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（原创，共80页）江苏省2012年中考数学深度复习讲义（教案+中考真题+模拟试题+单元测试）：与圆有关的位置关系
（备战中考）江苏省2012年中考数学深度复习讲义（教案+中考真题+模拟试题+单元测试）与圆有关的位置关系◆考点聚焦1．理解并掌握利用圆心到直线的距离和半径之间的关系来判断直线和圆的位置关系．2．能灵活运用圆的切线的判定定理和性质定理以及切线长定理解决有关问题，这也是本节的重点和中考热点，而综合运用这些定理则是本节的难点．3．能由两圆位置关系写出圆心距与两圆半径之和或差的关系式以及利用两圆的圆心距与两圆半径之和及差的大小关系判定两圆的位置关系．◆备考兵法1．确定点与圆的位置关系就是确定该点到圆心的距离与半径的大小关系，涉及点与圆的位置关系的问题，如果题目中没有明确点与圆的位置关系，应考虑点在圆内、上、外三种可能，即图形位置不确定时，应分类讨论，利用数形结合进行解决．2．判断直线与圆的位置关系的方法有两种：一是根据定义看直线和圆的公共点的个数；二是根据圆心到直线的距离d与圆的半径r的关系．3．证明一条直线是圆的切线的方法有两种：（1）当直线与圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连结起来，然后证明直线垂直于这条半径，简称"作半径，证垂直"；（2）当直线和圆的公共点没有明确时，可过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离等于半径，简称"作垂线，证半径．"◆识记巩固1．设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则点在圆内______；点在圆上_______；点在圆外_______．2．直线与圆的位置关系：如果⊙O的半径为r，圆心O到直线L的距离为d，那么：（1）直线和圆有_____个公共点时，叫做直线与圆相交，这时直线叫做圆的_____，公共点叫做_____，此时d_____r；（2）直线和圆有_____个公共点时，叫做直线与圆相切，这时直线叫做圆的______，公共点叫做______，此时d_______r．（3）直线和圆有____个公共点时，叫做直线与圆相离，此时d______r．3．圆和圆的位置关系：如果两圆半径分别为R和r（R>r），圆心距为d，那么：（1）两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在______，这时我们称两圆______，d_____R+r． （2）两个圆有_____公共点，并且除了这个公共点外，每个圆上的点都在_________，这时我们称两圆______，d____R+r．（3）两个圆有两个公共点，我们称这两个圆_________，此时____________．（4）两个圆有_____公共点，并且除了这个公共点外，一个圆上所有的点都在______，这时我们称两圆_______，d______R－r．（5）两个圆没有公共点，并且一个圆上所有的点都在_______，这时我们称两圆_______，d_____R－r．说明：两圆______和______统称为两圆相切，唯一的公共点称为______，两个圆同心是两圆________的特例．4．圆的切线的判定方法：（1）定义法：与圆只有____个公共点的直线是圆的切线．（2）数量关系法：到圆心的距离_________的直线是圆的切线；（3）判定定理：过半径_______且与这条半径_______的直线是圆的切线．5．切线的性质定理及推论：定理：圆的切线_______于经过切点的________．推论1：经过______且垂直于________的直线必经过切点．推论2：经过______且垂直于________的直线必经过圆心．6．经过圆外一点作圆的切线，这一点和_______之间的线段长，叫做这点到圆的______；从圆外一点可以引圆的______条切线，它们的_______相等，这点和圆心的连线_________．7．与三角形各边都相切的圆叫做三角形的_______，_______的圆心叫做三角形的内心，它是三角形三条_______的交点．识记巩固参考答案: 1．0≤dr 2．（1）两
3．（1）另一个圆的外部
另一个圆的外部
= （3）相交
R－r<d<R+r
另一个圆的内部
= （5）另一个圆的内部 内含
内含4．（1）－
（2）等于半径
垂直5．垂直
切线6．切点
平分两条切线的夹角7．内切圆
角平分线◆典例解析例1 （2011湖北黄石，24，9分）已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，点O1在⊙O2上，C为O2上一点（不与A，B，O1重合），直线CB与⊙O1交于另一点D。（1）如图（8），若AC是⊙O2的直径，求证：AC＝CD（2）如图（9），若C是⊙O1外一点，求证：O1C⊥AD（3）如图（10），若C是⊙O1内的一点，判断（2）中的结论是否成立。【答案】（1）连接C O1，AB∵AC是⊙O2的直径 ∴AB⊥BD,AD⊥C O1 ∴AD经过点O1 ∵AO1＝DO1 ∴AC＝CD（2）连接O1 O2，AO1∵O1 O2⊥AB∴∠AO1O2+∠AG O1 ∵∠O1AB=∠C 又∵∠D=∠AO1B=∠AO1O2 ∴∠C+∠D=900 ∴O1C⊥AD（3）成立例2
如图，⊙O与y轴交于A，B两点，交x轴于点C，过点C的直线y=－2x－8与y轴交于点P．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）在直线PC上是否存在点E，使得S△BOP=4S△CDO？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由； （3）当直线PC绕点P转动时，与交于点F（F不与A，C重合），连结OF，设PF=m，OF=n，求m，n之间满足的函数关系式，并写出自变量n的取值范围．解析
（1）直线y=－2x－8与x，y轴分别交于点C（－2，0），P（0，－8）．∴cot∠OCD=2，cot∠OPC=2．∴∠OCD=∠OPC．∵∠OPC+∠PCO=90°，∴∠OCD+∠PCO=90°，∴PC是⊙O切线．（2）设直线PC上存在一点E（x，y），使S△BOP=4S△CDO，则×8×│x│=4××1×2．解得x=±．由y=－2x－8可知，当x=时，y=－12；当x=－时，y=－4．∴在直线PC上存在这样的点（－，－12）和（－，－4）． （3）如图，作直线PF交AC于点F．设F（x，y），作FM⊥y轴，M为垂足，连结DF，由PF=m，OF=n得，m2－（8+y）2=x2，n2－y2=x2，∴m2－64－16y－y2=n2－y2，即m2－64－16y=n2．
①又∵CD==3，DF2－DM2=FM2，∴32－（1－y）2=x2，∴32－（1－y）2=n2－y2，解得y=．
②将②代入①，解得m=3n或m=－3n（舍去）．∴m=3n（2<n<2）．点拨
本题为学科内综合题，它综合考查了圆，函数，平面直角坐标系，解直角三角形以及解方程（组）的相关知识，综合性极强．例3
（2008，江苏无锡）如图，已知点A从（1，0）出发，以1个单位长度/秒的速度沿x轴向正方向运动．以O，A为顶点作菱形OABC，使点B，C在第一象限内，且∠AOC=60°，以点P（0，3）为圆心，PC为半径作圆，设点A运动了t秒，求：（1）点C的坐标（用含t的代数式表示）； （2）当点A在运动过程中，所有使⊙P与菱形OABC的边所在直线相切的t的值．解析
（1）过点C作CD⊥x轴于点D．∵OA=1+t，∴OC=1+t，∴OD=OC·cos60°=．DC=OC·sin60°=，∴点C的坐标为（，）．（2）①当⊙P与OC相切时（如图1），切点为C，此时PC⊥OC，∴OC=OP．cos30°．∴1+t=3×， ∴t=－1．
图3②当⊙P与OA，即与x轴相切时（如图2），则切点为O，PC=PO，过点P作PE⊥OC于点E，则OE=OC．∴=OPcos30°=，∴t=3－1．③当⊙P与AB所在直线相切时（如图3），设切点为F，PF交OC于点G，则PF⊥OC，∴FG=CD=．∴PC=PF=OP·sin30°+=+．过点C作CH⊥y轴于点H，则PH+CH=PC，∴（）2+[－3]2=[+]2．∴（t+1）2－18（t+1）+27=0．∴t+1=9±6．∵t=9－6－1<0，∴t=9+6－1．∴所求t的值是－1，3－1和9+6－1．点评
运动过程中出现多种情况，在分类讨论时一定要注意不重不漏．2011年中考真题一、选择题1. （2011宁波市，11，3分）如图，⊙O1的半径为1，正方形ABCD的边长为6，点O2为正方形ABCD的中心，O1O2垂直AB与P点，O1O2＝8．若将⊙O1绕点P按顺时针方向旋转360°，在旋转过程中，⊙O1与正方形ABCD的边只有一个公共点的情况一共出现 A．
D． 7次【答案】B2. （2011浙江台州，10,4分）如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，PB切⊙O于点B，则PB的最小值是（
D.2【答案】B3. （2011浙江温州，10，4分）如图，O是正方形ABCD的对角线BD上一点，⊙O边AB，BC都相切，点E，F分别在边AD，DC上．现将△DEF沿着EF对折，折痕EF与⊙O相切，此时点D恰好落在圆心O处．若DE＝2，则正方形ABCD的边长是(
D．【答案】C4. （2011浙江丽水，10，3分）如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是（
） A．点(0，3)
B．点(2，3)
C．点(5，1)
D．点(6，1)【答案】C5. （2011浙江金华，10，3分）如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是（
）A．点（0，3）
B．点（2，3）
C．点（5，1）
D．点(6，1)【答案】C6. （2011山东日照，11，4分）已知AC⊥BC于C，BC=a，CA=b，AB=c，下列选项中⊙O的半径为的是（
）【答案】C7. （2011湖北鄂州，13，3分）如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于D，且CO=CD，则∠PCA=（
D．67.5°【答案】D[21世纪教育网]8. (2011 浙江湖州，9，3)如图，已知AB是⊙O的直径，C是AB延长线上一点，BC＝OB，CE是⊙O的切线，切点为D，过点A作AE⊥CE，垂足为E，则CD：DE的值是A．
D．3【答案】C9. （2011台湾全区，33）如图(十五)，为圆O的直径，在圆O上取异于A、B的一点C，并连接、．若想在上取一点P，使得P与直线BC的距离等于长，判断下列四个作法何者正确？A．作的中垂线，交于P点B．作∠ACB的角平分线，交于P点C．作∠ABC的角平分线，交于D点，过D作直线BC的并行线，交于P点D．过A作圆O的切线，交直线BC于D点，作∠ADC的角平分线，交于P点【答案】Ｄ10．（2011甘肃兰州，3，4分）如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，若∠A=25°，则∠D等于 A．20°
D．50°【答案】C11. （2011四川成都，10,3分）已知⊙O的面积为，若点0到直线的距离为，则直线与⊙O的位置关系是C(A)相交
(D)无法确定【答案】C12. (2011重庆綦江，7，4分) 如图,PA、PB是⊙O的切线，切点是A、B，已知∠P＝60°，OA＝3，那么∠AOB所对弧的长度为（
D．2л【答案】：D13. （2011湖北黄冈，13，3分）如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于D，且CO=CD，则∠PCA=（
