设f(x)=(4x^2+2x-1)/(2x^2+x-1),求f^(n)(x), 设f(x)=(4x^2+2x-1)/(2x^2+
设f(x)=(4x^2+2x-1)/(2x^2+x-1),求f^(n)(x) 请详细点！急求~~谢谢！ 林夕子希 设f(x)=(4x^2+2x-1)/(2x^2+x-1),求f^(n)(x)
先进行有理分式分解：f(x)＝(4x^2+2x-1)/(2x^2+x-1)＝2 + 1/(2x^2+x-1)＝2 + 1/[(x+1)(2x-1)]＝2 + 1/(x+1) + 1/(x-1/2)＝2 + (x+1)^(-1) + (x-1/2)^(-1)因此：f^(n)(x)＝(-1)^n * n! *
[ (x+1)^(-n-1) + 旦唬测舅爻矫诧蝎超莽(x-1/2)^(-n-1) ]随机信号习题及答案24_平稳信号-牛宝宝文章网
随机信号习题及答案24 平稳信号
第一章1. 二进制无记忆不对称信道，如图所示，传输0，1，分别以A0和A1代表发送0和1，以35B0和B1代表接收0和1码，两个正确的转移概率分别为P(B0/A0)=，P(B1/A1)=，6411两个错误的转移概率分别为P(B1/A0)=，P(B0/A1)=，且先验概率相等，即：641P(A0)=P(A1)=，求：①B端接收到0码及1码的概率P(B0)及P(B1)；②当分别收到20和1码后，判断原来发送的是什么码的概率？ 即求：P(A1/B0)、P(A1/B1)、P(A0/B0)和P(A0/B1)。2. 随机变量X的分布律为XP00.210.12 0.71&X≤1.5}，P{1≤X≤1.5}；③随机变量求：① X的分布函数F(x)；② P{X≤0.5}，P{Y=3X+1的分布函数。?0?3. 已知随机变量X的分布函数为：FX(x)=?kx2?1?x&00≤x&1，求：①系数k；②X落在区间x&1（0.3，0.7）内的概率；③随机变量X的概率密度函数。?e?(x+y)4. 设二维随机变量（X，Y）的概率密度为：f(x,y)=??00&x&+∞,0&y&+∞其它求：①分布函数FXY(x,y)；②（X，Y）落在如图所示的三角形区域内的概率。5. （续上题）求③边缘分布函数FX(x)和FY(y)；④求边缘概率fX(x)和fY(y)。 6. （续上题）⑤求条件分布函数FX(xy)和FY(yx)；⑥求条件概率密度fX(xfY(yx)。y)和1017. 已知随机变量X服从标准高斯分布，求随机变量Y=X2的概率密度。 8. 已知二维随机变量(X1,X2)具有联合概率密度：?e?(x1+x2)fX1X2(x1,x2)=??0x1&0,x2&0其它新的二维随机变量(Y1,Y2)是(X1,X2)的函数，满足关系：Y1=X1+X2X?X2，Y2=122求：①二维随机变量(Y1,Y2)的联合概率密度fY1Y2(y1,y2)；②边缘密度fY1(y1)和fY2(y2)，说明Y1与Y2是否相互独立。9. 已知随机变量X服从（0，1）的均匀分布，随机变量Y服从（X，1）的均匀分布。求①条件数学期望E[YX=x]；②条件数学期望E[YX]。10. 已知随机变量X=cos?和Y=sin?，式中?是在(0,2π)上均匀分布的随机变量。讨论X和Y的相关性及独立性。11. 已知随机变量X的均值mX=3，方差σ2且另一随机变量Y=?6X+22。讨论X和X=2，Y的相关性和正交性。12. 设随机变量Y和X之间为线性关系Y=aX+b，a、b为常数，且a≠0。已知随机变量X为正态分布，即：fX(x)=(x?mX)21exp[?] 22σX2πσX求：随机变量的概率密度。第二章
随机过程一、填空题1. 一个严平稳过程只要均方值有界，则它必定是，反之则 ；一个广义平稳的正态过程必定是
。 2. 广义遍历的信号不是、不一定是）广义平稳随机信号；反之，广义平稳的随机信号（是、不是、不一定是）广义遍历的随机信号。3. 任意维的概率密度函数为高斯分布的噪声称为常数，则称它为_
___。4. 若对应任意两个时刻t1,t2，均有E[X(t1)Y(t2)]=mX(t1)mY(t2)，则随机过程X(t)与Y(t)
（不相关、独立、正交）；若联合平稳过程X(t)和Y(t)的互相关函数RXY(t1,t2)=0，则X(t)与Y(t) （不相关、独立、正交）；若fXY(x,y;t1,t2)=fX(x,t1)fY(y,t2)，则X(t)与102Y(t)。5. 已知平稳过程X(t)的自相关函数为RX(τ)=16+11+5τ，则其均值为，方差为
。6. 若一高斯过程是宽平稳的，则必定是 ；若一个高斯过程不同时刻状态间是互不相关的，则必定是
的（独立、不独立、不一定）。7. 若线性系统输入为高斯过程，则该系统输出仍为。 二、简答题1. 请给出随机过程为宽平稳随机过程满足的条件。2. 若平稳随机过程是信号电压，试说明其数字期望、均方值、方差的物理意义。 3. 给出平稳过程的自相关函数的性质。 4. 写出随机过程的两个定义。5. 随机过程有那两个变化特性，如何理解其随机性？6. 叙述“狭义平稳”的定义；如何理解这个定义在实际应用中的困难？7. (a)随机过程的遍历性与平稳性的关系是什么？(b) 简述“狭义遍历”与“宽遍历”的关系。 三、计算题1 设随机振幅信号为X(t)=Vsinω0t，其中ω0为常数；V是标准正态随机变量。求该随机信号的均值、方差、相关函数和协方差函数。2. 设随机过程X(t)=Acos(t)+Bsin(t)+t，其中A、B为两个互不相关的随机变量，且E{A}=1、E{B}=2、E{A2}=3、D{B2}=4。求过程X(t)的均值、相关函数。3 设随机过程Y(t)和常数a，试以Y(t)的自相关函数表示出另一随机过程，X(t)=Y(t+a)?Y(t)的自相关函数。4设随机过程X(t)=Acosω0t，Y(t)=Bsinω0t。而其中A、B为相互独立的随机过程，且它们均值为零、方差皆为σ。证明Z(t)=X(t)+Y(t)是宽平稳的随机过程。其中a，ω0为常数，随机相位Θ均匀分布于(0,2π)上。求过程Y(t)5 设随机过程Y(t)=acos(ω0t+Θ)，的均值，方差，自相关函数及协方差。6 设随机过程X(t)=acos(ω0t+Θ)，其中a，ω0为常数，随机相位Θ均匀分布于(0,2π)上。判断X(t)是否为平稳随机过程，给出理由。7 设随机过程Z(t)=X(t)+Y，其中X(t)是一平稳过程，Y是与X(t)无关的随机变量。试讨论过程Z(t)的遍历性。8 如果随机过程X(t)=Vcos4t
