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最大公因数与最小公倍数
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小学五年级奥数：最大公因数最小公倍数性质及最值
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最大公因数与最小公倍数基础知识及实际应用题
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最大公因数与最小公倍数的实际应用
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最大公因数与最小公倍数
最大公因数与最小公倍数
基本概念：
1、公约数和最大公约数
&几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。
例如：12的约数有1，2，3，4，6，12；30的约数有1，2，3，5，6，10，15，30。12和30的公约数有1，2，3，6，其中6是12和30的最大公约数。
一般地我们用（a,b）表示a,b这两个自然数的最大公约数，如（12，30）=6。如果（a,b）=1,则a,b两个数是互质数。
2、公倍数和最小公倍数
几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。
例如：12的倍数有12，24，36，48，60，72，…
18的倍数有18，36，72，90，…
12和18的公倍数有：36，72…其中36是12和
18的最小公倍数。
一般地，我们用[a,b]表示自然数，a,b的最小公倍数，如[12，18]=36。
3、最大公约数与最小公倍数的求法
A．最大公约数
求两个数的最大公约数一般有以下几种方法
（1）分解质因数法
（2）短除法
（3）辗转相除法
（4）小数缩倍法
（5）公式法
前两种方法在数学课本中已经学过，在这里我们主要介绍辗转相除法。
当两个整数不容易看出公约数时（一般是数字比较大），我们可以合用辗转相除法。
B．最小公倍数
求几个数的最小公倍数的方法也有以下几种方法：
（1）分解质因数法
（2）短除法
（3）大数翻倍法
（4）a&b=（a,b）&[a,b]
上面的公式表示：两个数的乘积等于这两个数的最大公约数和最小公倍数的乘积。
2248713468
90厘米，宽42厘米的长方形铁板剪成边长都是整厘米，面积都相等的小正方形铁板，恰无剩余。至少能剪&&&
&&&&&&&&&&&&&（北京市第一届迎春杯数学竞赛刊赛试题）
【分析】：根据题意，剪得的小正形的边长必须是90和42的最大公约6。所以原长方形的长要分90&6＝15段，宽要分42&6＝７段，至少能剪17&７＝105（块）
解：（１）求90和42的最大公约数
&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&
（90，42）＝60
（2）求至少剪多少块正方形铁板
&&&&&&&&&&&&&90&6＝15
&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&
15&7＝105（块）
答：至少可以剪105块正方形铁板。
说明：用短除法求小数的最大公约数比较容易。
92345678910
10三个连续的自然数的最小公倍数是168，那么这三个自然数的和等于&&&&
（1998年小学数学奥林匹克预赛B卷第4题）
解： 168=2&3&7，因此这三个连续自然数是6，7，8。和为6+7+8=21.
210912111514
31223344556671
3、四个连续自然数的最小公倍数是5460，这四个数和是（& ）。
（北京市第十一届迎春杯数学竞赛刊赛试题）
答：54600=2&3&5&7&13
12+13+14+15=54
1178816802098735
★★
★★★
9108396A,108180A
武汉三镇童老师小学奥数辅导中心一对一上门授课常年招生中。
2012年秋季，2012年寒假，小学奥数一对一，小班火热预报名中。电话 &&
027- 童老师奥数
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
第一、10年的小学奥数，小学数学，初中数学，奥数的辅导经验，思维敏捷，逻辑清晰；第二、熟悉武汉学生的学习情况，各大学校的数学情况都熟悉；第三、辅导过外校，华一学生，育才小学，武珞路学校，武汉小学等学生，成绩提高显著，方法得当；第四、熟悉武汉中小学数学的考试要求，考试大纲，针对性地提高，效果显著；第五、辅导过外校初中学生曾经在荆楚取得保持在年级前5名，在明心奥数资优生入学测试时从50多名进入前十名的好成绩，第六、2012年辅导了5名学生进入武汉外校初中部深造。
武汉三镇童老师小学奥数辅导中心一对一上门授课常年招生中。武汉三镇真正的小学奥数辅导专家，针对外校，小升初，奥数杯赛，奥数兴趣，小学数学，初中数学，初中奥数辅导，一对一上门授课。