D．67.5°【答案】D14. （2011山东东营，12，3分）如图，直线与x轴、y分别相交与A、B两点，圆心P的坐标为（1，0），圆P与y轴相切与点O。若将圆P沿x轴向左移动，当圆P与该直线相交时，横坐标为整数的点P′的个数是（
D． 5【答案】B15. （2011浙江杭州，5，3）在平面直角坐标系xOy中，以点(-3，4)为圆心，4为半径的圆（
）A．与x轴相交，与y轴相切
B．与x轴相离，与y轴相交C．与x轴相切，与y轴相交
D．与x轴相切，与y轴相离【答案】C16. （2011山东枣庄，7，3分）如图，是的切线，切点为A，PA=2,∠APO=30°，则的半径为（
） A.1
D.4【答案】C二、填空题1. （2011广东东莞，9，4分）如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点，连结BC.若∠A＝40°，则∠C＝
°【答案】2. （2011四川南充市，13，3分）如图，PA，PB是⊙O是切线，A，B为切点， AC是⊙O的直径，若∠BAC=25°，则∠P=
__________度. 【答案】503. （2011浙江衢州，16,4分）木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径.用角尺的较短边紧靠，并使较长边与相切于点.假设角尺的较长边足够长，角尺的顶点，较短边.若读得长为，则用含的代数式表示为
.【答案】当时，；当.4. (2011浙江绍兴，16，5分) 如图，相距2cm的两个点在在线上，它们分别以2 cm/s和1 cm/s的速度在上同时向右平移，当点分别平移到点的位置时，半径为1 cm的与半径为的相切，则点平移到点的所用时间为
s.【答案】5. （2011江苏苏州，16,3分）如图，已知AB是⊙O的一条直径，延长AB至C点，使得AC=3BC，CD与⊙O相切，切点为D.若CD=，则线段BC的长度等于__________.[来源:学#科#网Z#X#X#K]【答案】16. （2011江苏宿迁,17,3分）如图，从⊙O外一点A引圆的切线AB，切点为B，连接AO并延长交圆于点C，连接BC．若∠A＝26°，则∠ACB的度数为
．【答案】32 7. （2011山东济宁，13，3分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，BC=4cm，以点C为圆心，以3cm长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是
． 【答案】相交8. （2011广东汕头，9，4分）如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点，连结BC.若∠A＝40°，则∠C＝
°【答案】9. （2011山东威海，17，3分）如图①，将一个量角器与一张等腰直角三角形（△ABC）纸片放置成轴对称图形，∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D，半圆（量角器）的圆心与点D重合，没得CE＝5cm，将量角器沿DC方向平移2cm，半圆（量角器）恰与△ABC的边AC、BC相切，如图②，则AB的长为
cm.（精确到0.1cm）图①
（第17题）
图②[来源:ZXXK]【答案】
24.510．（2011四川宜宾,11,3分）如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠P=40°，则∠BAC=_____．【答案】20°11. （2010湖北孝感，18，3分）如图，直径分别为CD、CE的两个半圆相切于点C，大半圆M的弦AB与小半圆N相切于点F，且AB∥CD，AB=4，设、的长分别为x、y，线段ED的长为z，则z（x+y）=
.【答案】8π12. （2011广东省，9，4分）如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点，连结BC.若∠A＝40°，则∠C＝
°【答案】三、解答题1. （2011浙江义乌，21，8分）如图，已知⊙O的直径AB与弦CD互相垂直，垂足为点E. ⊙O的切线BF与弦AD的延长线相交于点F，且AD=3，cos∠BCD=
.（1）求证：CD∥BF；（2）求⊙O的半径；（3）求弦CD的长.【答案】（1）∵BF是⊙O的切线
∴AB⊥BF∵AB⊥CD∴CD∥BF（2）连结BD ∵AB是直径
∴∠ADB=90°∵∠BCD=∠BAD
cos∠BCD=∴cos∠BAD=又∵AD=3
∴AB=4∴⊙O的半径为2 （3）∵cos∠DAE=
AD=3∴AE=∴ED=∴CD=2ED=2. （2011浙江省舟山，22，10分）如图，△ABC中，以BC为直径的圆交AB于点D，∠ACD=∠ABC．（1）求证：CA是圆的切线；（2）若点E是BC上一点，已知BE=6，tan∠ABC=，tan∠AEC=，求圆的直径．【答案】（1）∵BC是直径，∴∠BDC=90°，∴∠ABC+∠DCB=90°，∵∠ACD=∠ABC，∴∠ACD+∠DCB=90°，∴BC⊥CA，∴CA是圆的切线．(2)在Rt△AEC中，tan∠AEC=，∴,;在Rt△ABC中，tan∠ABC=，∴,;∵BC-EC=BE，BE=6，∴,解得AC=,∴BC=．即圆的直径为10. 3. （2011安徽芜湖，23，12分）如图，已知直线交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径,点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作，垂足为D. (1) 求证：CD为⊙O的切线； (2) 若DC+DA=6，⊙O的直径为10，求AB的长度.【答案】（1）证明：连接OC，
..........................................1分因为点C在⊙O上，OA=OC，所以 因为，所以，有.因为AC平分∠PAE，所以...............3分所以 ......4分又因为点C在⊙O上，OC为⊙O的半径，所以CD为⊙O的切线.
..................5分（2）解:过O作，垂足为F，所以，所以四边形OCDF为矩形，所以
.................................7分因为DC+DA=6，设,则因为⊙O的直径为10，所以，所以.21世纪教育网在中，由勾股定理知即化简得，解得或x=9.
..................9分由，知，故. .........10分从而AD=2，
.....................11分因为，由垂径定理知F为AB的中点，所以............12分4. （2011山东滨州，22，8分）如图，直线PM切⊙O于点M,直线PO交⊙O于A、B两点，弦AC∥PM, 连接OM、BC.求证：（1）△ABC∽△POM;(2)2OA2=OP·BC.【答案】证明：（1）∵直线PM切⊙O于点M，∴∠PMO=90°..................1分∵弦AB是直径，∴∠ACB=90°..................2分∴∠ACB=∠PMO..................3分∵AC∥PM, ∴∠CAB=∠P
..................4分∴△ABC∽△POM..................5分(2) ∵ △ABC∽△POM, ∴..................6分又AB=2OA,OA=OM, ∴..................7分∴2OA2=OP·BC..................8分5. （2011山东菏泽，18，10分）如图，BD为⊙O的直径，AB=AC，AD交BC于点E，AE=2，ED=4， (1)求证：△ABE∽△ADB； (2)求AB的长；(3)延长DB到F，使得BF=BO，连接FA，试判断直线FA与⊙O的位置关系，并说明理由．解：(1)证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∵∠C=∠D，∴∠ABC=∠D，又∵∠BAE=∠EAB，∴△ABE∽△ADB， (2)
∵△ABE∽△ADB，∴， ∴AB2=AD·AE=(AE＋ED)·AE=(2＋4)×2=12 ∴AB=． (3)
直线FA与⊙O相切，理由如下：连接OA，∵BD为⊙O的直径，∴∠BAD=90°， ∴，BF=BO=， ∵AB=，∴BF=BO=AB，可证∠OAF=90°，∴直线FA与⊙O相切．6. （2011山东日照，21，9分）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，CD是⊙O的切线，C为切点，AD⊥CD于点D． 求证：（1）∠AOC=2∠ACD；（2）AC2＝AB·AD．【答案】证明：（1）∵CD是⊙O的切线，∴∠OCD=90°，即∠ACD+∠ACO=90°．...①
∵OC=OA，∴∠ACO=∠CAO，∴∠AOC=180°-2∠ACO，即∠AOC+∠ACO=90°. ②
由①，②，得：∠ACD-∠AOC=0，即∠AOC=2∠ACD；（2）如图，连接BC． ∵AB是直径，∴∠ACB=90°． 在Rt△ACD与△RtACD中， ∵∠AOC=2∠B，∴∠B=∠ACD， ∴△ACD∽△ABC，∴，即AC2=AB·AD．7. （2011浙江温州，20，8分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，过点B作⊙O的切线，交AC的延长线于点F．已知OA＝3，AE＝2， (1)求CD的长； (2)求BF的长．【答案】解：(1)连结OC，在Rt△OCE中，． ∵CD⊥AB， ∴ (2) ∵BF是⊙O 的切线， ∴FB⊥AB， ∴CE∥FB， ∴△ACE∽△AFB， ∴，，∴[来源:ZXXK]8. （2011浙江省嘉兴，22，12分）如图，△ABC中，以BC为直径的圆交AB于点D，∠ACD=∠ABC．（1）求证：CA是圆的切线；（2）若点E是BC上一点，已知BE=6，tan∠ABC=，tan∠AEC=，求圆的直径．【答案】（1）∵BC是直径，∴∠BDC=90°，∴∠ABC+∠DCB=90°，∵∠ACD=∠ABC，∴∠ACD+∠DCB=90°，∴BC⊥CA，∴CA是圆的切线．(2)在Rt△AEC中，tan∠AEC=，∴,;在Rt△ABC中，tan∠ABC=，∴,;∵BC-EC=BE，BE=6，∴,解得AC=,∴BC=．即圆的直径为10.9. （2011广东株洲，22，8分）如图，AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，AC交⊙O于点E，D 为AC上一点，∠AOD=∠C．（1）求证：OD⊥AC；（2）若AE=8，，求OD的长．【答案】（1）证明：∵BC是⊙O的切线，AB为⊙O的直径∴∠ABC=90°，∠A+∠C=90°，又∵∠AOD=∠C，∴∠AOD+∠A=90°，∴∠ADO=90°，∴OD⊥AC.（2）解：∵OD⊥AE，O为圆心，∴D为AE中点 ，∴，又 ，∴ OD=3.10．（2011山东济宁，20，7分）如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是它的两条切线，DE切⊙O于点E，交AM于点D，交BN于点C，F是CD的中点，连接OF， （1）求证：OD∥BE； （2）猜想：OF与CD有何数量关系？并说明理由． 【答案】（1）证明：连接OE，
∵AM、DE是⊙O的切线，OA、OE是⊙O的半径， ∴∠ADO=∠EDO，∠DAO=∠DEO=90°， ∴∠AOD=∠EOD=∠AOE， ∵∠ABE=∠AOE，∴∠AOD=∠ABE， ∴OD∥BE （2）OF=CD， 理由：连接OC， ∵BC、CE是⊙O的切线， ∴∠OCB=∠OCE
∵AM∥BN，
∴∠ADO+∠EDO+∠OCB+∠OCE=180°
由（1）得∠ADO=∠EDO，
