数学猜想------ 希尔伯特的23个问题
巴黎圣母院的钟声迎来了20世纪。1900年，人们都吧眼光放在未来：无产阶级正在组织沸腾的革命，科学家憧憬着惊人的突破，艺术家在追逐时代的潮流&&。这一年的8月6日，第二届国际数学家代表会议在巴黎召开。年方38岁的德国数学家大卫&希尔伯特走上讲台，第一句话就问道：&揭开隐藏在未来之中的面纱，探索未来世纪的发展前景，谁不高兴呢？&接着，他向到会者，也向国际数学界提出了23个数学问题，这就是著名的希尔伯特演说。这一演说，成为世界数学史的重要里程碑，为20世纪的数学发展揭开了光辉的第一页！
科学发展的每一个时代都有自己的问题。希尔伯特站在当时数学研究的最前沿，高瞻远瞩地用23个数学问题，预示20世纪数学发展的进程。现在，时光已过去80多年。这23个问题约有一半已获得解决，有一些取得了很大进展，有些则收效甚微。80年来，人们把解决希尔伯特问题，哪怕是其中一部分，都看成至高无上的荣誉。据统计，从年，被育为数学界诺贝尔奖的菲尔兹（Fields）国际数学奖的20名获奖人中，至少有12人的工作与希尔伯特问题有关。1976年，美国数学会组织评论1940年以来的美国十大数学成就，就有3项是希尔伯特问题的（1）、（5）、（10）等3个问题的解决。重要的问题历来是推动科学前进的杠杆之一，但一位科学家如此自觉、如此集中地提出一整批问题，并且如此持久地影响一门学科的发展，在科学史上确是罕见的。
希尔伯特，1862年生于德国德哥尼斯堡（现为苏联的加里宁格勒）。1884年获哥尼斯堡大学博士学位。1895年担任著名的哥廷根大学教授，直到1943年去世。他最初的研究领域是代数不变量和代数数论。1900年前后致力于数学基础──元数学。后来又转到分析方面，在积分方程、变分法、泛函分析、理论物理等许多领域作出了杰出的贡献。
希尔伯特为发表1900年的重要演说，曾作过仔细的准备。1899年，第二届国际数学家会议的筹备机构邀请希尔伯特在会上作主要发言。希尔伯特接受了邀请，并计划在这世纪交替之际作一个相称的发言。当时他有两个想法：或者作一个为纯粹数学辩护的讲演，或者讨论一下新世纪数学发展的方向。为此，他写信与他的好友，杰出的数学家闵可夫斯基进行商量。闵可夫斯基于日回信说：&最有吸引力的题材莫过于展望未来，列出在新世纪里数学家应当努力解决的问题。这样一个题材，将会使你的讲演在今后几十年的时间里成为人们议论的话题。&当然，闵可夫斯基也指出了做这类预见性发言会遇到的困难。
经过一番斟酌，希尔伯特决意选择第二个想法，提出一批急需解决的重大数学问题。希尔伯特曾指出，历史上通过提出问题会导致整门新科学的诞生。他举了三个典型例子。第一，贝努利（Bernoulli）的最速降落线问题是现代数学分支──变分法的起源。第二，费尔马（Fermat）问题，它看上去&非常特殊，似乎不十分重要&，却大大推动了代数数论的进展，现代代数数论中的核心概念&理想数&正是为了解决费尔马问题而提出的。第三，三体问题，它对现代天体力学起了关键作用。这三个问题，既有纯粹从数学本身提出的，也有从基本自然现象提出的。希尔伯特提出的问题后来也确实形成了许多新的数学分支，达到了预期的目的。
对希尔伯特来说，在国际数学家会议上报告自己的成果，远比提出新问题要容易得多，当时，希尔伯特正当科学创造活动的盛年，业已作出了许多世所公认得成绩。人们本来以为他会拿出优异的数学论文来回答国际数学界，却没有想到他竟会选择如此困难的题目来作讲演。希尔伯特接受任务以后，一直作着仔细的准备，直到6月份，他的讲演稿还没有写出来。预定8月在巴黎举行国际
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品评校花校草，体验校园广场《最强大脑》上周玮的3道数学题，应该怎么算？ | 科学人 | 果壳网 科技有意思
《最强大脑》上周玮的3道数学题，应该怎么算？
周玮是被骗子利用的吗？被方舟子质疑的周玮，真是靠记忆速算的吗？
正常人如何徒手开平方？周玮在《最强大脑》上的3道数学题到底有多难？
