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高中数学学案：《复数综合》（复数综合运算）
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高中数学学案：《复数综合》（复数综合运算）
　复数的概率与运算
　　一、知识网络
二、高考考点　　1.虚数单位 的定义与 的方幂的周期性应用；　　2.复数的四则运算，特别是除法法则下“实化分母”的运算；　　3.复数的分类，重点是复数为实数的充要条件以及复数是纯虚数的充要条件
的应用；　　4.复数的几何意义：在复平面内复数对应点的位置的判定。　　三、知识要点　　（一）复数的概念　　为了解决解方程的过程中负数不能开方的问题，人们引入了一个新数 ，叫做虚数单位，并规定：　　（1）它的平方等于-1，即 ；　　（2）实数可以与它进行四则运算，并且进行四则运算时，原有的加，乘运算率仍然成立。　　1．定义：　　（1）形如a+bi(a，b∈R)的数，叫做复数，通常用字母z表示，即：z=a+bi(a，b∈R)　　将复数表示成a+bi(a，b∈R)形式，叫做复数的代数形式，其中a与b分别叫做复数a+bi的实部与虚部，全体复数构成的集合叫做复数集，一般用字母C表示。　　（2）分类：　　对于复数z=a+bi(a，b∈R)，当b=0时，z=a是实数；当b≠0时，z=a+bi叫做虚数；其中当a =0时且b≠0时，叫做纯虚数。　　复数 　　（3）相等　　如果两个复数的实部和虚部分别相等，则说这两个复数相等。　　即如果a, b ,c d ∈R，那么a + bi=c+ di a=c, b=d　　特例：a + bi =0 a=0,b=0　　提醒：任意两个实数都可以比较大小，但对于任意两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小，即如果所给两个复数不全是实数，那么它们就不能比较大小，而只能说相等或不相等。　　（4）几何意义　　注意到复数z=a + bi (a，b∈R)与有序实数对（a, b）之间存在的一一对应关系，将复数z=a + bi (a，b∈R)用点Z（a, b）表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，其中，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。　　认知：　　①在此规定之下，复数与点建立一一对应关系：Z（a, b） 　　其中点Z是复数z的一个几何意义。　　②实轴上的点都表示实数；除了原点之外，虚轴上的点表示纯虚数（但要注意：虚数上的长度单位是1，而不是 ）。　　（二）复数的运算　　1．复数的加法与减法　　（1）法则：两个复数相加（减）就是把实部与实部，虚部与虚部分别相加（减），　　即：(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i.　　（2）运算律：复数的加法满足交换律与结合律，即对任何 　　 　　2．复数的乘法与除法　　（1）乘法　　①乘法法则　　规定复数的乘法按照如下法则进行：　　设 　　 　　即两个复数相乘，类似两个多项式相乘，但要注意的是要在所得结果中把 换成-1，并且把实部或虚部分别合并。　　②运算律　　复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律，即对任何 　　 　　 　　（2）除法　　①除法的定义：规定复数的除法是乘法的逆运算，即把满足　　 　　 或 　　②操作程序　　两个复数相除，由于一般不能直接约分化简，因此使用的操作程序是　　1）将两个复数的商写成分式形式；　　2）将分子，分母都乘以分母的共轭复数以“实化分母”；　　3）将上述所得结果化简整理。　　即 　　 　　③共轭复数　　1）定义：当两个复数的实部相等，而虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。　　复数z的共轭复数记作 ，即若z=a+bi(a,b∈R),则 =a-bi.　　特例：任一实数的共轭复数为自身： 　　2）性质：　　其一： 　　设z=a+bi(a,b∈R)，则有 （此为除法运算时实数化分母的依据）；　　其二： 　　（三）数系的扩充　　1．数系的扩充过程 　　反序观察数系的扩充过程，便得到人们熟悉的数系表　　 　　点评：数系表中实与虚，整与分，有理与无理，纯与非纯，这一组组对偶既相互对立，又相互联系和相互依存，充分展示了数学这一“辩证的辅助工具和表现形式”，为我们运用辩证思维解决数学问题奠定了天然的基础。　　（四）复数集C中的实系数一元二次方程　　（1）求根公式　　对于实系数一元二次方程 ，　　当判别式 时，方程的求根公式为　　 ，即 　　（2）认知　　①当 时，实系数一元二次方程的两个根为两个共轭虚数，即实系数一元二次方程的虚根成对。　　② 对于 时的实系数一元二次方程，尽管求根公式有所变化，但韦达定理仍然适用。事实上，对于复系数一元二次方程， 失去判别作用，但韦达定理仍然适用。　　四、典例剖析
1.【2010·浙江】对任意复数，为虚数单位，则下列结论正确的是（
2.【2010·全国卷2理数】复数 （
3.【2010·陕西文数】复数z=在复平面上对应的点位于（
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
4.【2010·辽宁理数】设a,b为实数，若复数，则（
5.【2010·江西理数】已知（x+i）（1-i）=y，则实数x，y分别为（
A.x=-1，y=1
B. x=-1，y=2
C. x=1，y=1
D. x=1，y=2
6.【2010·安徽文数】已知，则i()=（
7.【2010·浙江文数】设i为虚数单位，则（
8．【2010·山东文数】已知，其中为虚数单位，则（
9.【2010·北京文数】在复平面内，复数6+5i, -2+3i 对应的点分别为A,B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是（
