函数与其自己的反函数复合后等于x,怎么证明呢?假设 f 是 g 的反函数，于是对定义域内的x，存在y使得，g(x)=y 且 f(y)=x于是 f(g(x))=f(y)=x这个证明是不是有问题？感觉在循环x=f(g(x))=f(y)=x_百度作业帮
函数与其自己的反函数复合后等于x,怎么证明呢?假设 f 是 g 的反函数，于是对定义域内的x，存在y使得，g(x)=y 且 f(y)=x于是 f(g(x))=f(y)=x这个证明是不是有问题？感觉在循环x=f(g(x))=f(y)=x
函数与其自己的反函数复合后等于x,怎么证明呢?假设 f 是 g 的反函数，于是对定义域内的x，存在y使得，g(x)=y 且 f(y)=x于是 f(g(x))=f(y)=x这个证明是不是有问题？感觉在循环x=f(g(x))=f(y)=x
波波wan819
用定义来证明所谓函数就是集合元素的对应关系对于A到B的对应,A中的X元素对应B中的Y,其反函数,就是B中的Y对应A中的X,所以函数与其自己的反函数复合后等于x.你自己画一个集合对应的图就更好理解了.
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巧用“f[f-1(x)]=x,f-1[f(x)]=x”解有关反函数题
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&&巧​用​“​f​[​f​-(​x​)​]​=​x​,​f​-[​f​(​x​)​]​=​x​”​解​有​关​反​函​数​题
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你可能喜欢[原创]函数y=f(x+a)的反函数是y=f-1(x+a)吗?
函数y=f(x+a)的反函数是y=f-1(x+a)吗?
&&&我们知道,函数y=f(x)的反函数一般记为y=f-1(x)。那么，函数y=f(x+a)的反函数是y=f-1(x+a)吗？许多学生弄不清楚这个问题。上海市2009年高考理科第22题，就是针对这一状况而精心设计的。
&&&题目：已知函数y=f(x)的反函数是y=f-1(x)，定义：若对给定的实数a(a≠0)，函数y=f(x+a)与y=f-1(x+a)互为反函数，则称y=f(x)满足“a和性质”；若函数y=f
(ax)与y=f-1(ax)互为反函数，则称y=f(x)满足“a积性质”。
⑴判断函数g(x)=x2+1(x&0)是否满足“1和性质”，并说明理由；
⑵求所有满足“2和性质”的一次函数；
&⑶设函数y=f(x)(x&0)对任何a&0，满足“a积性质”,求y=f(x)的表达式。
解:（1）函数g(x)=x2+1(x&0)的反函数是g-1(x)=√(x-1)(x&1),
∴g-1(x+1)=√x&
而g(x+1)=(x+1)2+1(x&-1),其反函数为y=√(x-1)-1
故函数g(x)=x2+1(x&0)不满足“1和性质”.
评注:我们清楚地看到,
函数y=f(x+a)的反函数并不是y=f-1(x+a)。
（2）设函数f(x)=kx+b(x∈R)满足“2和性质”，k≠0,
∴f-1(x)=(x-b)/k(x∈R),
f-1(x+2)=(x+2-b)/k,
而f(x+2)= k (x+2)+b(x∈R),得反函数y=(x-b-2k)/k,
由“2和性质”定义可知(x+2-b)/k=(x-b-2k)/k对(x∈R)恒成立,从而可得k=-1,
于是所求一次函数为f(x)=-x+b。
一般来说，函数y=f(x+a)的反函数并不是y=f-1(x+a)。有没有特例呢？这里给出了：存在唯一一个具有“2和性质”的一次函数y=-x+b。
（3）设a&0，x0&0，且点(x0
,y0)在y=f(ax)图像上，则(y0 ,
x0)在函数y=f-1(ax)图象上，有
,&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&& &①
且f-1(ay0)=x0
,&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
由②得&& ay0=
,&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&& ③
&&&&&①两边都乘以a,得ay0=af(ax0)
,&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&
由③④知& f(x0)=af(ax0)
,&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&& ⑤
令ax0=x, 则a=x/x0,
于是由⑤得f(x0)=(x/x0)f(x), 即
f(x)=x0f(x0)/x,&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&& ⑥
观察⑥,它具有f(x)=k/x(k≠0)的形式,且f(ax)=k/ax,其反函数是y=k/ax，而f-1(ax)=k/ax,故y=f(ax)与y=f-1(ax)互为反函数。&&&&&
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以上网友发言只代表其个人观点，不代表新浪网的观点或立场。试题分析：由得，
,所以恰有4个零点等价于方程
有4个不同的解，即函数与函数的图象的4个公共点，由图象可知.
考点：1.求函数解析式；2.函数与方程；3.数形结合.