周玮在《最强大脑》上的3道数学题到底有多难？普通人有没有可能不借助任何工具来计算呢？本文想说明的是，其实普通人借助已经得到公认的数学方法和自己的努力，也可以完成很复杂的计算。
本文作者:antares
周玮在《最强大脑》上速算的3道数学题，换成是你这样的普通人，要怎么算才能更快一点呢？图片来源：《最强大脑》
被诊断为学者症候群的周玮，在《最强大脑》上速算了3道复杂的数学题，一时间成为焦点。有人惊叹，有人怀疑，感兴趣和看热闹的人们都想瞧瞧这里面的究竟。周玮到底是用什么方法算出结果的？是靠死记硬背还是靠独特的大脑？这个问题，恐怕只有他本人才能够确定了。（心理学家和脑科学家对他的解析，参见《》）
本文想说明的是，普通人没有功能非同一般的大脑，不能自创别人看不懂的数学方法，其实也可以借助已经得到公认的数学方法和自己的努力，完成很复杂的计算。（编辑注：本文包含大量指数格式，在手机客户端无法正常显示，请多多见谅。）
周玮速算的3道题。
最简单的题最需要心算能力
首先我们来看第一道题：
这道题看起来最简单，但恰恰是3道题中最需要心算能力的。乘方的速算可以有很多不同的方法，最笨蛋的就是直接心算。
直接心算这个方法很笨拙，先计算 62得到36，再计算 63 = 36×6 = 216，接着计算 64 = 216×6 = 1296，以此类推，直到计算出613为止。虽然笨，却直观。它更适合位数较少的幂计算，并且在幂底为个位数的时候，不断心算乘法对记忆存储数据要求较小。当幂底超过个位数时，这个方法就不太合适了。
因此，我们来介绍一个简单易上手的计算方法。
首先第一步，把 613 拆开计算
613 = ( (63)2)2×6
63是个口算级别的题，对数字敏感的人可以脱口而出216。于是题目接下来变为
(2162)2×6 =？
计算 2162 比计算 63 要稍微难一些，但也还算简单，利用 (a+b)2 =a2+2ab+b2 可以把这个计算简化。
2162 = (200+16)×(200+16) = ×2+256 = 46656
接下来是最困难的一步，是计算 466562，进入五位数乘法的范畴，如果完全不靠纸笔记录，那需要你具有一定的数字记忆与存储能力。
首先还是利用公式进行拆分，拆分的原则是拆分出的有效位数尽可能接近，比如把 46656 拆分成 4×104+6656 就不太合适，更好的拆分方式是 46×102+656。这样在之后的计算中会略微容易一些。
466562 = ()×() = 462××46×2×2
这步也很直接，这里分别展示一下每个部分的速算方式
462 = (45+1)×(45+1) = 452+90+1
注意，(10x+5)2有一个非常好用的速算公式，我们把这个式子拆开看一下：
(10x+5)2 = x2×102+10x×5×2+52 = (x2+x)×102+52 = 100x(x+1)+25
记住这个公式，对速算很有帮助，之后我们也会反复利用这个公式来进行计算。
452 = 4×(4+1)×100+25 = 2025
462= 2025+91 = 2116
第二部分的速算方法，是不断地在计算过程中拆出 10 的幂次数，具体过程如下（这并不是唯一的方法，也许你有更熟悉的方法来加快计算）：
656×46×2 = 656×92 = 656×(100-10+2) = +1312 = 12 =
最后计算6562，同样利用刚刚介绍的公式：
6562 = (650+6)2 = 6502+650×6×2+36 = (6×(6+1)×100+25)×100+ = 0+36 = 430336
得到这几部分的值之后，继续计算加法就可以得到：
466562 = +336 =
最后一步没什么很特别的方法，还是直接心算比较方便：
看起来过程很多很繁琐对不对，但是其实当中的奥义只有两条：
反复对复杂的数字进行以0结尾或者以5结尾的拆分；
利用各类公式来简化计算。
虽然方法好掌握，但你现在可能还达不到一下子就算出来 613 是多少的地步。利用这些方法，轻松计算出 65、66、67 问题不大。经过一段时间的训练，不说达到周玮的速度，超过大多数人的笔算速度与准确度并非难事。
