已知{An}是等差数列,S9=18,Sn=240,且An-4=30（n》9）,求n的值
问题描述：
已知{An}是等差数列,S9=18,Sn=240,且An-4=30（n》9）,求n的值已知数列{an}的通项公式为an=2n-9,求;(1)数列{!an!}的通项公式（2）数列{!an!}的倩n项和公式
问题解答：
（1）由题知9A1+d9*8/2=18 nA1+dn(n-1)/2=240 A1+(n-5)d=30联立解得n=15.（2）数列{!an!}的通项公式为：n
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S9=18 得出 A5=2 a1=a5-4d 得出 a1=2-4da(n-4)=30 得出 an=a(n-4)+4d =30+4dsn=(a1+an)n/2 =(2-4d+30+4d)*n/2=16*n=240 n=15
S(9)=9a(5)那么a(5)=2,sn=(a1+an)*n/2=(a5+a(n-4))*n/2=240n=15第二题先假设n是个奇数,An/Bn=a((n+1)/2)/b((n+1)/2)=(7n+45)/(n+3)这样就会发现n是个奇数就能帮我们取齐所有an,bn,实际没什么关系.然后将(7n+45)/(n+3)
1.设公差为d∴A1＝A(n-4)-(n-5)d＝30-(n-5)dA9=A(n-4)-(n-13)d＝30-(n-13)dAn=A(n-4)+4d＝30+4d∵S9=18,Sn=240∴[（A1+A9）×9]/2＝18[（A1+An）×n]/2＝240代入A1＝30-(n-5)dA9＝30-(n-13)dAn＝30+
第一题：∵等差数列∴a5*9=S9=18∴a5=2又∵a1+an=a5+an-4∴Sn=（a1+an)*n/2=(a5+an-4)*n/2=16n∴n=15第二题：cos²（A/2)=(1+cosA)/2=(1+cos(180-B-C))/2所以2sinBsinC=1-cos(B+C)而2sinBsinC=c
S2=2a1+d=16S4=4a1+6d=24,2a1+3d=12解得2d=-4,d=-2a1=9S20=20a1+20x19/2d=180-380=-200
/>s9=(a1+a9)*9/2=(a1+a1+8d)*9/2=9a1+36d 即 9a1+36d=18 则 a1+4d=2 ①a(n-4)=a1+(n-5)d 则 a1+(n-5)d=30 ②由 ②-① 得 (n-9)d=28 ③sn=(a1+an)*n/2=[a1+a1+(n-1)d]*n/2=[2a1+(n-9)
对于等差数列,有Sn=na1+n(n-1)d/2因为S3=S11所以3a1+3d=11a1+55d所以2a1+13d=0对于Sn=a1,首先自然想到n=1时满足其次,若n不等于1则na1+n(n-1)d/2=a1所以(n-1)a1+n(n-1)d/2=0所以2a1+nd=0由上知n=13综上,n=1或n=13
1） a1+a3=2*a2 所以 a1+a2+a3=3*a2=12 所以 a2=4 d = a2 - a1 = 2 所以 an=a1+(n-1)d=2n 2） bn=2n*3^n （3^n 表示3的n次方）Sn = 2*3 + 4*9 + …… + 2n*3^n 【1】 3Sn= ____2*9 + …… + 2(n-
a(n+1)=S(n+1)-Sn=Sn+3^n 所以 S(n+1)=2Sn+3^n 将bn的表达式带入：b(n+1)=S(n+1)-3^(n+1)=2Sn+3^n -3^(n+1) =2（Sn-2-3^n） =2bn 所以bn为公比为2的等比数列,首项b1=S1-3=a-3.所以bn=(a-3)*2^(n-1) 跟你说
S9=(A1+A9)×9/2=(A1+A1+8d)×9/2=(A1+4d)×9=9A5=18A5=2An=A(n-4)+4d=30+4dA1=A5-4d=2-4dSn=(A1+An)×n/2=(2-4d+30+4d)×n/2=16n=240n=15
因为{an}为等差数列，且a1+a5+a9=π，由等差数列的性质；所以有a5=π3，所以a2+a8=2π3，故cos（a2+a8）=-12故选& A．
a2+a5=a3+a4=22所以a3=22-a4(22-a4)*a4=117-a4²+22a4=117a4²-22a4+117=0(a4-9)(a4-13)=0a4=9或13因为是正项等差数列所以d>0若a4=9,则a3=13,d=-4所以a4=13,a3=9d=4a1=1an=1+4(n-1)=4
& 再答： 很详细了，我第一个答出来的哦再问： 原谅我是一个学渣，可［－3,6］是区间表示法啊？ 再答： 对啊 再答： 大于等于-3 再答： 小于等于6再问： 怎么得出a＜0？ 再答： 二次函数开口向下啊
已知（x-3)是kx^2+10x-192的一个因式,所以kx^2+10x-192=0的一个根为x=3,所以9k+30-192=0,所以k=18.祝您学习愉快
如果是大题：x - 2y = 3 ① 2x + ky = 8 ②② - 2×① ===> (k+4)y = 2 ===> y = 2 / (k+4) ③③代入 ① ===> x = 3 + 2y = (3k+ 16) / (k+4) ④③、④代入 x+y=6 ===> 3k + 18 = 6(k + 4) ===> k
你的根号下3/2是指根号3除以2,是吗?如果是的话,那么：cosα=根号下3/2,α锐角所以α=π/6f(α)=sin(π/6+π/6)=sin(π/3)=根号下3/2
∵9x2-（m+6）x+m-2=（3x）2-（m+6）x+（m-2）2，∴±（m+6）=2o3om-2，两边平方并整理得，m2-24m+108=0，解得m1=6，m2=18，所以m的值为6或18．
也许感兴趣的知识2/1,-3/2,4/3,-6/5,9/8.排列规律及通项公式
问题描述：
2/1,-3/2,4/3,-6/5,9/8.排列规律及通项公式
问题解答：
An=（-1）^(n+1)乘以(n+1)除以(1/√5)*{[(1+√5)/2]^(n-1) - [(1-√5)/2]^(n-1)}n表示第几个数,^表示多少次方,“除以”前面是分子部分,后面是分母.(1/√5)*{[(1+√5)/2]^(n-1) - [(1-√5)/2]^(n-1)}与裴波那契数列相似,去参考一下.
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不要翻前面的目录索引,直接按照英文字母的排列规律来查,速度就快多了.声母直接按英文字母顺序,韵母按照a、ai、an、ang、ao、e、ei、eng、i、ia、ian、iang、ie、in、ing、iu、o、ong、ou、u、uan、un、uo的顺序即可.概括地说,就是英文元音字母顺序：a、e、i、o、u. 再问： 可是
259 260 261
an是首项为94,公差为-6的等差数列,通项公式为an=94+(n-1)*(-6)=-6n+100,因为公差是负数,所以单调递减.令an=-6n+100=-2010得,n=1055/3,不存在令an>0得,n
倒数第二步中括号内的数其实是一个等差数列的和.表示1+2+3+4+……+(n-2)+(n-1).一共有n-1项,公差为1.利用等差数列前n项和公式.（首项+末项）乘以项数再除以2.
楼主英明,将a(n)=2带入已知条件,矛盾.因此,楼主的怀疑的对滴 .a(n)=2肯定有问题.俺的解法如下：a(n+1) + a(n) - 1 = na(n+1) - na(n) + n,(n-1)a(n+1) = (n+1)a(n) - (n+1),[先算出a(1)的值.](2-1)a(2) = 2a(1) - 2
最里面的圈表示第一周期的两种元素,第二圈表示第二周期的8种元素了,相同主族元素在同一区域的.C6,后面的6表示碳的质子数是6,或原子序数是6
和对数函数考试内容集合．子集、交集、并集、补集．|ax+b|c c(c0)型不等式．一元二次不等式．映射．函数（函数的记号、定义域、值域）分数指数幂与根式．幂函数．函数的单调性．函数的奇偶性．反函数．互为反函数的函数图象间的关系．指数函数．对数．对数的性质和运算法则．对数函数．换底公式．简单的指数方程和对数方程．考试要
设构成等差数列的五个数为a-2d，a-d，a，a+d，a+2d，则由题意可得5a＝1003(a+d)＝3(2a-3d)，解得a＝20d＝5，则最少的一份为a-2d=10．故答案为：10．
都在260页排列顺序：kuai kuan kuang并按音调从第一声到第四声排列望采纳谢谢
B.260、260、260
【摘要】阅读能力的形成和提高首先需要扎实的语言基础知识,其次才谈得上方式方法技能技巧等.高中阶段的阅读要求学生储备大量的词汇,把握英语语法并结合高考阅读题型进行训练. 【关键词】高中生 英语阅读 阅读能力 培养阅读理解能力是中学英语教学的目的之一,也是高考英语测试的重点.阅读能力的形成和提高首先需要扎实的语言基
筷(kuai)四声狂kuang四声宽(kuan)1声 款(kuan) 3声称 筐(kuang )一声I在N前所以宽在筷后面,宽和款一声在三声前面,款在筐前面,而筐在狂前面所以他们都在260
an=(13-n)*[0.5*(-1)^(n-1)+0.5]+2^(n/2)*[0.5*(-1)^n+0.5]
img class="ikqb_img" src="http://e.hiphotos.baidu.com/zhidao/wh%3D600%2C800/sign=adede53ef403738dde1fc69/f9dcd100baa1cdbebb12c8fcc2ce2d5e.jpg"
img class="ikqb_img" src="http://h.hiphotos.baidu.com/zhidao/wh%3D600%2C800/sign=c889c27c7d3edf90bf7b305/7dd98de30b3d196be.jpg"
an+1=an-an*an+1 两边同时除以an*an+1得 1/an=1/an+1-11/an+1-1/an=1所以数列{1/an}是以1/a1=1为首项,1为公差的等差数列所以 1/an=1+n-1=n所以1/an=nan=1/n
大纲内容：数量关系主要测查应试者理解、把握事物间量化关系和解决数量关系问题的技能,主要涉及数字和数据关系的分析、推理、判断、运算等. 主要有两种类型的题型. 第一种题型：数字推理.每道题给出一个数列,但其中缺少一项,要求报考者仔细观察这个数列各数字之间的关系,找出其中的排列规律,然后从四个供选择的答案中选出最合
由an+1+an-1an+1-an+1＝n可得an+1+an-1=nan+1-nan+n∴（1-n）an+1+（1+n）an=1+n∴an+1＝n+1n-1an-n+1n-1=1n-1(an-1)×（n+1）∴an+1n+1=1n-1an-1n-1=nn-1oann-nn-1o1n∴an+1n+1-1＝nn-1(ann
转换一下：a(n+2)-a(n+1)=-(a(n+1)-a(n))这样有啊{a(n+1）-a(n)}构成一个等比数列,首项a2-a1=1,公比是-1,余下的就用累加消项
a(n+1)=2an/(2+an)两边取倒数1/a(n+1)=1/an+1/2 1/a1=1{1/an}是以1为首项,1/2为公差的等差数列1/an=1+(1/2)*(n-1)1/an=(n+1)/2an=2/(n+1)
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数列的那几种题型给几种,附上方法,
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数列的函数理解. ①数列是一种特殊的函数.其特殊性主要表现在其定义域和值域上.数列可以看作一个“定义域为正整数集N*或其有限子集{1,2,3,…,n}"的函数,其中的”{1,2,3,…,n“不能省略.②用函数的观点认识数列是重要的思想方法,一般情况下函数有三种表示方法,数列也不例外,通常也有三种表示方法：a.列表法；b.图像法；c.解析法.其中解析法包括以通项公式给出数列和以递推公式给出数列.③函数不一定有解析式,同样数列也并非都有通项公式. 数列的一般形式可以写成 a1,a2,a3,…,an,a（n+1）,… 简记为{an},项数有限的数列为“有穷数列”（finite sequence）,项数无限的数列为“无穷数列”（infinite sequence）. 从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；如：1,2,3,4,5,6,7 从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列；如：8,7,6,5,4,3,2,1 从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列； 各项呈周期性变化的数列叫做周期数列（如三角函数）； 各项相等的数列叫做常数列.如：2,2,2,2,2,2,2,2,2 通项公式：数列的第N项an与项的序数n之间的关系可以用一个公式表示,这个公式就叫做这个数列的通项公式.（注：通项公式不唯一） 递推公式：如果数列{an}的第n项与它前一项或几项的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的递推公式. 数列中数的总数为数列的项数.特别地,数列可以看成以正整数集N*（或它的有限子集{1,2,…,n}）为定义域的函数an=f(n). 如果可以用一个公式来表示,则它的通项公式是a(n)=f(n). 