查看: 9251|回复: 3|关注: 0
怎么用Matlab编写DTFT(离散时间傅立叶变换)?
如何用matlab画出一些经典序列的DTFT,我这边只有一个例子:&& n=-1:3;x=1:5;
k=0:500;w=(pi/500)*k;
X=x*(exp(-j*pi/500)).^(n'*k);
magX=abs(X);angX=angle(X);
subplot(2,1,1);plot(w/pi,magX);title('幅度响应');
ylabel('幅度');xlabel('以\pi为单位的频率');
subplot(2,1,2);plot(w/pi,angX);title('相位响应');
ylabel('相位/\pi');xlabel('以\pi为单位的频率');复制代码请各位帮忙,谢谢
fc1=2*pi*50;
t=1:1/fs:10;
L=length(t);
x=cos(fc1.*t)+2;
L=length(t);
NFFT=2^nextpow2(L);
freq_x=fft(x,NFFT)/L;
f = fs/2*linspace(0,1,NFFT/2);
plot(f,2*abs(freq_x(1:NFFT/2)));
谢谢楼上的,但能不能解释下上面的程序?
问题已经解决,正如我给的例子,可适用于任何序列的DTFT.
Powered by上面的第一个公式X(k)中，想知道其中的k代表的是频率吗？ 如果是频率，那么如何保证k的取值一定能够覆盖原来信号的频率呢？ 例如原来的信号有10khz，但是k的取值只有0-100。这种情况如何办？
具体频率要看采样率，k表示在频谱上的采样点序号
显然，代表的不是频率，更不是你所指的频率。DFT与信号本身的频率无关，从你提问中的第二个公式（综合式）来看，DFT的作用是将一个有限长的信号表示成一系列复指数信号，无论这个信号本身的频率是多少。复指数信号的个数由决定，第个复指数信号的频率是。第个复指数信号信号的振幅是,相位是。的取值在0到之间。DFT中所涉及的是复指数信号的频率，你所说的10khz是信号本身的频率，两者之间没有关系。的取值只需要保证频率覆盖复指数信号的一个周期即可。傅立叶变换、拉普拉斯变换、Z变换的联系？为什么要进行这些变换。研究的都是什么？
通信工程学生。对这些有些不解。
按票数排序
这三种变换都非常重要！任何理工学科都不可避免需要这些变换。这三种变换的本质是将信号从时域转换为频域。傅里叶变换的出现颠覆了人类对世界的认知：世界不仅可以看作虽时间的变化，也可以看做各种频率不同加权的组合。举个不太恰当的例子：一首钢琴曲的声音波形是时域表达，而他的钢琴谱则是频域表达。三种变换由于可以将微分方程或者差分方程转化为多项式方程，所以大大降低了微分（差分）方程的计算成本。另外，在通信领域，没有信号的频域分析，将很难在时域理解一个信号。因为通信领域中经常需要用频率划分信道，所以一个信号的频域特性要比时域特性重要的多。具体三种变换的分析（应该是四种）是这样的：傅里叶分析包含傅里叶级数与傅里叶变换。傅里叶级数用于对周期信号转换，傅里叶变换用于对非周期信号转换。但是对于不收敛信号，傅里叶变换无能为力，只能借助拉普拉斯变换。（主要用于计算微分方程）而z变换则可以算作离散的拉普拉斯变换。（主要用于计算差分方程）从复平面来说，傅里叶分析直注意虚数部分，拉普拉斯变换则关注全部复平面，而z变换则是将拉普拉斯的复平面投影到z平面，将虚轴变为一个圆环。（不恰当的比方就是那种一幅画只能通过在固定位置放一个金属棒，从金属棒反光才能看清这幅画的人物那种感觉。）
