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已知函数f（x）=x2+2ax+2．①若函数f（x）满足f（x+1）=f（1-x），求函数在x∈[-5，5]的最大值和最小值；②若函数f（x）有两个正的零点，求a的取值范围；③求f（x）在x∈[-5，5]的最小值．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（1）由f（x+1）=f（1-x）得（x+1）2+2a（x+1）+2=（1-x）2+2a（1-x）+2即4（1+a）x=0对任意x∈R恒成立∴a=-1∴f（x）=x2-2x+2，x∈[-5，5]，∵f（x）=（x-1）2+1，∴f（x）在[-5，1]上单调递减，在[1，5]上单调递增∴f（x）max=f（-5）=37，∴f（x）min=f（1）=1（2）设方程x2+2ax+2=0的两根为x1，x2，则△=4a2-8≥0x1+x2=-2a＞0x1x2=2＞0解得：a≤-2（3）对称轴方程为x=-a当-a＜-5，即a＞5时，f（x）在[-5，5]上单调递增，∴f（x）min=f（-5）=27-10a；当-5≤-a≤5，即-5≤a≤5时，f（x）在[-5，-a]上单调递减，在[-a，5]上单调递增∴f(x)min=f(-a)=2-a2；当-a＞5，即a＜-5时，f（x）在[-5，5]上单调递减∴f（x）min=f（5）=27+10a综上：f(x)min=27+10a，a＜-52-a2，-5≤a≤527-10a，a＞5
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据魔方格专家权威分析，试题“已知函数f（x）=x2+2ax+2．①若函数f（x）满足f（x+1）=f（1-x），求函数在..”主要考查你对&&二次函数的性质及应用&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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二次函数的性质及应用
二次函数的定义：
一般地，如果（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。
二次函数的图像：
是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向；a＞0时，抛物线开口向上；a&0时，抛物线开口向下；②有对称轴；③有顶点；④c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。
性质：二次函数y=ax2+bx+c，
①当a＞0时，函数f（x）的图象开口向上，在（-∞，-）上是减函数，在[-，＋∞）上是增函数； ②当a&0时，函数f（x）的图象开口向下，在（-∞，-）上是增函数，在[-，＋∞）是减函数。
二次函数（a，b，c是常数，a≠0）的图像：
&二次函数的解析式：
（1）一般式：（a，b，c是常数，a≠0）；（2）顶点式：若二次函数的顶点坐标为（h,k），则其解析式为&;（3）双根式：若相应一元二次方程的两个根为 ,则其解析式为 。二次函数在闭区间上的最值的求法：
(1)二次函数&在区间[p,g]上的最值问题一般情况下，需要分三种情况讨论解决．当a&0时，f(x)在区间[p，g]上的最大值为M，最小值为m，令&．①&② ③ ④特别提醒：在区间内同时讨论最大值和最小值需要分四种情况讨论．
(2)二次函数在区间[m．n]上的最值问题一般地，有以下结论：&特别提醒：max{1,2}=2,即取集合{1,2}中最大的元素。
二次函数的应用：
（1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路： 理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题。 （2）应用二次函数求实际问题中的最值： 即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。
发现相似题
与“已知函数f（x）=x2+2ax+2．①若函数f（x）满足f（x+1）=f（1-x），求函数在..”考查相似的试题有：
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& 函数在某点取得极值的条件知识点 & “已知函数f（x）=xlnx（x∈（0，+...”习题详情
152位同学学习过此题，做题成功率68.4%
已知函数f（x）=xlnx（x∈（0，+∞）（I&）求g（x）=f(x+1)x+1-x(x∈(-1，+∞))的单调区间与极大值；（II&）任取两个不等的正数x1，x2，且x1＜x2，若存在x0＞0使f′（x0）=f(x2)-f(x1)x2-x1成立，求证：x1＜x0＜x2（III）己知数列{an}满足a1=1，an+1=（1+12n）an+1n2（n∈N+），求证：an＜e114（e为自然对数的底数）．　
本题难度：较难
题型：解答题&|&来源：2013-绵阳二模
分析与解答
习题“已知函数f（x）=xlnx（x∈（0，+∞）（I）求g（x）=f(x+1)/x+1-x(x∈(-1，+∞))的单调区间与极大值；（II）任取两个不等的正数x1，x2，且x1＜x2，若存在x0＞0使f′（x0）=...”的分析与解答如下所示：
