证明实对称矩阵 正定必有特征值(因为这是证明实对称矩阵 正定能被对...

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2011-07-16 10:56 标签： 实对称矩阵
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来源：　　作者：李玉清冯孝周;
实对称正定矩阵的Seidel迭代收敛性的一种证明　 如果线性方程组Ax=b的系数矩阵A是实对称正定的,则该实对称正定矩阵A的Gauss-Seidel迭代法是收敛的,这一结论成立的关键是要证明Gauss-Seidel迭代矩阵的谱半径小于1(如文[1-2]中所论)。这一结论的证明方法很多,本文尝试给出一种更为简捷的判定方法。将n阶实对称正定矩阵A表示为A=D-L-LT其中D是由A的对角线元素构成的对角矩阵,-L是A的对角线以下元素构成的严格下三角矩阵,这时Seidel迭代矩阵为M=(D-L)-1LT。下面先给出常见的证明方法:设λ是(D-L)-1LT的任一特征值,y≠0是λ对应的特征向量,则有:(D-L)-1LTy=λy;LTy=λ(D-L)y上式两端同左乘y的共轭转置y*得y*LTy=λy*(D-L)y(1)设y*LTy=λy*(D-L)y=p-qi,其中p,q均为实数,对该式两端同取共轭转置得y*Ly=p+qi(2)于是得y*Ay=y*(D-L-LT)y=y*Dy-(y*Ly+y*LTy)=y*Dy-2p(3)由(1),(2)式得λ=y*LTyy*(D-L)y=p-qiy*Dy-y*Ly=p-qi(y*Dy-p)-qi由于D是正定矩阵((本文共计1页)　　　　　　　　　　
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　　　　　　设AB均是n阶实对称矩阵，其中A正定，证明存在实数t使tA+B是正定矩阵
设AB均是n阶实对称矩阵，其中A正定，证明存在实数t使tA+B是正定矩阵
这个证明很容易，AB为n阶实对称阵，均可对角化。设A的特征值为λ1，λ2，λ3........λn，其中λi均&0 （A是正交矩阵，特征值均大于0）另设B的特征值为λ1‘，λ2’，λ3‘.....λn’tA+B的特征值φ（λi）=tλi+λi‘ 因为λi&0，我们只需要让t足够大，能够使得对应的φ（λi）=tλi+λi‘ 都大于0即可推出tA+B是正定矩阵.有不明白的请追问或者hi我，祝学习愉快
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