曾经和同学上课时深入探讨过此问题，占坑，有空再来回答！！我来说些不一样的东西吧。我假定楼主对这些变换已有一些了解，至少知道这些变换怎么算。好了，接下来我将从几个不同的角度来阐述这些变换。一个信号，通常用一个时间的函数来表示，这样简单直观，因为它的函数图像可以看做信号的波形，比如声波和水波等等。很多时候，对信号的处理是很特殊的，比如说线性电路会将输入的正弦信号处理后，输出仍然是正弦信号，只是幅度和相位有一个变化（实际上从数学上看是因为指数函数是线性微分方程的特征函数，就好像矩阵的特征向量一样，而这个复幅度对应特征值）。因此，如果我们将信号全部分解成正弦信号的线性组合（傅里叶变换），那么就可以用一个传递函数来描述这个线性系统。倘若这个信号很特殊，例如，傅里叶变换在数学上不存在，这个时候就引入拉普拉斯变换来解决这个问题。这样一个线性系统都可以用一个传递函数来表示。所以，从这里可以看到将信号分解为正弦函数（傅里叶变换）或者 复指数函数（拉普拉斯变换）对分析线性系统至关重要。如果只关心信号本身，不关心系统，这几个变换的关系可以通过这样一个过程联系起来。首先需要明确一个观点，不管使用时域还是频域（或s域）来表示一个信号，他们表示的都是同一个信号！关于这一点，你可以从线性空间的角度理解。同一个信号，如果采用不同的坐标框架（或者说基向量），那么他们的坐标就不同。例如，采用作为坐标，那么信号就可以表示为，而采用则表示为傅里叶变换的形式。线性代数里面讲过，两个不同坐标框架下，同一个向量的坐标可以通过一个线性变换联系起来，如果是有限维的空间，则可以表示为一个矩阵，在这里是无限维，这个线性变换就是傅里叶变换。如果我们将拉普拉斯的域画出来，他是一个复平面，拉普拉斯变换是这个复平面上的一个复变函数。而这个函数沿虚轴的值就是傅里叶变换。到现在，对信号的形式还没有多少假定，如果信号是带宽受限信号，也就是说只在一个小范围内（如）不为0。根据采样定理，可以对时域采样，只要采样的频率足够高，就可以无失真地将信号还原出来。那么采样对信号的影响是什么呢？从s平面来看，时域的采样将沿虚轴方向作周期延拓！这个性质从数学上可以很容易验证。z变换可以看做拉普拉斯变换的一种特殊形式，即做了一个代换，T是采样的周期。这个变换将信号从s域变换到z域。请记住前面说的那个观点，s域和z域表示的是同一个信号，即采样完了之后的信号。只有采样才会改变信号本身！从复平面上来看，这个变换将与轴平行的条带变换到z平面的一个单叶分支。你会看到前面采样导致的周期延拓产生的条带重叠在一起了，因为具有周期性，所以z域不同的分支的函数值是相同的。换句话说，如果没有采样，直接进行z变换，将会得到一个多值的复变函数！所以一般只对采样完了后的信号做z变换！这里讲了时域的采样，时域采样后，信号只有间的频谱，即最高频率只有采样频率一半，但是要记录这样一个信号，仍然需要无限大的存储空间，可以进一步对频域进行采样。如果时间有限（这与频率受限互相矛盾）的信号，那么通过频域采样（时域做周期扩展）可以不失真地从采样的信号中恢复原始信号。并且信号长度是有限的，这就是离散傅里叶变换(DFT)，它有著名的快速算法快速傅里叶变换(FFT)。为什么我要说DFT呢，因为计算机要有效地对一般的信号做傅里叶变换，都是用DFT来实现的。除非信号具有简单的解析表达式！总结起来说，就是对于一个线性系统，输入输出是线性关系的，不论是线性电路还是光路，只要可以用一个线性方程或线性微分方程（如拉普拉斯方程、泊松方程等）来描述的系统，都可以通过傅里叶分析从频域来分析这个系统的特性，比单纯从时域分析要强大得多！