求常数a，b，使f(x)为连续函数的连续性：

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2011-09-27 13:56 标签： 函数的连续性
设不恒为常数的函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，且f（a）=f（b）．证明在（a，b）内至少存在一点ξ，使得f′（ξ）＞0．
证明：∵在[a，b]连续的f（x）不恒为常数，且f（a）=f（b），∴至少存在点c∈（a，b），使得：f（c）≠f（a）=f（b），由题意知：f（x）在[a，c]和[c，b]满足拉格朗日中值定理，∴存在点ξ1∈（a，c）、ξ2∈（c，b），使得：1)，2)，又 f（c）-f（a）和f（b）-f（c）中必有一个大于0，∴f′（ξ1）、f'（ξ2）中必有一个大于0，即：在（a，b）内至少存在一点ξ，使得：f′（ξ）＞0，证毕．
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由题目的条件“f（x）不恒为常数”表明至少有一点c∈（a，b）使得f（c）≠f（a）=f（b），然后在（a，c）和（c，b）上分别使用拉格朗日中值定理，得到两个导数值，很容易看出这两个导数值必有一个大于0，这样就证明了问题．
本题考点：
拉格朗日中值定理及推论的应用；罗尔中值定理．
考点点评：
此题是满足罗尔定理的，根据图形显而易见，题目的结论是成立，但是为了证明题目的结论，最好是用拉格朗日中值定理．
反证法假设f(x)在区间（a,b)内任一点x，总有f'(x)≤0（不恒为0，否则f(x)为常数）则f(x)为减函数，f(a)0.
在(a，b)取一点c,
若f(c) 0 若f(c)>f(a)=f(b),存在一点ξ2∈(a，c)，f'(ξ2)= (f(c)-f(a)) /(c-a) > 0 ,得证。
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设f(x)在[a，b]上连续，求证
并且仅当f(x)≡常数时取等号
设函数f(x)在[a，b]上连续，且f(x)＞0,求证
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设f(x)在[a，b]上连续，求证&&&&并且仅当f(x)≡常数时取等号&&设函数f(x)在[a，b]上连续，且f(x)＞0,求证&&
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验证码提交中……& 利用导数研究函数的极值知识点 & “已知a，b为常数，a≠0，函数f(x)=...”习题详情
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已知a，b为常数，a≠0，函数f(x)=(a+bx)&ex．（1）若a=2，b=1，求f（x）在（0，+∞）内的极值；（2）①若a＞0，b＞0，求证：f（x）在区间[1，2]上是增函数；②若f（2）＜0，f（-2）＜e-2，且f（x）在区间[1，2]上是增函数，求由所有点（a，b）形成的平面区域的面积．
本题难度：一般
题型：解答题&|&来源：2014-苏州一模
分析与解答
习题“已知a，b为常数，a≠0，函数f(x)=(a+b/x)ex．（1）若a=2，b=1，求f（x）在（0，+∞）内的极值；（2）①若a＞0，b＞0，求证：f（x）在区间[1，2]上是增函数；②若f（2）＜0，f（-...”的分析与解答如下所示：
（1）若a=2，b=1，求出函数的导数，根据函数极值和导数之间的关系即可求f（x）在（0，+∞）内的极值；（2）①若a＞0，b＞0，根据函数单调性和导数之间的关系，即可证明f（x）在区间[1，2]上是增函数；②若f（2）＜0，f（-2）＜e-2，且f（x）在区间[1，2]上是增函数，建立不等式关系，利用数形结合即可求出由所有点（a，b）形成的平面区域的面积．
解：（1）若a=2，b=1，则f（x）=（2+1x）ex，则f′（x）=（x+1）（2x-1）oexx2，由f′（x）＞0，得x＞12，此时函数单调递增，由f′（x）＜0，得0＜x＜12，此时函数单调递减，则当x=12时，f（x）取得极小值，f（12）=4√e．（2）f′（x）=（ax2+bx-b）oexx2，设g（x）=ax2+bx-b，①证明：若a＞0，b＞0，则二次函数g（x）的图象开口向上，对称轴x=-b2a＜0，且g（1）=a＞0，∴g（x）＞0，对一切x∈[1，2]恒成立，又exx2＞0，∴f（x）＞0恒成立．即f（x）在区间[1，2]上是增函数；②若f（2）＜0，f（-2）＜e-2，则{(a+b2)e2＜0(a-b2)e-2＜e-2，即{2a+b＜02a-b＜2，（o），∵f（x）在区间[1，2]上是增函数，∴f′（x）≥0对x∈[1，2]恒成立，即{g(1)=a＞0g(2)=4a+b≥0，（oo），在（o），（oo）的条件下，b＜0，且1＜-b2a≤2，且g（-b2a）=-4ab-b24a=-b(4a+b4a)≥0恒成立，综上求由所有点（a，b）满足的约束条件为{a＞0，b＜02a+b＜04a+b≥02a-b＜2，则不等式组对应的平面区域为△OAB，其中A（13，-43），B（12，-1），C（1，0），则形成的平面区域的面积S=S△OAC-S△OBC=12(43-1)=16．即△OAB的面积为16．
本题主要考查函数极值的求解，函数单调性的应用，以及线性规划的基本应用，综合性较强，要求熟练掌握导数的应用．
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已知a，b为常数，a≠0，函数f(x)=(a+b/x)ex．（1）若a=2，b=1，求f（x）在（0，+∞）内的极值；（2）①若a＞0，b＞0，求证：f（x）在区间[1，2]上是增函数；②若f（2）＜...
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与“已知a，b为常数，a≠0，函数f(x)=(a+b/x)ex．（1）若a=2，b=1，求f（x）在（0，+∞）内的极值；（2）①若a＞0，b＞0，求证：f（x）在区间[1，2]上是增函数；②若f（2）＜0，f（-...”相似的题目：
已知平面向量a=(√3，-1)，b=(12，√32)，（1）证明：a⊥b；（2）若存在不同时为零的实数k和g，使x=a+（g2-3）b，y=-ka+gb，且x⊥y，试求函数关系式k=f（g）；（3）椐（2）的结论，讨论关于g的方程f（g）-k=0的解的情况．
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“已知a，b为常数，a≠0，函数f(x)=...”的最新评论
该知识点好题
1已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1，x2，若f（x1）=x1＜x2，则关于x的方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的不同实根个数为（　　）
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该知识点易错题
1设a为实数，函数f（x）=ex-2x+2a，x∈R．（Ⅰ）求f（x）的单调区间与极值；（Ⅱ）求证：当a＞ln2-1且x＞0时，ex＞x2-2ax+1．
2己知函数f（x）=x2e-x（Ⅰ）求f（x）的极小值和极大值；（Ⅱ）当曲线y=f（x）的切线l的斜率为负数时，求l在x轴上截距的取值范围．
3设直线x=m与函数f（x）=x2+4，g（x）=2lnx的图象分别交于点M、N，则当|MN|达到最小时m的值为（　　）
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