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一类不动点迭代法的求解
摘　要：不动点迭代方法是求解非线性方程近似根的一个重要方法,其应用非常广泛.对迭代函数不满足收敛定理条件的一类情况进行了研究,归纳出几种迭代方法,同时给出实例,并用C语言编程上机进行了计算,最后对迭代收敛结果进行了分析和比较.当前位置：
＞＞＞对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，则称x0为f（x）的不动..
对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，则称x0为f（x）的不动点．如果函数f(x)=x2+abx-c(b，c∈N)有且只有两个不动点0，2，且f(-2)＜-12．（1）求函数f（x）的解析式；（2）已知各项不为零的数列{an}满足4Snof(1an)=1，求数列通项an；（3）如果数列{an}满足an=f（an），求证：当n≥2时，恒有an＜3成立．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（1）设x2+abx-c=x得：（1-b）x2+cx+a=0，由根与系数的关系，得：2+0=-c1-b2o0=a1-b，解得a=0b=1+c2，代入解析式f(x)=x2(1+c2)x-c，由f(-2)=-21+c＜-12，得c＜3，又c∈N，b∈N，若c=0，b=1，则f（x）=x不止有两个不动点，∴c=2，b=2，于是f(x)=x22(x-1)，(x≠1)．（2）由题设，知4Sno(1an)22(1an-1)=1，所以，2Sn=an-an2 ①；且an≠1，以n-1代n得：2Sn-1=an-1-an-12，②；由①-②得：2an=（an-an-1）-（an2-an-12），即（an+an-1）（an-an-1+1）=0，∴an=-an-1或an-an-1=-1，以n=1代入①得：2a1=a1-a12，解得a1=0（舍去）或a1=-1；由a1=-1，若an=-an-1得a2=1，这与an≠1矛盾，∴an-an-1=-1，即{an}是以-1为首项，-1为公差的等差数列，∴an=-n；（3）证法（一）：运用反证法，假设an＞3（n≥2），则由（1）知an+1=f(an)=a2n2an-2，∴an+1an=an2(an-1)=12o(1+1an-1)＜12(1+12)=34＜1，即an+1＜an(n≥2，n∈N)∴an＜an-1＜…＜a2，而当n=2时，a2=a212a1-2=168-2=83＜3；&&∴an＜3，这与假设矛盾，故假设不成立，∴an＜3．证法（二）：由an+1=f(an)得an+1=a2n2an-2，1an+1=-2(1an-12)2+12≤12得an+1＜0或an+1≥2，若an+1＜0，则an+1＜0＜3，结论成立；若an+1≥2，此时n≥2，从而an+1-an=-an(an-2)2(an-1)≤0，即数列{an}在n≥2时单调递减，由a2=223，可知an≤a2=223＜3，在n≥2上成立．
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据魔方格专家权威分析，试题“对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，则称x0为f（x）的不动..”主要考查你对&&函数解析式的求解及其常用方法&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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函数解析式的求解及其常用方法
函数解析式的常用求解方法：
（1）待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）：若已知f（x）的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得f（x）的表达式。待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。 （2）换元法（注意新元的取值范围）：已知f（g（x））的表达式，欲求f（x），我们常设t=g（x），从而求得，然后代入f（g（x））的表达式，从而得到f（t）的表达式，即为f（x）的表达式。（3）配凑法（整体代换法）：若已知f（g（x））的表达式，欲求f（x）的表达式，用换元法有困难时，（如g（x）不存在反函数）可把g（x）看成一个整体，把右边变为由g（x）组成的式子，再换元求出f（x）的式子。（4）消元法（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）：若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。 （5）赋值法（特殊值代入法）：在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。
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与“对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，则称x0为f（x）的不动..”考查相似的试题有：
395342476692283580556262251427436904当前位置：
＞＞＞对于函数f（x）=ax2+（b+1）x+b-2（a≠0），若存在实数x0，使f（x0）=x0成..