?∞&t&+∞，式中V是随机变量,其均值为1、方差为3。求：随机过程X(t)的均值、方差、相关函数和协方差函数。10329 若两个随机过程X(t)=A(t)cost和Y(t)=B(t)sint都是非平稳过程，其中A(t)和B(t)为相互独立，且各自平稳的随机过程，它们的均值为0，自相关函数RA(τ)=RB(τ)=R(τ)。试证这两个过程之和Z(t)=X(t)+Y(t)是宽平稳的。10 设随机信号X(t)=Acos(w0t+Φ)，式中A和Φ为统计独立的随机变量，且Φ在布，试问该信号是否具有平稳性？证明之。第三章
平稳随机过程的谱分析一．简答题1给出平稳过程的功率谱密度的性质。2 简述功率谱密度与自相关函数的关系，写出相互转换的数学关系表达式。 3简述互功率谱密度与互相关函数的关系，写出相互转换的数学关系表达式。 4 简述功率谱密度的采样定理。 5什么是理想白噪声。 6 什么是带限白噪声。 7 色噪声的定义。 二．计算题1.平稳过程X(t)的双边功率谱密度为SX(ω)=32/(ω+16)。求：（1）该过程的平均功率（在1欧负载上）；（2） ω取值范围为（-4，4）的平均功率。2[0,2π]上均匀分?1?ω,?8π2.设平稳过程X(t)的功率谱密度为SX(ω)=???0,ω8π，求该过程的均方值。其他3.在下列函数中，试确定哪些函数是功率谱密度，哪些不是，并说明原因。ωcos3ωω2(1)6(2)(3)222ω+3ω+31+ω1+2ω+ω4.设A和B为随机变量，我们构成随机过程X(t)=Acosω0t+Bsinω0t，式中ω0为一常数。（1）证明：若A和B具有零均值及相同的方差σ，且不相关，则X（t）为（宽）平稳过程；（2）求X（t）的自相关函数；（3）求该过程的功率谱密度。5.已知平稳过程X（t）的自相关函数如下： (1)RX(τ)=e（t）的功率谱密度。6.已知平稳过程X（t）的自相关函数如下： (1)RX(τ)=4e?2?αcosω0τ；(2)RX(τ)=be?τ22α3分别求过程Xcosπτ+cos3πτ；(2)RX(τ)=16e?2?8e?4，分别求过程X（t）的功率谱密度。?37 已知平稳过程的自相关函数Rx(τ)=5+4ecos22τ，求其功率谱密度1048.若系统的输入X（t）为平稳随机过程，系统的输出为Y(t)=X(t)+ X(t-T)。试着证过程Y(t)的功率谱密度为SY(ω)=2SX(ω)(1+cosωT)第7题的图9.设随机过程Y(t)=aX(t)sinω0t，其中a,ω0皆为常数，X(t)为具有功率谱密度SX(ω)的平稳过程，求过程Y(t)的功率谱密度10. 平稳随机过程X(t)和Y(t)的互功率谱密度函数为SXY(ω)=求对应的互功率谱密度函数SYX(ω)。第四章4-1 设确定性随机信号为X(t)=M+Bcos(20t+Θ)其中M、B、Θ是随机变量。将X(t)输入到单位冲10，4+j5ωU(t)的系统的输入端，求系统输出随机信号的表达式。?3t4-2 已知系统的单位冲激响应h(t)=5eU(t)，设其输入随机信号为X(t)=M+4cos(2t+Θ),(?∞&t&∞)，其中M是随机变量，Θ是(0,2π)上均匀分布的随机变量，且M和Θ相互独立，求输出信号的表达式。?10t激响应为h(t)=10e4-3 在4-1中，设M是一个均值为5，方差为64的高斯随机变量，B是均值为32且服从瑞利分布的随机变量，Θ是在[0,2π]上服从均匀分布的随机变量。M、B和Θ相互统计独立，求系统输出的均值。 4-4输入随机信号X(t)的自相关函数RX(τ)=a+be2?τ，式中a、b为正常数，试求单位冲激响应h(t)=e?atU(t)的系统的输出均值(a&0)。4-5 设输入随机信号X(t)=M+Bcos(20t+Θ)，式中M是均值为5、方差为64的高斯随机变量，B是均方值为32的瑞利随机变量，Θ是(0,2π)上均匀分布的随机变量，这三个随机变量相互独立。若系统的单位冲激响应h(t)=δ(t)?10e?10tU(t)，试求其输出的均值和均方值。?3t4-6 设线性系统的单位冲激响应h(t)=3eU(t)，其输入是自相关函数RX(τ)=2e?4τ的随机信号，试求输出自相关函数RY(τ)、互相关函数RXY(τ)和RYX(τ)分别在τ=0、τ=0.5、τ=1时的值。105随机信号习题及答案24_平稳信号4-7 设有限时间积分器的单位冲激响应h(t)=U(t)?U(t?0.5)，它的输入是功率谱密度为10V/Hz的2白噪声，试求系统输出的均值、均方值、方差和输入输出互相关函数。 4-8 若输入平稳随机信号的自相关函数为RX(τ)=16e4-9 电路如图1所示。输入白噪声的功率谱密度为?2τ，重做题4-6。N0，试求输出的功率谱密度和自相关函数。2++??图14-10 若电路图如图2所示，重做题4-11。+?图24-11 如图所示的低通RC电路，已知输入信号X(t)是宽平稳的双侧信号，其均值为mX，求输出均值。+?)4-12 若上例中X(t)是自相关函数为N0δ(τ)的白噪声，求：1输出的自相关函数；2输出的平均功率；32输入与输出间的互相关函数RXY(τ)和RYX(τ)。 4-13 在4-12中，假设X(t)的自相关函数为RX(τ)=第五章一、填空1. 希尔伯特变换是一种，因此把它作为一个 来处理。2. 一个随机信号的功率谱密度，只要分布在高频载波ω0附近的一个窄带范围Δω内，在此范围以外为零，即满足Δω&&ω0，则称之为。其数学表达式为：。βN04e?βτ，式中β≠b，求输出的自相关函数。1063. 窄带随机过程的莱斯（Rice）表示式：。 4. a(t)、b(t)的性质： 。5. 窄带随机过程表示为准正弦振荡形式：，其中ω0是窄带随机过程的