武汉三镇1对1上门一对一家教辅导中心 童老师奥数辅导中心。武汉童老师奥数，外校小升初奥数，一对一上门奥数，武汉小学奥数辅导，小学奥数老师，童老师，童老师奥数，辅导中心QQ:个性化一对一高端辅导武汉童老师奥数辅导中心2012年秋季上门奥数一对一，小班授课现在开始招生了。奥数杯赛，明心奥数入学A班测试，小升初奥数高端辅导，十年奥数辅导经验，20多万小时的奥数辅导经验。武汉童老师奥数培训中心的一些详细的情况介绍一、 中心简介武汉童老师奥数培训中心创建于2003年，是深受武汉三镇家长和学生朋友认同、喜爱的小学奥数培训中心之一。针对小学1至6年级的学生备考各大小学奥数杯赛，备考武汉外校等重点初中的小升初奥数考试以及培养学生的数学兴趣，中心常年进行招生培训。中心主打的精品课程有：一对一个性化精致辅导；10人以内精品小班辅导。在中心奥数老师童老师和童老师奥数团队的共同精心辅导下，不仅使学生的奥数兴趣得到提高，关键是数学能力和成绩能到提升，并在各大奥数杯赛中获得众多奖项，在各大小升初考试中尤其是外校小升初考试中获得佳绩。中心童老师在近十年的奥数辅导实践中，摸索，归纳总结了一套独特的教学辅导方法，能使学生大幅度地提高学生的数学奥数成绩。为了更好地满足家长对武汉童老师奥数辅导的需求，我们在徐东设了教学点，欢迎大家前来。主攻各大小学奥数杯赛获奖辅导以及重点初中小升初应试辅导。二、 开设班级
A：一对一个性化精致辅导；B：10人以内精品小班辅导；C：面议。三、 招生对象
A：在读小学1至6年级学生；B：6年级毕业衔接初一想学小学阶段奥数的学生。四、 课程介绍
A：小学奥数各大专题系统辅导课程；B：小学奥数各大杯赛备考课程；C：小升初奥数应试备考课程；D：针对武汉外校小升初奥数应试辅导课程（尤为专业）E：奥数兴趣辅导课程。五、 教学特色专业、高效、负责。近十年的辅导经验确保专业；一对一和小班教学确保高效；专业和高效是负责的保证。中心童老师以及童老师奥数团队；其他专业的奥数老师进行专业辅导。六：课程教材针对学生情况，协商教材。教材齐全。确保效果。有最为齐全专业的教材资料库。七：报名方式可以到教学点报名，也可以通过电话和QQ进行报名。随到随学。八：上课时间寒暑假全天以及平时开学后的平时晚上以及周末的全天以及其他协商时间。网址：
例如：小学奥数排列组合常见题型及解题策略
一．可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题，在这类问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个底数，哪个是指数
【解析】：12&3
把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？
【解析】：完成此事共分步，第一步；将第一名实习生分配到车间有种不同方案，
第二步：将第二名实习生分配到车间也有种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有种不同方案
8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有（）A、&&&&
【解析】：冠军不能重复，但同一个学生可获得多项冠军，把8名学生看作8家“店”，3项冠
军看作3个“客”，他们都可能住进任意一家“店”，每个“客”有8种可能，因此共有种
不同的结果。所以选A
二．相邻问题捆绑法：
题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列高☆考♂资♀源&网&&&
【1】五人并排站成一排，如果必须相邻且在的右边，那么不同的排法种数有&&&&&&
【解析】：把视为一人，且固定在的右边，则本题相当于人的全排列，种
【2】（2009四川卷理）3363
【解析】：
间接法 63&高☆考♂资♀源&网&&&
三．相离问题插空法 ：元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端
【1】七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是&&&&&&
【解析】：除甲乙外，其余个排列数为种，再用甲乙去插个空位有种，不同的排法种数是种
【解析】：
高三（一）班学要安排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的
演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是&&&&&&
【解析】：不同排法的种数为＝3600
某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工
程丙必须在工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。那么安排这6
项工程的不同排法种数是&&&&&&&&
【解析】：依题意，只需将剩余两个工程插在由甲、乙、丙、丁四个工程形成的5个空中，可得有＝20种不同排法。
【解析】：
【6】.马路上有编号为1，2，3…，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的
二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？
【解析】：把此问题当作一个排对模型，在盏亮灯的个空隙中插入盏不亮的灯种方
法所以满足条件的关灯方案有种
说明：一些不易理解的排列组合题，如果能转化为熟悉的模型如填空模型，排队模型，装盒
模型可使问题容易解决
3个人坐在一排8个椅子上，若每个人左右两边都有空位，则坐法的种数有多少种？
【解析】：
解法1、先将3个人（各带一把椅子）进行全排列有A，○*○*○*○，在四个空
中分别放一把椅子，还剩一把椅子再去插空有A种，所以每个人左右两边都空位的排法有
解法2：先拿出5个椅子排成一排，在5个椅子中间出现4个空，*○*○*○*○*再让3个人每人带一把椅子去插空，于是有A=24种.