并非所有的数列都能写出它的通项公式.例如：π的不同近似值,根据精确的程度,可形成一个数列3,3.1,3.14,3.141,…它没有通项公式. 数列中的项必须是数,它可以是实数,也可以是复数. 用符号{an}表示数列,只不过是“借用”集合的符号,它们之间有本质上的区别：1.集合中的元素是互异的,而数列中的项可以是相同的.2.集合中的元素是无序的,而数列中的项必须按一定顺序排列,也就是必须是有序的. 编辑本段表示方法 如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式.如an=(-1)^(n+1)+1. 数列通项公式的特点：（1）有些数列的通项公式可以有不同形式,即不唯一.（2）有些数列没有通项公式 如果数列{an}的第n项与它前一项或几项的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的递推公式.如an=2a(n-1)+1 (n>1) 编辑本段等差数列定义 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列（arithmetic sequence）,这个常数叫做等差数列的公差（common difference）,公差通常用字母d表示,前N项和用Sn表示. 缩写 等差数列可以缩写为A.P.（Arithmetic Progression）. 等差中项 由三个数a,A,b组成的等差数列可以堪称最简单的等差数列.这时,A叫做a与b的等差中项（arithmetic mean）. 有关系：A=（a+b）/2 通项公式 an=a1+(n-1)d an=Sn-S(n-1) (n≥2) an=kn+b(k,b为常数) 前n项和 倒序相加法推导前n项和公式： Sn=a1+a2+a3······+an =a1+(a1+d)+(a1+2d)+······+[a1+(n-1)d] ① Sn=an+(an-d)+(an-2d)+······+[an-(n-1)d] ② 由①+②得2Sn=(a1+an)+(a1+an)+(a1+an)（n个）=n(a1+an) 固 Sn=n(a1+an)/2 等差数列的前n项和等于首末两项的和与项数乘积的一半： Sn=n(a1+an)/2=n*a1+n(n-1)d/2 Sn=(d/2)*n^2+(a1-d/2)n 性质 且任意两项am,an的关系为： an=am+(n-m)d 它可以看作等差数列广义的通项公式. 从等差数列的定义、通项公式,前n项和公式还可推出： a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1,k∈{1,2,…,n} 若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则有 am+an=ap+aq S2n-1=(2n-1)an,S2n+1=(2n+1)an+1 Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…,Snk-S(n-1)k…成等差数列,等等. 和=（首项+末项）×项数÷2 项数=（末项-首项）÷公差+1 首项=2和÷项数-末项 末项=2和÷项数-首项 设a1,a2,a3为等差数列.则a2为等差中项,则2倍的a2等于a1+a3,即2a2=a1+a3. 应用 日常生活中,人们常常用到等差数列如：在给各种产品的尺寸划分级别 时,当其中的最大尺寸与最小尺寸相差不大时,常按等差数列进行分级. 若为等差数列,且有an=m,am=n.则a(m+n)=0. 其于数学的中的应用,可举例： 快速算出从23到132之间6的整倍数有多少个 算法不止一种,这里介绍用数列算 令等差数列首项a1=24（24为6的4倍）,等差d=6,; 于是令an = 24+(n-1)*60时,则可把an看作自变量n的函数,点(n,an)是曲线y=a1/q*q^x上的一群孤立的点. （2）求和公式：Sn=nA1(q=1) Sn=A1(1-q^n)/(1-q) =(a1-a1q^n)/(1-q) =a1/(1-q)-a1/(1-q)*q^n ( 即A-Aq^n) (前提：q不等于 1) 任意两项am,an的关系为an=am·q^(n-m) （3）从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出： a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1,k∈{1,2,…,n} （4）等比中项：aq·ap=ar^2,ar则为ap,aq等比中项. 记πn=a1·a2…an,则有π2n-1=(an)2n-1,π2n+1=(an+1)2n+1 另外,一个各项均为正数的等比数列各项取同底数后构成一个等差数列；反之,以任一个正数C为底,用一个等差数列的各项做指数构造幂Can,则是等比数列.在这个意义下,我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的. 编辑本段等和数列定义 “等和数列”：在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和. 对一个数列,如果其任意的连续k（k≥2）项的和都相等,我们就把此数列叫做等和数列 性质 必定是循环数列 练习 1、下面一列整数中（每个字母或括号都代表一个整数）,任意相临的3个整数的和都是20,则x+y+z=? x,2,（）,（）,（）,4,（）,y,（）,（）,z 2、（2004年湖南省理科实验班联合招生考试数学卷第2试第三题） 圆周上放着120个正数（不一定是整数）,今知其中任何相连的35个数的和都是200．证明：这些数中的每一个数都不超过30．（旁注：题目中“相连”即“相临”之意） 答案： 第1题 ： x=14,y=2,z=2 , 故： x+y+z=18 ； 第2题 ： （120,35）=5 ,使5个数为一组,每7组的和是200,那么每组有 200/7
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数列中的每一个数都叫做这个数列的项.排在第一位的数列称为这个数列的第1项（通常也叫做首项）,排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n位的数称为这个数列的第n项.所以,数列的一般形式可以写成 a1,a2,a3,…,an,… 简记为｛an｝,项数有限的数列为“有穷数列”（finite sequence）,项数无限的数列为“无穷数列”（infinite sequence）. 从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列； 从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列； 从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列； 各项呈周期性变化的数列叫做周期数列（如三角函数）； 各项相等的数列叫做常数列. 通项公式：数列的第N项an与项的序数n之间的关系可以用一个公式表示,这个公式就叫做这个数列的通项公式. 递推公式：如果数列｛an｝的第n项与它前一项或几项的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的递推公式. 数列中数的总数为数列的项数.特别地,数列可以看成以正整数集N*（或它的有限子集｛1,2,…,n｝）为定义域的函数an=f(n). 如果可以用一个公式来表示,则它的通项公式是a(n)=f(n). [编辑本段]表示方法 如果数列｛an｝的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式.如an=(-1)^(n+1)+1 如果数列｛an｝的第n项与它前一项或几项的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的递推公式.如an=2a(n-1)+1 (n>1) [编辑本段]等差数列 【定义】 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列（arithmetic sequence）,这个常数叫做等差数列的公差（common difference）,公差通常用字母d表示. 【缩写】 等差数列可以缩写为A.P.（Arithmetic Progression）. 【等差中项】 由三个数a,A,b组成的等差数列可以堪称最简单的等差数列.这时,A叫做a与b的等差中项（arithmetic mean）. 有关系：A＝（a＋b）/2 【通项公式】 an=a1+(n-1)d an=Sn-S(n-1) (n≥2) 【前n项和】 Sn=n(a1+an)/2=n*a1+n(n-1)d/2 【性质】 且任意两项am,an的关系为： an=am+(n-m)d 它可以看作等差数列广义的通项公式. 从等差数列的定义、通项公式,前n项和公式还可推出： a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1,k∈{1,2,…,n} 若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则有 am+an=ap+aq Sm-1=(2n-1)an,S2n+1=(2n+1)an+1 Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…,Snk-S(n-1)k…或等差数列,等等. 和＝（首项＋末项）×项数÷2 项数＝（末项-首项）÷公差＋1 首项=2和÷项数-末项 末项=2和÷项数-首项 设a1,a2,a3为等差数列.则a2为等差中项,则2倍的a2等于a1+a3,即2a2=a1+a3. 【应用】 日常生活中,人们常常用到等差数列如：在给各种产品的尺寸划分级别 时,当其中的最大尺寸与最小尺寸相差不大时,常按等差数列进行分级. 若为等差数列,且有an=m,am=n.则a(m+n)＝0. [编辑本段]等比数列 【定义】 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,这个数列就叫做等比数列（geometric sequence）.这个常数叫做等比数列的公比（common ratio）,公比通常用字母q表示. 【缩写】 等比数列可以缩写为G.P.（Geometric Progression）. 【等比中项】 如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项. 有关系：G^2＝ab；G＝±(ab)^(1/2) 注：两个非零同号的实数的等比中项有两个,它们互为相反数,所以G^2=ab是a,G,b三数成等比数列的必要不充分条件. 【通项公式】 an=a1q^(n-1) an=Sn-S(n-1) (n≥2) 【前n项和】 当q≠1时,等比数列的前n项和的公式为 Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q) (q≠1) 【性质】 任意两项am,an的关系为an=am·q^(n-m) （3）从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出： a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1,k∈{1,2,…,n} （4）等比中项：aq·ap=ar^2,ar则为ap,aq等比中项. 记πn=a1·a2…an,则有π2n-1=(an)2n-1,π2n+1=(an+1)2n+1 另外,一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列；反之,以任一个正数C为底,用一个等差数列的各项做指数构造幂Can,则是等比数列.在这个意义下,我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的. 性质： ①若 m、n、p、q∈N*,且m＋n=p＋q,则am·an=ap·aq； ②在等比数列中,依次每 k项之和仍成等比数列. “G是a、b的等比中项”“G^2=ab（G≠0）”. (5) 等比数列前n项之和Sn=A1(1-q^n)/(1-q) 在等比数列中,首项A1与公比q都不为零. 注意：上述公式中A^n表示A的n次方. 【应用】 等比数列在生活中也是常常运用的. 如：银行有一种支付利息的方式---复利. 即把前一期的利息和本金价在一起算作本金, 再计算下一期的利息,也就是人们通常说的利滚利. 按照复利计算本利和的公式：本利和=本金*(1+利率)^存期 如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示(q≠0). （1）等比数列的通项公式是：An=A1*q^（n－1） 若通项公式变形为an=a1/q*q^n(n∈N*),当q＞0时,则可把an看作自变量n的函数,点(n,an)是曲线y=a1/q*q^x上的一群孤立的点. （2）求和公式：Sn=nA1(q=1) Sn=A1(1-q^n)/(1-q) =(a1-a1q^n)/(1-q) =a1/(1-q)-a1/(1-q)*q^n ( 即A-Aq^n) (前提：q不等于 1) 任意两项am,an的关系为an=am·q^(n-m) （3）从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出： a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1,k∈{1,2,…,n} （4）等比中项：aq·ap=ar^2,ar则为ap,aq等比中项. 记πn=a1·a2…an,则有π2n-1=(an)2n-1,π2n+1=(an+1)2n+1 另外,一个各项均为正数的等比数列各项取同底数后构成一个等差数列；反之,以任一个正数C为底,用一个等差数列的各项做指数构造幂Can,则是等比数列.在这个意义下,我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的. [编辑本段]一般数列的通项求法 一般有： an=Sn-Sn-1 （n≥2） 累和法（an-an-1=... an-1 - an-2=... a2-a1=...将以上各项相加可得an）. 逐商全乘法（对于后一项与前一项商中含有未知数的数列）. 化归法（将数列变形,使原数列的倒数或与某同一常数的和成等差或等比数列）. 特别的： 在等差数列中,总有Sn S2n-Sn S3n-S2n 2(S2n-Sn)=(S3n-S2n)+Sn 即三者是等差数列,同样在等比数列中.三者成等比数列 不动点法（常用于分式的通项递推关系） 不动点法求数列通项对于某些特定形式的数列递推式可用不动点法来求
