有关高数求解不定积分的问题
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从不定积分的一题多解浅析高等數学不定积分例题的发散思维
增城学院公共课教学部广东
摘要:发散思维是多方向性和开放性的立体思维方式,是创造性的核心.一题多解是培养发散思维最有效的途径之一.本文以计算不定积分的“一题多解”为例给出发散思维在高等数学不定积分例题中的应用实例.
关键詞:发散思维;收敛思维;一题多解;不定积分
高等数学不定积分例题的学习是离不开逻辑思维(又称抽象思
·福特根据人的思维方式的不维)的.美国心理学家吉尔
同,把思维分为求同思维和求异思维.所谓求同思维(又称为集中思维、聚敛思维、收敛思维、聚合思维、辐合思维)就是多种信息输入、一种信息输出的思维;具体来说,就是利用公理、定义、定理使思维规范化,掌握知
(又称扩散思维、辐射思维、识一般规律.所谓求异思维
发散思维、放射思维)就是一种信息输入、多种信息输
公式、已知条件等产生多出的思维;也就是利鼡定理、
新的构思,发现和解种想法广开思路,提出新的假设、
前苏联著名教育学家、心理学家赞可夫(Л·В·Ванков)说过:“凡是没有发自内心求知欲和兴趣的东西,是很容易从记忆中挥发掉的.”发散性思维的形成是以乐于求异的心理倾向作为一种重要的内驱力的.为此教师可选择具体例题,创设问题情境使学生乐于
“一题多解”为例,给进行求异思维.以下以不定积分的
出发散思维在不定积分中的應用实例.
dx姨分析:观察和积累是发散思维的基石.计算不定积
【如:常用的分必须以扎实而丰富的基础知识为依据
23个不定积分基本公式、求不定积分的常用方法(第一
第二类换元积分法、分部积分法)、代数类换元积分法、
式及三角函数式的恒等变形等】,使思维向多方向擴展尽可能多地提出多种设想、寻求多种解答思路.
首先,考虑利用第一类换元积分法于是有
例1计算不定积分%I=思路1:%I=
姨+C;其次,考虑利鼡第二类换元积分法.
由于被积函数含有式子姨在第二换元积分法中,该式通常运用三角代换(含双曲代换)于是有
由于被积函数是代數式,故可以考虑将它进行代数式的恒等变形根据第一换元积分法,又有
姨+C考虑利用分部积分法.
由于人们已经熟悉了运用第一换元积分法与第二换元积分法来计算不定积分因此,在利用分部积分法来计算不定积分时可以考虑与前两种积分方法结合使用.如本例将分部积汾法与第一换元积分法结合使用,又有