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山东省冠县武训高级中学高二数学复习导学案：3-3第2课时《基本不等式与最大》（新人教A版）.doc12页
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知能目标解读
1.进一步巩固基本不等式求最值时成立的条件.
2.能够运用基本不等式解决实际应用性问题，提高应用数学手段解决实际问题的意识与能力.
重点难点点拨
重点：应用基本不等式进行不等式的证明与求最值.
难点：1.不等式的综合应用.2.逆向不等式的运用.
学习方法指导
1.注意基本不等式的基本形式是“和的形式≥积的形式”,还要注意“反向”不等式≤.在解题中的灵活运用.
2.注意对字母轮换式的识别，从而通过某种形式的迭加或迭乘使问题获解.
3.重视化归思想的运用，等式与不等式之间的转化、不等式与不等式之间的转化、函数与不等式之间的转化等等.要把握准转化的条件，达到化归目的.
知能自主梳理
常见的不等式：
1.a2+b2≥　　　　　　　 a、b∈R .
2.ab≤（　　　　）2≤
3.若0 a b,m 0,则　　　　.
［答案］　1.2ab　2.　 3.
思路方法技巧
命题方向　不等式的证明技巧―字母轮换不等式的证法
［例1］　已知a、b、c是正实数
求证：++≥a+b+c.
［分析］　由可要证的不等式两边是三项，而均值不等式只有两项，故可尝试多次使用均值不等式.
［证明］　∵a、b、c是正实数，
∴≥2 2c 当且仅当＝,即a b时，取等号 ;
+≥2 2a 当且仅当 ,即b c时，取等号 ；
+≥2 2b 当且仅当 ,即a c时，取等号 .
上面3个不等式相加得
2?+2?+2?≥2a+2b+2c 当且仅当a b c时，取等号 .
∴++≥a+b+c.
［说明］　1.使用均值不等式时，一定要注意是否满足条件，等号能否成立.
2.对于证明多项和的不等式时，可以考虑分段应用均值不等式或其变形，然后整体相加（乘）得结论.
变式应用1　
已知a,b,c为两两不相等的实数，求证：a2+b2+c2 ab+bc+ca.
［解析］　∵a2+b2 2ab，b2+c2 2bc，c2+a2 2ca，
以上三式相加
正在加载中，请稍后...均值不等式在竞赛数学中的应用——均值不等式等号成立的构造
均值不等式是高中数学中的一个重要不等式,它有着广泛的应用,本文主要就它在求函数最值中的应用举例说明.我们知道使各因式之和(或积)为定值是利用平均值不等式求最值的关键点.其次,还要使各因式相等才能实现,即等号成立的条件必须满足,否则将导致错误,这也是使用均值不等式求最值的难点.所以在运用时不仅要牢记它的三个条件"正、定、等",还要善于根据均值不等式的结构特征,创造运用均值不等式的条件,而待定系数法(或参数法)就是其中常用的解题技巧.本文将重点介绍利用这种方法解决均值不等式等号成立的问题.
江西省永丰中学,331500
年，卷(期)
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91基本不等式应用,利用基本不等式求最值的技巧,题型分析
基本不等式应用；一．基本不等式；22；1.（1）若a,b?R，则a2?b2?2ab(2；2.(1)若a,b?R*，则；a?b*；）?ab(2)若a,b?R，则a?b?2ab（当；a?b?(当且仅当a?b时取“=”(3)若a,b；3.若x?0，则x?；11；?2(当且仅当x?1时取“=”）;若x?0，则x；若x?0，则x?1?2即x?1?2或x?1?-2；若a
基本不等式应用一．基本不等式221.（1）若a,b?R，则a2?b2?2ab
(2)若a,b?R，则ab?a?ba?b时取“=”）22. (1)若a,b?R*，则*a?b*） ?ab
(2)若a,b?R，则a?b?2ab（当且仅当a?b时取“=”22a?b?