[编辑本段]特殊数列的通项的写法 1,2,3,4,5,6,7,8. ---------an=n 1,1/2,1/3,1/4,1/5,1/6,1/7,1/8.-------an=1/n 2,4,6,8,10,12,14.-------an=2n 1,3,5,7,9,11,13,15.-------an=2n-1 -1,1,-1,1,-1,1,-1,1.--------an=(-1)^n 1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,1.--------an=(-1)^(n+1) 1,0,1,0,1,0,1,01,0,1,0,1.------an=[(-1)^(n+1)+1]/2 1,0,-1,0,1,0,-1,0,1,0,-1,0.-------an=cos(n-1)π/2=sinnπ/2 9,99,999,,. ------an=（10^n)-1 1,11,111,.--------an=[（10^n)-1]/9 1,4,9,16,25,36,49,.------an=n^2 1,2,4,8,16,32.--------an=2^(n-1) [编辑本段]数列前N项和公式的求法 (一)1.等差数列: 通项公式an=a1+(n-1)d 首项a1,公差d, an第n项数 an=ak+(n-k)d ak为第k项数 若a,A,b构成等差数列 则 A=(a+b)/2 2.等差数列前n项和: 设等差数列的前n项和为Sn 即 Sn=a1+a2+...+ 那么 Sn=na1+n(n-1)d/2 =dn^2(即n的2次方) /2+(a1-d/2)n 还有以下的求和方法: 1,不完全归纳法 2 累加法 3 倒序相加法 (二)1.等比数列: 通项公式 an=a1*q^(n-1)(即q的n-1次方) a1为首项,an为第n项 an=a1*q^(n-1),am=a1*q^(m-1) 则an/am=q^(n-m) (1)an=am*q^(n-m) (2)a,G,b 若构成等比中项,则G^2=ab (a,b,G不等于0) (3)若m+n=p+q 则 am×an=ap×aq 2.等比数列前n项和 设 a1,a2,a3...an构成等比数列 前n项和Sn=a1+a2+a3...an Sn=a1+a1*q+a1*q^2+.a1*q^(n-2)+a1*q^(n-1)(这个公式虽然是最基本公式,但一部分题目中求前n项和是很难用下面那个公式推导的,这时可能要直接从基本公式推导过去,所以希望这个公式也要理解) Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q); 注: q不等于1; Sn=na1 注:q=1 求和一般有以下5个方法: 1,完全归纳法（即数学归纳法） 2 累乘法 3 错位相减法 4 倒序求和法 5 裂项相消
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函数的教案
王老师讲课第一单元平面直角坐标系一、相关预备内容：平面：向四周无限延展的几何图形，其特点是大平。01、平面：最简单的面，在一个面任意取2点，连成直线，如果直线上所有的点都在这个面上，那么这个面就是平面。注意：01）平面内2条不重合的直线有以下2种位置关系：
斜交平行02）平行2直线，确定1平面。03）相交2直线，确定1平面。04）1点1直线，确定1平面。05）3点不共线，确定1平面。06）2点在平面，直线在平面。07)两点确定一条直线。08)过直线外一点，
有且只有一天直线与已知直线平行。09)过一点(可在直线上也可在直线外)
有且只有一条直线与已知直线垂直相交。10)过一点有(可画出)无数条直线。11)过直线外一点有无数条直线与已知直线相交。12)两条直线相交有且只有一个交点。13)过不重合的两点有且只有一条直线。14)过不重合且不在同一条直线上的三个点，
可以画出三条直线。15)过不重合且任意三点不在一条直线上的四个点，
可以画出六条直线。15)过不重合且任意三点不在一条直线上的五个点，
可以画出十条直线。02、直角：泛指一切成90°的角。03、坐标：能够确定一个点在空间的位置的一个数或一组数叫做这个点的坐标.04、数轴：规定了原点，正方向，单位长度的直线叫数轴。原点，正方向，单位长度叫做数轴的三要素。05、坐标的分类：点在直线上的坐标：用1个数字表示，通式是：A(x)点在平面上的坐标：用2个数字表示，通式是：P(x,y)，点在空间内的坐标：用3个数字表示，通式是：P(x,y，z)：一一解释：01）点在直线上的坐标：用1个数字表示，通式是：A(x)点在直线上的坐标等价于点在数轴上的坐标。数轴上表示点的实数叫点在数轴上的坐标。数轴上的点与实数具有一一对应关系。02）点在平面上的坐标：用2个数字表示，通式是：P(x,y)，（x,y）中x叫横坐标、y叫纵坐标x,y统称坐标。表示时要求，横坐标在前，纵坐标在后，中间打逗点，两边上括号，所以坐标(x,y)也叫有序实数对。坐标的顺序不同则表示的点不同。坐标平面内的点与有序实数具有一一对应关系。03）有序数对的定义：用含有2个数字的词表示一个确定的位置，其中各个数表示不同的含义，我们把这种有顺序的两个数x与y组成的数对，叫做有序数对，记作：（x，y）04）平面内点的坐标：用一对有序实数表示。05）利用有序数对，可以很准确地表示出一个位置。生活中有很多利用有序数对表示位置的例子，如用经度纬度表示地球上的地点。06）点在空间内的坐标：用3个数字表示，通式是：P(x,y，z)：
二、平面直角坐标系：为了用一对有序实数表示平面内点的坐标，在平面内画2条相互垂直而且（原点重合）有公共原点的数轴x轴和y轴，要求：01）x轴画成水平的，向右的方向为正方向，y轴画成铅直的，向上的方向为正方向；02）两条坐标轴的单位长度一般要一致。这样的两条数轴构成了平面直角坐标系。建立了平面直角坐标系的平面叫做坐标平面。特别强调说明：01、平面直角坐标系的建系作用是：用有序实数对表示点的位置。02、平面内2条不重合的直线有以下2种位置关系：
斜交平行03、为什么在平面内画2条相互垂直而且有公共原点的数轴x轴和y轴答：平面内有2组共4个主要方向，因为平行直线代表相同的一组方向，所以不用平行线来确定平面。而相交直线可以代表2组方向，所以用相交直线来确定平面。由于点的坐标是用画垂线找数量的方法来表示的，所以用相交线中的垂直相交来确定平面。于是，平面直角坐标系便名来有缘：两轴相交《===》平面两轴垂交《===》直角有序数对《===》坐标整体研习《===》系（统）02、坐标都是用过点作垂直于坐标轴的垂线与坐标轴相交的点代表的数量表示的所以用垂直相交的两条数轴，而不用斜交的两条数轴。03、x轴也叫横轴，也叫水平轴。04、y轴也叫纵轴，也叫铅垂轴。05、x轴和y轴统称坐标轴。06、两条坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。07、平面直角坐标系的构成： X轴，y轴，原点。08、横坐标的找法：过点作x轴的垂线，交点所示的数量就是横坐标09、纵坐标的找法：过点作y轴的垂线，交点所示的数量就是纵坐标10、（x,y）中x叫横坐标、y叫纵坐标x,y统称坐标。
专题:有序数对一、有序数对的定义:
有顺序的两个数a与b组成的数对，
作叫作有序数对。二、有序数对的表示:(a，b)
中间打逗点，两边上括号。三、有序数对的作用:确定平面上某点的位置。四、相关说明①“有序数对”的概念有两个要点:
一是“有序”，二是“数对”。②“有序”就是有顺序，两个数不可以随意交换位置。③(a，b)与(b，a)两个数的顺序不同，则含义不同，表示不同的点。当a＝b时，它们表示同一个有序数对。当a≠b时，它们表示不同的有序数对。④数对必须是由两个数组成。五、有序数对的应用利用有序数对，能准确的表示一个点的位置。确定物体位置的常用方法，有以下四种:第一种行列定位法:①具体做法:用排数、列数表示位置。②实
例:如果规定排在前，列在后，
则(5，3)表示第五排第三列。第二种经纬度定位法:①具体做法:通过地球上的经度和纬度确定一点在地球上的位置，地图上水平方向的线表示纬度，竖直方向的线表示经度。②实
例:北京在北纬39度54分，东经116度23分表示为白伟39°54分，东京116°23分。
对数函数第一课对数函数一、定义:一般地，形如y=log(a) x （a&0，且a≠1）的函数叫做对数函数，其中x是自变量y叫因变量也叫x的对数函数 。关于定义的说明：1、对数函数的定义是以解析法的形式给出的。2、只有形如y=log(a) x （a&0，且a≠1）的函数才叫对数函数，像y=loga(x-1)、y=2logaХ、y=logaХ+1/2等函数，它们是由对数函数变化而得到的，但都不是对数函数。3、对数函数的解析式是同底的指数函数的另一种表达方式。即对数函数是由指数函数推导出来的。4、对数函数y＝log为底x的度对数，(a＞0,a≠1)是指数函数y＝a的x次方(a＞0,a≠1)的反函数(反函数满足双域互换性)。5、自变量x(对数函数的自变量是真数x)6、定义域：使真数大于0的全体实数即X＞07、底数a:＞0，且≠1《＝》≠1的正数
《＝》a∈(0,1)U(l，+∞)8、因变量y9、值域y:全体实数y∈R10、对数三要点:函数值是R底数取正不取1真数为正也是定义域11、确定了底数a的值就确定了一个对数函数的解析式常用方法叫做待定系数法。待定系数法的一般步骤是第一步:设解析式第二步:列解方程(组)第三步:写解析式12、对数函数中的x 、y、 a都具有代表性。13、通常情况下说y是x的对数或者说是y是真数的对数。
相关题型题型一:判断函数是否是对数函数。要
点:一定要严格按模型函数的特征去判断。①函数值域是R②第数取正不取1③真数为正也是定义域④对数的系数是1⑤只有形如y=log(a) x （a&0，且a≠1）的函数才叫对数函数，像y=loga(x-1)、y=2logaХ、y=logaХ+1/2等函数，它们是由对数函数变化而得到的，但都不是对数函数。题:判断下列函数是否是对数函数①y＝log2Х
(√)②y＝log1/2Х
(√)③y＝log√3Х
(√)④y＝lgХ
(√)解:∵y＝lgХ＝log10Х(√)⑤y＝lnХ
(√)解:∵y＝lnХ＝logeХ(√)⑥y＝log3(3x)
(×)解:∵y＝log3(3x)
＝log3为底3+log3Х
不符合对数函数的解析式，
∴×。⑦y＝(x-1)log2Х
(×)解:∵系数不是1，∴×。⑧y＝logaХ(a∈R)
(×)解:∵不满足底数a&0，且a≠1，∴×。⑨y＝log8Х
(√)⑩y＝logx(x+2)
(×)解:∵在同一个问题中，
同一字母都代表同一数量
在本题中底数真数都用x表示不符合函数的表示
第二x+2是真数＞0，解得x＞-2
而本题中底数也是 x要求＞0且≠1
所以×。⑩①y＝2log4Х
(×)解:∵不符合对数函数的特征:对数的系数是1。⑩②y＝logaХ?(a＞0，且a≠1)
(×)解:原因有三:一、所有的对数都是真数的对数
而对数函数的真数只是一个字母X二、本题y是x?的对数函数，而不是x的对数函数。三、对数的真数要求＞0，而x?的值≥0。⑩③y＝log2Х-1
(×)解:不符合对数函数的表达式∴×。⑩④y=2log8Х
(×)解:∵不符合对数函数的特征:对数的系数是1∴×。⑩⑤y=(x-1)log2Х
(×)解:∵不符合对数函数的特征:对数的系数是1∴×。⑩⑥y=logxa(x＞0且x≠1)
(×)解:∵底数不是常数∴×。⑩⑦y=log5Х
(√)⑩⑧y=logaХ (a＞0且a≠1)
(√)题型二:求对数函数的定义域。求对数函数的定义域一般要注意①对数的真数要求＞0，底数a＞0且a≠1。②是式子符合实际背景。③对含有字母的式子，要注意分类讨论。题型三:用待定系数法求对数函数的解析式注意:用待定系数法求函数解析式的一般步骤是第一步，根据所求问题假设所求函数的解析式的模
型。注意标明条件如a＞0，且a≠1。第二步，根据已知条件列出关于待定常数的方程或
方程组。常见的条件有以下几种:
①已知x＝某数，y＝某数
②已知函数的图像经过某点
③已知某点在函数图像上第三步，解出所列的方程或方程组。第四步，写出解析式。题:已知对数函数f (x)的图像经过点(4，2)
求f (x)，f(8)。解:设f(x) ＝logax(a＞0且a≠1)
依据题意得
f (4)＝loga4＝2
∵a＞0且a≠1
∴a＝-2舍去
∴f(x)＝log2X
f(8)＝log28
＝log2(2?)