对于函数f（x）=ax2+（b+1）x+b-2（a≠0），若存在实数x0，使f（x0）=x0成立，则称x0为f（x）的不动点．（1）当a=2，b=-2时，求f（x）的不动点．（2）若对于任何实数b，函数f（x）恒有两个相异的不动点，求实数a的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：不详
解∵f（x）=ax2+（b+1）x+b-2（a≠0），（1）当a=2，b=-2时，f（x）=2x2-x-4．设x为其不动点，即2x2-x-4=x．则2x2-2x-4=0．∴x1=-1，x2=2．即f（x）的不动点是-1，2．（2）由f（x）=x得：ax2+bx+b-2=0．由已知，此方程有相异二实根，△x＞0恒成立，即b2-4a（b-2）＞0．即b2-4ab+8a＞0对任意b∈R恒成立．∴△b＜0．，∴16a2-32a＜0，∴0＜a＜2．
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据魔方格专家权威分析，试题“对于函数f（x）=ax2+（b+1）x+b-2（a≠0），若存在实数x0，使f（x0）=x0成..”主要考查你对&&二次函数的性质及应用&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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二次函数的性质及应用
二次函数的定义：
一般地，如果（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。
二次函数的图像：
是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向；a＞0时，抛物线开口向上；a&0时，抛物线开口向下；②有对称轴；③有顶点；④c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。
性质：二次函数y=ax2+bx+c，
①当a＞0时，函数f（x）的图象开口向上，在（-∞，-）上是减函数，在[-，＋∞）上是增函数； ②当a&0时，函数f（x）的图象开口向下，在（-∞，-）上是增函数，在[-，＋∞）是减函数。
二次函数（a，b，c是常数，a≠0）的图像：
&二次函数的解析式：
（1）一般式：（a，b，c是常数，a≠0）；（2）顶点式：若二次函数的顶点坐标为（h,k），则其解析式为&;（3）双根式：若相应一元二次方程的两个根为 ,则其解析式为 。二次函数在闭区间上的最值的求法：
(1)二次函数&在区间[p,g]上的最值问题一般情况下，需要分三种情况讨论解决．当a&0时，f(x)在区间[p，g]上的最大值为M，最小值为m，令&．①&② ③ ④特别提醒：在区间内同时讨论最大值和最小值需要分四种情况讨论．
(2)二次函数在区间[m．n]上的最值问题一般地，有以下结论：&特别提醒：max{1,2}=2,即取集合{1,2}中最大的元素。
二次函数的应用：
（1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路： 理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题。 （2）应用二次函数求实际问题中的最值： 即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。
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248049563891441436256421250818404560数列的不动点法是怎么回事用不动点法求数列通项公式为什么能那样做为什么把An还成X解出来就是不动点还有就是说明下他为什么这么神奇._百度作业帮
数列的不动点法是怎么回事用不动点法求数列通项公式为什么能那样做为什么把An还成X解出来就是不动点还有就是说明下他为什么这么神奇.
用不动点法必须先证明数列的极限存在!因为limXn=limX(n+1)=X,代入表达式即可用解方程的办法求出x.
数列实际上是一个特殊的函数,即整点函数(自变量为自然数集).若f(x0)=x0,则x0称为f(x)的一个不动点(不动点可以有不止一个).有了不动点,就可以把递推式两边化成形式一致,这样可以转化为基本的等比/等差数列,便于求通项或者前n项和.
您可能关注的推广浅谈用不动点迭代法求解非线性方程解的教学方法--《学周刊》2014年31期
浅谈用不动点迭代法求解非线性方程解的教学方法
【摘要】：目前,数值分析是理工科院校重要的一门基础课程。其中,非线性方程的求解是数值分析中重要的一个章节,而不动点迭代法是求解非线性方程的经典方法。本文主要阐述了用不动点迭代法求解非线性方程的解,并在MATLAB上实现算法的一些教学方法。
【作者单位】：
【关键词】：
【基金】：
【分类号】：G642;O241.7-4【正文快照】：
一、引言数值分析是理工科院校重要的一门基础课程。其中,非线性方程的求解是数值分析中重要的一个章节。常用的求解非线性方程的经典方法是不动点迭代法。同时,MATLAB作为高性能数值计算的软件,在数值分析中的作用越来越重要,因为很多数值计算需要通过MATLAB软件得以实现。在
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