两个著名的应用例子就是线性电路和傅里叶光学（信息光学）。甚至非线性系统，也在很多情况里面使用线性系统的东西！所以傅里叶变换才这么重要！你看最早傅里叶最早也是为了求解热传导方程（那里其实也可以看做一个线性系统）！傅里叶变换的思想还在不同领域有很多演变，比如在信号处理中的小波变换，它也是采用一组基函数来表达信号，只不过克服了傅里叶变换不能同时做时频分析的问题。最后，我从纯数学的角度说一下傅里叶变化到底是什么。还记得线性代数中的代数方程吗？如果A是对称方阵，可以找到矩阵A的所有互相正交的特征向量和特征值，然后将向量x和b表示成特征向量的组合。由于特征向量的正交关系，矩阵的代数方程可以化为n个标量代数方程，是不是很神奇！！你会问这跟傅里叶变换有毛关系啊？别急，再看非齐次线性常微分方程，可以验证指数函数是他的特征函数，如果把方程改写为算子表示，那么有，这是不是和线性方程的特征向量特征值很像。把y 和 z都表示为指数函数的线性组合，那么经过这种变换之后，常微分方程变为标量代数方程了！！而将y和z表示成指数函数的线性组合的过程就是傅里叶变换（或拉普拉斯变换）。在偏微分方程如波动方程中也有类似结论！这是我在上数理方程课程的时候体会到的。归纳起来，就是说傅里叶变换就是线性空间中的一个特殊的正交变换！他之所以特殊是因为指数函数是微分算子的特征函数！
补充一下，对于通信专业，傅里叶变换是最重要的变换，代表了时域和频域的转换，4G通信系统中使用的OFDM，甚至会直接将一组信息直接放到频率上一组正交的频点上，然后IFFT变换到时域，再发送出去，而不是单独把信号调制到每个频点上，接收时再FFT回到频域。
这是傅里叶变换的，看完了再不懂，先把作者掐死再找块豆腐把自己撞死吧
一切的变换的意义，都是为了能在数学上面表达一个波的形状到底是什么。一开始我们可以用一个冲激函数以时间的顺序排成一排，再每个乘以各自的系数（线性组合），就能得到纸面上一个波的形状。后来，伟大的傅里叶同学发现，不仅使冲激函数，用复指数信号叠加之后乘上各自的系数，也可以表达几乎所有的波的波形。而且！用复指数信号表达的输出计算方式比卷积有规律很多，而这个规律可以从频域上面看出来。这个发现，使得信号的变换进步了一大步。周期信号可以用傅里叶级数表示，非周期信号用傅里叶变换表示。这个再展开讲就偏题了。奉上以前的傅里叶公式笔记一张(*^__^*) 周期信号可以用傅里叶级数表示，非周期信号用傅里叶变换表示。这个再展开讲就偏题了。奉上以前的傅里叶公式笔记一张(*^__^*) 拉普拉斯变换：傅里叶变换对信号的要求比较高，适应于本身衰减得快的信号。为了扩大傅里叶变换的应用范围，使其能用于更多不稳定系统的分析，人们在计算过程中人为的添上一个负指数函数作为系数，让一些不衰减的信号更快衰减，方便换算。这就是拉布拉斯变换的由来。拉普拉斯变换用于连续信号。拉布拉斯变换： 其中 。把带回公式可得跟傅里叶变换的公式对比起来看，是不是只差了个系数？因为变换要收敛才有意义，所以收敛域讨论的是让积分之后有意义。这个稍微涉及了一点微积分的知识。最后的答案在直角坐标系看，分界线平行于Y轴。Z变换：和拉普拉斯变换的目的类似，把离散时间傅里叶变换公式的替换成为z，再乘以一个加权系数表示z的模（通常等于1），就进化成了z变换。z变换用于离散信号。z变换： 其中带进去就可以还原了。同样，Z变换的收敛域是要让算出的值有意义，通过等比公式展开之后可以看到，需要z小于或者大于某个值才可以，用极坐标来看，就是个圆域。这个就是我以最通俗的方法理解的变换.