＝3注意:对数函数也是模型函数，形式上必须满足y=logax(a＞0且a≠1)题:如果对数函数y＝log2Х的图像
经过点A(4，y0)，那么y0＝？解:依据题意得
f(4)＝log24
∴y0＝2题型四:对数函数的定点问题注意:①对数函数f(x) ＝logax(a＞0且a≠1)的图象是恒过定点(1，0)。即当真数x＝1，则f (1)＝0可以利用x＝1，loga1＝0来计算类似的函数的定点。②对数函数的解析式是f(x) ＝logax(a＞0且a≠1)③对数函数是真数的函数下面做题第一类:真数上有运算①题:f(x)＝loga(x-2)过定点()解:令真数x-2＝1
∴所以f(x)＝loga(x-2)过定点(3，0)总结:像这样如果只在真数上有运算
则令真数＝1算得x的值
则(x，0)就是恒过的定点。现场编题3道:②题:f(x)＝loga(x+5)过定点()解:令真数x+5＝1
∴所以f(x)＝loga(x+5)过定点(-4，0)③题:f(x)＝loga(x-7)过定点()解:令真数x-7＝1
∴所以f(x)＝loga(x-7)过定点(8，0)④题:f(x)＝loga(x-2/3)过定点()解:令真数x-2/3＝1
∴所以f(x)＝loga(x-2/3)过定点(5/3，0)第二类:真数和对数上都有运算⑤题:f (x)＝log a(x-2) +1恒过定点()解:令真数x-2＝1
则f(x)＝log a1+1
＝1所以f (x)＝log a(x-2) +1过定点(3，1)总结:像这样，真数和对数上都有运算
只要让真数为1
找到对应的x的值
再算出此时的y的值
则(x ，y)就是恒过的定点现场编题道⑥题f (x)＝log a(x+3) -2过定点()解:令真数x+3＝1
则f(x)＝log a1-2
＝-2∴f (x)＝log a(x+3) -2过定点(-2，-2)⑦题f (x)＝log a(x+1/2) +1过定点()解:令真数x+1/2＝1
则f(x)＝log a1+1
＝1∴f (x)＝log a(x+1/2) +1过定点(1/2，1)⑧题f (x)＝log a(x-1/2) -2过定点()解:令真数x-1/2＝1
则f(x)＝log a1-2
＝-2∴f (x)＝log a(x-1/2) -2过定点(3/2，-2)第三类:略为复杂一点的⑨题:f (x)＝log a(x?-x-1) +1过定点()解:令真数部分x?-x-1＝1
化简得(x-2)(x+1)＝0
x＝2或x＝-1
此时:f (x)＝log a(x?-x-1) +1
＝log a1)+1
&＝1所以:f (x)＝log a(x?-x-1) +1过定点(2，1)和(-1，1)现场编题3道⑩题:f (x)＝log a(x?-3x+3) +2过定点()解:令真数部分x?-3x+3＝1
化简得(x-2)(x-1)＝0
x＝2或x＝1
此时:f (x)＝log a(x?-3x+3) +2
＝log a1)+2
＝2所以:f (x)＝log a(x?-3x+3) +2过定点(2，2)和(1，2)⑩①题:f (x)＝log a(x?-7x-17) +1过定点()解:令真数部分x?-7x-17＝1
化简得(x+2)(x-9)＝0
x＝-2或x＝9
此时:f (x)＝log a(x?-7x-17) +1
＝log a1+1
＝1所以:f (x)＝log a(x?-7x-17) +1过定点(-2，1)和(9，1)⑩②题:f (x)＝log a(x?-1) +5过定点()解:令真数部分x?-1＝1
化简得x?＝2
此时:f (x)＝log a(x?-1) +5
＝log a1+5
＝5所以:f (x)＝log a(x?-1) +5过定点(√2，5)和(-√2，5)第四类:有时候告诉定点也可以反着求逆向思维。题:如果f (x)＝log a(x-2) +n图像经过定点(m，4)则m＝?，n＝?解:根据题意可知m就是函数中的x的值
4就是f(x)的值
∴将x＝m，f(x)＝4代入函数解析式可得
m-2＝1＝》m＝3
f (x)＝log a(x-2) +n＝4
即f (x)＝log a1+n＝4
∴m＝3，n＝4考查:函数 f (x)＝log a(x-1) +2的图像过定点()解:x-1＝1＝》x＝2则f (x)＝log a(x-1) +2
＝log a1+2
＝2∴函数f (x)＝log a(x-1) +2过定点(2，2)考查函数f (x)＝log a(x+3) +1(a＞0且a≠1)图像经过定点p则p的坐标是()解:x+3＝1＝》x＝-2
则f (x)＝log a(x+3) +1
＝log a1 +1
＝1∴函数f (x)＝log a(x+3) +1过定点(-2，1)
第二课对数函数的图像及其性质：在同一坐标系中画出y＝logaX的图像性质一:图像
0 ＜a＜1举例:y＝log2Х
y＝log1/2Х
y＝log10Х
y＝log1/10Х性质二:图样性①当底数a＞1时，图像右爬型(即上升型)②当底数0＜a＜1时，图像右滑型(即下降型)性质三:图像分布性①对数函数的图像都位于在y轴的右侧∵真数x＞0《＝》自变量＞0《＝》定义域＞0∴图像位于在y轴的右边②对数函数的图像可以看作同底的指数函数的图像连同坐标轴以原点为中心以y＝x为对称轴(旋转轴)顺时针方向旋转180度得到的。性质四:确定性对数函数的图像是恒过（1,0）(a，1)这两点，且与同底的指数函数关于直线y=x(一三角分线)成轴对称的一条曲线。总结：对数函数的作图方法：第一种：描点法（常规不常用）第二种:两点法连接（1,0）(a，1)这两点(常用)第三种：对称法：(常用)①先作同底的指数函数的图像②再作它关于直线y=x的对称图形。强调注意:①图像区域分布：都在y轴右侧∵定义域是正数②图像恒经过（1,0）点：原因是1的对数是0性质五:单调性a＞1时，在x∈(0，+∞)上严格单调递增∵底数a＞1时，图像右爬型(即上升型)0＜a＜1时，在x∈(0，+∞)上严格单调递减∵底数0＜a＜1时，图像右滑型(即下降型)性质六:最值性在整个定义域内既无最大值，也无最小值，但在定义域的某一闭子区间上有最值性质七:定义域x&0《==》x∈(0，+∞)因为图像分布在y轴的右侧。性质八:值域y∈R《==》y∈(一∞，十∞)因为图像分布在x轴上下及上。性质九:对称性既不关于原点对称，也不关于y轴对称，但是与同底的指数函数关于直线y=x对称性质十:奇偶性：非奇非偶函数性质十一:双域互换性∵同底的指数函数与对数函数的图像关于y＝x对称，而关于y＝x
对称的点的坐标特征是横纵坐标互换位置 ，满足这样的关系的函数互为反函数∴ 对数函数与同底的指数函数互为反函数满足双域互换性。性质十二:底数的大小与函数值的变化(一)符号表示①当底数a＞1时，x＞1，则㏒aХ＞00＜x＜1，则㏒aХ＜0②当底数0＜a＜1时，x＞1，则㏒aХ＜00＜x＜1，则㏒aХ＞0(二)文字表示①当底数a＞1时，图像右爬型(即上升型)在点(1，0)的右边纵坐标都大于零，在点(1，0)的左边纵坐标都小于零。②当底数0＜a＜1时，图像右滑型(即下降型)在点(1，0)的右边纵坐标都小于零，在点(1，0)的左边纵坐标都大于零。性质十三:低的大小与图的高低：假设y1=logax，其中a＞1或0＜a＜1，
y2=logbx，其中b＞1或0＜b＜1，以定点(1，0)为界:当x＞1时，底大图低，即若a＞b则y1＜y20＜x＜1时，底大图高，即若a＞b则y1大于y2性质十四:函数值的变化情况①当底数a＞1时，
＞0(x＞1)㏒aХ
＜0(x＜1)②当底数0＜a＜1时，
＞0(x＞1)㏒aХ＝0(x＝1)
＜0 (x＜1)性质十五:渐近性对数函数的图像无限的接近与y轴，但永远不能达到y轴，y轴叫做对数函数的渐近线。
高中数学---数列一、总说数列数列是高中数学的重要内容又是学习高等数学的基础是初等数学与高等数学的一个重要衔接点因而是历年高考的热点之一在近十年的高考中数列的内容占有较大的比重这些试题不仅考查数列的基本知识而且考查基本技能基本思想与基本方法有效地测试了逻辑推理能力运用能力和相当的分析问题解决问题的能力在当今社会中许多热点问题如存款问题分期付款问题以及与增长率相关的问题都可以转化为数列的问题来解决因此高考对实际问题的考察也倾向于本部分内容二、内容分布本章共有八个知识点一、数列二、等差数列三、等差数列通项公式四、等差数列前n项和公式五、等比数列六、等比数列通项公式七、等比数列前n项和公式八、实际问题三、本章重点重点是数列的通项公式的求法数列前n项和的求法四、本章难点难点是数列的实际问题的应用(本内容选自硕维新课标教材详解高一数学上册233页)
第一节，数列的有关预备内容：一、数列的概念：即什么是数列？答：顾名思义，数列就是一列数。
若科学严谨一点，
数列就是按一定顺序排列的一列数。解释说明：01、数列研究的对象是：数，
这个数可以是纯粹的数，
也可以是用字母表示的数，
可以是实数，
也可以是复数。
∴数可以理解成数据。02、构成数列中的每一个数
都叫做这个数列的项。
从左到右依次叫做第一项、
第二项…第n项；
第几项就用a几表示。03、数列的第一项也叫首项
（可不是英国的首相。
即排在第一位的数
称为这个数列的第1项
通常也叫做首项，
排在第二位的数
称为这个数列的第2项
排在第n位的数
称为这个数列的第n项。）04、任何一个数列至少要有三项组成。05、“顺序”一词在数列中主要表示
数据出现的先后顺序，
它的标准可以是
从小到大、
从大到小、
从左到右、
从右到左、
间隔出现等等。06、“顺序”一词隐含了数列的构成规律。
但是在排列过程中有些数列
没有明显构成规律，
仅仅是一列数而已。07、有的数列有明显的构成规律，
且有章可循，
所以数列实质上是指按一定规律
排列的一列数，
因此“按一定顺序排列”
可以理解成“按一定规律排列”。
正是有于这个规律的存在，
有些数列才能写出通项公式，
即表示这个规律的式子。
从而在已知了前三项
或任意连续三项之后完全可以
依据规律写出后续项或其他项，
这些项的依据就是数列的构成规律，
如果把这个规律符号化，公式化，
那么这个式子就是整个数列的通项公式，
通式为an=f（n）（详见通项公式内容）
。。。。。。08、有穷数列的最后一项也叫末项；
即末项是针对于有穷数列而言的。09、无穷数列没有末项。10、任何一个数列一定有首项，
但不一定有末项；
即所有的数列都是终于有限，
无终于无限。11、数列的定义是由详举法的形式上给出的。12、数列中的数是按照一定顺序排列的，
顺序不同则构成不同的数列；
如果几个数列的项，
及其排列顺序相同则构成相同的数列。13、相同的数列的定义：
两个数列的各项相同
且排列次序相同
那么这样的两个数列叫相同的数列。14、一列数可以是横向排列，
也可以是纵向排列；
还可以是其它方向的排列。15、任何一个数列（数列中的项的性质）
都具有以下性质：
A、有序性：数列中的项排列有序。
B、可重性：数列中的项可以重复。
C、确定性：数列中的各项都确定。16、注意数列和数集（集合）①数列所具有的性质：A、确定性：数列中的任何一项都是确定的。B、有序性：数列中的项是有序排列的。C、可重性：数列中的项乐意重复出现。②数集集合具有的性质：A、任意性：任何对象都可以组成集合。B、无序性：集合中的元素排列与顺序无关。C、互异性：集合中的各元素互不相同，
如有相同要么构不成集合，
要么只能算一个元素。D、确定性：对象是或不是集合中的元素
以及集合中有无元素都是确定的。17、体现数列确定性的方式有
文字叙述，
通项公式表示，
或写出有限项表示。18、由于数列的项都是按一定顺序排列的，
因此每一项都占有一个不同的位置。19、任何一个数列都是从第一项开始排列的。20、项：数列中的每一个数
叫做这个数列的“项”。