。6. 窄带高斯随机过程的包络和相位的一维概率密度分别为，且二者在同一时刻是
随机变量，但不是两个统计独立的
。 二、计算1. 求x(t)=Acosω0t的希尔伯特变换2. 求窄带信号x(t)=A(t)cos[ω0t+θ(t)]的希尔伯特变换 3. 设低频信号a(t)的频谱为
A(ω)=?证明：当ω&Δω/2时有?A(ω),ω&Δω/2?其他??0,H[a(t)cosω0t]=a(t)sinω0tH[a(t)sinω0t]=?a(t)cosω0t4. 利用Hilbert变换的性质求：X(t)为常数。=acos(ωt+θ)+bsin(ωt+θ)所对应的Y(t)=H[X(t)]。其中a,b、θ5. 对于零均值，σ2方差的窄带平稳高斯过程X(t)=a(t)cosω0t?b(t)sinω0t=A(t)cos(ω0t+θ(t))求证：包络A(t)在任意时刻所给出的随机变量At的均值和方差分别为2E[At]=,σA=(2?π/2)σ t6. 对于窄带平稳随机过程X(t)=a(t)cosω0t?b(t)sinω0t，若其均值为零，功率谱为?Pcos[π(ω?ω0)/Δω],?Sx(ω)=?Pcos[π(ω+ω0)/Δω],??0ω?ω0≤Δω/2ω+ω0≤Δω/2其他式中P,Δω以及ω0??Δω都是实常数，试求 （1）X(t)的平均功率 （2） a(t)的功率谱密度（3）互相关函数Rab(τ)或互谱密度Sab(ω) （4）a(t)与b(t)是否正交或不相关？第一章 答案1 解：①利用全概率公式：P(B0)=P(A0)P(B0/A0)+P(A1)P(B0/A1)=151113×+×=P(B1)=P(A1)P(B1/A1)+P(A0)P(B1/A0)=×+×=242624②利用后验概率公式：1071P(A=P(A)P(B×500/A0)0/B0)P(B==10 0)1313241P(AP(A×11)P(B0/A1)1/B0)=P(B==1?10=3 0)P(AP(A×1)P(B1/A1)1/B1)=P(B)==9 1112411P(ABP(A×0)P(B1/A0)0/1)=P(B==2 1)11242 解：①由概率的有限可加性得X的分布函数为： 当X&0时，F(x)=P{X≤x}=P{X&0}=0当0≤X&1时，F(x)=P{X≤x}=P{X&1}=P{X=0}=0.2当1≤X&2时，F(x)=P{X≤x}=P{X&2}=P{X=0}+P{X=1}=0.3当X≥2时，F(x)=P{X≤x}=P{X=0}+P{X=1}+P{X=2}=1??0,x&0归纳为：F(x)=P{X≤x}=??0.2,0≤x&1?0.3,1≤x&2??1,x≥2②由分布函数可知：P{X≤0.5}=F(0.5)=0.2P{1&X≤1.5}=F(1.5)?F(1)=0.3?0.3=0P{1≤X≤1.5}=F(1.5)?F(1)+P{X=1}=0.3?0.3=0.1③随机变量Y的分布律为Y147P0.20.10.7108y&1?0,?0.2,1≤y&4?同理可得Y的分布函数为：F(y)=P{ Y≤y}=??0.3,4≤y&7?y≥7?1,3 解：①由随机变量X的分布函数可知，X为连续型随机变量，取值范围是实轴上[0，1]一段区间，由题意和概率的规范性可知：取x=1,P{0≤X≤1}=k12=1，则k=1.②P{0.3&X≤0.7}=F(0.7)?F(0.3)=0.4 ③概率密度函数为：f(x)=??2x0≤x≤1?0其它x4 解：①分布函数FXY(x,y)=∫y?∞∫x?∞f(u,v)dudv=???∫y∫xf(u,v)dudv0&x&+∞,0&y&+∞?000?其它=?（?1-e?x)(1?e?y)0&x&+∞,0&y&+∞?0其它②（X，Y）落在三角形区域内的概率：P{(x,y)∈G}=∫∫f(x,y)dxdy=∫11?ye?(x+y)dxdyG0∫0=∫1e?y1?y?x10[∫edx]dy=∫e?y(1?e?1+y)dxdy=∫10(e?y?e?1)dy=1?2e?1=0.26425 解：③已知联合分布函数FXY(x,y)的表达式，则边缘分布函数：?（1-e?x)(1?e?∞)0&x&+∞?1-e?xF0&x&+∞X(x)=FXY(x,∞)=??0其它=??0其它F?1-e?y同理：0&x&+∞Y(x)=FXY(∞,y)=??0其它④边缘概率密度：fX(x)=∫+∞?fy)dy=???∫+∞e?(x+y)dy0&x&+∞??x0&x&+∞∞XY(x,?0=?0其它?e?0其它同理：f+∞Y(y)=∫=??e?y0&y&+∞?∞fXY(x,y)dx?0其它6 解：⑤条件分布函数：109FX(xy)=x?∞?xe?(x+y)dxfXY(x,y)dx?∫0=?e?yfY(y)?0?0&y&+∞其它?1?e?x0&x&+∞=??0其它0&x&+∞其它?1?e?y同理：FY(yx)=??0⑥条件概率密度：?e?(x+y)f(x,y)??yfX(xy)=XY=?efY(y)??0?e?y同理：fY(yx)=??00&x&+∞=?e??0其它?x0&x&+∞其它0&y&+∞其它7 解：随机变量X和Y之间的反函数关系为：X=h(Y)=±其反函数导数的绝对值为：′(y)=h1′(y)=h2dx1=dy2y①当y&0时，X≤y为不可能事件，所以PX≤y=0，得FY(y)=0，因此当y&0时，其概率密度{2}{2}fY(y)=0；②当y&0时，反函数为X=h(Y)=±，是双值变换。已知变量X服从标准高斯分布，则：′(y)fX[h2(y)]fY(y)=h1′(y)fX[h1(y)]+h2=12y1(1e2π?