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回答：级别：特级教员 11:00:28来自：问吧专家团
事实上，很容易知道a&=1/2时才可能使得题设满足，
因为若a&1/2，当x趋向于正无穷大时。
总有f(x)=(a-1/2)x2+lnx&(a-1/2)x2
而limx→+∞（a-1/2)x2/2ax=+∞
因此题设不满足。
设g(x)=f(x)-2ax=(a-1/2)x2+lnx-2ax,x&1
g(x)的导数dy/dx=[(2a-1)x-1](x-1)/x若a=1/2。
显然易知道dy/dx《0对于所有的x&1都成立。
因此就知道函数g(x)在（1，+∞）上单调减少，
故有g(x)&g(1)=0对所有的x&1都成立，因此a=1/2符合题设。
若a&1/2.g(x)导数的根为x1=1/(2a-1)&0,x2=1
显然x1&x2因此也容易知道g(x)在（1，+∞）单调减少，
故只需满足g(1)=-a-1/2&=0
即可解得a&=-1/2
综上所述，所求a的取值范围是[-1/2,1/2]
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暂时不知道x=1时函数是否连续,所以不能对整个函数求导,但是根据函数在R在单调递减,那么可知：　　f1(x)=(a-1)x+5/2,x≤1 递减　　f2(x)=2a+1/x,x>1 递减且f1(1)=a+3/2>＝a+1=f2(1) a-1/2综上-1/2
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站长：朱建新& 导数在最大值、最小值问题中的应用知识点 & “已知函数f（x）=aln（x+1），g（...”习题详情
147位同学学习过此题，做题成功率88.4%
已知函数f（x）=aln（x+1），g（x）=x-12x2，a∈R．（Ⅰ）若a=-1，求曲线y=f（x）在x=3处的切线方程；（Ⅱ）若对任意的x∈[0，+∞），都有f（x）≥g（x）恒成立，求a的最小值；（Ⅲ）设p（x）=f（x-1），a＞0，若A（x1，y1），B（x2，y2）为曲线y=p（x）的两个不同点，满足0＜x1＜x2，且?x3∈（x1，x2），使得曲线y=f（x）在x3处的切线与直线AB平行，求证：x3＜x1+x22．
本题难度：一般
题型：解答题&|&来源：2014-成都一模
分析与解答
习题“已知函数f（x）=aln（x+1），g（x）=x-1/2x2，a∈R．（Ⅰ）若a=-1，求曲线y=f（x）在x=3处的切线方程；（Ⅱ）若对任意的x∈[0，+∞），都有f（x）≥g（x）恒成立，求a的最小值；（Ⅲ...”的分析与解答如下所示：
（I）当a=-1时，f（x）=-ln（x+1），得出切点（3，-ln4）．利用导数的几何意义即可得出切线的斜率，进而得到切线方程；（II）对任意的x∈[0，+∞），都有f（x）≥g（x）恒成立aln（x+1）-x+12x2≥0．令h（x）=aln（x+1）-x+12x2（x≥0）．利用导数的运算法则可得h′（x）=x2+a-1x+1(x≥0)．分类讨论：当a≥1时，当a＜1时，只要验证最小值是否大于0即可得出．（III）p（x）=f（x-1）=alnx，kAB=alnx2-alnx1x2-x1．利用导数的运算法则可得p′(x)=ax．由于曲线y=f（x）在x3处的切线与直线AB平行，可得alnx2-alnx1x2-x1=ax3．利用p′（x）在定义域内单调性质要证：x3＜x1+x22．即证明p′(x3)＞p′(x1+x22)．即证明alnx2-alnx1x2-x1＞2ax1+x2．变形可得lnx2x1＞2(x2-x1)x2+x1=2(x2x1-1)x2x1+1，令x2x1=t，则t＞1．要证明的不等式等价于lnt＞2(t-1)t+1（t+1）lnt＞2（t-1）．构造函数q（t）=（t+1）lnt-2（t-1），（t＞1）．利用导数研究其单调性即可证明．
解：（I）当a=-1时，f（x）=-ln（x+1），得出切点（3，-ln4）．∵f′(x)=-1x+1，∴切线的斜率k=f′(3)=-14．∴曲线y=f（x）在x=3处的切线方程为：y+ln4=-14（x-3），化为x+4y+8ln2-3=0．（II）对任意的x∈[0，+∞），都有f（x）≥g（x）恒成立aln（x+1）-x+12x2≥0．令h（x）=aln（x+1）-x+12x2（x≥0）．h′(x)=ax+1-1+x=x2+a-1x+1(x≥0)．①当a≥1时，h′（x）≥0恒成立，∴函数h（x）在x∈[0，+∞）上单调递增，∴h（x）≥h（0）=0，∴a≥1时符合条件．②当a＜1时，由h′（x）=0，及x≥0，解得x=√1-a．当x∈(0，√1-a)时，h′（x）＜0；当x∈(√1-a，+∞)时，h′（x）＞0．