数列的项通常用字母加右下角标数
来表示，其中右下角标数表示项的
位置序号。注意项可以取任意数。
项是组成数列的成分，元素。21、项数：项的总个数叫数列的“项数”。
项数都是从第一项开始的。
所以每一项都有一个对应的
位置序号。这个位置序号
就叫做项数，项数也可以理解为，
项的右下角标序数数字，
项数只能取正整数，
即非0自然数，
也就是说任何一个数列
都是从第一项开始的。
项数也叫项序数或项的序号数。22、在表示数列时既要体现项又要体现项数，
如第3项是8
3是项数8是项。23、可简单地理解为：
项是（数列中的每一个 )数。
项数是（每一项对应的位置序)位置编号。简记作：项是数据，项数是数据序号PDT:1、自然数1,2,3,4,5，6,7,8.。。构成一数列。2、自然数1,2,3,4,5,6，7,8.。。的倒数1,1/2，1/3,1/4,1/5，1/6,1/7,1/8….也可以构成一个数列。3、&数列的定义中没有规定数列中的数必须相同，因此，同一个数在数列中可以重复出现。4、&项与序号n是不同的，数列的项是这个数列中某一个确定的数，它实质上是序号n的函数值f(n);而序号则是指该项在这个数列中的位置，另外，序号与项数也是不同的概念，项数是表示整个数列有多少项。5、由下列各组元素能够成数列吗？如果能构成，是有穷数列还是无穷数列？并说明理由。1）-3，-1,1，X，5,7，Y，11；解：当XY代表数时能构成数列，
而且是有穷数列，
当XY中有一个不代表数时，
就构不成数列，
这是因为数列必须是由一列数
按一定的顺序排列所组成的。2）无理数；解：不能构成数列，
因为我们无法把所有的无理数
按一定顺序排列起来。3）正有理数。解：能够成数列，且是无穷数列。
二、数列的表示：1、一般表示法：A、详举法B、简记法2、特殊表示法A、解析法①通项公式法②递推公式法B、列表法C、图像法一一解释说明：1、一般表示法：A、详举法： &把数列的各项一一写出： &数列的一般形式可以写成 ： &a1，a2，a3，…，an，a（n+1）， &… &每项之间用逗号隔开。注意：详举法适用于有穷数列 &或者规律明显的无穷数列。B、简记法： &把数列用一个特定的而且能体现 &数列通性的符号表示出来， &一般要把特定符号放在大括号内， &一般简记为｛an｝。 &即 ｛an｝=a1，a2，a3，a4，……an，(n∈N+) & 为方便，我们把第一个数记为a1, &第二个数记为a2，...， &第n个数记为an， &a1为数列的“第一项”或“首项”， &a2是“第二项” &…… &an是“第n项”。 &如用详举法表示的数列： &<font color="#ed/2，1/3，1/4，1/5，…1/n，…& &可以简记作：｛1/n｝说明：(1)｛an｝与an不同： &｛an｝表示数列一般形式 &a1，a2，a3，…，an, a（n+1），… &的简记符号，并不表示一个集合。 &而an仅仅表示数列的第n项。(2)数列中的项通常用an表示， &其中右下角标是数列｛an｝中项的位置序号， &即an为第n项。 &如果把an看做数列的任意一项， &则前一项是an-1，后一项是an+1。(3)用符号｛an｝表示数列， &只不过是“借用”集合的符号， &它们之间有本质上的区别：①集合中的元素 是互异的， &而数列中的项可以是相同的。②集合中的元素是无序的， &而数列中的项必须按一定顺序排列， &也就是必须是有序的。
2、特殊表示法A、解析法：①通项公式法：
数列的第n项an与项的序数n之间的关系
可以用一个式子an=f(n)来表示，
这个公式就叫做这个数列的通项公式
简称通项。
理解：1、数列的通项公式实质上就是
数列的各项所通用的公式。2、用函数观点看数列：
数列可以看作是函数，
也就是一个以正整数集N+
或它的有限子集﹛1,2,3,4，。。。n﹜
为定义域的函数的表达式。3、数列的通项公式也可以理解为
项与项数之间的函数关系式。4、数列是一种特殊的函数，
特殊在自变量是非0自然数。5、如果给定一个数列之后，
对于每一个位置上（即位置序号或项数）
的数都有一个确定的数值（即项）和它对应。6、由于每一个数列都是从第一项开始的，
因此数列中的每一个不同位置上的数值
（即项）是位置（即项数）的函数
记为：an=f(n)。7、如果给定了一个
以非0自然数n为自变量的函数an=f(n)
就能求出数列中每一个位置上的值，
如自变量n取1、2、3、。。。
那么通过an=f(n)就会得到相应的函数值
a1，a2，a3，…，an，…8、所以数列可以看作是一种特殊的函数，
其特殊性主要表现在其定义域和值域上。
数列可以看作一个
“定义域为正整数集N*
或其有限子集｛1，2，3，…，n｝的函数，
其中的“｛1，2，3，…，n｝”不能省略。9、数列的主要任务是
研究数列的局部性质 &
（如求某项或某些项的和）
以及整体性质（如数列的单调性，有界性） &
数列的通项已知了，
那么研究的问题就会迎刃而解。
数列是函数，
所以函数所研究的性质数列都能研究。10、有了通项公式
那么依次用1、2、3.。。
去代替通项中的n
既可以写出数列中的任何一项，
又可以检验某些对象是否是数列中的项。11、利用通项公式
也可以判断某数是否是数列的项，
或是第几项。12、数列是有规律的一列数，
其内涵的本质属性确定这一数列的规律， &
这个规律通常是用式子f(n)来表示的。13、用函数的观点认识数列
是重要的思想方法，
一般情况下函数有三种表示方法，
数列也不例外。14、函数的三种表示方法：
解析法、列表法、图像法。
数列的三种表示方法：
解析法、列表法、图像法。
其中数列的解析法包括
以通项公式给出数列和
以递推公式给出数列。15、函数不一定有解析式，
同样数列也并非都有通项公式。
即并不是每一个数列都有通项公式，
就像并不是每一个函数关系
都可以用解析式表示，
也就像并不是每一个女人都能生娃娃。16、有的数列可以写出通项公式。17、有的数列通项公式唯一。18、有的数列通项公式形式上不唯一。
每个人的思考角度不同，
但是只要言之有理，
所得出的规律都可以认为是正确的。
因此有些题目要求
写出数列的一个通项公式，
原因不言而喻。
就像这个世界上没有两片完全相同的树叶。
答案可以是多样的
也就是说同样广场的路不止一条
条条大路通罗马
数列的通项公式是唯美灵活的
一个公式就是一个灵魂
……19、有的数列写不出通项公式。
如成绩单、年龄与体重的关系、
π的不同近似值，根据精确的程度，
可形成一个数列：
3，3.1，3.14，3.141，…
它没有通项公式。
不要怀疑真没有
有就是有没有就是没有20、写不出通项公式的数列是普遍存在的，
写出通项公式的都是一些相对简单
而且特殊的数列。
如等差数列或等比数列。21、有些数列只给出它的前几项，
并没有给出它的构成规律，
那么根据数列的有限项
归纳出来的通项公式有时不唯一，
从而推知的后续项不可靠。
如数列2、4、8。。。
包括这三项在内的数列
an=2的n次方或
如果用an=2的n次方算的第四项是16；
如果用an=n?-n+2算的第四项是14，
∵数列满足确定性
∴第四项不确定则数列不确定。
居然有两种结局
一看就是个花花公子
谁愿出题人小气的就给了3项了
要是就给一项
本老汉能写出千数来个通项公式
一项不叫数列
至少三项才叫数列
一个好汉三个帮
一个篱笆三个桩
独木不成林
单丝不成线22、通过通项公式的归纳
不仅要依据数列的构成规律
更应该多观察分析，
真正找到数列的内在规律。23、由数列的前几项写出数列的通项公式
没有通用的方法可循，
只要灵活多悟，
摸着石头过河
就会出现应有的结果。24、数列的通项公式实际上是
一个以自然数集或其有限子集
为定义域的函数表达式25、从函数的角度理解数列的项与项数：
& ①数列的项：
是指这个数列中的某一个确定的数，
它实质上序号n的一个函数值，
相当于解析式中的f(n)
&②数列的项数：
是指项在数列中的位置，
用序号表示，
是一个自变量的值，
相当于解析式中的n。
项数n的取值范围是全体非0自然数
项数既能体现数列有多少项，
也能体现数列中的任何一项。26、函数与数列的比较：类
数列表达式
解析式Y=F(x)
通项公式an=f(n)自变量
项数—n（正整数）因变量
现场练习题：1、已知数列的通公式为an=4/(n?+3n),
试问1/10,和16/27是不是它的项？
如果是，是第几项？解：令4/(n?+3n)=1/10,
则n=5或n=-8
∵n∈N+，故n=-8舍去。
所以1/10是数列的第5项。
令4/(n?+3n)=16/27,
则n=3/2或n=-9/2
∴16/27不是此数列中的项。27、数列具有函数的特性。
数列可以看成是以正整数集N+
或其有限子集﹛1,2,3,4，。。。n﹜
为定义域的函数，
当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，
所对应的一列函数值。
对于函数Y=F(X)，
如果F(i)(i1,2,3.。。。n)有意义，
那么我们就可以得到一个数列
F(1),F(2),F(3)….F(N)理解：数列是一个特殊的函数，其特殊性体现在以下几点：1）数列的定义域为正整数集N+
或它的有限子集。
(比如﹛1,2,3,4，。。。n﹜）
即函数当定义域为N+
或﹛1,2,3,4，。。。n﹜《===》数列2）自变量取值时按从小到大的顺序。3）函数的值域是一列孤立的实数。4）可以求出数列中制定的任意一项。28、熟记以下通项公式：1）自然数组成的数列an=n-12）非0自然数列或正整数列an=n3）非0偶数列或正偶数列an=2n4）非负偶数列 an=2（n-1）5）正奇数列
非0自然数的倒数组成的数列：an=1/n7)
正偶数组成的数列an=2n8)
负偶数组成的数列an=-2n9）2,6,12,20，。。。an=n（n+1）10）1,2,4,8,…. an=2的n-1次方11）2,4,8,16，。。。an=2的n次方12）1,4,9,16，。。。an=n?13)1,8,27,64，。。。an=n?14)1，-1,1，-1.。。。方法一：an=（-1）的n+1次方方法二：an=（-1）的n-1次方方法三：an=-（-1）的n次方
｛1（n为奇数）方法四：an=
｛-1（n为偶数）方法五：an=sin∏/2·(-1)的(n+1)次方方法六：an=-cosn∏注意：一正一负这种摆动数列的通项公式
一般用（-1）的n次方或
（-1）的（n+1）次方或
（-1）的（n-1）次方来调节。15)-1,1，-1,1.。。。方法一：an=（-1）的n次方方法二：an=（-1）的n+2次方方法三：an=-（-1）的n-2次方
｛-1（n为奇数）方法四：an=
｛1（n为偶数）方法五：an=sin∏/2·(-1)的n次方方法六：an=-（-cosn∏）
<font color="#ed，-2,3，-4，。。。解：an=n（-1）的（n-1）次方
an=n（-1）的（n+1）次方<font color="#ed、2、0、2、0、2.。。。。解：&&&&&&&&
&｛0（n为奇数）方法一：an=
｛2（n为偶数）方法二：an =（-1）的n次方+1方法三：an=1+cosnπ<font color="#ed,1,0,1，。。。。解：&&&&&&&
&& ｛0（n为奇数）方法一：an=
｛1（n为偶数）或：
an=（1+cosnπ）/2或：
an=sinπ/2<font color="#ed,0,1,0.。。。解：&&&&&&&
&& ｛1（n为奇数）方法一：an=
｛0（n为偶数）20)9,99,999,……解：9与10接近，
可看作10-1《=》10的1次方-1
99与100接近，&
可看作100-1《=》10?-1