(y)22+1e2π?(?y)222e2==?2y2π综合①②可得：?y?2e2?fY(y)=?2πy?0??y2e22πy?yy&0y≤08 解：①由函数关系，可以找出唯一的反函数：?x1=h1(y1,y2)=y1+y2??x2=h2(y1,y2)=y1?y2110随机信号习题及答案24_平稳信号则其雅可比行列式为：fY(y1,y2)=Jfx[h1(y1,y2),h2(y1,y2)]?2y1??2e=2fX[y1+y2,y1?y2]=???0y1&y2≥0 其它②其边缘分布为：fY(y1)=∫y1?y1fY(y1,y2)dy2=∫2e?2y1dy2=4y1e?2y1,?y1y1y1&0?∞2e?2y1dy=e?2y2,1?∫2fY(y2)=?y∞2y?2y?∫?y2e1dy1=e2,?2y2≥0y2&0=e?2y2?∞&y2&+∞由于：fY1Y2(y1,y2)≠fY1(y1)fY2(y2)，所以Y1与Y2不是相互独立的。9解：①根据已知条件，在给定条件{X=x}下，随机变量Y的概率密度的表达式为：?1?,x&y&1， fY(yX=x)=?1?x?其它?0,条件数学期望：∞E[YX=x]=∫yfY(yx)dy=∫?∞y1+xdy=x1?x21由上可以看出条件数学期望E[YX=x]是关于给定值x的函数。1+X是随机变量X的函数，也是个随机变量。因211+X为随机变量X服从（0，1）的均匀分布，函数1+X服从（1，2）的均匀分布，则其函数也服从(,1)221的均匀分布，即E[YX]服从(,1)的均匀分布。2②用随机变量X替换给定值x，则数学期望E[YX]=10 解：①因为?是在(0,2π)上均匀分布的随机变量，其概率密度为：?1?,0&?&2πf(?)=?2π??0，其它即：E[X]=∞∫∞?∞cos?f(?)d?=12πcos?d?=0 2π∫012π1E[Y]=∫sin?f(?)d?=sin?d?=0E[XY]=E[cos?sin?]=E[sin2?]=0?∞2π∫02CXY=E[(X-mX)(Y-mY)]=E[XY]=0 即相关系数ρXY=0，表明X和Y互不相关的。111②由于随机变量X和Y存在X+Y=1（非线性相关），Y的取值依赖于X的取值，所以随机变量X和Y之间相互不独立。11 解：由题意可知X的均值mX=3，所以Y的均值为：22mY=E[?6X+22]=?6E[X]+22=4①X和Y的互相关为：RXY=E[XY]=E[?6X2+22X]=?6E[X2]+22E[X]=?6(m+σ)+22mX=0可见X和Y是正交的。22222X2X②由于σX=2且σY=E[(Y?mY)]=E[(?6X+18)]=72，所以相关系数为ρXY=RXY?mXmy2σ2XσY=?12=?1 这说明X和Y又是线性相关。12 解：先找出随机变量X和Y之间的反函数关系：X=h(Y)=并求：h(y)=Y?ba1，则： a?[y?(amX+b)]2?y?b11fY(y)=fX[h(y)]h(y)=fX(=exp??? 22σaa2a2πaσXX??上式说明，正态分布的随机变量X的线性函数Y也是正态分布的随机变量，Y的均值为amX+b、方差为aσX。第二章
答案一．填空1. 广义平稳 不一定成立 严平稳2. 是 不一定是3. 高斯噪声 白噪声4. 不相关 正交 独立 5. ±4 16. 严平稳 独立7. 高斯过程 二．简答题1. 随机过程X(t)的数学期望为一常数，其相关函数只与时间间隔τ=t2?t1有关，且它的均方值有限。22?E(X(t))=mX?即满足?RX(t1,t2)=E[X(t1)X(t2)]=RX(τ)?2?EX(t)&∞[]2.均值其物理意义是：电压的瞬时统计平均值；随机过程X(t)的所有样本函数在各个时刻摆动的中心。112均方值其物理意义是：消耗在单位电阻上的瞬时功率的统计平均值。
方差其物理意义是：消耗在单位电阻上的瞬时交流功率的统计平均值。 3. ① RX(0)=EX[22(t)]=ΨX≥0② RX(τ)=RX(?τ)、KX(τ)=KX(?τ) ③ RX(0)≥RX(τ)、KX(0)=σX≥KX(τ2，有RX(τ)=RX(τ+T) ④ 对于周期平稳过程X(t)=X(t+T)（T为过程的周期）⑤ 若平稳过程X(t)含有一个周期分量，则RX(τ)也含有一个同周期的周期分量⑥ 若平稳过程中不含有任何周期分量，则有RX(τ)=RX(∞)=mX、KX(τ)=KX(∞)=02→∞τ→∞⑦ 若平稳过程含有平均分量（均值）mX，则有RX(τ)=KX(τ)+mX，又若该过程中不含任何周期分2量，则有σX=RX(0)?RX(∞)2⑧ 平稳过程的自相关函数必须满足∫+∞?∞RX(τ)e?jwτdτ≥04. 定义1：设随机试验E的样本空间S=[ξ]，若对于每个元素ξ∈S，总有一个确知的时间函数X(t,ξ)( t∈T)与它相对应，这样，对于所有的ξ∈S，就可得到一族时间t的函数，称它为随机过程。族中的每一个函数称为该过程的样本函数。定义2：若对于每个特定的时间ti(i=1,2,??)，X(ti,ξ)都是随机变量，则称X(t,ξ)为随机过程。 5.随时间的变化与状态的随机性，每个固定时刻为满足一定分布特性的随机变量。6答：“狭义平稳”是用随机过程的任意n阶分布特性来定义的，在实际中要验证一个随机过程是“狭义平稳”几乎是不可能的。7 (a) 具有遍历性的随机过程一定是平稳的。(b) 所谓具有“狭义”遍历性的随机过程，是要求其 “各种时间平均” 以概率1收敛于对应“状态平均”；这实际上要验证任意各阶分布函数所对应的概率积分与对应阶时间统计量的概率1收敛性。而“宽遍历”只要验证一阶统计量和二阶统计量与对应阶分布函数所对应的概率积分的概率1收敛性。 三 计算题1
mx(t)=E[X(t)]=E[Vsinω0t]=sinω0tE[V]=0σx2(t)=D[X(t)]=D[Vsinω0t]=sin2ω0tD[V]=sin2ω0t2Rx(t1,t2)=E[X(t1)X(t2)]=sinω0t1sinω0t2E[V]=sinω0t1sinω0t2