需要注意的是，速算方法并没有最优一说，挑选自己记得住的与擅长的计算方式，才是最好的。
上述方法是计算精确值的，如果只是估计个大概，那又会简单得多。
lg(6) = lg(2)+lg(3) = 0.301+0.477 = 0.778
lg(6)×13 =
计算1010.1约等于1010 =
这个误差为 30%，不过数量级上是准确的。如果需要更加准确的估算，则是计算 1010.1 = 1010×100.1，假如你恰好记得 100.1 = 1.26 ，那最后的估算值就是 。误差一下子缩小为 3.5%，已经算比较准确的估算了。
如果你对对数不太熟悉的话，还有另一种估算法。首先，我们把 63近似为 200，然后重复上面的步骤：
(63)2=4 0000
((63)2)2=16
6×((63)2)2=96 ≈100
在需要计算数量级的时候，这个精度是够的。
在进行这种大数计算的时候，可以使用科学计数法的e代替末尾的一系列0。比如，最后一行可以读成 96e8≈1e10。事实上，这可以看作是对对数的一种应用，但是在脑子里计算的时候会简单很多。
如果对这个精度无法接受或想要确认误差的话，可以从误差来源判断：主要的误差来源于把 216 近似成 200 的时候带来了 +8% 的误差，然后这个 +8% 的误差被平方了两次，所以误差变成了 8%×4 = 32%。因此进行误差修正后，就会得到 1.32×1010 的结果。你大可以对最后一步，把 96 近似成 100 带来的 4% 误差，也纳入考虑，那样就会得到 1.28×1010 的结果。无论是哪种结果，和准确值的实际误差都是 2% 左右。
看似吓人的开高次方，其实没有那么可怕
再来看第二道题：
实际上，对于一个普通人，不使用计算器的情况下，完全以手动方式求一个很大数字开n次方根，并不需要高深的数学，只需要依靠加减乘除和一些简单的对数计算法则就可以。
依然以周玮的这道题为例，首先
6345数字太大，不妨近似一下：
根据 10&13.9&24，可以估算出lg(13.9）介于1到1.2之间。
所以 13.9 的 14 次方根的对数值，应该是比0.1小一些（实际上是在0.07-0.08左右）。于是， 的对数，就应该比1.1小一些。
如果利用之前写过的 100.1≈1.26，可以得到 & 101.1 ≈ 12.6。准确的值肯定小于这个数字。
另外一种做法是通过试乘法计算。由于这个题目给的数据范围，我们几乎一定可以把答案的范围限制在 10-13 左右。所以如果只需要一位精度，那么我们可以试着去估算 1.1，1.2，1.3 这三个数的 14 次方，并和给定值进行比较。如果需要更高位精度的话，这种做法就略显无力了。
至于节目中第3道题，也是类似。
首先将整个算式转化成对数，首先提出一个10，把式子变成：
这时需要估算lg(3.2)，即：
lg(3.2) = lg(32*0.1)=lg(32)+lg0.1=lg(2^5)+(-1) = lg(2)×5-1
于是，上面的这个式子就变为：
lg(2)×7+(lg(2)×5-1)/13+1 = 0..)/13+1 = 3.147
最后计算103.147 = 1000×100.147。后面这部分可以粗略估算为0.147是lg(2)的一半，所以最后的结果是 ，再乘以1000等于1400左右。
没有计算器，没有对数表，也没有超强的大脑，只要对于精确度要求不是很苛刻，徒手计算出一个巨大数字的次方根完全可能。并且，这样的方法不止一种。即便如此，想要快速报出答案，一些必要的练习还是免不了的。只可惜，现代数学研究几乎不需要这种速算能力了。
心算能力在现在这个设备与技术齐全的时代来说，更为主要的用处是对构造出的公式进行初步的估算和简单的合理性验证。如果需要更高的精度，使用计算机更简单。
最后讲一个小故事
两列火车相隔 200 公里，各以每小时 50 千米的速度相向而行。一只苍蝇从其中一列前端出发，以每小时 75 千米的速度，在两列车之间来来回回飞个不停，问：直到两车相撞，苍蝇飞过的总距离是多少?