∴2∠EDO+2∠OCE=180°，即∠EDO+∠OCE=90°在Rt△DOC中，∵F是DC的中点，∴OF=CD．11. （2011山东聊城，23，8分）如图，AB是半圆的直径，点O是圆心，点C是OA的中点，CD⊥OA交半圆于点D，点E是的中点，连接OD、AE，过点D作DP∥AE交BA的延长线于点P， （1）求∠AOD的度数； （2）求证：PD是半圆O的切线； 【答案】（1）∵点C是OA的中点，∴OC＝OA＝OD，∵CD⊥OA，∴∠OCD＝90°，在Rt△OCD中，cos∠COD＝，∴∠COD＝60°，即∠AOD＝60°，（2）证明：连接OC，点E是BD弧的中点，DE弧＝BE弧，∴∠BOE＝∠DOE＝∠DOB＝ (180°－∠COD)＝60°，∵OA＝OE，∴∠EAO＝∠AEO，又∠EAO＋∠AEO＝∠EOB＝60°，∴∠EAO＝30°，∵PD∥AE，∴∠P＝∠EAO＝30°，由（1）知∠AOD＝60°，∴∠PDO＝180°－(∠P＋∠POD)＝180°－(30°＋60°)＝90°，∴PD是圆O的切线12. （2011山东潍坊，23，11分）如图，AB是半圆O的直径，AB=2.射线AM、BN为半圆的切线.在AM上取一点D，连接BD交半圆于点C，连接AC.过O点作BC的垂线OE，垂足为点E，与BN相交于点F.过D点做半圆的切线DP，切点为P，与BN相交于点Q.（1）求证：△ABC∽ΔOFB；（2）当ΔABD与△BFO的面积相等时，求BQ的长；（3）求证：当D在AM上移动时（A点除外），点Q始终是线段BF的中点.21世纪教育网【解】（1）证明：∵AB为直径，∴∠ACB=90°，即AC⊥BC.又∵OE⊥BC，∴OE//AC，∴∠BAC=∠FOB.∵BN是半圆的切线，故∠BCA=∠OBF=90°.∴△ACB∽△OBF.（2）由△ACB∽△OBF，得∠OFB=∠DBA，∠DAB=∠OBF=90°，∴△ABD∽△BFO，当△ABD与△BFO的面积相等时，△ABD≌△BFO.∴AD=BO=AB =1.∵DA⊥AB，∴DA为⊙O的切线.连接OP，∵DP是半圆O的切线，∴DA=DP=1，∴DA=AO=OP=DP=1，∴四边形ADPO为正方形.∴DP//AB，∴四边形DABQ为矩形.∴BQ=AD=1.（3）由（2）知，△ABD∽△BFO，∴，∴.∵DPQ是半圆O的切线，∴AD=DP，QB=QP.过点Q作AM的垂线QK，垂足为K，在Rt△DQK中，，∴，∴，∴BF=2BQ，∴Q为BF的中点.13. （2011四川广安，29，10分）如图8所示．P是⊙O外一点．PA是⊙O的切线．A是切点．B是⊙O上一点．且PA=PB，连接AO、BO、AB，并延长BO与切线PA相交于点Q．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）求证： AQ?PQ= OQ?BQ；
（3）设∠AOQ=．若cos=．OQ= 15．求AB的长 【答案】（1）证明：如图，连结OP
∵PA=PB，AO=BO，PO=PO
∴△APO≌△BPO
∴∠PBO=∠PAO=90°
∴PB是⊙O的切线
（2）证明：∵∠OAQ=∠PBQ=90°
∴△QPB∽QOA ∴
即AQ?PQ= OQ?BQ
（3）解：cos==
∴AO=12
∵△QPB∽QOA
∠BPQ=∠AOQ=
∴tan∠BPQ==
∵AB?PO= OB?BP
∴AB= 14. （2011江苏淮安，25，10分）如图，AD是⊙O的弦，AB经过圆心O，交⊙O于点C，∠DAB=∠B=30°.(1)直线BD是否与⊙O相切？为什么？(2)连接CD，若CD=5，求AB的长. 【答案】(1)答：直线BD与⊙O相切.理由如下：如图，连接OD， ∵∠ODA=∠DAB=∠B=30°， ∴∠ODB=180°-∠ODA-∠DAB-∠B=180°-30°-30°-30°=90°， 即OD⊥BD， ∴直线BD与⊙O相切. (2)解：由（1）知，∠ODA=∠DAB=30°， ∴∠DOB=∠ODA+∠DAB=60°， 又∵OC=OD， ∴△DOB是等边三角形， ∴OA=OD=CD=5. 又∵∠B=30°，∠ODB=30°， ∴OB=2OD=10. ∴AB=OA+OB=5+10=15.15. （2011江苏南通，22，8分）（本小题满分8分）如图，AM为⊙O的切线，A为切点，BD⊥AM于点D，BD交⊙O于C，OC平分∠AOB.求∠B的度数.【答案】60°.16. （2011四川绵阳22，12）如图，在梯形ABCD中，AB//CD，∠BAD=90°，以AD为直径的半圆O与BC相切.(1)求证：OB丄OC;(2)若AD= 12，∠ BCD=60°，⊙O1与半⊙O 外切，并与BC、CD 相切，求⊙O1的面积.【答案】（1）证明：连接OF,在梯形ABCD，在直角△AOB 和直角△AOB F中∵∴△AOB≌△AOB（HL）同理△COD≌△COF,∴∠BOC=90°，即OB⊥OC(2) 过点做O1G,O1H垂直DC,DA,∵∠DOB=60°，∴∠DCO=∠BCO=30°，设O1G=x,又∵AD=12,∴OD=6，DC=6,OC=12,CG=x, O1C =6-x,根据勾股定理可知O1G2+GC2=O1C2x2+3x2=（6-x）2∴(x-2)(x+6)=0,x=217. （2011四川乐山24，10分）如图，D为O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD.(1)求证:CD是⊙O的切线;(2)过点B作O的切线交CD的延长线于点E,若BC=6,tan∠CDA=,求BE的长【答案】⑴证明：连接OD∵OA=OD∴∠ADO=∠OAD∵AB为⊙O的直径，∴∠ADO+∠BDO=90°∴在RtΔABD中，∠ABD+∠BAD=90°∵∠CDA=∠CBD∴∠CDA+∠ADO=90°∴OD⊥CE即CE为⊙O的切线21世纪教育网18. （2011四川凉山州，27，8分）如图，已知，以为直径，为圆心的半圆交于点，点为的中点，连接交于点，为的角平分线，且，垂足为点。（1） 求证：是半圆的切线；（2） 若，，求的长。【答案】⑴证明：连接，∵是直径
∴∵是的角平分线∴又 ∵为的中点∴∵于∵
即又∵是直径
∴是半圆的切线 ···4分（2）∵，。由（1）知，，∴。在中，于，平分，∴，∴。由∽，得。∴，∴。19. （2011江苏无锡，27，10分）(本题满分10分)如图，已知O(0，0)、A(4，0)、B(4，3)。动点P从O点出发，以每秒3个单位的速度，沿△OAB的边OA、AB、BO作匀速运动；动直线l从AB位置出发，以每秒1个单位的速度向x轴负方向作匀速平移运动。若它们同时出发，运动的时间为t秒，当点P运动到O时，它们都停止运动。(1)当P在线段OA上运动时，求直线l与以点P为圆心、1为半径的圆相交时t的取值范围；(2)当P在线段AB上运动时，设直线l分别与OA、OB交于C、D，试问：四边形CPBD是否可能为菱形？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由，并说明如何改变直线l的出发时间，使得四边形CPBD会是菱形。【答案】解：(1)当点P在线段OA上时，P(3t，0)，..................................................................(1分) ⊙P与x轴的两交点坐标分别为(3t ? 1，0)、(3t + 1，0)，直线l为x = 4 ? t， 若直线l与⊙P相交，则...............(3分) 解得： < t < ．..............................................................................(5分) (2)点P与直线l运动t秒时，AP = 3t ? 4，AC = t．若要四边形CPBD为菱形，则CP // OB， ∴∠PCA = ∠BOA，∴Rt△APC ∽ Rt△ABO，∴，∴，解得t = ，......(6分) 此时AP = ，AC = ，∴PC = ，而PB = 7 ? 3t =
≠ PC， 故四边形CPBD不可能时菱形．...................................................(7分) (上述方法不唯一，只要推出矛盾即可) 现改变直线l的出发时间，设直线l比点P晚出发a秒， 若四边形CPBD为菱形，则CP // OB，∴△APC ∽ △ABO，，∴， 即：，解得∴只要直线l比点P晚出发秒，则当点P运动秒时，四边形CPBD就是菱形．..................(10分)20．（2011湖北武汉市，22，8分）（本题满分8分）如图，PA为⊙O的切线，A为切点．过A作OP的垂线AB，垂足为点C，交⊙O于点B．延长BO与⊙O交于点D，与PA的延长线交于点E．（1）求证：PB为⊙O的切线；（2）若tan∠ABE=，求sinE的值． 【答案】(本题8分)（1）证明：连接OA ∵PA为⊙O的切线，
∴∠PAO=90°
∵OA＝OB，OP⊥AB于C
∴BC＝CA，PB＝PA
∴△PBO≌△PAO
∴∠PBO＝∠PAO＝90°
∴PB为⊙O的切线21世纪教育网（2）解法1：连接AD，∵BD是直径，∠BAD＝90° 由（1）知∠BCO＝90°
∴AD∥OP[来源:]
∴△ADE∽△POE
∴EA/EP＝AD/OP
由AD∥OC得AD＝2OC ∵tan∠ABE=1/2 ∴OC/BC=1/2，设OC＝t,则BC＝2t,AD=2t由△PBC∽△BOC，得PC＝2BC＝4t，OP＝5t
∴EA/EP=AD/OP=2/5，可设EA＝2m,EP=5m,则PA=3m
∵PA=PB∴PB=3m
∴sinE=PB/EP=3/5（2）解法2：连接AD，则∠BAD＝90°由（1）知∠BCO＝90°∵由AD∥OC，∴AD＝2OC
∵tan∠ABE=1/2,∴OC/BC=1/2,设OC＝t，BC＝2t，AB=4t由△PBC∽△BOC，得PC＝2BC＝4t， ∴PA＝PB＝2t
过A作AF⊥PB于F，则AF·PB=AB·PC
进而由勾股定理得PF＝t∴sinE=sin∠FAP=PF/PA=3/521. （2011湖南衡阳，24，8分）如图，△ABC内接于⊙O，CA=CB，CD∥AB且与OA的延长线交与点D． (1)判断CD与⊙O的位置关系并说明理由； (2)若∠ACB=120°，OA=2，求CD的长． 【解】 (1) CD与⊙O的位置关系是相切，理由如下： 作直径CE，连结AE． ∵CE是直径， ∴∠EAC＝90°，∴∠E＋∠ACE=90°，∵CA=CB，∴∠B＝∠CAB，∵AB∥CD，∴∠ACD＝∠CAB，∵∠B＝∠E，∠ACD＝∠E，∴∠ACE＋∠ACD=90°，即∠DCO=90°，∴OC⊥D C，∴CD与⊙O相切．（2）∵CD∥AB，OC⊥D C，∴OC⊥A B，又∠ACB=120°，∴∠OCA＝∠OCB=60°，∵OA=OC，∴△OAC是等边三角形，∴∠DOA=60°，∴在Rt△DCO中， =，∴DC=OC=OA=2．22. （2011湖南永州，23，10分）如图，AB是半圆O的直径，点C是⊙O上一点（不与A，B重合），连接AC，BC，过点O作OD∥AC交BC于点D，在OD的延长线上取一点E，连接EB，使∠OEB=∠ABC．21世纪教育网⑴求证：BE是⊙O的切线；⑵若OA=10，BC=16，求BE的长．【答案】证明：⑴∵AB是半圆O的直径
∴∠ACB=90°∵OD∥AC
∴∠ODB=∠ACB=90° ∴∠BOD+∠ABC=90°又∵∠OEB=∠ABC
∴∠BOD+∠OEB=90°
∴∠OBE=90°∵AB是半圆O的直径
∴BE是⊙O的切线⑵在中，AB=2OA=20，BC=16，∴∴
∴∴．23. （2011江苏盐城，25，10分）如图，在△ABC中，∠C= 90°，以AB上一点O为圆心，OA长为半径的圆与BC相切于点D，分别交AC、AB于点E、F．（1）若AC=6，AB= 10，求⊙O的半径；（2）连接OE、ED、DF、EF．若四边形BDEF是平行四边形，试判断四边形OFDE的形状，并说明理由．【答案】（1）连接OD. 设⊙O的半径为r.∵BC切⊙O于点D，∴OD⊥BC.∵∠C=90°，∴OD∥AC，∴△OBD∽△ABC.∴ = ，即