（Ⅰ）由f（x）求出f（x+1），代入g（x），对函数g（x）求导后利用导函数的符号求出函数g（x）在定义域内的单调区间，从而求出函数的极大值；（Ⅱ）求出f′（x0），代入f′（x0）=f(x2)-f(x1)x2-x1后把lnx0用lnx1，lnx2表示，再把lnx0与lnx2作差后构造辅助函数，求导后得到构造的辅助函数的最大值小于0，从而得到lnx0＜lnx2，运用同样的办法得到lnx1＜lnx0，最后得到要证的结论；（Ⅲ）由给出的递推式an+1=（1+12n）an+1n2说明数列{an}是递增数列，根据a1=1，得到an≥1，由此把递推式an+1=（1+12n）an+1n2放大得到lnan+1≤lnan+ln(1+12nn+1＜lnan+12n
（Ⅰ）解：由f（x）=xlnx（x∈（0，+∞））．∴f（x+1）=（x+1）ln（x+1）（x∈（-1，+∞））．则有g(x)=f(x+1)x+1-x=(x+1)ln(x+1)x+1-x=ln（x+1）-x，此函数的定义域为（-1，+∞）．g′(x)=1x+1′（x）＞0；当x∈（0，+∞）时，g′（x）＜0．所以g（x）的单调递增区间是（-1，0），单调递减区间是（0，+∞），故g（x）的极大值是g（0）=0；（Ⅱ）证明：由f（x）=xlnx（x∈（0，+∞）），得f′（x）=lnx+1，所以lnx0+1=f(x2)-f(x1)x2-x10-lnx2=f(x2)-f(x1)x2-x12-1=x2lnx2-x1lnx1x2-x1-lnx2-1=x1lnx2-x1lnx1x2-x1-1=lnx2x1x2x1-1-1，令x2x1=t（t＞1），则h(t)=lntt-1=ln-t+1t-1，因为t-1＞0，只需证明lnt-t+1＜0．令s（t）=lnt-t+1，则s′(t)=1t0＜lnx2，故x0＜x2．同理可证x1＜x0，故x1＜x0＜x2．（Ⅲ）证明：因为a1=1，an+1=(1+12nn+1n2n，所以{an}单调递增，an≥1．于是an+1=(1+12nn+1n2n+1n2n=(1+12n+1n2)an，所以lnan+1≤lnan+ln(1+12nn+1＜lnan+12nk-lnak-1＜12k-1n-lna1＜(121+[112+122+…+1(n-1)2]＜12(1-12n-1)1-12+[1+14+12×3+13×4+…+1(n-2)(n-1)]=(1-12n-1)+[1+14+(12-13)+(13-14)+…+(1n-2-1n-1)]=(1-12n-1)+(1+14+12-1n-1)=114-12n-1-1n-1＜114．即lnan＜lna1+114n＜e114．
本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了通过构造函数，利用函数的单调性和极值证明不等式，训练了累加法求数列的通项公式，考查了利用放缩法证明不等式，是一道难度较大的综合题型．
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已知函数f（x）=xlnx（x∈（0，+∞）（I）求g（x）=f(x+1)/x+1-x(x∈(-1，+∞))的单调区间与极大值；（II）任取两个不等的正数x1，x2，且x1＜x2，若存在x0＞0使f′...
错误类型：
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经过分析，习题“已知函数f（x）=xlnx（x∈（0，+∞）（I）求g（x）=f(x+1)/x+1-x(x∈(-1，+∞))的单调区间与极大值；（II）任取两个不等的正数x1，x2，且x1＜x2，若存在x0＞0使f′（x0）=...”主要考察你对“函数在某点取得极值的条件”
等考点的理解。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
函数在某点取得极值的条件
函数在某点取得极值的条件．
与“已知函数f（x）=xlnx（x∈（0，+∞）（I）求g（x）=f(x+1)/x+1-x(x∈(-1，+∞))的单调区间与极大值；（II）任取两个不等的正数x1，x2，且x1＜x2，若存在x0＞0使f′（x0）=...”相似的题目：
已知函数f（x）=lnx．（1）求函数g（x）=f（x）-x的最大值；（2）若?x＞0，不等式f（x）≤ax≤x2+1恒成立，求实数a的取值范围．&&&&
设函数f（x）=lnx-ax，a∈R．（1）当x=1时，函数f（x）取得极值，求a的值；（2）当a＞0时，求函数f（x）在区间[1，2]的最大值；（3）当a=-1时，关于x的方程2mf（x）=x2（m＞0）有唯一实数解，求实数m的值．&&&&
设函数f(x)=axx2+1(a＞0)．（1）求函数f（x）的极值点；（2）若函数g(x)=f(x)-12有两个零点，求a的取值范围．&&&&
“已知函数f（x）=xlnx（x∈（0，+...”的最新评论
该知识点好题
1设函数f（x）满足x2f′（x）+2xf（x）=exx，f（2）=e28，则x＞0时，f（x）&&&&
2设函数f（x）的定义域为R，x0（x0≠0）是f（x）的极大值点，以下结论一定正确的是&&&&
3若函数f（x）=x3+ax2+bx+c有极值点x1，x2，且f（x1）=x1，则关于x的方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的不同实根个数是&&&&
