抛物线准线方程求证

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2011-08-30 15:05 标签： 抛物线准线方程
已知抛物线y=x 2 -mx+m-2．（1）求证：此抛物线与x轴有两个不同的交点；（2）若m是整数，抛物线y=x 2 -mx_百度知道
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21.如图，在矩形ABCD中，点F在边BC上，且AF=AD，过点D作DE⊥AF，垂足为点E。
（1）求证：DE=AB；
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站长：朱建新【答案】分析：法一：（Ⅰ）设A（x1，），由此推导出直线PA的方程是：y=．同理，直线PB的方程是：y=．由此能求出y．（Ⅱ）设直线AB为y=kx+1，联立，得x2-4kx-4b=0，由此能够证明直线AB恒过定点．（Ⅲ）由（+2，能推导出存在λ=1，使得=0．法二：（Ⅰ）设PA的直线方程是y=kx+m（k，m∈R，k≠0），由，得到直线PA的方程是：y=kx-k2．同理可得直线PB的方程是：y=-．由此能求y．（Ⅱ）设A（x1，），由x2=4y，得：y′=，故kPA=，由=0，知x1x2=-4．设直线AB为y=kx+1，联立，得x2-4kx-4b=0，由此能够证明直线AB恒过定点．（Ⅲ）由A（2k，k2），B（-，），知-1），，-2），由此能推导出存在λ=1使得=0．解答：解法（一）：（Ⅰ）设A（x1，），由x2=4y，得：y′=，∴kPA=∵=0，∴PA⊥PB，∴x1x2=-4．（2分）直线PA的方程是：y-）即y=①同理，直线PB的方程是：y=②，（4分）由①②得：∴y=-1（x∈R）．（6分）（Ⅱ）设直线AB为y=kx+1，联立，得x2-4kx-4b=0，∴x1x2=-4b=-4，∴b=1，∴直线AB为：y=kx+1，∴直线AB恒过定点（0，1）．（10）（Ⅲ）由（Ⅰ）和（Ⅱ）得：-1），-1），P（，-1）=-4，（+2，所以=0故存在λ=1使得=0．（14分）解法（二）：（Ⅰ）∵直线PA、PB与抛物线相切，且=0，∴直线PA、PB的斜率均存在且不为0，且PA⊥PB，设PA的直线方程是y=kx+m（k，m∈R，k≠0）由得：x2-4kx-4m=0．（2分）∴△=16k2+16m=0即m=-k2即直线PA的方程是：y=kx-k2同理可得直线PB的方程是：y=-，（4分）由得：，故y=-1（x∈R）．（6分）（Ⅱ）设A（x1，），由x2=4y，得：y′=，∴kPA=，∵=0，∴PA⊥PB，∴x1x2=-4．设直线AB为y=kx+1，联立，得x2-4kx-4b=0，∴x1x2=-4b=-4，∴b=1，∴直线AB为：y=kx+1，∴直线AB恒过定点（0，1）．（10分）（Ⅲ）由（Ⅰ）和（Ⅱ）得：A（2k，k2），B（-，），∴-1），，-2））．故存在λ=1使得=0．（14分）点评：通过几何量的转化考查用待定系数法求曲线方程的能力，通过直线与圆锥曲线的位置关系处理，考查学生的运算能力．通过向量与几何问题的综合，考查学生分析转化问题的能力，探究研究问题的能力，并体现了合理消元，设而不解的代数变形的思想．本题有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．
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科目：高中数学
过抛物线x2=4y上不同两点A、B分别作抛物线的切线相交于P点，PA•PB=0．（1）求点P的轨迹方程；（2）已知点F（0，1），是否存在实数λ使得FA•FB+λ(FP)2=0？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由．
科目：高中数学
（;道里区二模）过抛物线x2=4y上不同两点A、B分别作抛物线的切线相交于点P（x0，y0），PA•PB=0．（Ⅰ）求y0；（Ⅱ）求证：直线AB恒过定点；（Ⅲ）设（Ⅱ）中直线AB恒过定点为F，若FA•FB+λ(FP)2=0恒成立，求λ的值．
科目：高中数学
（;道里区二模）过抛物线x2=4y上不同两点A、B分别作抛物线的切线相交于点P（x0，y0），PA•PB=0．（1）求y0；（2）求证：直线AB恒过定点；（3）设（2）中直线AB恒过定点F，是否存在实数λ，使FA•FB+λ(FP)2=0恒成立？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由．
科目：高中数学
来源：不详
题型：解答题
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科目：高中数学
来源：2011年福建省南平市高三适应性考试数学试卷（文科）（解析版）
题型：解答题
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出门在外也不愁如图，已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A（-1，0）和B，与y轴交于点C（0，3）．
（1）求此抛物线的解析式及点B的坐标；
（2）设抛物线的顶点为D，连接CD、DB、CB、AC．
①求证：△AOC∽△DCB；
②在坐标轴上是否存在与原点O不重合的点P，使以P、A、C为顶点的三角形与△DCB相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）设Q是抛物线上一点，连接QB、QC，把△QBC沿直线BC翻折得到△Q′BC，若四边形QBQ′C为菱形，求此时点Q的坐标．
（1）因为抛物线经过点A和点C，所以把点A和点C的坐标代入抛物线的解析式中得到关于b和c的方程，联立解出b和c，即可得到抛物线的解析式，又因为点B是抛物线与x轴的另一交点，令y=0即可求出点B的坐标．
（2）①根据（1）中求出的抛物线的解析式求出顶点D的坐标，根据OC与OB相等且互相垂直得到三角形COB为等腰直角三角形，得到角OCB为45°，根据勾股定理分别求出CD和BC的长，求出CD与CB的比值及OA与OC的比值，发现两比值相等，且由角DCy与角BCO都等于45°，推出角DCB为90°，而角COA也为90°，根据两边对应成比例且夹角相等，得到两三角形相似，得证；
②考虑两种情况，当P在x轴上（B的右边），且角ACP为直角时，三角形ACP与三角形DCB，相似比为AC比CD，所以AP比DB也等于相似比即可求出AP的长，进而求出P的坐标；当P在y轴的负半轴上时，角CAP为直角，AC比BC为相似比，斜边CP与DB之比等于相似比即可求出CP的长，进而求出P的坐标；写出P的两种情况的坐标即可；
③若四边形QBQ’C为菱形，根据菱形对角线的性质得到QQ′垂直平分BC，得到点Q在线段BC的垂直平分线上，由OB等于OC得到直线QQ′平分角COB，即可求出QQ′的解析式为y=x，将y=x与抛物线的解析式联立即可求出Q的坐标．
解：（1）把A（-1，0），C（0，3）代入y=-x2+bx+c得：，
∴抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3，
令y=0，即-x2+2x+3=0，
解得：x1=3，x2=-1（舍去），
∴点B的坐标是（3，0）；
（2）①证明：可求得顶点D（1，4）；OA=1，OC=OB=3，∠OCB=45°，
由勾股定理求得：CD=，BC=．
易知：∠DCy=45°，故∠DCB=90°=∠AOC，
∴△AOC∽△DCB．
②存在符合条件的点P有两个：P1（9，0）或P2（0，）；
（3）若四边形QBQ′C为菱形，则QQ′垂直平分BC，
∴点Q在线段BC的垂直平分线上，
∴直线QQ’平分∠BOC，
即：直线QQ′的解析式为y=x，
∵点Q在抛物线y=-x2+2x+3上，
∴-x2+2x+3=x，
∴Q（，）或（，）．

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