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函数f（x）=aex，g（x）=lnx-lna，其中a为常数，且函数y=f（x）和y=g（x）的图象在其与坐标轴的交点处的切线互相平行．（Ⅰ）求此平行线的距离；（Ⅱ）若存在x使不等式x-mf(x)＞x成立，求实数m的取值范围；（Ⅲ）对于函数y=f（x）和y=g（x）公共定义域中的任意实数x0，我们把|f（x0）-g（x0）|的值称为两函数在x0处的偏差．求证：函数y=f（x）和y=g（x）在其公共定义域内的所有偏差都大于2．
题型：解答题难度：中档来源：姜堰市模拟
（Ⅰ）f'（x）=aex，g′(x)=1x，y=f（x）的图象与坐标轴的交点为（0，a），y=g（x）的图象与坐标轴的交点为（a，0），∵函数y=f（x）和y=g（x）的图象在其与坐标轴的交点处的切线互相平行∴f'（0）=g'（a），即a=1a又∵a＞0，∴a=1．∴f（x）=ex，g（x）=lnx，∴函数y=f（x）和y=g（x）的图象在其坐标轴的交点处的切线方程分别为：x-y+1=0，x-y-1=0∴两平行切线间的距离为2．（Ⅱ）由x-mf(x)＞x得x-mex＞x，故m＜x-xex在x∈[0，+∞）有解，令h(x)=x-xex，则m＜hmax（x）．当x=0时，m＜0；当x＞0时，∵h′(x)=1-(12xex+xex)=1-(12x+x)ex，∵x＞0，∴12x+x≥212xox=2&，&ex＞1，∴(12x+x)ex＞2故h′(x)=1-(12x+x)ex＜0即h(x)=x-xex在区间[0，+∞）上单调递减，故h（x）max=h（0）=0，∴m＜0即实数m的取值范围为（-∞，0）．（Ⅲ）证法一：∵函数y=f（x）和y=g（x）的偏差为：F（x）=|f（x）-g（x）|=ex-lnx，x∈（0，+∞）∴F′(x)=ex-1x，设x=t为F′(x)=ex-1x=0的解，则当x∈（0，t），F'（x）＜0；当x∈（t，+∞），F'（x）＞0，∴F（x）在（0，t）单调递减，在（t，+∞）单调递增∴F(x)min=et-lnt=et-ln1et=et+t∵f'（1）=e-1＞0，f′(12)=e-2＜0，∴12＜t＜1故F(x)min=et+t=e12+12=e+12＞2.25+12=2即函数y=f（x）和y=g（x）在其公共定义域内的所有偏差都大于2．证法二：由于函数y=f（x）和y=g（x）的偏差：F（x）=|f（x）-g（x）|=ex-lnx，x∈（0，+∞）令F1(x)=ex-x，x∈（0，+∞）；令F2（x）=x-lnx，x∈（0，+∞）∵F1′(x)=ex-1，F2′(x)=1-1x=-1-xx，∴F1（x）在（0，+∞）单调递增，F2（x）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增∴F1（x）＞F1（0）=1，F2（x）≥F2（1）=1，∴F（x）=ex-lnx=F1（x）+F2（x）＞2即函数y=f（x）和y=g（x）在其公共定义域内的所有偏差都大于2．
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据魔方格专家权威分析，试题“函数f（x）=aex，g（x）=lnx-lna，其中a为常数，且函数y=f（x）和y=g（x..”主要考查你对&&函数的极值与导数的关系，函数的最值与导数的关系&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
函数的极值与导数的关系函数的最值与导数的关系
极值的定义：
（1）极大值： 一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值=f（x0），x0是极大值点； （2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值=f（x0），x0是极小值点。
极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小； （2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个； （3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值； （4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。 判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0满足，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点， 是极值，并且如果在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值。
求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）； （2）求方程f′（x）=0的根； （3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值。
对函数极值概念的理解：
极值是一个新的概念，它是研究函数在某一很小区域时给出的一个概念，在理解极值概念时要注意以下几点：①按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．如图②极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小，如图．&&③若fx）在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．④若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，⑤可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点，&&&函数的最大值和最小值：
在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值，分别对应该区间上的函数值的最大值和最小值。
&利用导数求函数的最值步骤：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值； （2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值。
&用导数的方法求最值特别提醒：
①求函数的最大值和最小值需先确定函数的极大值和极小值，因此，函数极大值和极小值的判别是关键，极值与最值的关系：极大（小）值不一定是最大（小）值，最大（小）值也不一定是极大（小）值；②如果仅仅是求最值，还可将上面的办法化简，因为函数fx在[a，b]内的全部极值，只能在f（x）的导数为零的点或导数不存在的点取得（下称这两种点为可疑点），所以只需要将这些可疑点求出来，然后算出f（x）在可疑点处的函数值，与区间端点处的函数值进行比较，就能求得最大值和最小值；③当f（x）为连续函数且在[a，b]上单调时，其最大值、最小值在端点处取得。&生活中的优化问题：
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题，解决优化问题的方法很多，如：判别式法，均值不等式法，线性规划及利用二次函数的性质等，不少优化问题可以化为求函数最值问题．导数方法是解这类问题的有效工具．
用导数解决生活中的优化问题应当注意的问题：
(1)在求实际问题的最大（小）值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去；(2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f'（x)=0的情形．如果函数在这点有极大（小）值，那么不与端点比较，也可以知道这就是最大（小）值；(3)在解决实际优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还应确定出函数关系式中自变量的定义区间．
利用导数解决生活中的优化问题：
&(1)运用导数解决实际问题，关键是要建立恰当的数学模型（函数关系、方程或不等式），运用导数的知识与方法去解决，主要是转化为求最值问题，最后反馈到实际问题之中．&(2)利用导数求f(x)在闭区间[a，b]上的最大值和最小值的步骤，&&①求函数y =f(x)在（a，b）上的极值；& ②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f（b）比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．&&(3)定义在开区间(a，b)上的可导函数，如果只有一个极值点，该极值点必为最值点．
发现相似题
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