上连续，证明：　　（∫?b?af（x）g（x）dx）?2≤∫?b?af?2（x）dx∫?b?ag?2（x）dx　　（柯西-施瓦茨不等式）.　　证明： 利用定积分的性质易知∫?b?a＼[f（x）-tg（x）＼]?2dx≥0，　　即t?2∫?b?ag?2（x）dx-2t∫?b?af（x）g（x）dx+∫?b?af?2（x）dx≥0.　　这是关于t的二次多项式不等式，因此，判别式：　　△=4（∫?b?af（x）g（x）dx）?2-4∫?b?af?2（x）dx∫?b?ag?2（x）dx≤0，　　即：（∫?b?af（x）g（x）dx）?2≤∫?b?af?2（x）dx∫?b?ag?2（x）dx.　　2.11利用概率密度函数证明Cauchy不等式　　例11：若f（x）与g（x）在＼[a，b＼]上连续，?　　证明：设随机变量ξ的概率分布F（x）及其概率密度函数P（x）分别为把以上各式带入Cauchy不等式成立。　　2.12利用概率论的性质证明不等式　　例12：设a?k，b?k，k=1，2...，n，则?　　证明：设随机变量ζ与η的概率分布分别为：p＼[ζ=a?k＼]=1np＼[η=b?k＼]=1n＼[k=1，2，...，n＼]则?　　由数字特征关系可得：?　　（Eξ）?2（Eη）?2?（Eξ）?2（Eη?2）从而?　　2.13构造随机概率模型证明不等式　　例13：设0?p?1，0?q?1，求证：（n-1）（p?2+q?2）+p+q≥2npq　　证明：当0?p?1，0?q?1时，可令ξ～B（n，p），η～B（n，q），根据离散型随机变量及其分布得：Eξ=np，Eξ?2=n（n-1）p?2+np，Eη?2=n（n-1）+q?2+nq　　由于E（ξ-η）?2≥0，从而2EξEη≤Eξ?2+Eη?2将对应等式带入，不等式即证。　　通过以上几种实用的方法，我们不难发现证明不等式的多样性以及不等式的应用地位与多种知识相关，体现了大学数学的复杂性和系统性，所以对于数学的学习一定要多想，多看，多练才能理解精髓，融会贯通。　　[参考文献]　　[1] 刘玉莲，傅沛仁.数学分析讲义[M].高等教育出版社，1993.　　[2] 陈文灯，黄开先，贺新瑜。数学复习指南 经济类。世界图书出版社，1999.　　[3] 徐利治，王兴华.数学分析的方法及例题选讲[M].高等教育出版社，1986.　　[4] 袁继红，浅析构造思想在高等数学中的应用[J].数学的实践与认识，1997，27　　[5] 李景琴.构造辅助函数在《数学分析》中的应用[J].赤峰学院学报，2010，26　　[6] 龚成通，等.高等数学例题与习题[M].华东理工大学出版社，2002.　　[7] 张必平.构造辅助函数证明不等式[J].数学通讯，2005（9）.　　[8] 付春玲. 基于新课程理念下“构造法”求解不等式问题初探[J].甘肃联合大学学报2009　　（作者单位：北方民族大学，宁夏 银川 750021）
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