傅立叶级数：针对周期信号提出。本质在于一个周期信号可以表示成正弦信号的叠加。傅立叶变换：推倒过程来源于傅立叶级数。周期信号和非周期信号都存在傅立叶变换。拉普拉斯变换：只谈物理意义，一个增幅信号可以表示成增幅正弦信号的叠加。一个减幅信号可以表示成减幅正弦信号的叠加。Z变换：针对离散信号提出。物理意义同拉普拉斯变换。
傅立叶变换从频域（jω）去看信号，也就是把频率和振幅投射到不同ω正交正弦波上，这样就可以用不同ω正弦波求和，正弦余弦也可以转化成虚指数幂次再求和，这样就划到jω；
拉普拉斯变换可以把一些不能用傅立叶变换的连续信号来进行变换，用s=σ+jω作为复频，它的描述能力就比傅立叶变换强一些，值得说明的是，当收敛域包含jω虚轴时，在虚轴上令σ=0，则s=jω，此时拉氏变换就是傅立叶变换；
Z变换关注的是离散信号，引入时候与拉氏变换结合，在连续信号上取样，得到离散信号，令e^(sT)=z，这样就把信号虚轴投射到了一个圆环上面。
所有的变换，都是从一个鸟域，变换到另一个鸟域。变换的方式和意义都是人为定义的。
简单来说，傅里叶变换是将时域的信号变成频域。但是为什么我们需要呢？而所谓的频域是什么呢？其实，所谓的傅里叶变换无非是用一个固定频率的正弦波来表示任意一个波。相信你肯定了解时域，因为他就是我们看到的最简单的二维世界。一个不断舞动的波，就好像飘扬的旗子一样。我们很明显的看到了它的舞动的大小（振幅），那么其实它还有另一个性质，那就是频率，对于固定周期的波，那么我们可以肯定在下一个周期的同一点一定会重现在同一个位置。而这个时间就是它的频率，那么非周期性的波呢？我们发现任何非周期性的波都可以用不同周期性的波相加后来表示（除了矩形波和三角波），那么多少个波呢？每个波的周期又是多少呢？傅里叶变换/级数就是数学上的对时域信号的展开，但是因为它是有限个周期波的展开，也就是有限个不同频率的波的叠加。有些人就称之为频域，这其实就是人创造的说法，其实是频域还是什么有什么关系，无非就是用一些信号的叠加罢了。当然，一些天才随后又发明了码这种东西，又创造了码域成功的增加了吞吐量，试想在时域上加了一个频域我们就创造出了OFDM这种高容量的算法，那么进一步优化的CDMA创造出的三维容量将会增大多少呢？
变换的本质是从另一个维度去刻画信号，从而更方便描述信号特性和进行工程实现。
前两个是在连续域内，Z变换是在离散域。
本质上都是线性变换，类比无穷维度上的矩阵，内积形式是求无限级数（离散）或积分（连续）
傅立叶变换
载波 这些名词贯穿通信系统维基百科，自由的百科全书
(英文：short-time Fourier transform, STFT)是和傅立葉變換相關的一種數學轉換關係，用於時間和頻域之間的分析。 簡單來說，在連續時間的例子中，一個函數可以先乘上僅在一段時間不為零的(window function)再進行一維的傅立葉變換。再將這個窗函數沿著時間軸挪移，並做傅立葉變換對時間(t)的積分。在一開始的連續的短時聚傅立葉變換(STFT)中，所表現的是從負無限大到正無限大，寫成數學形式為：
其中是窗函數，而是代轉換的訊號。本質為的傅立葉變換，可以表示為時間和頻率上的相位與強度。 但在實做上面，不太可能擁有無限長的時間來做分析，因此選定了一個範圍內的時間來做分析，簡單來說就是把w(t)使用一個在t=[-B B]，強度為1的方波來替換，寫成數學形式表示為：
因訊號的分析上面，要做壓縮或是簡化時候，通常會使用離散的時間來考慮，因此，離散的短時距傅立葉變換被使用來分析離散的訊號。
第一種表示方式，稱做為直觀的改寫，寫成數學形式表示為：
並滿足取樣定理，如此一來就能得到離散的短時間傅立葉變換，並由此來分析訊號，但若使用直觀的改寫來執行，雖然可以得到數據，但複雜度相對的複雜，所花費的時間過多，因此，便有簡化的方式產生，由上式可知，是類似，因此我們可以由離散的數學式子使用(FFT)來改寫。
第二種表示方式為，以FFT為基礎的改寫方式，寫成數學形式表示為：
由上式可知，在右半邊的可以利用快速傅立葉變換(FFT)為N來得出結果，因此複雜度會比第一種直接改寫的方式來的快速許多，但相對來說，就有幾個限制條件需要符合，第一：，N為整數，第二：，第三：取樣定理，若滿足以上條件，就能使用第二種型式的運算，接著因為使用方波訊號，在離散傅立葉變換(DFT)中會與下一個值的數值有關，因此可以更加簡化DFT的運算量。
所以第三種形式為，基於快速傅立葉變換的遞迴公式，寫成數學形式表示為：
但只有在為方波的情況時才能滿足，但從原本的連續STFT來看時，所用的限制並不只在於方波，因此第三種方在實做不是很常見，接著因為可以從DFT來改寫數學形式，因此使用CZT(chirp-Z轉換)來做為使用的方法為：
若使用CZT來表示STFT時，雖然運算量平均會比第二，三種以FFT基礎模型來的慢，但是可以放寬一個限制條件，，N為整數，這也是一種可行的改寫方式，由連續的STFT變成離散的STFT，再使用為方波的情況底下，可以有四種方式來計算出最後相同的結果，因此複雜度(運算量)的問題相對來說非常重要。
有四種方式都可以得到出最後的結果，因此要來討論複雜度(運算量)的高低，才能更快速的把訊號處理，假設n有T點，m有F點，首先來看第一種直接的改寫，又稱為暴力法，每個n點和m點都要做2Q+1次的運算，我們可以簡單的看出其複雜度為：
第二種以FFT為基礎的模型，因為每個FFT所需乘法個數為 ，加法個數為，其乘法運算較複雜為主要複雜度指標，因此每做一個FFT所需運算量為，並且有n個點，其複雜度為：
第三種FFT為基礎的遞迴公式，只要先算出一個n點的FFT，其他的點數用遞迴的方式就能算出，因此後面是剩下的T-1個點對應到每個F點上的運算量，其複雜度為：
最後一種使用CZT來改寫的方式，可以套用CZT的複雜度來計算在部分有2Q+1點，在部分有2Q+F點，所以要做4Q+F點的FFT，並且做兩次，還有部分附加的2Q+1的乘法和外面F點的乘法，對於每個n點都要做一次，因此其複雜度為：
這四種複雜度的平均比較為：第三種&第二種&第四種&第一種，在某些特殊的例子中，F點數很少時，第四種的複雜度有可能會小於第三種，但最通用的使用方法，還是第二種以FFT為基礎的改寫方式。
Jian-Jiun Ding, Time frequency analysis and wavelet transform class note,the Department of Electrical Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2009.丁香客App是丁香园社区的官方应用，聚合了丁香园论坛和丁香客的精彩内容。医生可通过丁香客App浏览论坛，也可以在这个医生群集的关系网络中分享和互动，建立更广泛的学术圈子。
扫描二维码下载
今日：22 | 主题：383141 | & 收藏本版
每发1个新帖可以获得0.5个丁当奖励
【科普】通俗解释离散傅立叶变换 by MIT
【科普】通俗解释离散傅立叶变换 by MIT
分享到哪里？
这个帖子发布于5年零64天前，其中的信息可能已发生改变或有所发展。