999与1000接近，
可看作1000-1《=》10?-1
∴an=10的n次方-1<font color="#ed,88,888,8888.……解：∵8=8/9×9
88=8/9×99
888=8/9×999
∴an=(8/9)×（10的n次方-1）<font color="#ed,77,777,7777.……解：an=(7/9)×（10的n次方-1）<font color="#ed,66,666，6666.……解：an=(6/9)×（10的n次方-1）<font color="#ed,55,555,5555.……解：an=(5/9)×（10的n次方-1）<font color="#ed,44,444,4444.……解：an=(4/9)×（10的n次方-1）<font color="#ed,33,333,3333.……解：an=(3/9)×（10的n次方-1）<font color="#ed,22,222,2222.……解：an=(2/9)×（10的n次方-1）<font color="#ed,11,111,1111，……解：an=(1/9)×（10的n次方-1）29)
0,1,0,1,0,1…解析：0=1-1所以原数列可列写为：
1-1,,1,1-1，1,1-1,1…所以an=1+（-1）的n次方除以230)
0,2,0,2,0,2…解：an=1+(-1)的n次方31)
0,3,0,3,0,3…解：方法一：
an=1+（-1）的n次方除以2乘以3
｛0(n为奇数)
｛3(n为偶数)
an=（3+3（-1）的n次方）/232)
0,4,0,4,0,4…解：an=1+（-1）的n次方除以2乘以433)
1,1,1,1,1,…解：an=134)
2,2,2,2,2…解：an=235)
3,3,3,3,3,…解：an=336)
4,4,4,4,4,…解：an=437)
5,5,5,5,5,…解：an=538)
6,6,6,6,6,…解：an=639)
7,7,7,7,7,…解：an=740)
8,8,8,8,8,…解：an=841)
9,9,9,9,9,…解：an=942)
9,16,25,36…43)
3,-5,7,-9…44)
1+1/2,3+1/4,5+18,7+1/16…45)
-1,3,-7,15…60:1/2,1/6,1/12,1/20…46)
1，3，5，7，9，11……解：an=2n-147)
3，5，7，9，11……解：an=2n+148)
5,7,9,11…解：an=2n+349)
7，9，11……解：an=2n+550)
1,2,4,8,16,32…解：an=2的(n-1)次方说明：
较简单的数列求通项公式的方法叫观察法。较复杂的数列求通项公式常用组合法，即把一个数列分为若干个数列的和差积商，分别求出每个数列的通项公式然后再组合<font color="#ed+（1/2）,1-（9/4）,1+（25/6）,
1-（49/8）…分析：①每一项都有1，所以通项公式中也含有1；②数列依次是1+。。，1-。。，
依次出现+，-号
所以要用到+-的调节符号（-1）的(n+1)次方③数列每项的第二部分分别是分数，
所以通项公式中也要有分数形式④其中分子是1?,3?，5?，7?。。。。
可用（2n-1）?表示⑤分母是2,4,6,8，。。。。
可用2n表示综上所述an=1+（-1）的(n+1)次方×（2n-1）?/2n<font color="#ed/4,- 5/8,7/16,-9/32…解：an=（-1）的（n+1）次方
×(2n+1)/2的（n+1）次方&53)
-1,8/5,-15/7,24/9…解：an=（-1）的n次方
×（（n+1）?-1）/（2n+1）54)
0,1,0,2,0,3,0,4…解：
｛0(n为奇数)
｛n/2(n为偶数)55)
2,3,10,15,26,35…….解：偶数项是3,15,35.。。
正好是偶数项的平方-1
奇数项2,10,26
恰好是奇数项的平方+1
出现了一正一负交替出现的数列，
所以用（-1）的（n+1）次方调节，
∴an=n?+（-1）的（n+1）次方
附加：关于通项公式的基本课题：第一类：已知通项公式写出数列的前若干项&
这类题比较简单；练习：已知通项公式，写出前5项：1、an=2的n次方-3的n次方解：依次取n=1、2、3、4、5得：
a5=-2112、an=（-1）的n次方+（-1）的n+1次方
解：把n=1、2、3、4、5
依次代入an得
a5=03、难度略加：
已知数列｛(9n?-9n+2)/（9n?-1）｝
则a10=解：将n=10代入通项公式得
a10=第二类：已知数列前若干项，
求数列通项公式
而且答案不一定唯一，
求通项公式的主要技巧是
找出已知的每一项与项数之间的关系，&
通过项数参与运算得出结论&
然后抽象成一般；练习：写出下面数列的一个通项公式，
使它的前几项分别是下面各数 1：1、4、9、16、25解析：写通项公式时，
主要考虑项与项数之间的关系，
即通过项数参与运算得出结论： &解：an=n?
&<font color="#ed、3、8、15、24解析：由1题可知，
对应项依次小1：
所以an=n?-13：1/2、3/6、5/12、7/20解析：分子分别是1、3、5、7
是连续奇数则用2n-1表示；
分数线不变；
分母分别是2、6、12、20
∴：an=(2n-1)/ n(n+1)4：3、5、9、17解析：
a1《==》3=2+1=2的1次方+1
a2《==》5=4+1=2?+1
a3《==》9=8+1=2?+1
a4《==》17=16+1=2的4次方+1
∴an=2的n次方+15：-1、8/5、-15/7、24/9解析：首先一负一正交替出现
要用到正负的调节符号
（-1）的n次方
其次分子从第二项依次是8、15、24
用n(n+2)表示
分母从第二项依次是 5、7、9
用2n+1表示
通过检验第一项1满足
n(n+2)/2n+1
∴an=(-1)的n 次方乘以n(n+2)/2n+16:1、2、3、4、5、解：项数与项完全一样
∴an=n7:2、3、4、5、6、解析：项比项数大1
∴an=n+18:3、4、5、6、7、解析：项an与项数n之间的关系式是
∴an=n+29:2、4、6、8、10解析：正偶数
∴an=2n&10:1、3、5、7解析：正奇数
∴an=2n-111:9、10、11、12、13、14、15解析:an=n+812:-1、-2、-3、-4、-5解析：an=-n13:0、1、2、3、4、5、解析：an=n-114:1、1/2、1/3、1/4、1/5解析：an=1/n15:-1、1/2、-1/3、1/4、-1/5解析：an=(-1)的n次方乘以1/n16:1、-1/2、1/3、-1/4、1/5解析：an=(-1)的(n+1)次方乘以1/n17填空并写出通项公式：1、3、（）、7、9、（）13、。。。。解：an=2n-1∴1、3、（5）、7、9、（11）13、。。。。18、（）、1、4、9、16、（）、36、。。。解：an=(n-1)?
∴（0）、1、4、9、16、（25）、36、。。
2、特殊表示法之解析法②递推公式法总结：数列公式的给出形式：A、直接写出（写出有限项，后续项省略）；B、语言叙述表达出，
如：所有正偶数组成的数列；C、由通项公式给出；D、给出其中的一项或几项同时
又给出每相邻2项或三项之间的关系。②递推公式：
如果数列｛an｝的第n项an
与它前一项或几项的关系
可以用一个式子来表示，
那么这个公式叫做这个数列的递推公式。 注意：1、数列递推公式的特点：（1）递推公式是描述数列的又一种基本方法，
它揭示了数列中相邻两项之间的关系。
由递推基础和递推关系两部分构成，
从递推基础出发，
根据递推关系可写出数列的前几项，
并进一步归纳出整个数列的通项公式，
这也是由递推公式求出通项公式的
一种常用方法。（选自《学习的艺术》）题：已知数列｛an｝中a1=1，
an=an-1+2n-1(n≥2)，
求出这个数列的前四项，
并根据这四项猜想数列｛an｝的通项公式。解：∵an=an-1+2n-1，a1=1
∴a2=a1+2×2-1=4
a3= a2+2×3-1=9
a4= a3+2×4-1=16
∴这个数列的前四项依次是1,4,9,16.
根据数列的前四项可猜想
通项公式为an=n?变式训练：
数列｛an｝中a1=1,an+1=nan/n+1
则an的通项公式为？解：
a2=1×1/2=1/2
a3=2×(1/2)/2+1=1/3
a4=3×（1/3）/3+1=1/4
∴an的通项公式为an=1/n（2）递推公式有时不一定是整个数列的通项公式，
而是局部几项的一个通项公式（3）有些数列的递推公式可以有不同形式，
即不唯一。（4）有些数列没有递推公式。 2、递推公式也是给出数列的一种方式。3、递推公式是一个笼统的概念，
它是一种关系式，
这种关系式，
满足逐项符合的特征，
因为递推公式反映的是数列的基本特征，
所以一个数列并不都能写出
通项公式或递推公式。4、递推公式一般都会指出从第几项符合，
而不符合的项不能用递推公式计算，
所以递推公式有时是数列的局部公式。现场演习题：
已知数列｛an｝的第一项是1，
以后各项由公式An=1+1/An-1
写出这个数列的前5项。
注意(n-1)是下角标。解：∵首项已给出a1=1
∴以后各项用代入递推公式法得
A2=1+1/a1=1+1/1=2
A3=1+1/a2=1+1/2=3/2
A4=………………=5/3
A5=………………=8/5
数列表示方法之B、列表法：
将数列的项数与项对应地列在表格内
的一种表示数列的方法C、图像法：
用画出图像表示数列的方法。
具体做法：
用横坐标表示项数
用纵坐标表示项
在平面直角坐标系中描出(n,f(n))
就是数列an=f(n)的图像。说明：①∵数列是一种特殊的函数，
所以也可以用图像表示，②数列的定义域是一切正整数，即n∈N十。③数列的对应法则是通项公式，③数列的值域是一些孤立的实数
&显然，④数列的图象是有穷或无穷个孤立的整点。附加判断理解全√：1、因为数列可以看成是一个序号集合
到另一个数的集合的映射，
因此，从映射、函数的观点看，
数列可以看作是一个定义域为正整数集
或它的有限子集的函数，
当自变量从小到大依次取值时
对应的一列函数值。2、数列的项相当于函数值，
项数序号相当于自变量，
数列的通项公式相当于函数的解析式。3、数列是一种特殊的函数，
所以可以用图像法表示。4、具体做法：
以项数n做为横坐标，
相应的项an作为纵坐标，
在平面直角坐标系noan中描点，
即做出图像。
所以画数列图像的步骤：
②描点5、画数列的图像不需要连线，
因为自变量只取非0自然数。6、为了方便起见，表示数列的图像
在平面直角坐标系中
两坐标轴的单位长度可以不一致。7、 数列的图像只能在y轴的右侧不能在左侧。
∵项数n＞0且 n∈Z。8、&&图像显示：
数列的图像是
平面直角坐标系noan中一群孤立的
相邻两点之间的水平距离是1的点，
本质原因是项数只能取正整数。9、& 数列中的数具有代表性可以是数字，
字母，图形，表格等等。10、 数列也可以用点阵来表示，
1，3,6,10.。。。
用点阵表示是三角点阵，
所以也称1,3,6,10.。。。是三角形数。&
1，4，9,16.。。。
用点阵表示是正方形点阵，
所以也称1,4,9,16。。。是正方形数，
这些点阵传说是
古希腊毕达哥拉斯学派的数学家
在沙滩上研究数学问题时发现的。三、数列的分类：标准一：按项数的多少有穷数列：项数有限的数列（即项数可数）无穷数列：项数无限的数列（即项数不可数）注意：1、在写数列时，对于有穷数列，
要把末项（最后一项）写出。
如：1、3、5、7、9.。。。2n-1.2、
若果把数列1、3、5、7、9.。。。2n-1.