∴hmin(x)=h(√1-a)=h(√1-a)＜h(1)=0，这与h（x）≥0相矛盾，应舍去．综上可知：a≥1．∴a的最小值为1．（III）p（x）=f（x-1）=alnx，kAB=alnx2-alnx1x2-x1．∵p′(x)=ax，∴p′(x3)=ax3．∵曲线y=f（x）在x3处的切线与直线AB平行，∴alnx2-alnx1x2-x1=ax3．由p′(x)=ax，a＞0，可知其在定义域内单调递减．要证：x3＜x1+x22．即证明p′(x3)＞p′(x1+x22)．即证明alnx2-alnx1x2-x1＞2ax1+x2．变形可得lnx2x1＞2(x2-x1)x2+x1=2(x2x1-1)x2x1+1，令x2x1=t，则t＞1．要证明的不等式等价于lnt＞2(t-1)t+1（t+1）lnt＞2（t-1）．构造函数q（t）=（t+1）lnt-2（t-1），（t＞1）．q′(x)=lnt+t+1t-2=lnt+1t-1（t＞1）．令u（t）lnt+1t-1，（t＞1）．则u′（t）=1t-1t2=t-1t2＞0，∴q′（t）在t＞1时单调递增．∴q′（t）＞q′（1）=0，∴函数q（t）在区间（1，+∞）上单调递增，∴q（t）＞q（1）=0，∴q（t）＞0在（1，+∞）上恒成立．∴（t+1）lnt＞2（t-1）在（1，+∞）上恒成立，即x3＜x1+x22成立．
本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、构造函数法、换元法、恒成立问题的等价转化、分类讨论等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．
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已知函数f（x）=aln（x+1），g（x）=x-1/2x2，a∈R．（Ⅰ）若a=-1，求曲线y=f（x）在x=3处的切线方程；（Ⅱ）若对任意的x∈[0，+∞），都有f（x）≥g（x）恒成立，求a的最...
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经过分析，习题“已知函数f（x）=aln（x+1），g（x）=x-1/2x2，a∈R．（Ⅰ）若a=-1，求曲线y=f（x）在x=3处的切线方程；（Ⅱ）若对任意的x∈[0，+∞），都有f（x）≥g（x）恒成立，求a的最小值；（Ⅲ...”主要考察你对“导数在最大值、最小值问题中的应用”
等考点的理解。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
导数在最大值、最小值问题中的应用
导数在最大值、最小值问题中的应用．
与“已知函数f（x）=aln（x+1），g（x）=x-1/2x2，a∈R．（Ⅰ）若a=-1，求曲线y=f（x）在x=3处的切线方程；（Ⅱ）若对任意的x∈[0，+∞），都有f（x）≥g（x）恒成立，求a的最小值；（Ⅲ...”相似的题目：
现有一张长80厘米、宽60厘米的长方形ABCD铁皮，准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒，要求材料利用率为l00%，不考虑焊接处损失．方案一：如图（1），从右侧两个角上剪下两个小正方形，焊接到左侧中闻，沿虚线折起，求此时铁皮盒的体积；方案二：如图（2），若从长方形ABCD的一个角上剪下一块正方形铁皮，作为铁皮盒的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面，求该铁皮盒体积的最大值，并说明如何剪拼？．&&&&
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1设直线x=t与函数f（x）=x2，g（x）=lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为（　　）
2设0＜x＜1，则y=4x+91-x的最小值为（　　）
3已知函数f（x）满足f(x)=f′(1)ex-1-f(0)x+12x2；（1）求f（x）的解析式及单调区间；（2）若f(x)≥12x2+ax+b，求（a+1）b的最大值．
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对于函数f(x)=ax+1x-1（其中a为实数，x≠1），给出下列命题：①当a=1时，f（x）在定义域上为单调增函数；②f（x）的图象的对称中心为（1，a）；③对任意a∈R，f（x）都不是奇函数；④当a=-1时，f（x）为偶函数；⑤当a=2时，对于满足条件2＜x1＜x2的所有x1，x2总有f（x1）-f（x2）＜3（x2-x1）．其中正确命题的序号为
本题难度：一般
题型：填空题&|&来源：网络
分析与解答