MIT news November 25, 2009Explained: The Discrete Fourier TransformThe theories of an early-19th-century French mathematician have emerged from obscurity to become part of the basic language of engineering.In 1811, Joseph Fourier, the 43-year-old prefect of the French district of Isère, entered a competition in heat research sponsored by the French Academy of Sciences. The paper he submitted described a novel analytical technique that we today call the Fourier transform, and it but the prize jury declined to publish it, criticizing the sloppiness of Fourier’s reasoning. According to Jean-Pierre Kahane, a French mathematician and current member of the academy, as late as the early 1970s, Fourier’s name still didn’t turn up in the major French encyclopedia the Encyclop&dia Universalis.Now, however, his name is everywhere. The Fourier transform is a way to decompose a signal into its constituent frequencies, and versions of it are used to generate and filter cell-phone and Wi-Fi transmissions, to compress audio, image, and video files so that they take up less bandwidth, and to solve differential equations, among other things. It’s so ubiquitous that “you don’t really study the Fourier transform for what it is,” says Laurent Demanet, an assistant professor of applied mathematics at MIT. “You take a class in signal processing, and there it is. You don’t have any choice.”The Fourier transform comes in three varieties: the plain old Fourier transform, the Fourier series, and the discrete Fourier transform. But it’s the discrete Fourier transform, or DFT, that accounts for the Fourier revival. In 1965, the computer scientists James Cooley and John Tukey described an algorithm called the fast Fourier transform, which made it much easier to calculate DFTs on a computer. All of a sudden, the DFT became a practical way to process digital signals.Summing together only three discrete frequencies can produce a much more erratic composite. The Fourier transform provides a way to decompose signals into their constituent frequencies.To get a sense of what the DFT does, consider an MP3 player plugged into a loudspeaker. The MP3 player sends the speaker audio information as fluctuations in the voltage of an electrical signal. Those fluctuations cause the speaker drum to vibrate, which in turn causes air particles to move, producing sound.An audio signal’s fluctuations over time can be depicted as a graph: the x-axis is time, and the y-axis is the voltage of the electrical signal, or perhaps the movement of the speaker drum or air particles. Either way, the signal ends up looking like an erratic wavelike squiggle. But when you listen to the sound produced from that squiggle, you can clearly distinguish all the instruments in a symphony orchestra, playing discrete notes at the same time.That’s because the erratic squiggle is, effectively, the sum of a number of much more regular squiggles, which represent different frequencies of sound. “Frequency” just means the rate at which air molecules go back and forth, or a voltage fluctuates, and it can be represented