Cx(t1,t2)=Rx(t1,t2)=sinω0t1sinω0t2 2 E(X(t))=cost+2sint+t113R22x(t1,t2)=cost1cost2EA+sint1sint2EB+t1t2=3cost1cost2+4sint1sint2 3
Rx(τ)=2Ry(τ)?Ry(τ?a)?Ry(τ+a) 4
E[X(t)]=E[Acosω0t+Bsinω0t]=0Rx(t,t+τ)=E(X(t)X(t+τ)]=σ2cosω0(τ)E[X2(t)]=Rx(t,t)=Rx(0)=σ2&∞5 mx(t)=E[X(t)]=E[acos(ω0t+Θ)]=∫2πacos(ω0t+Θ)dΘ=0σ22x=D[X(t)]=E[(X(t)?m2x(t))]=E[acos2(ω0t+Θ)]a2a2a2=+E[cos(2(ω220t+Θ)]=2Ra2x(t1,t2)=E(X(t1)X(t2)]=2cosω0(t2?t1) Cx(t1,t2)=E[(X(t1)?mx(t1))(X(t2)?mx(t2))]=E(X(t1)X(t2)]=R,ta2x(t12)=2cosω0(t2?t1)6 是宽平稳随机过程理由：mx(t)=E[X(t)]=E[acos(ω2π0t+Θ)]=∫acos(ω0t+Θ)dΘ=0Ra2
a2x(t1,t2)=E(X(t1)X(t2)]=2cosω0(t2?t1)=2cosω0(τ)E[X2(t)]=Ra2x(t,t)=Rx(0)=2&∞7mz(t)=E[Z(t)]=E[X(t)+Y]=E[X(t)]+E[Y]=mx+my=常数Rz(t,t+τ)=E[Z(t)Z(t+τ)]=E[(X(t)+Y)(X(t+τ)+Y)]=E[(X(t)X(t+τ)]+E[(X(t)]E[Y]+E[(X(t+τ)]E[Y]+E[Y2] =Rx(τ)+2mxmy+E[Y2]=Rz(τ)E[Z2(t)]=RZ(0)+2m2xmy+E[Y]&∞ 故过程Z(t)为宽平稳的。然而，由于 A&Z(t)&=lim1T→∞2T∫T[X(t)+]lim1T?TYdt=T→∞2T∫?TX(t)dt+Y1141其中第一项limT→∞2T∫T?TX(t)dt不管是随机变量，还是常数；第二项Y总是个随机变量。因此A&Z(t)&也是随机变量，即
A&Z(t)&≠E[Z(t)]
所以，Z(t)不是宽遍历过程 8
mX(t)=cos4t2σX=3cos24t
RX(t1,t2)=4cos4t1cos4t2KX(t1,t2)=RX(t1,t2)?mX(t1)mX(t2)=3cos4t1cos4t2 9 mZ(t)=0
RZ(τ)=R(τ)cosτ
EZ(t)=RZ(0)&∞2[]10. 平稳性 E[X(t)]=0
RX(t,t+τ)=EA[1coswτ22EX2(t)=RX(0)=EA2&∞第三章
答案一、简答题1 非负；实函数；偶函数；可积 2 互为傅里叶变换对关系；Sx(ω)=3互为傅里叶变换对关系；Sxy(ω)=[][]∫+∞?∞+∞Rx(τ)e?jωτdτ
Rx(τ)=12π∫+∞?∞Sx(ω)ejωτdω∫?∞A&Rxy(t,t+τ)&e?jωτdτ1Rxy(τ)=2π∫+∞?∞Sxy(ω)ejωτdω4 离散随机过程X(n)的功率谱密度为S(ω)与连续过程X(t)的功率谱密度Sc(ω)之间的关系为1+∞S(ω)=∑Sc(ω+2nωq) 说明S(ω)等于Sc(ω)及Sc(ω)的所有各位移之和。这就是功率谱密度的采Tn=?∞样定理5 功率谱密度在整个频域范围内都是一个常数，这样的噪声为理想白噪声 6功率谱密度在某一个频域范围内是一个常数，这样的噪声为带限白噪声 7 除了白噪声以外的所有噪声都称为色噪声 二、计算题 1 Q=4,Q=2+∞112??2E?x(t)?=()=ωωSdx2π∫?∞2π011ω=+=d(1ω2π∫?8π8π2πω∫?8π(1?8π)dω8πω?(1)dω=4∫08π+8π3根据功率普密度的四个性质：a非负性 b实函数 c偶函数 d功率谱密度可积（1）是 （2）不是 不恒非负 （3）不是 非偶函数 （4）不是 不是绝对可积的
证明 满足三个条件的即为宽平稳
(2) Rx(τ)=σcosω0τ1152随机信号习题及答案24_平稳信号(3) S2x(ω)=πσ[δ(ω?ω0)+δ(ω+ω0)] 5
SX(ω)=aa?a2ω2(ω?ω+SX(ω)=/20)2+a2(ω+ω0)2+a26
S(ω)=4X(ω?π)2+1+4(ω+π)2+1+π[δ(ω+3π)+δ(ω?3π)]768ω4+20ω2+647 解：R(τ)=5+4e?3cos2(2τ)=5+2e?3?3x+2ecos4τSX(ω)=10πδ(ω)+129+ω2+69+(ω?4)2+69+(ω+4)28
证明：提示，先求过程的自相关然后进行傅里叶变换，即可证明9
R(t,t+τ)=a2Y2Rx(τ)[cosω0τ?cos(2ω0t+ω0τ)] 显然 Y(t)是非平稳的SY(ω)=∫+∞?∞A&RY(t,t+τ)&e?jωτdτ 而 A&Ra2Y(t,t+τ)&=2Rx(τ)cosω0τ ω)=a2所以SY(4[Sx(ω?ω0)+Sx(ω+ω0)]10 S10YX(ω)=4?j5ω第四章 答案 4-1解：Y(t)=h(t)?X(t)=∫th(t?u)X(u)du=∫t?∞?∞10e?10(t?u)[M+Bcos(20u+Θ)]du=M+B5[cos(20t+Θ)+2sin(20t+Θ)]4-2解：Y(t)=h(t)?X(t)=∫t?∞h(t?u)X(u)du=∫t?∞5e?3(t?u)??M+4cos(2u+Θ)??du=5e?3t?t3ut??∫eMdu+∫e3u(4cos(2u+Θ))du??∞?∞??=5e?3t?M?23???e3t+4?e3tsin(2t+Θ)+e3t?3?1313cos(2t+Θ)????