这当然是一道级数求和的题。但它有另一个巧妙的解答：既然两车相隔200千米，每小时各行驶 50 千米，它们要过 2 小时才相撞。所以，苍蝇飞了2小时，因此它必定飞了150千米。你看，换个方法，万事大吉。
传说在一次晚宴上，一个年轻人碰到冯·诺依曼，也问了他这道题。冯·诺依曼沉吟几秒后回答：“哦，当然是150千米。”年轻人被小小震了一下，心想冯老师果然大牛，于是拍起了马屁。“啊，冯老师果然高明，一下就想到了时间乘以苍蝇速度的方法。”冯·诺依曼答道：“什么？我求了级数之和。”
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心理学硕士
46^2没必要再拆分成45+1，如果想做速算，100以内的平方和立方都是必须要背会的常识说白了就是把更多的基础运算过程变成长时记忆存储在大脑硬盘里从而空出更宝贵的工作记忆也就是缓存来执行较复杂的运算对于周玮的个案更宝贵的意义在于研究其速算时的大脑工作原理对比其与智力正常的经过训练的同等效率的速算高手脑区活动的差异从而更好地理解人脑的机制而不是以所谓的特异功能打假的旗号自作聪明地给出一些所谓的解题思路不是针对这篇文章只是在知乎和微博上看到很多自以为是的逗逼顺路感慨一下而已
翻译爱好者，MOOC学习者
最后看哭了……尼玛考试的时候一道级数题可以把我卡死在那……
真要避免“作弊”（且不说有技巧不等于作弊），那就搞大整数的素因子分解啊。
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全部评论(263)
最后才是正片来自
最后亮来自
果壳网主编，科学松鼠会成员
引用文章内容：传说在一次晚宴上，一个年轻人碰到冯·诺依曼，也问了他这道题。冯·诺依曼沉吟几秒后回答：“哦，当然是150千米。”年轻人被小小震了一下，心想冯老师果然大牛，于是拍起了马屁。“啊，冯老师果然高明，一下就想...冯大师。。
翻译爱好者，MOOC学习者
最后看哭了……尼玛考试的时候一道级数题可以把我卡死在那……
果壳网副主编
被最后的故事亮瞎。
空间信息与数字技术专业
最后的故事最亮。。。也可以是他之前听说过。。。
最后。。。来自
最后一道题曾经是一次寒假数学作业，我竟然没想出来简单的做法。。。
空间信息与数字技术专业
引用 的话：最后一题 也可以先求 ln(2^7) = 7ln 2 = 2.107 其它的差不多。。。 原评论我已经删除了如果已知 ln 2 = .301(好吧 约等于) 但是看被开方的数大约是 32e12 对 10 对数 就是 13.505 除以 13，就是 1.0391.039 + 2.107 = 3.146, 约 3.1510^3.15 = 1000*sqrt(2) = 1414...要求两位有效数字，就是 1.4e3以上纯扯淡，请勿当真，否则后果自负。
完全不知道文章说的是什么，简直是残害我的心灵
这孩子挺可惜的 出生的环境不好
第一题的解题思路和我一样！来自
果断瞎来自
蒼蠅那個是當年五年級的寒假作業題。。。
最后给冯老师跪了。。
乘到4个6我就必须用手划拉竖式了……拉低果壳平均智商啊哎
心理学硕士
