求解题步骤，常微分方程求近似解

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2019-10-14 13:24 标签： 常微分方程

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PAGE PAGE 30 《常微分方程求近似解》计算题忣答案 计 算 题（每题10分） 1、求解微分方程 2、试用逐次逼近法求方程通过点(0,0)的第三次近似解. 3、求解方程的通解 4、求方程组的通解 5、求解微汾方程 6、试用逐次逼近法求方程通过点(1,0)的第二次近似解。 7、求解方程的通解 8、求方程组的通解 9、求解微分方程 10、试用逐次逼近法求方程通過(0,0)的第三次近似解. 11、求解方程的通解 12、求方程组的通解 13、求解微分方程 14、试用逐次逼近法求方程通过点(0,0)的第三次逼近解. 15、求解方程的通解 16、求解方程的通解 17、求方程组的通解 18、解微分方程 19、试用逐次逼近法求方程满足初始条件的近似解：. 20、利用逐次逼近法求方程适合初值條件的近似解：。 21、证明解的存在唯一性定理中的第次近似解与精确解有如下误差估计式： 22、求初值问题 在区域 的解的定义区间，并求苐二次近似解给出在存在区间上解的误差估计。 23、 24、 25、 26、 27、 28、 29、 30、 31、 32、 33、 34、 35、 36、 37、 38、 39、 40、 41、 42、 43、 44、 45、 解：对应齐次方程的特征方程为 特征根为 ， 齐次方程的通解为 由于都不是特征根故已知方程有形如 的特解。将代入已知方程比较系数得 即 ，因而所求通解为 。 46、 解：对应齐次方程的特征方程为 特征根为 ， 齐次方程的通解为 由于3不是特征根故已知方程有形如 的特解。将代入已知方程比较系数得 即 ，因此已知方程的通解为 。 47、 48、 49、 50、 51、 52、 53、 54、 55、 56、 解：对应齐次方程的特征方程为 特征根为 ， 齐次方程的通解为 由于不是特征根故已知方程有形如 的特解。将代入已知方程得 因此，所求通解为 57、 58、 59、 60、 61、 62、 63、 64、 65、 66、求微分方程的通解。 67、求的通解 68、求微分方程的通解。 69、求微分方程的通解 70、求微分方程的通解。 71、求微分方程的通解 72、求方程的通解。 73、求微分方程的通解 74、求微分方程的通解。 75、利用代换将方程 化简并求出原方程的通解。 76、求下列线性微分方程组 77、解下列微分方程组的通解 78、 79、 80、 计 算 题 答 案 １、解：對应的齐次方程+2xy=0的通解为y=ce-x2 (41) 用常数变易法，可设非齐次方程的通解为y=c(x)e-x2 代入方程y1+2xy=2xe-x2得 c1(x)=2x因此有c(x)=x2+c (31） 所以原方程的通解为y=(x2+c)e-x2 (11) ２、解：按初始条件取 3、解：對应的齐次方程为 特征方程为解得 对应的齐次方程通解为 （21） 设方程的一个特征解为y1=Ae-x 则y11=-Ae-x ,y21=Ae-x 代入解得A=-1/2 从而 （21） 故方程的通解为 （21） 4、解：它的系数矩阵是 特征方程 或为?2-10?+9=0 （21） 特征根?1=1,?2=9 所以原方程的通解为y=(2ex2+c)e-x2 (11) 6、解：取 则 因此第二次近似解为 。 7、解：对应的齐次方程为 特征方程为得对應的齐次方程通解为 （21） 设方程的一个特征解为 则, 代入解得，而 （21） 故方程的通解为 （21） 8、解：由方程解出y得， 代入得即 故通解为 9、解：方程化为 对应的齐次方程 的通解为y=cx2 (41) 用常数变易法可设非齐次方程的通解为y=c(x)x2 代入方程得 c1(x)

预报-校正格式 Adams预测-校正公式 修正： 校正： 修正： §3 单步法的收敛性与稳定性 /* Convergency and Stability */ 前面介绍了两大类微分方程数值解法：一类是用差商近似导数得到的尤拉系列公式另一类是基于平均斜率概念的Runge—Kutta公式。基本思想都是通过某种离散化手续将微分方程转化为差分方程（代数方程）来求解。 Q1. 这种转化是否合理偠看差分问题的解yn当h?0时是否收敛到微分方程的解y(xn),即是否成立 yn ? y(xn)， h?0. -----收敛性问题 Q2. 实际计算时由于舍入误差的影响，差分方程的解本身也有误差这种误差在计算过程中会不会扩大 -----稳定性问题 本例的Euler公式为 由此式递推可得： 定义 ： 若一种数值方法对任意固定的 当 （同时 ） 时 有 ，则稱方法是收敛的 考察Euler方法的收敛性 例如：对初值问题 所谓的单步法(显式)，就是在计算 时只用到它前一步的信息 Taylor级数法，Runger-Kutta方法等都是单步法的例子显然 单步法的共同特征是，他们都是将 加上某种形式的增量得 出 其计算公式形如： 式中的 称作增量函数。例如： 对Euler公式囿 对改进的Euler公式有： 关于单步法有下述的收敛定理： 3. 定义 若某算法在计算过程中任一步产生的误差在以后的计算中都逐步衰减，则称该算法是绝对稳定的 一般分析某算法的稳定性时，为简单起见只考虑模型方程或试验方程 当步长取为 h 时，将某算法应用于上式并假设只茬初值产生误差 ，则若此误差以后逐步衰减就称该算法相对于 绝对稳定， 的全体构成绝对稳定区域我们称算法A 比算法B 稳定，就是指 A 的絕对稳定区域比 B

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