=53M+2013??2sin(2t+Θ)+3cos(2t+Θ)??4-3解：可以证明X(t)的均值mX=5116方法1.m∞?10tY=mX∫∞h(t)dt=mX∫10edt=mX=5
方法2. H(w10)=10+jwmY=mXH(0)=mX?1010+j0=mX=54-4解：m22?∞x=Rx(∞)=a+be=a2，∴mx=±a，a为正常数。H(w)=1α+jw，H(0)=1α。 ∴m±aY=mxH(0)=α。)=tt24-5解：fB(tσ2e?2σ
t≥0（1）E[x]=E??M+Bcos(20t+Θ)??=E[M]+E[B]E??cos(20t+Θ)??=E[M]=5H(w)=1?10×110+jw=jw10+jw，H(0)=1?1010=0 ∴my=mxH(0)=5×0=0(2)Rx(τ)=E??X(t)X(t+τ)??=E??(M+Bcos(20t+Θ))(M+Bcos(20(t+τ)+Θ))??=E??M2+MBcos(20t+Θ)+MBcos(20(t+τ)+Θ)+B2cos(20t+Θ)cos(20(t+τ)+Θ)??
=E??M2??+E??B2??E??1?2cos20τ+12cos(20(2t+τ)+2Θ)???=D[M]+E2[M]+E??B2??×12cos20τ=64+25+32×12cos20τ=89+16cos20τSx(w)=89×2πδ(w)+16π??δ(w?20)+δ(w+20)??；
H(w)2w2=102+w2 Sy(w)=Sx(w)iH(w)2=w2102+w2??89×2πδ(w)+16π??δ(w?20)+δ(w+20)???? E??Y2(t)??=1+∞2π∫?∞Sy(w)dw=1+∞w22π∫?∞102+w2??89×2πδ(w)+16π??δ(w?20)+δ(w+20)????dw =12022π×16π×102+202×2=12.84-6解：RXY(τ)=RX(τ)?h(τ)=∫∞0h(u)RX(τ?u)du117R∞YX(τ)=RX(τ)?h(?τ)=∫0h(u)RX(τ+u)duRY(τ)=RX(τ)?h(τ)?h(?τ)=∫∫∞h(u)h(v)RX(τ+u?v)dudv(1)RXY(τ)=∫∞?3u4?u3ei2e?du=6∫τ?3ueie?4(τ?u)du+6∫∞e?3uie4(τ?u)τdu=6e?4τ∫τeudu+6e4τ∞∫τe?7udu=6e?4τ(eτ?1)+6e4τ1?48?3τ?7(0?e7τ)=7e?6e?4τR48XY(0)=7?6=0.8571
R0.5)=48XY(7e?1.5?6e?2=0.7180 R)=48XY(17e?3?6e?4=0.2317(2)R+uYX(τ)=∫∞3e?3ui?402edu=6∫?τe?3uie4(τ+u)du+6∫∞e?3uie?4(τ+u)0?τdu=6e4τ∫?τu?4τedu+6e∫∞?τe?7udu=6e4τ(e?τ?1)+6e?4τ10?e7τ)=48e?3τ?7(7?6e?4τ(τ&0)R∞?3uYX(τ)=∫03ei2e?4(τ+u)du=6e?4τ∫∞u0e?7du=67e?4τ(τ&0)RYX(0)=67=0.8571
R(0.5)=67e?2=0.1160
R1)=6YXYX(7e?4=0.0157R(τ)=∫∞∞YX0∫3e?3ui3e?3vi2e?4+u?vdudv=18∫∞e?3udu∫∞e?3v?4+u?vedu=18∫∞e?3udu?∫τ+ue?3ve?4(τ+u?v)dv+∫∞e?3ve4(τ+u?v0?)?0τ+udv???
=18∫∞?3τ+uv?4(τ+u)∞0eudu??????∫0eedv+∫τ+ue?7ve4(τ+u)dv??????=18∫∞e?3udu??e?4(τ+u)(e(τ+u)+1)+e4(τ+u)i?1(0?e?7(τ+u)?0?7)??
=18∫∞e?3u??e?3(τ+u)1???e?4(τ+u)+e?3(τ+u)07??du=18∫∞e?3ui8e?3(τ+u)?e?4(τ+u)241807du=7e?3τ?7e?4τR24Y(0)=?18=0.8571
R241.51877Y(0.5)=7e??7e?2=0.Y(1)=7e??7e?4=0.12364-7解：H(w)=??1?jw??πδ(w)+??2jw????1?e? ?118（1）SN(w)=N0=10，N0=20 2RN(τ)=（2）RX1n(t)?=0 mY=mXH(0)=0 N0δ(τ)=10δ(τ)，E???2(τ)=E??X(t)X(t+τ)??=E??n(t)n(t+τ)??=RN(τ)=10δ(τ)
SX(w)=10∞0∞∞2E?Y?(t)??=RY(0)=∫∫h(u)h(v)RX(u?v)dudv=∫∫??U(u)?U(u?0.5)????U(v)?U(v?0.5)??δ(u?v)dudv∞=10∫?U(u)?U(u?0.5)??du∫0??U(v)?U(v?0.5)??δ(u?v)dv0?