该知识点易错题
1已知x=1是函数f（x）=mx3-3（m+1）x2+nx+1的一个极值点，其中m，n∈R，m＜0．（I）求m与n的关系表达式；（II）求f（x）的单调区间．
2已知函数f（x）=（1-ax）ex，若同时满足条件：①?x0∈（0，+∞），x0为f（x）的一个极大值点；②?x∈（8，+∞），f（x）＞0．则实数a的取值范围是&&&&
3函数f（x）=13x3-x2+ax-1有极值点，则a的取值范围是&&&&
欢迎来到乐乐题库，查看习题“已知函数f（x）=xlnx（x∈（0，+∞）（I）求g（x）=f(x+1)/x+1-x(x∈(-1，+∞))的单调区间与极大值；（II）任取两个不等的正数x1，x2，且x1＜x2，若存在x0＞0使f′（x0）=f(x2)-f(x1)/x2-x1成立，求证：x1＜x0＜x2（III）己知数列{an}满足a1=1，an+1=（1+1/2n）an+1/n2（n∈N+），求证：an＜e又11/4（e为自然对数的底数）．”的答案、考点梳理，并查找与习题“已知函数f（x）=xlnx（x∈（0，+∞）（I）求g（x）=f(x+1)/x+1-x(x∈(-1，+∞))的单调区间与极大值；（II）任取两个不等的正数x1，x2，且x1＜x2，若存在x0＞0使f′（x0）=f(x2)-f(x1)/x2-x1成立，求证：x1＜x0＜x2（III）己知数列{an}满足a1=1，an+1=（1+1/2n）an+1/n2（n∈N+），求证：an＜e又11/4（e为自然对数的底数）．”相似的习题。已知函数f(x)=x/(2*x+1),数列{an}满足a[1]=1/2,a[n+1]=f(a[n])(n为正整数）（容易点）证明数列{1/a[n]}是等差数列,并求{a[n]}通项Sn=a[1]*a[2]+a[2]*a[3]+...a[n]*a[n+1]Tn=a[1]^2+a[2]^2+...a[n]^2 证明Sn_百度作业帮
已知函数f(x)=x/(2*x+1),数列{an}满足a[1]=1/2,a[n+1]=f(a[n])(n为正整数）（容易点）证明数列{1/a[n]}是等差数列,并求{a[n]}通项Sn=a[1]*a[2]+a[2]*a[3]+...a[n]*a[n+1]Tn=a[1]^2+a[2]^2+...a[n]^2 证明Sn
你看看,对不对!
（1）两边取倒数，1/a(n+1)=1/an
故{1/an}以1/a1=2为首项，以d=2为公差的等差数列，则1/an=2n,∴an=1/2n(2)an*a(n+1)=(1/2n)*[1/2(n+1)] =1/[2n(2n+1)]an&#178;=1/4n&#178;∵1/[2n(2n+1)]<1/[2n*(2n)] ∴an*a(n+1)<...
∵a(n+1)=f[an]=an/(2an +1)，易知an=0满足题设，以下假设an≠0，上式可写成：1/a(n+1)=2+1/an，即：1/a(n+1) - 1/an = 2，这是公差为2，公比1/a1=2的等差数列：1/an = 1/a1 + 2(n-1) = 2n，即：an= 1/2n由上可知：an > 0，∴...
应该很容易证明1/a【n],是等差数列吧，a[n]=1/(2n），下面的用数学归纳法证明
你是谁…… 怎么会有答案……
我做的啊、怎么了
……和那张答案的字太像了……已知f(x)为二次函数,且f（x+1）+f(x-1)=2x^2-4x.(1)求f（x）得表达式（2）判断函数g（x)=f(x)/x在（0,＋∞)上的单调性,并证之.(希望各位哥哥姐姐._百度作业帮
已知f(x)为二次函数,且f（x+1）+f(x-1)=2x^2-4x.(1)求f（x）得表达式（2）判断函数g（x)=f(x)/x在（0,＋∞)上的单调性,并证之.(希望各位哥哥姐姐.
（1）设f(x)=ax^2+bx+c,则,f（x+1）+f(x-1)=a(x+1)^2+a(x-1)^2+b(x+1+x-1)+2c=2(ax^2+bx+a+c)=2x^2-4x=2(x^2-2x)所以,a=1,b=-2,a+c=0,c=-1,f(x)=x^2-2x-1（2）g（x)=f(x)/x=x-2-1/x因为x>0时,x随x的增大而增大,-1/x随x的增大而增大,所以g（x)=f(x)/x=x-2-1/x随x的增大而增大.证明：设x10,所以,g(x)在（0,＋∞)上单调递增.
解设f（x）=ax^2+bx+c则f(x+1)+f(x-1)=a(x+1)^2+b(x+1)+c+a(x-1)^2+b(x-1)+c=2x^2-4x;对应系数解答a=-4，b=2，c=4；得到f（x）=-4x^2+2x+4(2)利用函数的单调性定义即可解决
postscript
1、设f(x)=ax^2+bx+c,则：由f（x+1）+f(x-1)=2x^2-4x，得：a(x+1)^2+b(x+1)+c+a(x-1)^2+b(x-1)+c=2x^2-4x即：2ax^2+2bx+2a+2c=2x^2-4x所以：2a=2,2b=-4,2a+2c=0即：a=1,b=-2,c=-1所以：f(x)=x^2-2x-12、g(x...
待定系数法：设f(x)=ax^2+bx+cf(x+1)+f(x-1)=2ax^2+2bx+2(a+c)=2x^2-4x∴2a=2,
a+c=0解得，a=1,b=-2,c=-1f(x)=x^2-2x-1f(1-根号2)=-2