46^2没必要再拆分成45+1，如果想做速算，100以内的平方和立方都是必须要背会的常识说白了就是把更多的基础运算过程变成长时记忆存储在大脑硬盘里从而空出更宝贵的工作记忆也就是缓存来执行较复杂的运算对于周玮的个案更宝贵的意义在于研究其速算时的大脑工作原理对比其与智力正常的经过训练的同等效率的速算高手脑区活动的差异从而更好地理解人脑的机制而不是以所谓的特异功能打假的旗号自作聪明地给出一些所谓的解题思路不是针对这篇文章只是在知乎和微博上看到很多自以为是的逗逼顺路感慨一下而已
数学考个位数字语文考个位数字英语考个位数字地理考个位数字历史考个位数字政治考个位数字物理考个位数字化学考个位数字反正各科都没超过十位数字的路过
眼科学博士
所以应该找一些不可『作弊』的题目，各种NP-hard的应该很多吧。比如挺大的矩阵求个逆啥的
眼科学博士
引用 的话：6^2没必要再拆分成45+1，如果想做速算，100以内的平方和立方都是必须要背会的常识说白了就是把更多的基础运算过程变成长时记忆存储在大脑硬盘里从而空出更宝贵的工作记忆也就是缓存来执行较复杂的运...不同算法的速算，也许对应的神经机制不同，作为测试的选题确实应该是使用证明为NP hard的问题。这样发SCI比较有说服力。还可以测试问题规模增长时，计算天才们所需要的时间消耗。从生物学角度证明或者证伪P=NP
弱弱的问一句，那用级数和该怎么求
真要避免“作弊”（且不说有技巧不等于作弊），那就搞大整数的素因子分解啊。
引用文章内容：log(6) = log(2)+log(3) = 0.301+0.477 = 0.77log(6)×13 = 0.77×13 = 0.11×91 =10.10.301+0.477更接近0.78而不是0.77，0.77*13应该等于10.01不过这两个error好像恰好抵消掉了，所以结果没有错的离谱。（学小学奥数的时候就已经把 7*11*13 = 1001 记得烂熟了...这可是与 37*3 = 111 齐名的式子啊...二者合体后还会有 3*7*11*13*37 = 111111）
所以 13.9 的 14 次方根的对数值，应该是比0.1小一些（实际上是在0.07-0.08左右）。于从这里开始就看不明白了，高中对数知识全忘记了求热心解答
引用 的话：0.301+0.477更接近0.78而不是0.77，0.77*13应该等于10.01不过这两个error好像恰好抵消掉了，所以结果没有错的离谱。（学小学奥数的时候就已经把 7*11*13...这里懒了。把0.778写成0.77……
建筑学专业，分形艺术小组管理员
没看过那个节目，开这么十几次方初中时干过
眼科学博士
对被试应用不同规模的NP问题，记录不同规模时的解答时间。比如N位整数的质因数分解，分别给出N=N1,N2,N3,N4....位数的正整数，请被试计算质因数分解，测量计算时间T=T1,T2,T3,T4...计算时间T包括，输入时间t_in，输出时间t_out，和计算时间t_c。其中输入时间t_in，输出时间t_out应当是和问题规模线性相关，而计算时间t_c另算。T=t_in+t_out+t_cT=k1*N+k2*N+f(N)T=k*N+f(N)描个图就知道P和NP了。当然可能只有极少数的大脑具有这样的可能。可以写科幻小说了。如果能够教会被试HASH的算法，也许可以有人脑矿机了！
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