解得r = ，∴⊙O的半径为.(2)四边形OFDE是菱形.∵四边形BDEF是平行四边形，∴∠DEF=∠B. ∵∠DEF=∠DOB，∴∠B=∠DOB. ∵∠ODB=90°，∴∠DOB+∠B=90°，∴∠DOB=60°. ∵DE∥AB，∴∠ODE=60°.∵OD=OE，∴△ODE是等边三角形. ∴OD=DE.∵OD=OF，∴DE=OF.∴四边形OFDE是平行四边形.∵OE=OF，∴平行四边形OFDE是菱形.24. (20011江苏镇江27,9分)在平面直角坐标系xOy中,一次函数的图象是直线与x轴、y轴分别相交于A、B两点.直线过点C(a,0)且与垂直,其中a>0,点P、Q同时从A点出发,其中点P沿射线AB运动,速度为每秒4个单位;点Q沿射线AO运动,速度为每秒5个单位.(1)写出A点的坐标和AB的长;(2)当点P、Q运动了t秒时,以点Q为圆心,PQ为半径的⊙Q与直线、y轴都相切,求此时a的值.答案:(1)A(-4,0),AB=5.(2)由题意得：AP=4t,AQ=5t,,又∠PAQ=∠QAB,∴△APQ∽△AOB.∴∠APQ=∠AOB=90°。∵点P在上，∴⊙Q在运动过程中保持与相切。①当⊙Q在y轴右侧与y轴相切时，设与⊙Q相切于F，由△APQ∽△AOB得,∴PQ=6,连接QF，则QF=PQ, △QFC∽△APQ∽△AOB得.∴,,∴QC=,a=OQ+QC=.②当⊙Q在y轴左侧与y轴相切时，设与⊙Q相切于E, 由△APQ∽△AOB得,∴PQ=.连接QE，则QE=PQ,由△QEC∽△APQ∽△AOB得，∴，，∴QC=,a=QC-OQ=.∴a的值为和。25. （2011广东湛江27,12分）如图，在中，，点D是AC的中点，且,过点作，使圆心在上，与交于点．（1）求证：直线与相切；（2）若,求的直径．【答案】（1）证明：连接OD，在中，OA=OD，所以，又因为，所以，所以，即，所以BD与相切；（2）由于AE为直径，所以,由题意可知,又点D是AC的中点，且，所以可得，即的直径为5.26. （2011贵州安顺，26，12分）已知：如图，在△ABC中，BC=AC，以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D，DE⊥AC，垂足为点E． ⑴求证：点D是AB的中点； ⑵判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论； ⑶若⊙O的直径为18，cosB =，求DE的长． 【答案】（1）证明：连接CD,则CD，
又∵AC = BC，
∴≌∴AD = BD ， 即点D是AB的中点．（2）DE是⊙O的切线 ．理由是：连接OD, 则DO是△ABC的中位线，∴DO∥AC ，
又∵DE；∴DE
即DE是⊙O的切线；（3）∵AC = BC，
∴∠B =∠A ，
∴cos∠B = cos∠A =，
∵ cos∠B =，
BC = 18，∴BD = 6 ，
∴AD = 6 ，
∵ cos∠A = ，
∴AE = 2，21世纪教育网在中，DE=．27. （2011河北，25，10分）如图14-1至14-4中，两平行线AB,CD间的距离为6，点M为AB上一定点. 思考 如图14-1，圆心为O的半圆纸片在AB,CD之间（包括AB,CD），其直径MN在AB上，MN=8，点P为半圆上一点，设∠MOP=α. 当α=
度时，点P到CD的距离最小，最小值为
。 探究一 在图14-1的基础上，以点M为旋转中心，在AB,CD之间顺时针旋转该半圆纸片，直到不能再转动为止，如图14-2，得到最大旋转角∠BMO=
度，此时点N到CD的距离是 探究二 将图14-1中的扇形纸片NOP按下面对α要求剪掉，使扇形纸片MOP绕点M在AB,CD之间顺时针旋转。 （1）如图14-3，当α=60°时，球在旋转过程中，点p到CD的最小距离，并请指出旋转角∠BMO的最大值； （2）如图14-4，在扇形纸片MOP旋转过程中，要保证点P能落在直线CD上，请确定α的取值范围. （参考数据：sin49°=,cos41°=，tan37°= ） 【答案】思考
90，2；探究一
30，2；探究二（1）由已知得M与P的距离为4，∴当MP⊥AB时，点P到AB的最大距离为4，从而点P到CD的最小距离为6-4=2.当扇形MOP在AB,CD之间旋转到不能再转时，弧MP与AB相切，此时旋转角最大，∠BMO的最大值为90°。（2）如图，由探究一可知，点P是弧MP与CD的切点时，α达到最大，即OP⊥CD。此时延长PO交AB于点H，α最大值为∠OMH+∠OHM=30°+90°=120°。如图，当点P在CD上且与AB距离最小时，MP⊥CD,α达到最小，连接MP，作OH⊥MP于点H，由垂径定理，得MH=3，在Rt△MOH中，MO=4，∴sin∠MOH=，∴∠MOH=49°，∵α=2∠MOH，∴α最小值为98°。∴α的取值范围是98°≤α≤120°。2011中考模拟分类汇编：直线与圆的位置关系一、选择题1、（2011年北京四中中考模拟19）如图，PA为⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于点B，PA＝8，OA＝6，则tan∠APO的值为（
D、2、（2011年北京四中模拟26）如果等边三角形的边长为6，那么它的内切圆的半径为
D．答案：B3.（2011.河北廊坊安次区一模）一个钢管放在V形架内，图3是其截面图，O为钢管的圆心．如果钢管的半径为25 Cm，∠MPN = 60?，则OP 的长为 A．50 Cm
C．Cm D．50Cm答案:A4.(2011湖北省天门市一模)如图，在中，，，，经过点且与边相切的动圆
与分别相交于点，则线段长度的最小值是（
D．答案:B5．（2011年浙江省杭州市模2）如图，在矩形ABCD中，BC=8，AB=6，经过点B和点D的两个动圆均与AC相切，且与AB、BC、AD、DC分别交于点G、H、E、F，则EF+GH的最小值是（
） A．6 B．8 C．9.6
D．10答案：C二、填空题1、（2011年北京四中模拟26）如图，PA切⊙O于点A，PC过点O且于点B、C，若PA=6㎝，PB=4㎝，则⊙O的半径为
㎝. 答案：2.5㎝2、（北京四中模拟）已知如图，P为⊙O外一点，过点P作⊙O的切线，切点为C，过P、O两点作⊙O的割线交⊙O于A、B两点，且PC=4cm，PA=3cm，则⊙O的半径R=
cm答案：3cm3、如图，点P为△ABC的内心，延长AP交△ABC的外接圆于D，过D作DE//BC，交AC的延长线于E点。①则直线DE与⊙O的位置关系是
；②若AB=4，AD=6，CE=3,则DE=
。答案：相切，4．（ 2011年杭州三月月考）如图所示，在中，，，若以为圆心，为半径所得的圆与斜边只有一个公共点，则的取值范围是：
。答案：或5. （2011年海宁市盐官片一模）如图、是的两条弦，=30°，过点的切线与的延长线交于点，则的度数为
．答案：30°6、（2011年北京四中34模）在直径为12的⊙O中，点M为⊙O所在平面上一点，且OM=5，则过点M的⊙O最短的弦长是答案：7．（2011杭州市模拟）如图，矩形纸片ABCD，点E是AB上一点，且BE∶EA=5∶3，EC=，把△BCE沿折痕EC向上翻折，若点B恰好落在AD边上，设这个点为F，则（1）AB=
；（2）若⊙O内切于以F、E、B、C为顶点的四边形，则⊙O的面积=
． ；答案：AB=24，BC=30，⊙O的面积=100．（1+1+2分）8. （2011广东南塘二模）Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，内切圆半径＝
；答案：19.（浙江杭州靖江2011模拟）如图，AB是半图的直径，C为BA延长线上的一点，CD切半圆于点E。已知OA＝1，设DF＝x，AC＝y，则y关于x的函数解析式是_____________。（根据2009年衢州中考试卷改编）答案：10.（浙江杭州进化2011一模）如图，⊙O1和⊙O2的半径为2和3，连接O1O2，交⊙O2于点P，O1O2=7，若将⊙O1绕点按顺时针方向以30°/秒的速度旋转一周，请写出⊙O1与⊙O2相切时的旋转时间为_______秒．答案：3或6或911、（2011杭州模拟20）如图，AB是半圆O的直径，C为半圆上一点，N是线段BC上一点（不与B﹑C重合），过N作AB的垂线交AB于M，交AC的延长线于E，过C点作半圆O的切线交EM于F，若NC∶CF＝3∶2，则 sinB=_______．答案：12、（江西省九校第一次联考）如图，某房间一角（AC⊥BC）放有一张直径为2m的圆桌（桌面紧贴AC、BC两边）,则图中阴影部分的面积是
．21世纪教育网答案： 1－13、（江西省九校第一次联考）如图，Rt△ABC中∠C=90°、∠A=30°，在AC边上取点O画圆使⊙O经过A、B两点，下列结论正确的序号是(多填或错填得0分,少填酌情给分) ．①AO=2CO ； ②AO=BC ； ③以O为圆心，以OC为半径的圆与AB相切；④延长BC交⊙O与D，则A、B、D是⊙O的三等分点．答案：①③④14、（北京四中2011中考模拟13）如图：⊙O与AB相切于点A，BO与⊙O交于点C，，则等于
.答案：21世纪教育网15、（北京四中2011中考模拟14）已知圆的直径为13㎝,圆心到直线L的距离为6㎝,那么直线L和这个圆的公共点的个数为_________________.答案：2个三、解答题1．（2011年黄冈中考调研六）（满分7分）如图，从⊙O外一点A作⊙O的切线AB、AC，切点分别为B、C，且⊙O直经BD=6，连结CD、AO。（1）求证：CD∥AO；（2）设CD=x，AO=y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；2. （2011年江苏盐都中考模拟）（本题10分）已知:如图，O为平面直角坐标系的原点，半径为1的⊙B经过点O，且与x轴、y轴分别交于点A、C，点A的坐标为（，0），AC的延长线与⊙B的切线OD交于点D.(1)求OC的长度和∠CAO的度数(2)求过D点的反比例函数的表达式.解： （1）由题意得，在Rt△OAC中，OA=,AC=2,所以OC=1,又因为cos∠CAO=,所以∠CAO=30°；（4分）（2）过D作DE⊥x轴，垂足为E，连接OB，因为DO切⊙B于O，所以∠BOD=90°，在Rt△OBD中，OB=1，∠OBD=60°，所以OD=,在Rt△ODE中，OD=，∠DOE=60°，所以OE=，DE=，即，D(,),所以过D点的反比例函数表达式为。（6分）3、（2011年北京四中中考模拟18）AB是⊙O的直径，点E是半圆上一动点（点E与点A、B都不重合），点C是BE延长线上的一点，且CD⊥AB，垂足为D，CD与AE交于点H，点H与点A不重合。（1）求证：△AHD∽△CBD（2）连HB，若CD=AB=2，求HD+HO的值。解：（1）证明：∵AB为⊙O的直径，CD⊥AB，∴∠AEB＝∠ADH＝90°，∴∠C＋∠CHE＝90°，∠A＋∠AHD＝90°，∵∠AHD＝∠CHE，∴∠A＝∠C，∵∠ADH＝∠CDB＝90°，∴△AHD∽△CBD （2）设OD=x，则BD=1-x，AD=1+x 证Rt△AHD∽Rt△CBD
则HD : BD=AD : CD
即HD : (1-x)=(1+x) : 2即HD=在Rt△HOD中，由勾股定理得：OH==所以HD+HO=+=14．（2011年江苏连云港）（本小题满分8分）如图，内接于，为的直径，，，过点作的切线与的延长线交于点，求的长．解：是的直径，．又，，． 3分又，所以是等边三角形，由，知． 5分是的切线，．在中，，，所以，．
