平面向量的概念念

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2011-07-29 23:47 标签： 平面向量的概念
向量空间 _百度百科
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向量空间又称线性空间是的中心内容和基本概念之一在里引入概念后使许多问题的处理变得更为简洁和清晰在此基础上的进一步抽象化形成了与相联系的向量空间概念譬如实系数多项式的集合在定义适当的后构成向量空间在代数上处理是方便的单变元实函数的集合在定义适当的运算后也构成向量空间研究此类函数向量空间的数学分支称为向量空间它的理论和方法在科学技术的各个领域都有广泛的应用外文名Vector space所属科目基本对象，
设F是一个一个F上的向量空间是一个V和两个
向量加法+ : V × V → V 记作 v + w, ? v, w ∈ V
标量乘法· : F × V → V 记作 a v, ?a ∈ F 及 v ∈ V
符合下列公理 (? a, b ∈ F 及 u, v, w ∈ V)
向量加法结合律u + (v + w) = (u + v) + w
向量加法交换律v + w = w + v
向量加法的单位元V 里有一个叫做零向量的 0? v ∈ V , v + 0 = v
向量加法的逆元素?v∈V, ?w∈V使得 v + w = 0
标量乘法分配于向量加法上a(v + w) = a v + a w
标量乘法分配于域加法上: (a + b)v = a v + b v
标量乘法一致于标量的域乘法: a(b v) = (ab)v
标量乘法有单位元: 1 v = v, 这里 1 是指域 F 的乘法单位元
有些教科书还强调以下两个公理
V 闭合在向量加法下v + w ∈ V
V 闭合在标量乘法下a v ∈ V
更抽象的说一个F上的向量空间是一个F-V的成员叫作向量而F的成员叫作若F是实数域RV称为实向量空间若F是复数域CV称为复向量空间若F是有限域V称为有限域向量空间对一般域FV称为F-向量空间[1]
首5个公理是说明向量V在向量加法中是个余下的5个公理应用于标量乘法
以下都是一些很容易从向量空间公理推展出来的特性
0 ∈ V公理3是唯一的
a 0 = 0? a ∈ F
0 v = 0? v ∈ V这里 0 是F的加法单位元
a v = 0 则可以推出要么 a = 0 要么 v = 0
v的加法逆元公理4是唯一的写成-v这两个写法v - w 及 v + (-w) 都是标准的
(-1)v = -v? v ∈ V
(-a)v = a(-v) = -(av)? a ∈ F ? v ∈ V
如果V是一个线性空间如果存在不全为零的系数c1, c2, ..., cn∈F使得c1v1+ c2v2+ ... + cnvn= 0那么其中有限多个向量v1, v2, ..., vn称为的.
反之称这组向量为的更一般的如果有无穷多个向量我们称这无穷多个向量是线性无关的如果其中任意有限多个都是线性无关的设W为向量空间 V 的一个非空子集若W在 V 的加法及标量乘法下是封闭的就称W为 V 的线性子空间
给出一个向量集合 B那么包含它的最小子空间就称为它的扩张记作 span(B)另外可以规定的扩张为{0}[2]
给出一个向量集合 B若它的扩张就是向量空间 V 则称 B 为 V 的
给出一个向量集合 B若B是线性无关的且B能够生成V就称B为V的一个若 V={0}唯一的基是[3]对非零向量空间 V基是 V 最小的生成集也是
如果一个向量空间 V 拥有一个元素个数有限的生成集那么就称 V 是一个有限维空间向量空间的所有基拥有相同基数称为该空间的例如实数向量空间R0, R1, R2, R3, …中 Rn 的维度就是 n
空间内的每个向量都有唯一的方法表达成基中向量的而且将基中向量进行排列表示成有序基每个向量便可以坐标系统来表示若 V 和 W 都是域F上的向量空间可以设定由V到W的或线性映射这些由V到W的映射都有共同点就是它们保持总和及标量商数这个集合包含所有由V到W的线性映射以 L(V, W) 来描述也是一个域F上的向量空间当 V 及 W 被确定后线性映射可以用来表达
是一对一的一张线性映射如果在V 和W之间存在同构我们称这两个空间为同构域F上每一n维向量空间都与向量空间F同构
一个在F场的向量空间加上线性映射就可以构成一个即阿贝尔范畴研究向量空间很自然涉及一些额外结构额外结构如下
一个实数或复数向量空间加上长度概念就是称为
一个实数或复数向量空间加上长度和角度的概念称为
一个向量空间加上拓扑学符合运算的加法及标量乘法是连续映射称为
一个向量空间加上双线性算子定义为向量乘法是个域代数
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