习题“对于函数f(x)=ax+1/x-1（其中a为实数，x≠1），给出下列命题：①当a=1时，f（x）在定义域上为单调增函数；②f（x）的图象的对称中心为（1，a）；③对任意a∈R，f（x）都不是奇函数；④当a=-1...”的分析与解答如下所示：
①由a=1，将函数用分离常数法转化，f（x）=x+1x-1=1+2x-1，其图象是由y=2x向右，向上平移一个单位得到的，再利用反比例函数的单调性得到结论．②用分离常数法转化，f(x)=ax+1x-1=a+1+ax-1，易得其图象关于（1，a）对称．③若为是奇函数，则图象关于原点对称，由②易知不正确．④由a=-1，用分离常数法转化，f（x）=-x+1x-1=-1(x≠1)，再用偶函数定义判断．⑤由a=2，用分离常数法转化，f（x）=2x+1x-1=2+3x-1，易知在（1，+∞）上是减函数，再研究即得．
解：①当a=1时，f（x）=x+1x-1=1+2x-1，是由y=2x向右，向上平移一个单位得到的，不是单调函数，不正确．②f(x)=ax+1x-1=a+1+ax-1，其图象关于（1，a）对称，正确．③由②知对称点的横坐标是1，不可能是0，所以不可能是奇函数，正确．④当a=-1时，f（x）=-x+1x-1=-1(x≠1)，定义域不关于原点对称，所以不可能为偶函数，不正确．⑤当a=2时，f（x）=2x+1x-1=2+3x-1，在（1，+∞）上是减函数，则在（2，+∞）上也是减函数∴对于满足条件2＜x1＜x2的所有x1，x2总有f（x1）-f（x2）＜3（x2-x1）．故答案为：②③⑤
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对于函数f(x)=ax+1/x-1（其中a为实数，x≠1），给出下列命题：①当a=1时，f（x）在定义域上为单调增函数；②f（x）的图象的对称中心为（1，a）；③对任意a∈R，f（x）都不是奇函数；④...
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经过分析，习题“对于函数f(x)=ax+1/x-1（其中a为实数，x≠1），给出下列命题：①当a=1时，f（x）在定义域上为单调增函数；②f（x）的图象的对称中心为（1，a）；③对任意a∈R，f（x）都不是奇函数；④当a=-1...”主要考察你对“奇偶性与单调性的综合”
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奇偶性与单调性的综合
【知识点的认识】【解题方法点拨】【命题方向】奇偶性与单调性的综合．
与“对于函数f(x)=ax+1/x-1（其中a为实数，x≠1），给出下列命题：①当a=1时，f（x）在定义域上为单调增函数；②f（x）的图象的对称中心为（1，a）；③对任意a∈R，f（x）都不是奇函数；④当a=-1...”相似的题目：
已知函数f(x)=ax2+1bx+c(a，b，c∈R)是奇函数，又f(1)=2，f(2)=52．（1）求a，b，c的值；（2）当x∈（0，+∞）时，讨论函数的单调性，并写出证明过程．
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“对于函数f(x)=ax+1/x-1（其中...”的最新评论
该知识点好题
1已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增．若实数a满足f(log2a)+f(log12a)≤2f(1)，则a的取值范围是（　　）
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该知识点易错题
1已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增．若实数a满足f(log2a)+f(log12a)≤2f(1)，则a的取值范围是（　　）
2定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈（-∞，0]（x1≠x2），有（x2-x1）（f（x2）-f（x1））＞0．则当n∈N*时，有（　　）
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欢迎来到乐乐题库，查看习题“对于函数f(x)=ax+1/x-1（其中a为实数，x≠1），给出下列命题：①当a=1时，f（x）在定义域上为单调增函数；②f（x）的图象的对称中心为（1，a）；③对任意a∈R，f（x）都不是奇函数；④当a=-1时，f（x）为偶函数；⑤当a=2时，对于满足条件2＜x1＜x2的所有x1，x2总有f（x1）-f（x2）＜3（x2-x1）．其中正确命题的序号为
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