8分5.（2011.河北廊坊安次区一模）阅读材料：如图23-1，的周长为，面积为S,内切圆的半径为，探究与S、之间的关系．连结，， 又，，21世纪教育网 ∴ ∴解决问题：（1）利用探究的结论，计算边长分别为5，12，13的三角形内切圆半径；（2）若四边形存在内切圆（与各边都相切的圆），如图23-2且面积为，各边长分别为，，，，试推导四边形的内切圆半径公式；（3）若一个边形（为不小于3的整数）存在内切圆，且面积为，各边长分别为，，，，，合理猜想其内切圆半径公式（不需说明理由）．．答案：（1），三角形为直角三角形 面积，（2）设四边形内切圆的圆心为，连结，则，（3）6. (2011湖北省天门市一模)如图，已知△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过D作DE⊥BC，垂足为E，连结OE，CD=，∠ACB=30°. （1）求证：DE是⊙O的切线；（2）分别求AB，OE的长；（3）填空：如果以点E为圆心，r为半径的圆上总存在不同的两点到点O的距离为1，则r的取值范围为
.7、（北京四中模拟） 如图，点P是半径为6的⊙O外一点,过点P作⊙O的割线PAB,点C是⊙O上一点, 且PC2=PA.PB， （1）求证：PC是⊙O的切线； （2）若sin∠ACB=，求弦AB的长；（3）已知在（2）的条件下，点D是劣弧AB的中点，连结CD交AB于E，若AC：BC=1：3，求CE的长。（1）证明：连接CO并延长交⊙O于M，连接AM∵PC2=PA.PB
∴∵∠P=∠P
∴△PAC∽△PCB
∠PCA=∠B∵∠B=∠M
∴∠M=∠PCA∵CM是直径 ∴∠MAC=90°
∴∠ACM+∠M=90°
∴∠ACM+∠PCA=90°即∠PCM=90°
∴PC是⊙O的切线。（2）连接AO，并延长AO交⊙O于N，连接BN∵AN是直径
∴∠ABN=90° ∠N=∠ACB，AN=12在Rt△ABN中，AB=ANsin∠ACB=12sin∠ACB=12×=（3）连接OD交AB于F，∴OD⊥AB
∵D是劣弧AB的中点
∴∠ACD=∠BCD∵∠PCA=∠B
∴∠PCE=∠PEC
由△PCA∽△PBC 得 PC=3PA∵PC2=PA.PB
∴9PA2=PA.PB
∴9PA=PB=PA+AB
∴8PA=AB=∴PA=
∴PC=PE=AE=，AB=，AF=，EF=在Rt△OAF中，可求得OF=4
DE=3∵AE·EB=DE·CE
∴CE=58、（北京四中模拟）如图，以等腰中的腰为直径作⊙，交底边于 点．过点作，垂足为． （I）求证：为⊙的切线； （II）若⊙的半径为5，，求的长． [来源:] 解：（I）证明：连接，连接21世纪教育网 是直径，，21世纪教育网 又是等腰三角形，∴是的中点． ． ，． 为⊙的切线． （II）在等腰中，，知是等边三角形． ⊙的半径为5，，．9、 （2011年浙江杭州六模）如图，为⊙O的弦，为劣弧的中点，（1）若⊙O的半径为5，，求；（2）若，且点在⊙O的外部，判断 与⊙O的位置关系，并说明理由.答案：(1)解：
∵为⊙O的弦，为劣弧的中点,∴于E∴
......1分又 ∵ ∴∴
......1分在Rt△AEC中,
......1分(2)AD与⊙O相切.
......1分理由如下：∵
∴ ∵由（1）知
∴ ∠C+∠BAC＝90°.
......1分 又∵
......1分∴AD与⊙O相切.B组1．（ 2011年杭州三月月考）如图,已知在等腰△ABC中,∠A=∠B=30°,过点C作CD⊥AC交AB于点D.[来源:21世纪教育网] (1)尺规作图：过A，D，C三点作⊙O（只要求作出图形，保留痕迹，不要求写作法）； (2)求证：BC是过A，D，C三点的圆的切线；[来源:](3)若过A，D，C三点的圆的半径为,则线段BC上是否存在一点P，使得以P，D，B为顶点的三角形与△BCO相似.若存在，求出DP的长；若不存在，请说明理由.答案：解：（1）作出圆心O，以点O为圆心，OA长为半径作圆. （2）证明：∵CD⊥AC,∴∠ACD=90°. ∴AD是⊙O的直径 连结OC，∵∠A=∠B=30°, ∴∠ACB=120°,又∵OA=OC, ∴∠ACO=∠A =30°,∴∠BCO=∠ACB-∠ACO =120°-30°=90°. ∴BC⊥OC, ∴BC是⊙O的切线.（3）存在. ∵∠BCD=∠ACB-∠ACD=120°-90°=30°, ∴∠BCD=∠B,
即DB=DC. 又∵在Rt△ACD中，DC=AD, ∴BD= .解法一：①过点D作DP1// OC，则△P1D B∽△COB, ，∵BO=BD+OD=, ∴P1D=×OC=× =.②过点D作DP2⊥AB,则△BDP2∽△BCO, ∴，
∵BC＝ ∴.解法二：①当△B P1D∽△BCO时，∠DP1B=∠OCB=90°.在Rt△B P1D中，DP1=. ②当△B D P2∽△BCO时，∠P2DB=∠OCB=90°. 在Rt△B P2D中， DP2=.2．（2011年三门峡实验中学3月模拟）如图,是半圆的直径,为圆心,、是半圆的弦，且. (1)判断直线是否为⊙O的切线，并说明理由； (2)如果，，求的长。答案：（1）PD是⊙O的切线连接OD,∵OB=OD, ∴∠ODB=∠PBD又∵∠PDA=∠PBD. ∴∠PDA=∠ODB又∵AB是半圆的直径，∴∠ADB=90°.即∠ODA+∠ODB=90°. ∴∠ODA+∠PDA=90°,即OD⊥PD. ∴PD是⊙O的切线..（2）∵OD⊥PE,AD⊥BD,∠BDE=60°,∴∠ODB=∠PBD=∠PDA=30°∴∠OAD=60°. ∴∠P=30°. ∴PA=AD=OD.在直角△PDO中，∠P=30°,PD=,∴，∴OD=PDtan∠P=tan30°=1.∴PA=1.21世纪教育网3．（2011安徽中考模拟）如图（1），∠ABC=90°，O为射线BC上一点，OB = 4，以点O为圆心，BO长为半径作⊙O交BC于点D、E．（1）当射线BA绕点B按顺时针方向旋转多少度时与⊙O相切？请说明理由．（2）若射线BA绕点B按顺时针方向旋转与⊙O相交于M、N两点（如图（2）），MN=，求MN(⌒)的长．答案：（1）当射线BA绕点B按顺时针方向旋转60度或120度时与⊙O相切．......2分理由：当BA绕点B按顺时针方向旋转60度到B A′的位置．则∠A′BO=30°，过O作OG⊥B A′垂足为G，∴OG=OB=2． ..............................4分∴B A′是⊙O的切线．........................5分同理，当BA绕点B按顺时针方向旋转120度到B A″的位置时，[来源:Z§xx§k.Com]B A″也是⊙O的切线．.....................6分（如只有一个答案，且说理正确，给2分）（或：当BA绕点B按顺时针方向旋转到B A′的位置时，BA与⊙O相切，设切点为G，连结OG，则OG⊥AB， ∵OG=OB，∴∠A′BO=30°． ∴BA绕点B按顺时针方向旋转了60度． 同理可知，当BA绕点B按顺时针方向旋转到B A″的位置时，BA与⊙O相切，BA绕点B按顺时针方向旋转了120度．）（2）∵MN=，OM=ON=2，∴MN 2 = OM 2 +ON2，.....................8分∴∠MON=90°．
.....................9分∴MN(⌒)的长为=π．............12分4．（2011杭州上城区一模）AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连结AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E.（1）求证：AB=AC；
（2）求证：DE为⊙O的切线.答案：(1)证明:连接AD， ∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90° ，......1分又∵BD=CD， ∴AD是BC的垂直平分线，...............1分∴AB=AC ...............1分(2)连接OD ，∵点O、D分别是AB、BC的中点， ∴OD∥AC又DE⊥AC ，∴OD⊥DE ...............2分
∴DE为⊙O的切线................1分5.（2011广东南塘二模）半圆O的直径AB为cm，有一定弦CD在半圆内滑动（C不与A重合），AD与BC相交于P，如图。 （1）∠APC的大小是否为一定值？并说明理由。 （2）若CD＝3cm，求∠APC的度数。
（第5题） 答案：（1）∠APC的大小是定值。理由：连AC， ∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAP＋∠CPA＝90°， ∵弦CD确定，∴CD也确定，则CD所对的圆周角∠CAP的大小也确定，∠CPA的大小是一定值。 （2）连结OC、OD，则OC＝OD＝cm， ∵CD2＝9，OC2＋OD2＝9，∴CD2＝OC2＋OD2 ∴∠COD＝90°，∴∠CAD＝45°，∵∠ACB＝90°，∴∠APC＝45°6. （2011深圳市中考模拟五） 已知: 如图， AB是⊙O的直径，⊙Ｏ过AC的中点D， DE切⊙Ｏ于点D， 交BC于点E．（１）求证： DE⊥BC；（２）如果CD＝4，CE＝3，求⊙Ｏ的半径．（第6题）答案：证明： (1)连结OD.....................1分∵DE切⊙O于点D∴DE⊥OD, ∴∠ODE＝900 .....................2分又∵AD＝DC, AO＝OB∴OD//BC∴∠DEC＝∠ODE＝900,
∴DE⊥BC.....................4分 (2)连结BD. .....................5分 ∵AB是⊙O的直径, ∴∠ADB＝900 .....................6分 ∴BD⊥AC, ∴∠BDC＝900 又∵DE⊥BC, △RtCDB∽△RtCED .....................7分 ∴,
∴BC＝ .....................9分 又∵OD＝BC∴OD＝, 即⊙O的半径为.....................10分 7. （2011湖北武汉调考模拟二） 如图，在△ABC中，∠C=90°，AC+BC=8，∠ACB的平分线交AB于点D，以D为圆心的⊙O与AC相切于点D． (1)求证: ⊙0与BC相切； (2)当AC=2时，求⊙O的半径，
(第7题)答案：
(1)证明略；(2)解：由(1)知BC与00相切，设BC与00切于点E，连接OD.OE，∵ D、E为切点，∴OD⊥AC,OE⊥BC,OD=OE,SABC=SAOC+ SBOC = ∴AC·BC= AC·OD+BC·OE ∵AC+BC=8 , AC=2,∴BC=6,∴×2×6=×2×OD+×6×OE,而OD=OE．∴OD=，即⊙O的半径为． 8. （2011湖北武汉调考一模） 如图， △ABC中AB=AC，D是BC边的中点，以点D为圆心的圆与AB相切于点E求证：AC与⊙D相切． 答案：证明：作DF ⊥AC于F，连接AD、DE. ∵AB是⊙0的切线,∴ DE⊥ AB∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD平分∠BAC又DE ⊥AB.DF⊥AC,AD=AD,∴ADE≌ADF
∴DF=DE,∴AC是⊙D的切线．9. （浙江杭州金山学校2011模拟）(6分) （根据2011年3月杭州市九年级数学月考试题第21题改编） 如图,已知在等腰△ABC中,∠A=∠B=30°,过点C作CD⊥AC交AB于点D. (1)尺规作图：过A，D，C三点作⊙O（只要求作出图形，保留痕迹，不要求写作法）； (2)求证：BC是过A，D，C三点的圆的切线； 答案：解：（1）作出圆心O，