as the rate at which a regular squiggle goes up and down. When you add two frequencies together, the resulting squiggle goes up where both the component frequencies go up, goes down where they both go down, and does something in between where they’re going in different directions.The DFT does mathematically what the human ear does physically: decompose a signal into its component frequencies. Unlike the analog signal from, say, a record player, the digital signal from an MP3 player is just a series of numbers, representing very short samples of a real-world sound: CD-quality digital audio recording, for instance, collects 44,100 samples a second. If you extract some number of consecutive values from a digital signal — 8, or 128, or 1,000 — the DFT represents them as the weighted sum of an equivalent number of frequencies. (“Weighted” just means that some of the frequencies count more than others toward the total.)The application of the DFT to wireless technologies is fairly straightforward: the ability to break a signal into its constituent frequencies lets cell-phone towers, for instance, disentangle transmissions from different users, allowing more of them to share the air.The application to data compression is less intuitive. But if you extract an eight-by-eight block of pixels from an image, each row or column is simply a sequence of eight numbers — like a digital signal with eight samples. The whole block can thus be represented as the weighted sum of 64 frequencies. If there’s little variation in color across the block, the weights of most of those frequencies will be zero or near zero. Throwing out the frequencies with low weights allows the block to be represented with fewer bits but little loss of fidelity.Demanet points out that the DFT has plenty of other applications, in areas like spectroscopy, magnetic resonance imaging, and quantum computing. But ultimately, he says, “It’s hard to explain what sort of impact Fourier’s had,” because the Fourier transform is such a fundamental concept that by now, “it’s part of the language.”Link:
biobot edited on
回复：【科普】通俗解释离散傅立叶变换 by MIT
分享到哪里？
Explained: The Discrete Fourier TransformThe theories of an early-19th-century French mathematician have emerged from obscurity to become part of the basic language of engineering.离散傅立叶变换---19世纪早期一位法国数学家的理论起初不被关注，而今已成为了基本的工程语言之一。In 1811, Joseph Fourier, the 43-year-old prefect of the French district of Isère, entered a competition in heat research sponsored by the French Academy of Sciences. The paper he submitted described a novel analytical technique that we today call the Fourier transform, and it but the prize jury declined to publish it, criticizing the sloppiness of Fourier’s reasoning. According to Jean-Pierre Kahane, a French mathematician and current member of the academy, as late as the early 1970s, Fourier’s name still didn’t turn up in the major the major French encyclopedia the Encyclop&dia Universalis.1811年，43岁的法国伊泽尔省省长约瑟夫·傅立叶，参加了一个由法国科学学会举办的热力学研究竞赛。在他递交的论文中描述了一种新颖的分析技术，也就是今天我们所说的傅立叶变换，并以此赢得了比赛；但是奖赏评委会拒绝发表这篇论文，指谪傅立叶的推理混乱。