请问五年级数学上册： 3^2+2×3-4=11 那么如果这两个“3”的数字是“x”，前提是两个“x”必须一样

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2018-09-12 02:43 标签： 五年级数学上册

一般地，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，若找得到一个函数g(y)在每一处g(y)都等于x，这样的函数x= g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作y=f^(-1)(x) 。反函数y=f ^(-1)(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。最具有代表性的反函数就是对数函数与指数函数。

一般地，如果x与y关于某种对应关系f（x）相对应，y=f（x），则y=f（x）的反函数为x=f

(y)或者y=f﹣?（x）。存在反函数(默认为单值函数）的条件是

必须是一一对应的（不一定是整个数域内的）。注意：上标"?1"指的并不是幂。

是f(D)。如果对于值域f(D)中的每一个y，在D中有且只有一个x使得f(y)=x，则按此对应法则得到了一个定义在f(D)上的函数，并把该函数称为函数y=f(x)的

由该定义可以很快得出函数f的定义域D和值域f(D)恰好就是反函数f-1的值域和定义域，并且f-1的反函数就是f，也就是说，函数f和f-1互为反函数，即：

反函数与原函数的复合函数等于x，即：

，于是函数y=f(x)的反函数通常写成

相对于反函数y=f-1(x)来说，原来的函数y=f(x)称为直接函数。反函数和直接函数的图像关于直线y=x对称。这是因为，如果设(a,b)是y=f(x)的图像上任意一点，即b=f(a)。根据反函数的定义，有a=f-1(b)，即点(b,a)在反函数y=f-1(x)的图像上。而点(a,b)和(b,a)关于直线y=x对称，由(a,b)的任意性可知f和f-1关于y=x对称。

于是我们可以知道，如果两个函数的图像关于y=x对称，那么这两个函数互为反函数。这也可以看做是反函数的一个几何定义。

若一函数有反函数，此函数便称为

若要是一明确的反函数，它必须是一

  • 上的每一元素都必须只被

    映射到一次：不然其反函数将必须将元素映射到超到一个的值上去。

  • ）陪域上的每一元素都必须被

    映射到：不然将没有办法对某些元素定义

有一明确反函数，它必通过水平线测试，即一放在

必定有严格单调的反函数，并且二者单调性相同。

在证明这个定理之前先介绍函数的严格单调性。

为f(D)。如果对D中任意两点x

，则称y=f(x)在D上严格单调递增；当x

，则称y=f(x)在D上严格单调递减。

证明：设f在D上严格单增，对任一y∈f(D)，有x∈D使f(x)=y。

而由于f的严格单增性，对D中任一x'<x，都有y'<y；任一x''>x，都有y''>y。总之能使f(x)=y的x只有一个，根据反函数的定义，f存在反函数f-1。

若此时x1≥x2，根据f的严格单增性，有y1≥y2，这和我们假设的y1<y2矛盾。

（1）函数f(x)与它的反函数f-1(x)图象关于直线y=x对称；

（3）一个函数与它的反函数在相应

不存在反函数（当函数y=f(x)， 定义域是{0} 且 f(x)=C （其中C是常数），则函数f(x)是偶函数且有反函数，其反函数的定义域是{C}，值域为{0} ）。

不一定存在反函数，被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数。若一个

存在反函数，则它的反函数也是奇函数。

（5）一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性；

（6）严增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数；

（7）反函数是相互的且具有唯一性；

关系：如果x=f(y)在开区间I上严格单调，可导，且f'(y)≠0，那么它的反函数y=f

(x)，在中国的教材里，

记为arcsin、arccos等等，但是在欧美一些国家，sinx的反函数记为sin

x-1表示1/x，那么f-1(x)与这是否有些关系呢？下面举几个例子来说明这点。当然，f-1(x)肯定和1/f(x)不等，但是确实有与之很相近的性质。

反函数（1）反函数的反函数

为了好看以及对比，我有时会把f(x)写成f对比，我把我想各位应该很好理解，反函数的反函数当然就是原函数，写成数学语言就是(f

=f。看看，这是不是有点像

反函数（2）反函数的导函数

如果函数x=f(y)在区间Iy内单调、可导且f '(y)不等于零，则它的反函数y=f

用自然语言来说就是，反函数的

，等于直接函数导数的倒数。这话有点绕，不过应该能读懂，这个似乎就进一步揭示了反函数符号的意义。

在这里要说明的是，y=f(x)的反函数应该是x=f

(y)。只不过在通常的情况下，我们将x写作y，y写作x，以符合习惯。所以，虽然反函数和直接函数不互为

，但是各自导函数求出后，二者却是互为倒数。

反函数（3）反函数的复合函数

这个内容属于高等数学的内容了。大伙想想函数里面最简单最基本的函数是什么函数？不用说，肯定就是我们的

y=x，这就和我们数字里面的1一般地位，所以，我们记恒等函数为“1

数字的基本运算就是加减乘除，而函数也有运算，虽然也有加减乘除，但是属于函数自己的，就是复合与反函数。我们知道在实数里，x与1/x的乘积等于1，在函数的复合运算里，也有类似的性质，函数f和g的复合记为f○g，那么下面的性质成立：f-1○f=1x；1x○f=f○1x=f。