.....................2分以点O为圆心，OA长为半径作圆.............1分（2）证明：∵CD⊥AC,∴∠ACD=90°. ∴AD是⊙O的直径...............1分 连结OC，∵∠A=∠B=30°, ∴∠ACB=120°,又∵OA=OC, ∴∠ACO=∠A =30°,............1分∴∠BCO=∠ACB-∠ACO =120°-30°=90°. ∴BC⊥OC, ∴BC是⊙O的切线. ...................................................1分10. （河南新乡2011模拟）（ 10分）如图，⊙O的直径AB=4，C为圆周上一点，AC=2，过点C作⊙O的切线l，过点B作l的垂线BD，垂足为D，BD与⊙O交于点 E．(1) 求∠AEC的度数；（2）求证：四边形OBEC是菱形．21世纪教育网答案：(10分)（1）解：在△AOC中，AC=2，∵ AO＝OC＝2，∴ △AOC是等边三角形．.........2分∴ ∠AOC＝60°， [来源:21世纪教育网]∴∠AEC＝30°．.....................4分（2）证明：∵OC⊥l，BD⊥l．∴ OC∥BD． ........................5分∴ ∠ABD＝∠AOC＝60°．∵ AB为⊙O的直径，∴ △AEB为直角三角形，∠EAB＝30°．
...............7分∴∠EAB＝∠AEC．∴ 四边形OBEC 为平行四边形．
....................................９分又∵ OB＝OC＝2．∴ 四边形OBEC是菱形．
.................................10分11、（2011年黄冈市浠水县）（本题满分8分）如图，直线EF交⊙O于A、B两点，AC是⊙O直径，DE是⊙O的切线，且DE⊥EF，垂足为E． （1）求证：AD平分∠CAE； （2）若DE＝4cm，AE＝2cm，求⊙O的半径．答案：（1）证明：连接OD， ∵OD＝OA
∴∠ODA＝∠OAD
............ 1分∵DE是⊙O的切线
∴∠ODE＝90° OD⊥DE
........................... 2分又∵DE⊥EF
.............................. 3分∴∠ODA＝∠DAE
∴∠DAE＝∠OAD
∴AD平分∠CAE. ..................... 5分(2)解：连接CD
∵AC是⊙O直径
∴∠ADC＝90°..................... 6分由（1）知：∠DAE＝∠OAD
∠AED＝∠ADC∴△ADC∽△AED
..................... 7分在Rt△ADE中，DE＝4
..................... 8分∴
..................... 9分∴ ⊙O的半径是5.
..................... 10分12、（北京四中2011中考模拟13）如图2，PA切⊙O于点A，PBC交⊙O于点B、C，若PB、PC的长是关于x的方程的两根，且BC=4，求:（1）m的值；（2）PA的长；答案：．解：由题意知：（1）PB+PC=8，BC=PC－PB=2 ∴PB=2，PC=6 ∴PB·PC=(m+2)=12 ∴m=10 （2）∴PA2=PB·PC=12 ∴PA=13、（2011年黄冈浠水模拟1）如图，点在上，，与相交于点，，延长到点，使，连结．求证：直线与相切．答案：连结．，．．所以是等腰三角形顶角的平分线．．在和中，，，．又，． ∴．．由知，．直线与相切．14、（2011年黄冈浠水模拟2）如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，AC平分∠DAB． (1)求证：AD⊥CD； (2)若AD=2，AC=，求AB的长．答案：(1)证明：连结BC． ..............................1分 ∵直线CD与⊙O相切于点C， ∴∠DCA=∠B．
............ 2分 ∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠CAB．∴∠ADC=∠ACB．......3分 ∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°．∴∠ADC=90°，即AD⊥CD．............5分(2)解：∵∠DCA=∠B，∠DAC=∠CAB，∴△ADC∽△ACB．...............6分 ∴∴AC2=AD·AB.∵AD=2，AC=,∴AB=..........9分.15.（2011年广东省澄海实验学校模拟）如图21，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M，过点B做BE∥CD，交AC的延长线于点E，连结AD。（1）求证：BE为⊙O的切线；（2）如果CD=8，，求⊙O的直径。解：（1）证明：∵BE∥CD，CD⊥AB ∴BE⊥AB..........................................(2分) ∵AB为⊙O的直径 ∴BE为⊙O的切线；...........................(3分)（2）解：连接BC，∵AB为⊙O的直径，CD⊥AB ,CD=8∴DM=CM=0.5CD=4.......................................(4分)∵∴AM=2DM=8................................................(5分)∵∠BCM=∠BAD, ∠CMB=∠AMD=90°∴△BCM∽△DAM ..........................................(6分) ∴..........................................(7分) ∴MB=0.5MC=2................................................(8分) ∴⊙O的直径:AB=AM+MB=8+2=10...........................(9分)16. （2011湖北省崇阳县城关中学模拟） (本小题满分6分)如图， CD切⊙O于点D，连结OC， 交⊙O于点B，过点B作弦AB⊥OD，点E为垂足，已知⊙O的半径为10，sin∠COD=.求：（1）弦AB的长； （2）CD的长；解：(1) (2)∵CD切⊙O于D，∴∴,不妨设，则∴∴17．（2011年杭州市上城区一模）（本小题满分6分） AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连结AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E.（1）求证：AB=AC；
（2）求证：DE为⊙O的切线.答案：(1)证明:连接AD， ∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90° ，又∵BD=CD， ∴AD是BC的垂直平分线，∴AB=AC(2)连接OD ，∵点O、D分别是AB、BC的中点， ∴OD∥AC又DE⊥AC ，∴OD⊥DE
∴DE为⊙O的切线.18．（2011年海宁市盐官片一模）如图，AB是(O的直径，点C在BA的延长线上，直线CD与(O相切于点D，弦DF?AB于点E，线段CD=10，连接BD；（1） 求证：?CDE=?DOC＝2?B；（2） 若BD：AB=：2，求(O的半径及DF的长。答案：⑴证明：∵CD切⊙O
∴OD⊥CD又∵DF⊥AD
∴∠CDE=∠DOC∵OD=OB
∴ ∠B=∠OBD
∠COD=∠B+∠OBD21世纪教育网∴∠CDE=∠COD=2∠B⑵连AD,设BD=R,则AB=2k[来源:21世纪教育网]∵AB为直径，∴∠ADB=90°∴AD=∴AB=2AD, ∠B=30°∠COD=60°，∠C=30°∴BD=CD=10
，DE=5直径AB⊥DF ∴DF=2DE=10BD=k=10，∴k=，∴AB=，∴半径为圆一、选择题1.（2010年 湖里区 二次适应性考试）已知半径分别为5 cm和8 cm的两圆相交，则它们的圆心距可能是（
D．15 cm答案：C2.（2010年教育联合体）如图，已知AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点于D，DE⊥AC于E，连接AD，则下列结论正确的个数是（
） ①AD⊥BC，②∠EDA＝∠B，③OA＝AC，④DE是⊙O的切线． A．1个
D．4个答案：D3.（2010安徽省模拟）如图，AB是⊙O的直径，点D、E是圆的三等分点，AE、BD的延长线交于点C，若CE=2,则⊙O中阴影部分的面积是（
D．答案：A4.（2010年重庆市綦江中学模拟1）.在直角坐标系中，⊙A、⊙B的位置如图所示.下列四个点中，在⊙A外部且在⊙B内部的是（
） A.（1，2）
D.(3,1)答案C5.(2010年聊城冠县实验中学二模)如下图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为（
） A．2cm
D．cm答案C6.（2010年广州市中考六模）、如果圆锥的母线长为6cm，底面圆半径为3cm，则这个圆锥的侧面积为（
D.答案：B7.（2010年广州市中考六模）如图，已知⊙O的弦AB、CD相交于点E，的度数为60°，的度数为100°，则∠AEC等于（
D. 130°答案：C8.（2010年广西桂林适应训练）如图，圆弧形桥拱的跨度AB＝12米，拱高CD＝4米，则拱桥的半径为（ ）． A.6.5米 B.9米 C.13米 D.15米答案：A9.（2010年广西桂林适应训练）如图，BD是⊙O的直径，∠CBD=，则∠A的度数为（
）．[来 A.30
D.75答案：C10.（2010山东新泰）已知⊙O1的半径为5cm，⊙O2的半径为3cm，圆心距O1O2＝2，那么⊙O1与⊙O2的位置关系是（
）A．相离
B．外切
C．相交
D．内切答案：D11.（2010年济宁师专附中一模）如图，为⊙的四等分点，动点从圆心出发，沿路线作匀速运动，设运动时间为（s）．，则下列图象中表示与之间函数关系最恰当的是（
）答案：C12.（2010年武汉市中考拟）已知：如图，以定线段AB为直径作半圆O，P为半圆上任意一点（异于A、B），过点P作半圆O的切线分别交过A、B两点的切线于D、C，AC、BD相交于N点，连结ON、NP.下列结论：① 四边形ANPD是梯形；② ON=NP；③ DP·PC为定植；④ PA为∠NPD的平分线.其中一定成立的是A.①②③
D.①④答案：B13.（2010 年河南模拟）如图，圆心为A、B、C的三个圆彼此相切，且均与直线l相切，若⊙A、⊙B、⊙C的半径分别为a,b,c,(0＜c＜a＜b),则a、b、c一定满足的关系式为（
）A.2b=a+cB.C.D.答案：D14.（2010年湖南模拟）⊙O1和⊙O2半径分别为4和5,O1O2=7,则⊙O1和⊙O2的位置关系是(
D.内含答案：B15.（2010年湖南模拟）圆锥的母线长为3,底圆半径为1,则圆锥的侧面积为(
D.2答案：A16.(2010年厦门湖里模拟)如图，正三角形ABC内接于⊙Ｏ，动点Ｐ在圆周的劣弧AB上，且不与A、B重合，则∠BPC等于A．
D．答案：B17.（2010年西湖区月考）如图，一种圆管的横截面是同心圆的圆环面，大圆的弦AB切小圆于点C，大圆弦AD交小圆于点E和F．为了计算截面(图中阴影部分)的面积，甲、乙、丙三位同学分别用刻度尺测量出有关线段的长度．甲测得AB的长，乙测得AC的长，丙测得AD的长和EF的长．其中可以算出截面面积的同学是(
) A．甲、乙
B．丙 C．甲、乙、丙
D．无人能算出 答案：C18.（2010年西湖区月考）四个半径为的圆如图放置，相邻两个圆交点之间的距离也为，不相邻两个圆的圆周上两点间的最短距离等于2，则的值是(
D．答案：A19.（2010年铁岭加速度辅导学校）如图（3），已知AB是半圆O的直径，∠BAC=32o，D是弧AC的中点，那么∠DAC的度数是（
） A.25o
D.32°答案：B20.（2010年天水模拟）已知两圆的半径分别为3和4，圆心距为8，那么这两个圆的位置关系是（
） A.内切