写成1、3、5、7、9.。。。2n-1.。。。
就表示无穷数列。标准二；按各项之间的变化情况递增数列：一个数列从第二项起
满足后项大于前项
即an+1＞an
如：1，2，3，4，5，6，7；递减数列：一个数列从第二项起
满足后项小于前项
即an+1＜an
如：8，7，6，5，4，3，2，1；注意：递增数列和递减数列统称单调数列常数列：一个数列的每一项都相等
即an=an+1=an+2
（如：等差数列2，2，2，2，2）。&&摆动数列：一个数列从第二项起，
有些项大于它的前一项，
有些项小于它的前一项。
即an+1与an的大小不确定。
可能是一大一小，
也可能是一正一负。。。。
其中一正一负间隔出现的数列 &
也叫交错数列.注意：①摆动数列的内涵和外延，
摆动数列就是就是数列中除
“递增数列”“递减数列”“常数列”
之外的所有数列，
不要简单认为只有周期性摆动数列
才是摆动数列。
②摆动数列既不是单调数列也不是常数列。周期数列：各项呈周期性变化的数列
叫做周期数列（如三角函数）&
即每隔一定的项，
数列的值完全一样的数列。现场练习题：判断下列数列的种类：①全体自然数列：1,2，3,4.。。。
解：无穷数列、递增数列。②1996---2002年某市普通高中生人数（单位：万人）构成数列：
82,93,105,119,129,130,132
解：有穷数列、递增数列。③无穷多个3构成的数列：3,3,3，。。。
解：无穷数列、常数列。④目前通用的人民币面额从大到小的
顺序构成数列：100,50,20,10,5,2,1,0.5,0.2,0.1,0.05,0.02,0.01
解：有穷数列、递减数列。⑤-1的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂。。。
构成数列：-1,1，-1,1.。。。
解：无穷数列、摆动数列⑥√2精确到1,0.1,0.01,0.001.。。。
的不足近似值构成的数列：
1,1.4,1.41,1.414.。。。。解：无穷数列、递增数列⑦√2精确到1,0.1,0.01,0.001.。。。
的过剩近似值构成的数列
2,1.5,1.42,1.415.。。。。
解：无穷数列、递减数列标准三：按数列各项的符号：正项数列：数列的各项都是正数的数列负项数列：数列的各项都是负数的数列标准四：按有无界限：任何一项的绝对值
是否小于某一正数分为：有界数列：有上界无下界&&&&&&&&&& &&&& &&&&
有下界无上界&
｛即｜an ｜≤A（A是常数）｝
既有上界又有下界无界数列：
既无上界又无下界的数列
即不存在｜an ｜≤A（A是常数）标准五：按后项与前项之间的差或商等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，
每一项与它的前一项的差等于 &
同一个常数，这个列叫等差数列，
这个常数叫做等差数列的公差，
公差通常用字母d表示，
前N项和用Sn表示。
等差数列可以缩写为A.P.等比数列：一般地，如果一个数列从第2项起，
每一项与它的前一项的比等于&
同一个常数，这个列叫等比数列，
这个常数叫做等比数列的公比，
公差通常用字母q表示， &
前N项和用Sn表示。
等差数列可以缩写为A.G.
数列第一节相关习题一寻找规律填空说明：①观察是解决问题的根据。②通过观察可以发现事物发展和变化的规律③在一般情况下我们可以从
以下几个方面来寻找规律:
一，根据相邻两数间的关系
二，根据相隔两数间的关系
三，整体把握数之间的关系注意:
一组数间的关系可以从不同角度来理解， &
只要言之有理，
所得出的规律
都可以认为是正确的。题:先找出下列数列排列规律，
然后在括号里填上适当的数。①1，4，7，10，(
)，16，19。②2，4，8，16，(
)。答案:①1，4，7，10，( 13 )，16，19。解:相邻两个数的差都是3，
即每一个数加上3就等于后一个数。②2，4，8，16，(
)解:相邻两个数的比都是2，
即每一个数乘2都等于后一个数。③2，6，10，14，(
)，22，26。④3，6，9，12，(
)，18，21。⑤33，28，23，(
)，3。⑥55，49，43，(
)，19。⑦3，6，12，(
)，192。⑧2，6，18，(
)。⑨128，64，32，(
)，2。⑩768，(
)，48，12，3。答案③2，6，10，14，( 18
)，22，26。解:每相邻两个数的差都是4，
即每一个数加上4等于后一个数。④3，6，9，12，( 15 )，18，21。解:每相邻两个数的差都是3，
&即每一个数加上3等于后一个数。⑤33，28，23，(18)，13，(8)，3。解:每相邻两个数的差都是5，
&即每一个数减去5等于后一个数。⑥55，49，43，(37 )，31，(25)，19。解:每相邻两个数的差都是6，
即每一个数减去6等于后一个数。⑦3，6，12，(24)，48，(96)，192。解:每一个数乘以2，都等于后一个数。⑧2，6，18，(54)，162，(486)。解:每一个数乘以3，都等于后一个数。⑨128，64，32，(16)，8，(4)，2。解:每一个数除以2，都等于后一个数。⑩768，(192)，48，12，3。解:每一个数除以4，都等于后一个数。⑩①1，2，4，7，(
)，16，22。⑩②10，11，13，16，20，(
)，31。⑩③1，4，9，16，25，(
)，49，64。⑩④18，19，21，24，(
)。⑩⑤53，44，36，29，(
)，11，9，8。⑩⑥81，64，49，36，(
)，4，1，0。⑩⑦1，4，8，13，19，(
)。⑩⑧1，3，7，13，(
)。⑩⑨3，4，6，10，18，(
)。答案⑩①1，2，4，7，( 11)，16，22。解：前4个数相邻的两个数的差是1，2，3。
也就是他们相邻的差组成一个数列
1，2，3，4……
∴()=7+4=11⑩②10，11，13，16，20，(
)，31。解：在这列数中，
前五个数每相邻两个数的差
依次是1，2，3，4，5……
由此可以推算20比()少5，
()=20+5=25
经后面数的验证
所填的数是正确的
应填的数为20+5=25或31-6=25
答案为25。⑩③1，4，9，16，25，(
)，49，64。解：方法一
在这列数中，
前五个数每相邻两个数
的差依次是3、5、7、9
由此可以推出25比()里的数少11
()=25+11=36
经后面的数验证，
所填的数是正确的
答案为36。
每一个数正好是项数的平方
所以第六项应该是36⑩④18，19，21，24，(
)。解：前四个数每相邻两个数的差依次是
由此可以推出24比()里的数少 &
()=24+4=28。
根据这一规律，
后面括号里应该填的数分别是
∴答案为28、39、46。⑩⑤53，44，36，29，(
)，11，9，8。解：在这列数中，
每相邻两个数的差依次是
9、8、7。由此可以推出
29比()里的数多6
()=29-6=23
后一个()里的数比18少4
经后面的数验证
所填的数是正确的
答案为23，14。⑩⑥81，64，49，36，
)，4，1，0。解：在这列数中，前四个数
每相邻两个数的差依次是
17、15、13。
由此可以推出36比()里的数多11
()=36-11=25
后一个()比16少7
经后面数的验证
所填的数是正确的
所以答案为25，9。⑩⑦1，4，8，13，19，(
)。解：在这列数中
前五个数每相邻两数的差依次是
3、4、5、6
由此可以推算出19比()里的数少7
()=19+7=26
后一个()里的数比26多8
()=26+8=34
∴答案是26、34。⑩⑧1，3，7，13，(
)。 解：在这列数中
每相邻两个数的差依次
由此可以推算出13比()里的数少8
()=13+8=21
后面()比21多10
()=21+10=31
∴答案是21、31。⑩⑨3，4，6，10，18，(
)。解： 在这列数中
前五个数每相邻两个数的差依次是
1、2、4、8
相差数后一个是前一个的二倍
由此可以推算出18比()里的数少16
()=18+16=34
后一个()比34多32
()=34+32=66
∴答案为34、66。
②⑩23，4，20，6，17，8， &
)，11，12解：规律是:
∴答案是14，10②①1，6，5，10，9，
)解：规律是:
∴答案是18，17②②13，2，15，4，
)解：规律是：
&∴答案是19，8②③3，29，4，28，6，26，9，23，
)，18，14解：规律是：
奇数项相邻两项相差1、2、3……依次加
偶数项相邻两项相差1、2、3……依次减
&∴答案为13、19 。②④21，2，19，5，17，8，()，()解：规律是：&
奇数项依次–2
偶数项依次+3
∴答案为15、11。②⑤32，20，29，18，26，16，&
()，()，20，12解：规律是：
奇数项相邻两个数相差3依次减
偶数项相邻两个数相差2依次减
∴答案为：26-3=23
16-2=14②⑥2，9，6，10，18，11，54，
()，()，13，486解：规律是：&
奇数项后面数是前面数的3倍 &&
偶数项依次加1
54×3=162②⑦1，5，2，8，4，&
11，8，14，()，()解：规律是： &
奇数项后面数是前面数2倍& &
偶数项相邻两数之差是3依次加
∴答案为8×2=16 &
14+3=17②⑧1，5，2，8，4， &
11，8，14，()，()。解:规律是:
奇数项依次是2的&
0，1，2，3，4，5次方
偶数项依次+3
∴答案是:2的4次方=16
<font color="#ed=17②⑨1，1，2，3，5，8，13，
)，34，55，……解：从第三个数开始，
每个数都等于它前面两个数的和。
这个数列叫作斐波那切
(意大利古代著名数学家)数列， &
也叫“兔子数列”。故事:
在1、1、2、3、5、8、13、21……中，从第三个数开始，每个数都等于前两个数的和。这一奇特的数列是由意大利数学家斐波那契从兔子繁殖问题中提出的，为了纪念他，人们就把这种数列称为斐波那契数列，也称兔子数列。斐波那契发现兔子繁殖非常快，几个月后，1对兔子就变成了几十对。每对成年兔每个月都能生出1对兔宝宝，而兔宝宝一个月后便有生殖能力，两个月后就能生下第一对小兔。这样一月初有1对兔宝宝，二月初小兔交配，三月初新生1对兔宝宝，有2对兔子，四月再生1对小兔，有3对兔子，五月比上月多生1对兔宝宝（三月出生的小兔生的），有2对兔宝宝，共有5对兔子，六月又比上月多生1对兔宝宝（四月出生的小兔生的），共8对。这样一到六月兔子的对数就是<font color="#ed、2、3、、5、8，从第三个数开始，每个数都是前两个数的和，继续推理下去仍是如此。除此以外，人们从很多地方也发现了这类数列。如：茉莉花（3个花瓣），
毛莨（5个花瓣），
翠雀（8个花瓣），
万寿菊（13个花瓣），
紫宛（21个花瓣），
雏菊（34、55或89个花瓣）。这些花的花瓣数恰好构成斐波那契数列中的一串数。③⑩2，2，4，6，10，16，()，()。③①34，21，13，8，5，()，2，()。③②0，1，3，8，21，()，144。③③3，7，15，31，63，()，()。③④33，17，9，5，3，()。③⑤0，1，4，15，56，()。③⑥1，3，6，8，16，18，()，()，76，78。③⑦0，1，2，4，7，12，20，()。答案③⑩2，2，4，6，10，16，()，()。解:规律:
从第三个数开始 &
每一个数都是它前面两个数的和
根据这一规律
()=16+10=26 &
()=26+16=42
∴答案为26、42。③①34，21，13，8，5，()，2，()。解:规律:
从第三项开始，
每一个数都等于它前面两个数的差。
根据这一规律&
()=3-2=1 &
∴答案为3，1。③②0，1，3，8，21，()，144。解:规律:&
连续三个数，用中间的数乘3，
再减去第一个数=第三个数&
根据这一规律&
()=21x3-8=55 &
所以答案为55。③③3，7，15，31，63，()，()。解:规律:前五个数相邻两个数的差
依次为4，8，16，32
&差组成一个后数是前数二倍的等差数列&
依据此规律可知&
接着相差的数依次为&
所以答案为63+64=127
127+128=255③④33，17，9，5，3，()。解:规律:&
前五个数相邻两个数的差依次是&
16，8，4，2
接着相差的数为2÷2=1
所以答案为3-1=2③⑤0，1，4，15，56，()。解:规律:
连续三个数中间的数×4-&
第一个数=第三个数&
56×4-15=209 &
所以答案是209。③⑥1，3，6，8，16，18，()，()，76，78。解:规律:
从左往右两个数为一组&
从第二组开始，
每组中的第一个数
是前一组第二个数的2倍&
每组中的第二个数是同一个数中的
第一个数加2&
∴第一个()=18×2=36 &
第二个()=36+2=38③⑦0，1，2，4，7，12，20，()。解:规律
前几个相邻数的差依次为
1，1，2，3，5，8，
符合“兔子数列”的规律
接着相差数为13，③⑧(100，96)，(97，88)，
(91，75)，(79，())解:规律:
括号里的两个数相差依次为
也构成一列数
规律是(n+1)?