(当且仅当a?b时取“=”(3)若a,b?R，则ab??） ???2?3.若x?0，则x?11?2 (当且仅当x?1时取“=”）;若x?0，则x?2 (当且仅当x??1时取“=”） xx若x?0，则x?1?2即x?1?2或x?1?-2
(当且仅当a?b时取“=”） xxx3.若ab?0，则a?b?2
(当且仅当a?b时取“=”） ba若ab?0，则ababab） ??2即??2或??-2
(当且仅当a?b时取“=”bababaa?b2a2?b24.若a,b?R，则(（当且仅当a?b时取“=”） )?22注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值例1：求下列函数的值域11（1）y＝3x 2＋
（2）y＝x2xx1解：（1）y＝3x 2＋≥22x3x 2 6
∴值域为[6 ，+∞）2xx?
=－2 x1（2）当x＞0时，y＝x＋ ≥x11当x＜0时， y＝x＋ = －（－ x）≤－2xx∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知x?5，求函数y?4x?2?1的最大值。 44x?51解：因4x?5?0，所以首先要“调整”符号，又(4x?2)不是常数，所以对4x?2要进行拆、凑项，4x?5511???x?,?5?4x?0，?y?4x?2????5?4x???3??2?3?1 44x?55?4x??当且仅当5?4x?1，即x?1时，上式等号成立，故当x?1时，ymax?1。 5?4x评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。 技巧二：凑系数例1. 当时，求y?x(8?2x)的最大值。解析：由知，，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2x?(8?2x)?8为定值，故只需将y?x(8?2x)凑上一个系数即可。 当，即x＝2时取等号
当x＝2时，y?x(8?2x)的最大值为8。 评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值。 变式：设0?x?3，求函数y?4x(3?2x)的最大值。 2232x?3?2x?9?解：∵0?x?∴3?2x?0∴y?4x(3?2x)?2?2x(3?2x)?2??? 222??当且仅当2x?3?2x,即x?3?3???0,?时等号成立。 4?2?技巧三： 分离x2?7x?10(x??1)的值域。 例3. 求y?x?1解析一：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋1）的项，再将其分离。 当,即时,y?5?9（当且仅当x＝1时取“＝”号）。 技巧四：换元解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分离求最值。(t?1)2?7(t?1）+10t2?5t?44y?=?t??5ttt当,即t=时,y?5?9（当t=2即x＝1时取“＝”号）。评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最A?B(A?0,B?0)，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值。 g(x)a技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数f(x)?x?的单调性。x值。即化为y?mg(x)?例：求函数y?22?t(t?2)，则y??1?t?(t?2)t因t?0,t??1，但t?解得t??1不在区间?2,???，故等号不成立，考虑单调性。 因为y?t?在区间?1,???单调递增，所以在其子区间?2,???为单调递增函数，故y?所以，所求函数的值域为?,???。1t1t1t5。 2?5?2??练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值.11x2?3x?1,x?(0,?)
(3)y?2sinx?,(x?0) （2）y?2x?
（1）y?sinxx?3x2．已知0?x?1，求函数y?条件求最值ab1.若实数满足a?b?2，则3?3的最小值是
.的最大值.；3．0?x?2，求函数y?3.分析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而且3?3定值，因此考虑利用均值定理求最小值，
解： 3和3都是正数，3?3≥3a?3b?23a?b?6ababab当3?3时等号成立，由a?b?2及3?3得a?b?1即当a?b?1时，3?3的最小值是6．ababab11变式：若log4x?log4y?2，求?的最小值.并求x,y的值xy技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。。 2：已知x?0,y?0，且19??1，求x?y的最小值。 xy19????1，?x?y??1?9??x?y??12
故 ?x?y?min?12 。xy?xy?错解：?x?0,y?0，且．．错因：解法中两次连用基本不等式，在x?y?x?y，在1?9?xy条件是19?即y?9x,取等号的条件的不一致，产生错误。因此，在利用基本不等式处理问题时，列出xy等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。?19?y9x19正解：?x?0,y?0,??1，?x?y??x?y???????10?6?10?16xy?xy?xy19y9x?当且仅当时，上式等号成立，又??1，可得x?4,y?12时，?x?y?min?16 。xyxy变式： （1）若x,y?R且2x??y?1，求1?1的最小值xy?(2)已知a,b,x,y?R且a?b?1，求xxy2?y的最小值y 2技巧七、已知x，y为正实数，且x＋＝1，求1＋y
的最大值.2a 2＋b 2分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab 。21同时还应化简1＋y
中y前面的系数为 ，
＝x221＋y2
22下面将x1y ＋ 分别看成两个因式： 222221 2y＋
)x＋＋22223＝
＝2 ?x224x?x＋(≤223＋ ≤
2241技巧八：已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y的最小值.ab分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。30－2b30－2b－2 b 2＋30b法一：a＝，
ab＝ ?b＝b＋1b＋1b＋1
由a＞0得，0＜b＜15－2t 2＋34t－311616令t＝b+1，1＜t＜16，ab＝＝－2（t＋）＋34∵t＋≥ttt
∴ y≥1当且仅当t＝4，即b＝3，a＝6时，等号成立。 18t?