这第一个式子已经说明很多问题。实际上，这些都是属于

的内容，在每一个封闭的系统里，都有一个“单位1”，都有自己的运算法则，函数里的就是1

，实数里的就是数字1等等。要深刻理解这些，也只有大家接触群论以后才会深入理解。这里也只是做点皮毛而已。我将在后面另起一文，介绍函数的“幂”的概念，就如同数的幂一样。

，但习惯上，我们一般用x表示自变量，用y 表示函数，为此我们常常对调函数x=f

(y)中的字母x,y，把它改写成y=f

(x)，今后凡无特别说明，函数y=f(x)的反函数都采用这种经过改写的形式。

⑵反函数也是函数，因为它符合函数的定义. 从反函数的定义可知，对于任意一个函数y=f(x)来说，不一定有反函数，若函数y=f(x)有反函数y=f -1(x)，那么函数y=f -1(x)的反函数就是y=f(x)，这就是说，函数y=f(x)与y=f -1(x)互为反函数。

⑶互为反函数的两个函数在各自定义域内有相同的单调性。

在R内不是反函数，但在其单调增（减）的定义域内，可以求反函数；另外，

等函数不单调，也可求反函数。

可知，函数y=f(x)是定义域A到值域C的映射，而它的反函数y=f

(x)是集合C到集合A的映射，因此，函数y=f(x)的定义域正好是它的反函数y=f

(x)的值域；函数y=f(x)的值域正好是它的反函数y=f

(x)的定义域（如下表）：

若确定函数y=f(x)的映射f是函数的定义域到值域上的“一一映射”，那么由f的“逆”映射f

分别对应原函数y=f(x)的值域、定义域.。开始的两个例子：s=vt记为f(t)=vt,则它的反函数就可以写为f

有时是反函数需要进行分类讨论，如：f(x)=x+1/x，需将x进行分类讨论：在x大于0时的情况，x小于0的情况，多是要注意的。

一般分数函数y=(ax+b)/(cx+d)（其中ad≠bc）的反函数可以表示为y=(b-dx)/(cx-a)，这可以通过简单的四则运算来证明。

  • 1. 课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心编 ．人教版A版高中数学必修一：人民教育出版社 ，2007
  • 同济大学数学系．高等数学（第六版上册）．北京：高等教育出版社，2007：90

据魔方格专家权威分析，试题“如果抛物线y=x2-6x+c-2的顶点到x轴的距离是3，那么c的值等于____..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

现在没空？点击收藏，以后再看。

  • 二次函数的三种表达形式：
    把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。

    y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax2的图像相同，当x=h时，y最值=k。
    有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
    例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。
    注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h>0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。
    具体可分为下面几种情况：
    当h>0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到；
    当h>0,k>0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)2+k的图象；

    由一般式变为交点式的步骤：


    a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向。a>0时，开口方向向上；
    a<0时，开口方向向下。a的绝对值可以决定开口大小。
    a的绝对值越大开口就越小，a的绝对值越小开口就越大。
    能灵活运用这三种方式求二次函数的解析式；
    能熟练地运用二次函数在几何领域中的应用；
    能熟练地运用二次函数解决实际问题。

  • 二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

    )此抛物线的对称轴为直线x=(x

    已知二次函数上三个点，（x

    当△=b2-4ac>0时，函数图像与x轴有两个交点。(x

    当△=b2-4ac=0时，函数图像与x轴只有一个交点。(-b/2a，0)。

    X的取值是虚数（x=-b±√b2－4ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a）

  • 二次函数解释式的求法：
    就一般式y=ax2＋bx＋c（其中a，b，c为常数，且a≠0）而言，其中含有三个待定的系数a ，b ，c．求二次函数的一般式时，必须要有三个独立的定量条件，来建立关于a ，b ，c 的方程，联立求解，再把求出的a ，b ，c 的值反代回原函数解析式，即可得到所求的二次函数解析式。

    ）原创内容，未经允许不得转载！

我要回帖

更多关于 五年级数学上册 的文章

 

随机推荐