停车场划出一排12个停车位置，今有8辆车需要停放.要求空车位置连在一起，不同的停车方法有多少种？
【解析】：先排好8辆车有A种方法，要求空车位置连在一起，则在每2辆之间及其两端的9
个空档中任选一个，将空车位置插入有C种方法，所以共有CA种方法.&&&&
注：题中*表示元素，○表示空.
四．元素分析法（位置分析法）：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元
素；再排其它的元素。
高☆考♂资♀源&网&&&
从后两项工作出发，采取位置分析法。
36A.&&&&&&&
1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？
老师在中间三个位置上选一个有种，名同学在其余个位置上有种方法；所以共有种。
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
2012年寒假现在开始招生预定了！！！&
武汉童老师奥数辅导中心：小升初奥数，武汉外校小升初奥数，奥数杯赛辅导。数学兴趣辅导。初中数学，初中奥数，初中数学兴趣&
十年奥数经验，快速提分027-&&
一对一上门授课，奥数小班授课
已投稿到：从求最大公因数与最小公倍数中发现学生计算问题--丫丫
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从求最大公因数与最小公倍数中发现学生计算问题rdyuxiaohong 发表于
对于学生抄错数字或抄错字这样的现象，本人想几乎每所学校，都会有学生出现，也可以说是带有共性的，但是一直以来都找不到一种好的解决方法，以前在遇到这样的情况时总是认为学生马虎，不认真，其实不然有的同学是相当认真的，这样认真的状态之下还是出错，原因何在呢？，本人对于这种现象的理解是这样，可能原因一，这位学生缺乏学习的方法，并不是这位学生短时记忆有问题。一般在教学中我们老师都很少教给学生写数（抄数）的方法---那就是要把这个数字读完了之后再去抄写。这样把数字读了一遍再去抄，那才是充分利用了人脑中的短时记忆的特点。很多时候学生只是看了一眼就去写数字，这样靠的只是人视觉中的临时记忆，那样远不如读完一遍记忆更牢固。我曾在许多学生的身上得到了验证。可能原因二、学生长期出现这种现象，缺自信，造成心理的高度紧张，越想注意力集中就越不能集中，看似很认真，其实注意力并不能集中。
二、找不到公因数
例如91与39，学生往往找不到这两个数的公因数13。认为至两个数呈互质关系，最大公因数是1，最小公倍数是两数之积。存在这样的问题只要是学生的观察能力偏弱，以及对数字的敏感程度不强引起的。学生碰到生僻数字容易放弃。再找公因数与公倍数的过程中，只有反复强调首先一定要把20以内的质数全部除一遍。只有这样才可以基本认定两个数是否呈互质关系。
三、看不出两数的倍数关系
例如72和36，学生习惯于上来就用短除法找最大公因数和最小公倍数，而无法发现这两个数字之间的倍数关系。要想解决这样的问题首先要让学生养成良好的观察习惯，其次要培养学生对于数字敏感性。
我们总是认为该单元仅仅涉及简单的整数的乘除计算，在该单元忽略了计算能力的培养。可往往越是简单，越容易出错。因此计算能力的培养在任何时候都不能忽视。
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