=10∫?U(u)?U(u?0.5)?U(u)?U(u?0.5)?du=10∫12du=5?????00（3）D??Y(t)??=E??Y∞∞∞0.522?m(t)?Y=5 ?∞（1）(4)RXY(τ)=∫h(u)RX(τ?u)du=∫?U(u)?U(u?0.5)??i10δ(τ?u)du=10??U(u)?U(u?0.5)??4-8解：00?2mX=RX(∞)=16e?2(∞)=0，mX=0jw???1??2H(w)=?πδ(w)+??1?e?，H(0)=0 mY(t)=mX(t)iH(0)=0jw????2(2)E?Y?(t)??=RY(0)=∫∫h(u)h(v)RX(u?v)dudv0∞=∫∞∫∞??U(u)?U(u?0.5)????U(v)?U(v?0.5)??i16e∞?2u?vdudvdv=16∫?U(u)?U(u?0.5)??du∫0??U(v)?U(v?0.5)??e0?∞?2u?vu?2u?v∞0.52u?v()()????+dv
=16∫?UuUu0.5duedve?()()??∫u?∫0?0??=16∫∞0.5?1?2u1(2u?1)??1?2u1(2u?1)???????=?UuUueedue?edu=8e?10.51161()()???2∫???022???2?（3）D??Y(t)??=E??Y∞22?1(t)???mY=8e(4)RXY(τ)=∫h(u)RX(τ?u)du=∫?U(u)?U(u?0.5)??i16e0?∞?2?udu=16∫e?2?udu0.50.5τ=16?∫e?2(τ?u)du+∫e2(τ?u)du??0?τ??当τ&0时，RXY(τ)=16∫00.5e2(τ?u)du=8(1?e?1)e2ττ0.5当0≤τ≤0.5时，RXY(τ)=16?e?2τ∫e2udu+e2τ∫e?2udu?=8(2?e2τ?1?e?2τ)??τ??1190.5当τ&0.5时，R?2τ?2τXY(τ)=16e∫0e2udu=8(e?1)e?8(1?e?1)e2τ?τ&0∴R?XY(τ)=?8(2?e2τ?1?e?2τ)
0≤τ≤0.5???8(e?1)e?2ττ&0.54-9解：SN0N(w)=Y(w2
H(w)=)jwLXw=R+jwL22Sw)iH(w)2=N0N?0?2?Y(w)=SN(2wLR2+w2L2=2?1???(2R? )+w22L???NRR0?R??Y(τ)=2??δ(t)?2LeL? ?4-10解：SN(w)=N02H(w)=Y(w)RjwRCXw==R+1+jwRCjwC2?S(w)=S2N(wRC)N0?2?N(w)iH(w)=0
21+(wRC)2=2?1??21?Y? ?+w22RC??RN0?1?1RC?Y(τ)=2??δ(t)?2RCe? ?4-11解：由电路知识可得此系统的冲激响应为h(t)=be?btU(t)，其中b=1/RC。则其输出均值为m∞∞Y=mX∫0be?budu=?m?buXe0=mX从物理概念分析此结果是正确的，因为此电路的直流增益为1。 4-12解：1. 由题意知RX(τ)=N02δ(τ)，则输出自相关函数为 Rτ)=∫∞h(u)?∞∞0??∫N002δ(τ+u?v)h(v)??NY(?du=02∫0h(u)h(τ+u)du上式表明当输入是白噪声时，输出信号的自相关函数正比于系统冲激响应的卷积。120随机信号习题及答案24_平稳信号于是NRY(τ)=02∫(be)U(u)(be∞?bu?b(τ+u))U(τ+u)du上式分别按τ≥0与τ&0两种情况求解。 当τ≥0时，有N0b2?bτ∞?2buNbRY(τ)=e∫edu=0e?bτ024由自相关函数的偶对称性，则当τ&0时有N0bbτNbbe
则输出的自相关函数
RY(τ)=0e，&∞ 442. 在上式中令τ=0，即可得输出的平均功率为bN0EY2(t)=RY(0)=4RY(τ)=RY(?τ)=[]由于b是时间常数RC的倒数，因此也与电路的带宽Δf有关，其中Δf=1b（Hz） =2πRC2π于是输出平均功率又可写成EY(t)=2[]πN02Δf由此可见，该电路的输出平均功率随着电路的带宽变宽而线性地增大。 3. 输入和输出的互相关函数为RXY(τ)=∫同理∞?N0N0N0?h(τ)
τ≥0h(τ)U(τ)=?2δ(τ?u)h(u)du=22??0
τ&0N0N0?h(?τ)U(?τ)=?N0δ(τ+u)h(u)du=22h(?τ)
τ≤0??2RYX(τ)=∫∞4-13解：RY(τ)=∫∫∞∞RX(τ+u?v)h(u)h(v)dudv=∫∞∫∞βN04e?β+u?vbe?bu?be?bvdudv当τ≥0时，考虑到u，v均在0~∞之间变化，故先对v积分较方便。RY(τ)=βN0b24∫∞e?bu2β?bτ??βτ?τ+ue?β(τ+u?v)e?bvdv+∞eβ(τ+u?v)e?bvdv?du=βN0b??ee?因为自?22∫∫??τ+u0??b4b?β??相关函数为τ的偶函数，所以τ&0时的RY(τ)表达式能直接由τ≥0时的表达式RY(?τ)写出。综合可得b2βN0??ββ?bτ?RY(τ)=?e? ?eb4b2?β2??第五章 答案一、填空题答案1211、线性变换
线性系统2、窄带随机信号或窄带随机过程S=??SX(ω)
ω0?ωc≤ω≤ω0+ωcX(ω)，且带宽Δω=2ω?0
其他c ∧3、X(t)=a(t)cosω0t?b(t)sinω0t，其中a(t)=X(t)cosω0t+X(t)cosω0tb(t)=?X(t)sinω∧0t+X(t)cosω0t4、① a(t)和b(t)都是实随机过程 ② E[a(t)]=E[b(t)]=0③ a(t)、b(t)各自广义平稳，且联合平稳，以及Ra(τ)=Rb(τ)=RX(τ)cosω0τ+R(τ)XX∧sinω0τ④ E[a2(t)]=E[b2(t)]=E[X2(t)](τ)=?R∧⑤ RabX(τ)sinω0τ+RX(τ)cosω0τ，Rab(τ)=?Rba(τ)，Rab(τ)=?Rab(?τ) ⑥ Rab(0)=0
⑦ RX(τ)=Ra(τ)cosω0τ+Rba(τ)sinω0τ ⑧ Sa(ω)=Sb(ω)=LP[SX(ω?ω0)+SX(ω+ω0)] ⑨ Sab(ω)=?jLP[SX(ω+ω0)?SX(ω?ω0)]5、X(t)=A(t)cos(ω0t+?(t))
中心频率或称载波频率 6、瑞利分布
两个相互统计独立的
随机过程 二、计算题答案 1、解：∧s(t)=s(t)*11∞Acosw0(t?τ)A∞cosw0tcosw0τ+sinw0tsinw0τπt=π∫?∞τdτ=π∫?∞τdτ=Aπcosw∞cosw0τ0t∫?∞τdτ+Aπsinw∞sinw0τ2A∞sinw0τ0t∫?∞τdτ=πsinw0t∫0τdτ?