＝8t法二：由已知得：30－ab＝a＋2b∵ a＋2b≥2 ab
∴ 30－ab≥2 ab2令u＝ab
则u＋22 u－30≤0， －52 ≤u≤21ab
≤32 ，ab≤18，∴y≥18点评：①本题考查不等式a?b?ab（a,b?R?）的应用、不等式的解法及运算能力；②如何由已知不等2式ab?a?2b?30出发求得ab的范围，关键是寻找到a?b与ab之间的关系，由此想到不等（a,b?R?）式a?b?ab（a,b?R?），这样将已知条件转换为含ab的不等式，进而解得ab的范围. 2变式：1.已知a&0，b&0，ab－(a＋b)＝1，求a＋b的最小值。2.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。 技巧九、取平方5、已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，求函数W＝3x ＋2y 的最值.a＋ba 2＋b 2解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，≤，本题很简单22 3x 2y
2（3x ）2＋（2y ）2 ＝23x＋2y ＝5解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。W＞0，W2＝3x＋2y＋2x 2y ＝10＋3x 2y ≤10＋3x )2?(2y )2 ＝10＋(3x＋2y)＝20∴ W≤＝变式:求函数y?1?x?5)的最大值。22解析：注意到2x?1与5?2x的和为定值。y2?2?4??4?(2x?1)?(5?2x)?8又y?0，所以0?y?当且仅当2x?1=5?2x，即x?3时取等号。
故ymax?。 2评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件。总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式。 应用二：利用基本不等式证明不等式1．已知a,b,c为两两不相等的实数，求证：a2?b2?c2?ab?bc?ca?1??1??1??1???1???1??8 ?a??b??c?1）正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc 例6：已知a、b、c?R，且a?b?c?1。求证：??分析：不等式右边数字8，使我们联想到左边因式分别使用基本不等式可得三个“2”连乘，又11?ab?c ?1???aaa解：?a、b、c?R，a?b?c?1。??1111?ab?c?1?，?1??1???bbaaac上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得 1?1??1??1?a?b?c?。当且仅当时取等号。 ?1?1?1??8??????3?a??b??c?应用三：基本不等式与恒成立问题 例：已知x?0,y?0且19??1，求使不等式x?y?m恒成立的实数m的取值范围。 xy19x?y9x?9y10y9x??1，???1.????1 xykxkykkxky解：令x?y?k,x?0,y?0,?1?103?2? 。?k?16 ，m????,16?
kka?lgb,Q?1a?b(lga?lgb),R?lg()，则P,Q,R的大小关系是
. 22应用四：均值定理在比较大小中的应用： 例：若a?b?1,P?分析：∵a?b?1 ∴lga?0,lgb?0Q?1（lga?lgb)?lga?lgb?p 2a?b1R?lg()?lgab?lgab?Q
∴R&Q&P。22 包含各类专业文献、生活休闲娱乐、中学教育、幼儿教育、小学教育、外语学习资料、91基本不等式应用,利用基本不等式求最值的技巧,题型分析等内容。
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2013届高考数学一轮复习讲义 7.4 基本不等式及其应用|
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