第四组数应相差5?＝25
∴79-25＝54
③⑨(6，9)，(7，8)，(10，5)，(()，13)④⑩(1，24)，(2，12)，(3，8)，(4，())④①(18，17)，(14，10)，(10，1)，(()，5)④②(1，3)，(5，9)，(7，13)，(9，())④③(2，3)，(5，7)，(7，10)，(10，())④④(64，62)，(48，46)，(29，27)，(15，())④⑤(100，50)，(86，43)，(64，32)，(()，21)④⑥(8，6)，(16，3)，(24，2)，(12，())答案:③⑨(6，9)，(7，8)，(10，5)，(()，13)解:规律:括号里的两数之和为15
∴()＝15-13＝2④⑩(1，24)，(2，12)，(3，8)，(4，())解:规律:括号里的数的积是24
∴()＝24÷4＝6④①(18，17)，(14，10)，(10，1)，(()，5)解:规律:括号里的两个数相差依次为
相差的数构成n?
∴()＝5+16＝21④②(1，3)，(5，9)，(7，13)，(9，())解:规律:括号里的两数相差依次为
相差的数构成2n
∴()＝9+8＝17④③(2，3)，(5，7)，(7，10)，(10，())解:规律:括号里的两个数相差依次是
相差的数构成数列n
∴()＝10+4＝14④④(64，62)，(48，46)，(29，27)，(15，())解:规律:括号里的两个数相差2
∴()＝15-2＝13④⑤(100，50)，(86，43)，(64，32)，(()，21)解:规律:括号里的两数，
横坐标是纵坐标的2倍
∴()＝21×2＝42④⑥(8，6)，(16，3)，(24，2)，(12，())解:规律:相邻两项的积是48
∴()＝48÷12＝4④⑦12
30答案④⑦12
8解:规律是横行首+尾＝中
∴()＝4+8＝12④⑧9
9解:规律是横行首+尾＝中
∴()＝4+9＝13④⑨8
16解:规律是每横行或竖行三数和＝30
∴()＝30-12-16＝2⑤⑩4
30解:规律是每横行首+尾-2＝中
∴()＝24+2-6＝20⑤①根据前两组数的关系，
填第三组数
30、8、()、⑤②根据前两组数的关系，
填第三组数
3、10、()⑤③根据前两组数的关系，
填第三组数
48、12、16
()、15、()⑤④根据前两组数的关系，
填第三组数
11、9、5、4
7、9、4、4
13、8、3、()答案⑤①根据前两组数的关系，
填第三组数
30、8、(24)、解：规律：
中数×前数÷10=后数
8×30÷10=24⑤②根据前两组数的关系，
填第三组数
3、10、(15)解：规律：
中数×左数÷2=右数
10×3÷2=15⑤③根据前两组数的关系，
填第三组数
48、12、16
(60)、15、(20)解：规律：
前数是中数的4倍，
是后数的3倍。
15×4=⑤④根据前两组数的关系，
填第三组数
11、9、5、4
7、9、4、4
13、8、3、(7)解：规律是
左两数和=右两数积
13+8=3×7⑤⑤先计算下面一组算式的第一题，
然后找出其中的规律，
并根据规律直接写出
后几道题的得数。
结果就是由9个1组成的9位数。
成功是优点的发挥
失败是缺点的累积
走对了路的原因只有一种
走错了路的原因却有很多
先知先觉改变一生
不知不觉断送一生
四，数列的前n项和Sn1、数列的前n项和的定义：
对于数列｛an｝
把a1+a2+a3+…+an
叫做数列｛an｝的前n项和，
并记作Sn=a1+a2+a3+…+an2、数列前n项和公式的定义：
如果数列｛an｝前n项和Sn与n的关系
可用一个式子（公式）表示，
则这个公式就叫做这个数列前n项和公式。说明：01）所有的数列都可以求和，
所有的数列求和的一般程序都相同，
即把组成数列的各项都加起来。02）不同的数列其求和的公式不尽相同。03）数列前n项的和是n项相加的结果、
用字母表示作Sn=a1+a2+a3+…+an04）数列前（n-1）项的和是
（n-1）项相加的结果
用字母表示作
Sn-1=a1+a2+a3······+an-105）n项比（n-1）项多n-(n-1)=1项06）（n+1）项比n项多n+1-n=1项07）Sn.
=a1+a2+a3+…+an-1+an08）Sn-1=a1+a2+a3+…+an-109）两式相减
=a1+a2+a3+…+an-
（a1+a2+a3+…+an-1）
=an（n≥2）说明：
①∵an既是数列第n项的代表符号
又是数列的通项的代表符号
∴an= Sn-Sn-1可以认为是
an所代表数列的第二通项公式。
②第一通项公式就是找规律写出的通项10）在上述an=Sn-Sn-1公式中
若n=1则有a1=S1-S1-1
S0表示数列的前0项和公式。
∵数列第一项之前再没有项了，
∴s0显然不存在。
当然也可认为s0=0
即有a1= S111）所以对于an=Sn-Sn-1只有在n≥2时才成立。12）利用an=Sn-Sn-1（n≥2）
可以使数列数列前n项和公式
与通项公式之间实现相互转化。
因而它是一个非常重要的公式。13）对于任意一个数列｛an｝总满足：
｛Sn-sn-1（n≥2）
∴已知数列｛an｝的前n项和公式Sn
在求通项公式an时
一般应分为n=1和n≥2两种情况分别计算。
如果a1适合an（n≥2）的表达式,
则结果应该用一个式子表达，
否则通项公式应写成分段函数的形式，
也就是说an=Sn-Sn-1
这个等式只有在n≥2时才成立，
只有验算了由an=Sn-Sn-1所确定的
an（n≥2、n∈N十）
在n=1时与S1相等时，
才是通项公式，否则
｛Sn-sn-1（n≥2）现场练习题题：已知下列各数列｛an｝的
前n项和sn的公式
求｛an｝的通项公式（1）Sn=n(-1)的(n+1)次方（2）Sn=3的n次方-2（3）Sn=n?an（n≥2），a1=1.解：1）当n=1时，a1=s1=1
当n≥2时，
an=Sn-Sn-1
=（-1）的n次方×
（-n）-(-1)的n次方×（n-1）
=（-1）的n次方×（-2n+1）
由于a1也适合此等式，
∴an=（-1）的n次方×（-2n+1）
（n∈N+）解：2）当n=1时，a1=s1=1
当n≥2时，an=Sn-sn-1
=2×3的（n-1）次方
｛1（n=1）
｛2×3的（n-1）次方(n≥2)解：3）∵n=1时，a1=1。
∴n≥2时，an=Sn-Sn-1=n?an-(n-1)?an-1=
练习设f(x)=log2x-logx4(0&x&1)又知数列｛an｝的通项an满足f(2的an次方)=2n(n∈N十)①试求数列｛an｝的通项公式②判断数列｛an｝的增减性解：∵f(x)=log2x-logx4
=log2x-log24/log2x
=log2x-2/log2x(0&x&1)由f(2的an次方)=2n(n∈N十)可得f(2的an次方)=log2(2的an次方)-2/log2(2的an次方)=2n(n∈N十)即设
，又知数列
满足 ．(1)试求数列
的通项表达式；(2)判断数列
的增减性．答案解：
①又∵
， ②由①②得
，由换底公式得
． ③由0 ＜ x ＜ 1 ，有
． ④由③④得
，此即为数列
的通项表达式．(2) ．即
是单调递增数列．
第二节：等差数列：一、严格定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，
每一项与它的前一项的差
等于同一个常数，
这个数列就叫做等差数列，
这个常数叫做等差数列的公差，
公差通常用字母d表示，
前n项和用Sn表示。&
等差数列可以缩写为A.P.
（Arithmetic Progression）。
等差数列也叫等差级数列或算术级数。 解释一:①AP必须是从第二项起，
每一个后项与前项之差
必须是同一个常数d，
如果一个数列不是从第二项起，
而是从第三项或第四项起，
每一项与它的前一项的差是同一个常数，
那么此时数列不是AP，
但可以说从第二项或第三项起
是一个AP。②一个数列，
从第二项起
每一项与它的前一项的差
尽管等于常数
这个数列也不一定是AP
因为这个常数可以不同
当常数不相同时
因此定义中
“同一个”常数
这个“同一个”十分重要
切记不可丢掉。③AP的d必须是一个常数，
而且一个AP只有一个d。④同一个AP的公差必须是同一个常数。⑤不同的AP可以有不同的常数。⑥ 1、2、3、……100.……
是一个公差为d=1的AP。⑦如果一个数列只有一个公差
那么这个数列一定是AP，
但有差的数列不一定是AP。⑧公差是相等的差，而差可以不相等。⑨AP是任意相邻两项
每一个后项与前项或
前项与后项之差是同一个常数
即差相等的数列。⑩AP的符号定义：
在数列｛an｝中，
若an+1-an=d