据曾是当时学会成员的一位法国数学家Jean-Pierre Kahane所说，直至20世纪70年代早期，傅立叶的名字还仍未出现在主要的法国百科全书及世界百科全书里。Now, however, his name is everywhere. The Fourier transform is a way to decompose a signal into its constituent frequencies, and versions of it are used to generate and filter cell-phone and Wi-Fi transmissions, to compress audio, image, and video files so that they take up less bandwidth, and to solve differential equations, among other things. It’s so ubiquitous that “you don’t really study the Fourier transform for what it is,” says Laurent Demanet, an assistant professor of applied mathematics at MIT. “You take a class in signal processing, and there it is. You don’t have any choice.”尽管如此，如今他的名字尽人皆知。傅立叶变换是一种将信号分解成若干频率成分的方法，它的衍生形式用于产生和过滤手机和无线上网传输信号，压缩声音 、图象、 视频文件从而使它们占据更少的带宽，可以用来解微分方程，还有其他应用。它几乎无所不在，”你无需刻意去学傅立叶变换究竟是什么”，一位MIT应用数学的助理教授 Laurent Demanet这样说，“你上一堂信号处理的课，你就知道它是什么了，你无法避开它”。The Fourier transform comes in three varieties: the plain old Fourier transform, the Fourier series, and the discrete Fourier transform. But it’s the discrete Fourier transform, or DFT, that accounts for the Fourier revival. In 1965, the computer scientists James Cooley and John Tukey described an algorithm called the fast Fourier transform, which made it much easier to calculate DFTs on a computer. All of a sudden, the DFT became a practical way to process digital signals.傅立叶变换可分为三个类型：简单旧式傅立叶变换，傅立叶级数和离散傅立叶变换。但是只有离散傅立叶变换 或者叫DFT才引起了傅立叶的再流行。1965年，计算机科学家James Cooley和John Tukey描述了一个称之为快速傅立叶变换的算法，它能更容易地在电脑上计算DFTs。出乎意料地，DFT竟成为了处理数字信号的一个实用方法。Summing together only three discrete frequencies can produce a much more erratic composite. The Fourier transform provides a way to decompose signals into their constituent frequencies.将三种单一离散频率叠加起来可以形成一个更加不规律的组合，傅立叶变换提供了一种将信号分解成各自频率成分的方法。To get a sense of what the DFT does, consider an MP3 player plugged into a loudspeaker. The MP3 player sends the speaker audio information as fluctuations in the voltage of an electrical signal. Those fluctuations cause the speaker drum to vibrate, which in turn causes air particles to move, producing sound.我们以一个接有喇叭的mp3播放器为例来大体了解一下DFT是什么。mp3播放器以电信号电压波动的形式传递给喇叭声音信息，这些波动引发喇叭鼓动，并依次引起空气粒子的运动，从而产生声音。An audio signal’s fluctuations over time can be depicted as a graph: the x-axis is time, and the y-axis is the voltage of the electrical signal, or perhaps the movement of the speaker drum or air particles. Either way, the signal ends up looking like an erratic wavelike squiggle. But when you listen to the sound produced from that squiggle, you can clearly distinguish all the instruments in a symphony orchestra, playing discrete notes at the same time.一个基于时域的音频信号波动可以用图表来描述：X轴为时间，Y轴为电信号电压，或者为喇叭鼓或空气粒子的运动。无论哪种方法，信号最终看到的都是看起来像不规则波浪形的波形曲线。但是当你听由波形曲线产生的声音时，你能清晰地分辨出一个交响乐团里的所有乐器，它们同时奏鸣各自特色的音符。That’s because the erratic squiggle is, effectively, the sum of a number of much more regular squiggles, which represent different frequencies of sound.