10.【2010·四川理数】i是虚数单位，计算i＋i2＋i3＝（
11.【2010·天津文数】i是虚数单位，复数=（
12．【2010·天津理数】i 是虚数单位，复数（
13.【2010·广东理数】若复数z1=1+i，z2=3-i，则z1·z2=（
14.【2010·福建文数】是虚数单位,等于 (
15.【2010·全国卷1理数】复数（
16.【2010·山东理数】已知（a,b∈R），其中i为虚数单位，则a+b=（
17.【2010·安徽理数】是虚数单位， （
A. B. C. D.
18.(2009年广东卷文)下列n的取值中，使=1(i是虚数单位）的是
19. （2009广东卷理）设是复数，表示满足的最小正整数，则对虚数单位，
20.（2009浙江卷理）设（是虚数单位），则 (
21.（2009浙江卷文）设（是虚数单位），则 （
22.（2009北京卷理）在复平面内，复数对应的点位于 （
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
23.(2009山东理)复数等于（
24.(2009山东卷文)复数等于（
25.（2009全国卷Ⅰ理）已知=2+i,则复数z=（ ）
（A）-1+3i
26.（2009安徽卷理）i是虚数单位，若，则乘积的值是
27.（2009安徽卷文）i是虚数单位，i(1+i)等于
28.（2009江西卷理）若复数为纯虚数，则实数的值为
29.(2009湖北卷理)投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m和n,则复数（m+ni）(n-mi)为实数的概率为
30.（2009全国卷Ⅱ理）
31.（2009辽宁卷理）已知复数，那么=
32.（2009宁夏海南卷理）复数
33.（2009辽宁卷文）已知复数，那么＝
34.（2009天津卷文）是虚数单位，=
35 .已知z是纯虚数,是实数,那么z等于
36.（2009宁夏海南卷文）复数
37.（2009天津卷理）i是虚数单位，=
（B）-1-2i
（D）-1+2i
38.（2009四川卷理）复数的值是
　　　Ｃ.－
39.（2009重庆卷理）已知复数的实部为，虚部为2，则=（
40．当实数a分别取何值时，复数 　　（1） 分别为实数，虚数，纯虚数，零；　　（2） 在复平面内的对应点位于第四象限。　41．已知x是实数，y是纯虚数，且满足 ，求x与y。　　提醒：本例求解时易犯的错误：由已知等式得　　 　　错误原因：未从本质上把握复数的代数形式。42．已知复数 求k的值。
43．若方程 有实根，求实数m的值，并求出此实根。
44.设复数 ，且 ，求实数a，b 的值。
　　点评：　　（1）条件求值或化简，是先代入再化简为上，还是先化简再代入更好？需
要在入手前细细 斟酌，果断敲定；　　（2）在复数运算时，记住一些常用结论有益于提高运算效率.如　　 等。　
复数测试题 　　（一）选择题（12*5=60分）　　1.（2005·全国卷A）复数 =（　　 ）　 　
A. i　　　　B. –i　　　　 C. 　　　　　　D. 　　2.（2005·重庆卷） （　　 ）　 　
A. i　　　　　　 B. –i　　　　　　 C. 　　　　　　D.
　3.（2005·山东卷） （　　 ）　　
A. i　　　　　　 B. –i　　　　　　 C. 1　　　　　　 D. –1
　4.（2005·湖南卷）复数 的值是（　　 ）　　
A. –1　　　　 B. 0　　　　 C. 1　　　　 D. i　　5.（2005·湖北卷） （　　 ）　
　A. –2-i　　　　 B. –2+i　　　　 C. 2-i　　　　 D. 2+i　　6.（2005·福建卷）复数 的共轭复数为（　　 ）　
　A. 　　　　B. 　　　　C. 1-i　　　　　　 D. 1+i　　7.（2005·辽宁卷）复数 ，在复平面内，z所对应的点在（　　 ）　　
A.第一象限　　 B.第二象限　　 C.第三象限　　 D.第四象限　　8.（2005·浙江卷）在复平面内，复数 对应的点位于（　　 ）　　
A.第一象限　　 B.第二象限　　 C.第三象限　　 D.第四象限　　9.（2005·全国卷B）设a,b,c,d∈R，若 为实数，则（　　 ）　　
A. 　　　B.
C. 　　　D. 　　10.（2005·天津卷）若复数 ，i为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（　　 ）　　
A. –2　　　　 B. 4　　　　 C. –6　　　　 D. 6　　11.（2005·江西卷）设复数 ，若 为实数，则x=（　　 ）　　
A. –2　　　　 B. –1　　　　 C. 1　　　　 D. 2　　12.（2005·广东卷）若 ，其中 ，则 （　　 ）　　
A. 0　　　　 B. 2　　　　 C. 　　　　　　D. 5　　（二）填空题（2*5=10分）　 13.（2005·北京卷）若 ，且 为纯虚数，则实数a的值
为　　　 。
14.（2005·全国卷C）已知复数 ，复数z满足 ，则z=　　　 。　（三）解答题（15题10分,16题20分）
15．设z为纯虚数，且满足 ，求z．　　
　 16．复数的运算　　（1）计算 　　（2）已知 ， ，求
（3）已知 ，求 的值；　　（4）已知 ，求 的值。　　
版权所有：中华资源库怎么在MATLAB中实现复数乘法的形式按实部和虚部展开？_百度知道
怎么在MATLAB中实现复数乘法的形式按实部和虚部展开？
比：r*(cos(x)+i*sin(x))*(1-r*(cos(x)-i*sin(x)))能不能写出过程？谢谢
提问者采纳
y=r*(cos(x)+i*sin(x))*(1-r*(cos(x)-i*sin(x)))
y =r*(cos(x)+i*sin(x))*(1-r*(cos(x)-i*sin(x)))&& syms r x&&gt&&gt
提问者评价
谢谢，不过不知道simplify这是什么我想想
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3．2．2复数代数形式的乘除运算教案
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