D.外切答案：C二、填空题1.（2010年河南模拟）圆内接四边形ABCD的内角∠A:∠B:∠C=2：3：4，则∠D＝____° 答案：902.（2010年 河南模拟）如图，已知⊙O的半径为R，AB是⊙O的直径，D是AB延长线上一点，DC是⊙O的切C是切点，连接AC,若∠CAB=300，则BD的长为答案：R；3.（2010年 河南模拟）如图，是一张电脑光盘的表面，两个圆心都是O,大圆的弦AB所在的直线是小圆的切线，切点为C，已知大圆的半径为5cm，小圆的半径为1cm，则弦AB的长是多少？答案：4.（2010年广东省中考拟）如图2，AB是⊙O的直径，∠COB=70°，则∠A=_____度． 答案.35.5.（2010年武汉市中考拟）如图，点在轴上，交轴于两点，连结并延长交于，过点的直线交轴于，且的半径为，．若函数（x<0）的图象过C点，则k=___________．答案：-46.（2010年铁岭加速度辅导学校）如图，在矩形空地上铺4块扇形草地．若扇形的半径均为米，圆心角均为，则铺上的草地共有
平方米．答案：7.（2010年浙江永嘉）如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，点C在⊙O上，如果∠P=50°，那么∠ACB等于____
．13、65°；8.（2010年广州市中考六模）、如图：AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB＝10， CD＝8，那么AE的长为
.答案：3.759.（2010年广州市中考七模）、如右图，直角三角形ABC中，∠C=90°，∠A=30°，点0在斜边AB上，半径为2的⊙O过点B，切AC边于点D，交BC边于点E，则由线段CD，CE及弧DE围成的隐影部分的面积为答案：10.（2010年广州市中考六模）、如果点P在坐标轴上，以点P为圆心，为半径的圆与直线：相切，则点P的坐标是答案：（0,0）或（6,0）三、解答题1.（2010年 河南模拟）如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径的半圆O，与斜边AC交于D，E是BC边上的中点，连结DE.(1) DE与半圆O相切吗？若相切，请给出证明；若不相切，请说明理由；(2) 若AD、AB的长是方程x2－10x+24=0的两个根，求直角边BC的长. 解：（1）DE与半圆O相切.证明： 连结OD、BD
∵AB是半圆O的直径∴∠BDA=∠BDC=90° ∵在Rt△BDC中,E是BC边上的中点 ∴DE=BE∴∠EBD＝∠BDE ∵OB=OD∴∠OBD=∠ODB 又∵∠ABC＝∠OBD+∠EBD＝90° ∴∠ODB+∠EBD=90°∴DE与半圆O相切.（2）解：∵在Rt△ABC中，BD⊥AC∴ Rt△ABD∽Rt△ABC
即AB2=AD·AC∴ AC=∵ AD、AB的长是方程x2－10x+24=0的两个根∴ 解方程x2－10x+24=0得： x1=4
x2=6∵ AD<AB
AB=6 ∴ AC=9在Rt△ABC中，AB=6 AC=9∴ BC===32.（2010年湖南模拟）如图4,平行四边形ABCD中,以A为圆心,AB为半径的圆分别交AD、BC于F、G,延长BA交圆于E.求证:EF=FG.证明:连结AG.∵A为圆心,∴AB=AG.∴∠ABG=∠AGB.∵四边形ABCD为平行四边形.∴AD∥BC.∠AGB=∠DAG,∠EAD=∠ABG.∴∠DAG=∠EAD.∴.3.（2010年湖南模拟）如图 ,以△ACF的边AC为弦的圆交AF、CF于点B、E,连结BC,且满足AC2=CE·CF.求证:△ABC为等腰三角形.证明:连结AE.∵AC2=CE·CF,∴又∵∠ACE=∠FCA.∴△ACE∽△FCA.∴∠AEC=∠FAC. ∵.∴AC=BC,∴△ABC为等腰三角形.4.（2010年 中考模拟2）如图，有一个圆O和两个正六边形， .的6个顶点都在圆周上，的6条边都和圆O相切（我们称，分别为圆O的内接正六边形和外切正六边形） .（1）设，的边长分别为，，圆O的半径为，求及的值；（2）求正六边形，的面积比的值 .答案：（1）连接圆心O和T的6个顶点可得6个全等的正三角形 .所以r∶a=1∶1;连接圆心O和T相邻的两个顶点，得以圆O半径为高的正三角形，所以r∶b=∶2;（2） T∶T的连长比是∶2，所以S∶S=5.（2010年 中考模拟2）如图是一个几何体的三视图 .（1）写出这个几何体的名称；（2）根据所示数据计算这个几何体的表面积；（3）如果一只蚂蚁要从这个几何体中的点B出发，沿表面爬到AC的中点D，请你求出这个线路的最短路程 .答案：（1） 圆锥；（2） 表面积S=（平方厘米）（3） 如图将圆锥侧面展开，线段BD为所求的最短路程 .由条件得，∠BAB′=120°，C为弧BB′中点，所以BD= .6.（2010年长沙市中考模拟）在中，，是边上一点，以为直径的与边相切于点，连结并延长，与的延长线交于点．（1）求证：；（2）若，求的面积．答案：1）证明：连结。切于，， 又即，， 。又，， ， 。（2）设半径为，由得． ，即，，解之得（舍）。。7.（2010年 湖里区 二次适应性考试）已知：如图，△ABC的中，AB=AC，点B、C都在⊙O上，AB、AC交⊙O于D、E两点，求证：答案：证明：∵AB=AC∴∠B＝∠C∴∵∴8.（2010年 湖里区 二次适应性考试）如图，线段AB与⊙O相切于点C，连结OA，OB， OB交⊙O于点D，已知，．（1）求⊙O的半径；（2）求图中阴影部分的面积． 答案：（1）连结OC，∵AB与⊙O相切于点C ∴． ∵， ∴．在中，．∴ ⊙O的半径为3．（2）在中∵ OC=, ∴ ∠B=30o, ∠COD=60o． ∴扇形OCD的面积为==π． 阴影部分的面积为 =－=－．9.（2010年 湖里区 二次适应性考试）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径， AE⊥CD于点E，DA平分∠BDE。（1）求证：AE是⊙O的切线。（2）若∠DBC=30°，DE=1 cm，求BD的长。 答案：（1）证明：连结OA∵AD平分∠BDE∴∠ADE＝∠ADO∵OA=OD∴∠OAD＝∠ADO∴∠ADE＝∠OAD∴OA∥CE∵AE⊥CD∴AE⊥OA∴AE是⊙O的切线（2）∵BD是⊙O的直径 ∴∠BCD＝90° ∵∠DBC=30° ∴∠BDE＝120° ∵AD平分∠BDE ∴∠ADE＝∠ADO=60° ∵OA=OD[来源:] ∴△OAD是等边三角形 ∴AD=OD=BD 在Rt△AED中，DE=1，∠ADE=60° ∴AD= = 2 ∴BD=410.（2010年 湖里区 二次适应性考试）已知：如图，直径为的与轴交于点O、A，点把弧OA分为三等分，连结并延长交轴于D（0，3）.（1）求证：；（2）若直线：把的 面积分为二等分，求证： 答案：证明：（1）连接，∵OA是直径，且把弧OA三等分，∴，又∵，∴，又∵OA为直径，∴，∴，， ∴，， 在和中， ∴（ASA）（2）若直线把的面积分为二等份， 则直线必过圆心， ∵，， ∴在Rt中， ， ∴， 把 代入得： ．11.（2010年北京市朝阳区模拟）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．的三个顶点、、都在格点上．（1）画出绕点逆时针旋转后得到的三角形；（2）求在上述旋转过程中所扫过的面积．解：（1）画图正确（如图）．（2）所扫过的面积是：．12.(2010年聊城冠县实验中学二模) 如下图所示，以Rt△ABC的直角边AB为直径作圆O，与斜边交于点D，E为BC边上的中点，连接DE。 （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）连接OE，AE，当∠CAB为何值时，四边形AOED是平行四边形？ 解（1）连接OD与BD．∵△BDC是Rt△，且E为BC中点∴∠EDB＝∠EBD又∵OD＝OB且∠EBD+∠DBO＝90°∴∠EDB＋∠ODB＝90°∴DE是⊙O的切线 （2）∵∠EDO＝∠B＝90°，若要AOED是平行四边形，则DE∥AB，D为AC中点又∵BD⊥AC∴△ABC为等腰直角三角形 ∴∠CAB＝45°13.（2010年广西桂林适应训练）、以RtΔABC的直角边AB为直径作圆O，与斜边交于点D,E为BC边上的中点，连接DE.（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）连接OE、AE，当∠CAB为何值时，四边形AOED是平行四边形？并在此条件下求 sin∠CAE的值.答案：（1）连接OD、BD∵ΔBDC是RtΔ, 且E为BC中点。∴∠EDB=∠EBD.又∵OD=OB
且∠EBD+∠DBO=90°∴∠EDB+∠ODB=90°∴DE是⊙O的切线； （2）∵∠EDO=∠B=90°,若要AOED是平行四边形，则DE∥AB,D为AC中点。又∵BD⊥AC,∴ΔABC为等腰直角三角形。∴∠CAB=45°.过E作EH⊥AC于H.设BC=2k，则EH=∴sin∠CAE=14.（2010年山东新泰）在某张航海图上，标明了三个观测点的坐标为O（0，0）、B（12，0）、C（12，16），由三个观测点确定的圆形区域是海洋生物保护区，如图所示．（1）求圆形区域的面积（取3.14）；（2）某时刻海面上出现一渔船A，在观测点O测得A位于北偏东45°方向上，同时在观测点B测得A位于北偏东30°方向上，求观测点B到渔船A的距离（结果保留三个有效数字）；（3）当渔船A由（2）中的位置向正西方向航行时，是否会进入海洋生物保护区？请通过计算解释．（1）314；（2）16.4；（3）28.4>18，所以渔船A不会进入海洋生物保护区．15.（2010年浙江杭州）已知：如图，AB是⊙O的直径，点C、D为圆上两点，且弧CB＝弧CD，CF⊥AB于点F，CE⊥AD的延长线于点E．（1）试说明：DE＝BF；（2）若∠DAB＝60°，AB＝6，求△ACD的面积．（1）∵ 弧CB=弧CD ∴ CB=CD，∠CAE=∠CAB 又∵ CF⊥AB，CE⊥AD ∴ CE=CF ∴ △CED≌△CFB ∴ DE=BF（2）易得：△CAE≌△CAF 易求： ∴16.（2010年江西南昌一模）如图，在平面直角坐标系中，，直线OA与轴的夹角为，以P为圆心， 为半径作⊙P,与交于点.(1) 当r为何值时，△为等边三角形？(2) 当⊙P与直线相切时,求的值.答案：（1）作于M.∵是等边三角形,∴∵∴∴∴(2)连结∵与直线相切,∴⊙P的半径为4+2=6.∴则∵∴17.(2010年厦门湖里模拟) 如图，已知在⊙O中，AB=4，AC是⊙O的直径，AC⊥BD于F，∠A=30°.（1）求图中阴影部分的面积；（2）若用阴影扇形OBD围成一个圆锥侧面，请求出这个圆锥的底面圆的半径.答案：（1）∵∠A=30°
AC⊥BD ∴BF=
∠BOC=∠COD=60°
OB=2OF ∴OF=2，OB=4 S阴= （2）根据题意得:
∴=18.(2010年厦门湖里模拟)如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，P是△OAC的重心，且OP＝，∠A＝30o． (1)求劣弧\s\up5(⌒(⌒)的长； (2)若∠ABD＝120o，BD＝1，求证：CD是⊙O的切线．答案：.(1)解：延长OP交AC于E，∵ P是△OAC的重心，OP＝，∴ OE＝1，且 E是AC的中点.∵ OA＝OC，∴ OE⊥AC.在Rt△OAE中，∵ ∠A＝30°，OE＝1，∴ OA＝2.∴
∠AOE＝60°.∴ ∠AOC＝120°.∴
︵AC＝π.(2)证明：连结BC.∵ E、O分别是线段AC、AB的中点，∴ BC∥OE，且BC＝2OE＝2＝OB＝OC.∴ △OBC是等边三角形.法1：∴ ∠OBC＝60°.∵ ∠OBD＝120°，∴ ∠CBD＝60°＝∠AOE.∵
BD＝1＝OE，BC＝OA，∴ △OAE ≌△BCD.∴ ∠BCD＝30°.∵ ∠OCB＝60°，∴ ∠OCD＝90°.∴ CD是⊙O的切线.法2：过B作BF∥DC交CO于F.∵ ∠BOC＝60°，∠ABD＝120°,∴ OC∥BD.∴ 四边形BDCF是平行四边形.∴ CF＝BD＝1.∵ OC＝2，∴ F是OC的中点.∴ BF⊥OC.∴ CD⊥OC.