=2Aπsinw22A?π?2w0≥0?Asinw0t
w0≥00t?πsgn(w0)=πsinw0t?=???π
w&0??Asinw0t
w0&0??22、解：x(t)=A(t)cosθ(t)cosw0t?A(t)sinθ(t)sinw0tx(∧t)=A(t)cosθ(t)sinw0t+A(t)sinθ(t)cosw0t=A(t)sin(w0t+θ(t))3、证明：（1）s1(t)=a(t)cosw0t，122?1A(w?w0)
w&0 ?11?2S1(w)=A(w)?π??δ(w?w0)+δ(w+w0)??=2??A(w?w0)+A(w+w0)??=?12π?A(w+w)
w&0??2??∧??S1(w)=?jsgn(w)S1(w)=?????s1(t)=∧1jA(w?w0)
w&0112[A(w?w0)+A(w+w0)] =1j2jA(w+w0)
w&02111a(t)ejw0t?a(t)e?jw0t=a(t)2jsinw0t=a(t)sinw0t j22j[]（2）s2(t)=a(t)sinw0t?1A(w?w0)
w&0?2j11π?S2(w)=A(w)??A(w?w0)?A(w+w0)?δ(w?w0)?δ(w+w0)?==??????2πj2j??1A(w+w)
w&0??2j?1?A(w?w0)
w&0∧?1?2S2(w)=?jsgn(w)S2(w)=?=[A(w?w0)+A(w+w0)]??1A(w+w)
w&020??2s2(t)=?4、解：∧11a(t)ejw0t+a(t)e?jw0t=?a(t)2cosw0t=?a(t)cosw0t 22[]x(t)=acos(w0t+θ)+bsin(w0t+θ)=(acosθ+bsinθ)sinw0t+(asinθ?bcosθ)cosw0tX(w)=(acosθ+bsinθ)∧π?δ(w?w0)?δ(w+w0)?+(asinθ?bcosθ)π?δ(w?w0)?δ(w+w0)?????jX(w)=?jsgn(w)X(w)=?π(acosθ+bsinθ)[δ(w?w0)+δ(w+w0)]?jπ(asinθ+bcosθ)[δ(w?w0)?δ(w+w0)]x(t)=?(acosθ+bsinθ)cosw0t+(asinθ?bcosθ)sinw0t=?acos(w0t+θ)?bsin(w0t+θ)5、证明：b(t)A(t)?2σ(2)A(t)=?(t)=arctan，fA(A(t))=,A(t)≥0 eσ2atE[At]=∫A(t)i2E?A?t??=∫∞∞A2t∧A(t)σ2?x22σe?A2(t)2σdA(t)=∫∞?x2∞x2σ2e?x22σdx=?∫xde?x22σ∞?x22σ=∫e0∞?∞?x22σdx=x3σ2edx=?∫x2de2σ=2∫xe∞dx=2(?σ2)∫dex22σ=2σ2123D[A??t]=E???At?2???=E??????????A2tAπt+2σ2???=E??A2π2π2π2?π?2t??+2σ2=E??At???2σ=2σ2?2σ=??2?2??σ6、解：（1）Q=1∫∞1?∞π(w?w0) ∞π(w+w0)?2π?∞SX(w)dw=2π?PcosΔwdw+
PcosΔwdw?∫?∞∫?∞??P?wΔw=0+22π??∫wcosπ(w?w0)dw+?wΔw0+Δ2wcosπ(w+w0)dw?0?Δw2Δw∫?w0??2Δw?P?ΔwΔww
=2π?2πxπy?PΔ?∫?Δwcosdx+2cosdy=22PΔwΔwcosπxdx=2Δw∫?ΔwΔw??π∫?2Δwπ22（2）Sa(w)=Sb(w)=Lp??SX(w?w0)+SX(w+w0)????Pcosπ(w?2w0)
w?2w≤Δw?Δw02Sw?πwΔwX(w?0)=?Pcos
w≤?Δw2??0
其他???Pcosπ(w+2w0)
w+2w≤Δw?Δw02S+w??PcosπwΔwX(w0)=?Δw
其他??S(w)=Lp??2Pcosπww≤Δwa?SX(w?w0)+SX(w+w0)??=?Δw2??0
其他（3）Sab(w)=?Sba(w)=jLp??SX(w?w0)?SX(w+w0)???Pπ(w?2w0)w?ΔwSw?w?S??cosΔw
2w0≤2X(0)X(w+w0)=?2w??Pcosπ(w+0)
w+2w≤Δw??Δw02Sab(w)=0，Rab(τ)=0 （4）正交，不相关。124欢迎您转载分享：
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