[来源:ZXXK]∴ CD是⊙O的切线.19.（2010年天水模拟）如图，AB是⊙O是直径，过A作⊙O的切线，在切线上截取AC=AB，连结OC交⊙O于D，连结BD并延长交AC于E，⊙F是△ADE的外接圆，⊙F在AE上.求证：（1）CD是⊙F的切线；（2）CD=AE.证明：（1）连接DF∵CA 切⊙O于A，∴∠CAB=90°又∵∠OAD=∠ODA
∠FAD=∠FDA∴∠OAC=∠ODF=90°∴∠FDC=90∴CD是⊙F的切线（2）FDC=DAC=90∠C=∠C∴△CDF∽△CAO又∵AC=AB∴==又∵DF=FE
AE=2DF∴AE=CD20．（2010年广州中考数学模拟试题一）如图①②，图①是一个小朋友玩"滚铁环"的游戏，铁环是圆形的，铁环向前滚动时，铁环钩保持与铁环相切.将这个游戏抽象为数学问题，如图②.已知铁环的半径为5个单位（每个单位为5cm），设铁环中心为O，铁环钩与铁环相切点为M，铁环与地面接触点为A，∠MOA＝α，且sinα＝. （1）求点M离地面AC的高度BM（单位：厘米）； （2）设人站立点C与点A的水平距离AC 等于11个单位，求铁环钩MF的长度（单位：厘米）.答案：过M作AC平行的直线，与OA，FC分别相交于H，N.（1）在Rt△OHM中，∠OHM＝90°，OM＝5，HM＝OM×sinα＝3，所以OH＝4，MB＝HA＝5－4＝1（单位），1×5＝5（cm），所以铁环钩离地面的高度为5cm.（2）因为∠MOH+∠OMH＝∠OMH+∠FMN＝90°，∠FMN＝∠MOH＝α，所以＝sinα＝，即得FN＝FM，在Rt△FMN中，∠FNM＝90°，MN＝BC＝AC－AB＝11－3＝8（单位），由勾股定理FM2＝FN2+MN2，即FM2＝(FM)2+82，解得FM＝10（单位），10×5＝50（cm），所以铁环钩的长度FM为50cm.单元测试一、基础过关训练1．若⊙O与⊙B相切，它们的半径分别为8cm和2cm，则圆心距AB为（
） A．10cm
B．6cm C．10cm或6cm
D．以上答案均不对2．两圆的半径分别为7和1，圆心距为10，则其内公切线长和外公切线长分别为（
D．8，63．如图所示，△ABC外切⊙O于点D，E，F，若∠EOF=120°，∠DEF=70°，则∠C=______．4．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，点D为⊙O上的一点，且AD∥OC．求证：AD．BC=OB．BD． 5．如图，已知AB为⊙O的直径，直线BC与⊙O相切于点B，过A作AD∥OC交⊙O于点D，连结CD．（1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若AD=2，直径AB=6，求线段BC的长． 二、能力提升训练6．如图，在等边△ABC中，AD⊥BC于点D，一个直径与AD相等的圆与BC相切于点E，
与AB相切于点F，连结EF．（1）判断EF与AC的位置关系（不必说明理由）；（2）过点E作BC的垂线，交圆于点G，连结AG，判断四边形ADEG的形状，并说明理由； （3）求证：AC与GE的交点O为此圆的圆心． 7．已知∠MAN=30°，O为边AN上一点，以O为圆心，2为半径作⊙O，交AN于D，E两点，设AD=x．（1）如图1，当x取何值时，⊙O与AM相切？ （2）如图2，当x取何值时，⊙O与AM相交于B，C两点，且∠BOC=90°？
图2 8．如图，O为正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心，OA的长为半径的⊙O与BC相切于点M，与AB，AD分别相交于点E，F．（1）求证：CD与⊙O相切；（2）若正方形ABCD的边长为1，求⊙O的半径；（3）对于以点M，E，A，F以及CD与⊙O的切点N为顶点的五边形的五条边，从相等关系考虑，你可以得出什么结论？请你给出证明．参考答案中考热身1．B
3．1或74．（1）解：∵∠ABC=30°，∴∠BAC=60°．又∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC=60°．又∵CD是切线，∴∠OCD=90°，∴∠DCE=180°－60°－90°=30°．而ED⊥AB于点F，∴∠DEC=90°－∠BAC=30°．故△CDE为等腰三角形．（2）证明：在△ABC中，∵AB=2，AC=AO=1，∴BC==．又∵OF=，∴AF=AO+OF=．又∵∠AEF=30°，∴AE=2AF=+1．∴CE=AE－AC==BC．而∠OCB=∠ACB－∠ACO=90°－60°=30°=∠ABC，∴△CDE≌△COB．5．（1）当0≤t≤5.5时，函数表达式为d=11－2t；当t>5.5时，函数表达式为d=2t－11．（2）两圆相切可分为如下四种情况：①当两圆第一次外切，由题意，可得11－2t=1+1+t，t=3；②当两圆第一次内切，由题意，可得11－2t=1+t－1，t=．③当两圆第二次内切，由题意，可得2t－11=1+t－1，t=11；④当两圆第二次外切，由题意，可得2t－11=1+t+1，t=13．所以，点A出发后3秒，秒，11秒或13秒时，两圆相切．迎考精练基础过关训练1．C
3．80°4．证明：∵CB切⊙O于点B，∴∠CBO=90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠CBA=∠ADB．又∵AD∥OC，∴∠COB=∠BAD，∴△COB∽△BAD，∴，∴AD·BC=OB·BD．5．（1）证明：连结OD．∵OD=OA，∴∠OAD=∠ODA．∵AD∥OC，∴∠OAD=∠COB，∠ODA=∠DOC，∴∠DOC=∠OBC．又∵OD=OB，OC=OC，∴△COD≌△COB，∴∠ODC=∠OBC．∵CB切⊙O于B，∴∠OBC=90°．∴∠ODC=90°，∴CD是⊙O的切线．（2）解：连结BD．∵AB是直径，∴∠ADB=∠CBD=90°．又∠DAB=∠COB，∴△ADB∽△OBC，∴．在Rt△ADB中，BD==4．∴，∴BC=6．能力提升训练6．（1）EF∥BC．（2）四边形ADEG为矩形．理由：∵EG⊥BC，E为切点，∴EG为直径，∴EG=AD．又∵AD⊥BC，EG⊥BC，∴AD∥EG，∠ADE=∠DEG=90°，∴四边形ADEG为矩形．（3）连结FG，由（2）可知，EG为直径，∴FG⊥EF．又由（1）可知，EF∥AC，∴AC⊥FG．又∵四边形ADEG为矩形，∴EG⊥AC，则AG是已知圆的切线．又AB也是已知圆的切线，∴AF=AG，∴AC是FG的垂直平分线，故AC必过圆心．∴AC与GE的交点为此圆的圆心．点拨：也可根据△AGO≌△AFO进行说理证明．7．解：（1）如图1，设AM与⊙O相切于点C，连结OC，则OC=2，又∠A=30°，∴AO=2OC=4，∴AD=AO－OD=4－2=2． 即x=2时，⊙O与AM相切． （2）如图2，过O作OF⊥BC于点F．∵OB=OC=2，∠BOC=90°，∴OF=．又∵∠A=30°，∴OA=2OF=2．∴AD=OA－OD=2－2．即x=2－2时，⊙O与AM相交于B，C两点，且∠BOC=90°．8．（1）证明：连结OM，作ON⊥CD于点N．∵⊙O与BC相切，∴OM⊥BC．∵四边形ABCD是正方形，∴AC平分∠BCD，∴OM=ON，∴CD与⊙O相切．（2）解：∵四边形ABCD是正方形．∴AD=CD=1，∠D=90°，∠ACD=45°，∴AC=，∠NOC=45°=∠ACD，∴NC=ON=OA，∴OC==ON=OA，∵AC=AO+OC=，∴AO+AO=，∴AO=2－．（3）AE=AF，ME=FN．证明：作OG⊥AD，OH⊥AB．∵AC平分∠BAD，∴OG=OH，∴AE=AF．∵AD=AB，∴DF=BE．∵CD，CB与⊙O相切，∴CM=CN．∵BC=DC，∴BM=DN．又∠B=∠D=90°，∴△EBM≌△FDN，∴EM=FN．