“Frequency” just means the rate at which air molecules go back and forth, or a voltage fluctuates, and it can be represented as the rate at which a regular squiggle goes up and down. When you add two frequencies together, the resulting squiggle goes up where both the component frequencies go up, goes down where they both go down, and does something in between where they’re going in different directions.那是因为不规则的波形曲线事实上由多个规则波形曲线叠加起来的，而每一个代表着声音的不同频率。"频率"通常是指空气粒子来回运动的速率或者电压的波动，所以它能代表一个规则波形曲线上下波动的节律。当你将2个频率叠加起来时，频率成分都向上最终的波形曲线也向上，二者都向下最终的波形曲线也向下，在二者方向不同的地方也同样道理。The DFT does mathematically what the human ear does physically: decompose a signal into its component frequencies. Unlike the analog signal from, say, a record player, the digital signal from an MP3 player is just a series of numbers, representing very short samples of a real-world sound: CD-quality digital audio recording, for instance, collects 44,100 samples a second. If you extract some number of consecutive values from a digital signal — 8, or 128, or 1,000 — the DFT represents them as the weighted sum of an equivalent number of frequencies. (“Weighted” just means that some of the frequencies count more than others toward the total.)DFT以数学的方式实现了人耳物理性的功能：把一个信号分解成它的频率成分。不同于录音机的模拟信号，mp3播放器的数字信号是由一系列代表真实世界声音的非常短小的样本组成的：是CD品质的的数字声音记录，比方说，一秒钟集合了44100份样本。如果你从一个数字信号中提取出一定数目的相邻值-8，或128，或1000-那么DFT就将它们表示为频率等价数目的加权和。（“加权”是指某些频率相较总量比其他所占的比重多。）The application of the DFT to wireless technologies is fairly straightforward: the ability to break a signal into its constituent frequencies lets cell-phone towers, for instance, disentangle transmissions from different users, allowing more of them to share the air.DFT应用于无线网络技术相当简便：比如，将信号分解成频率成分的性质可以使手机信号塔区分开不同用户的信息传输，容许更多的信息分享传输空间。The application to data compression is less intuitive. But if you extract an eight-by-eight block of pixels from an image, each row or column is simply a sequence of eight numbers — like a digital signal with eight samples. The whole block can thus be represented as the weighted sum of 64 frequencies. If there’s little variation in color across the block, the weights of most of those frequencies will be zero or near zero. Throwing out the frequencies with low weights allows the block to be represented with fewer bits but little loss of fidelity.关于数据压缩的应用缺乏直观性的。但是如果你要从一副图像中提取出一个8×8大小的像素元块，每一行或列都是简单的8个数量的序列-就像有8个样品的数字信号。那么，整个元块就可以用64的频率的的加权和代表。如果元块内颜色变化范围不大的话，大多数这些频率的权重都是0或接近0。丢掉低权重的频率就能允许在少失保真度的前提下用更少的字节代表元块了。Demanet points out that the DFT has plenty of other applications, in areas like spectroscopy, magnetic resonance imaging, and quantum computing. But ultimately, he says, “It’s hard to explain what sort of impact Fourier’s had,” because the Fourier transform is such a fundamental concept that by now, “it’s part of the language.”Demanet指出DFT在其他领域还有许许多多的应用，比如像波谱学，核磁共振，和量子计算机。但是最后，他说：“很难解释傅立叶到底有何种的影响”，因为傅立叶变换如今是那样基本的概念，”它已经成为了一种语言。’
biobot edited on
回复：【科普】通俗解释离散傅立叶变换 by MIT
分享到哪里？
编译：离散傅立叶变换---19世纪早期一位法国数学家的理论起初不被关注，而今已成为了基本的工程语言之一。
1811年，43岁的法国伊泽尔省省长约瑟夫·傅立叶，参加了一个由法国科学学会举办的热力学研究竞赛。在他递交的论文中描述了一种新颖的分析技术，也就是今天我们所说的傅立叶变换，并以此赢得了比赛；但是奖赏评委会拒绝发表这篇论文，指谪傅立叶的推理混乱。据曾是当时学会成员的一位法国数学家Jean-Pierre Kahane所说，直至20世纪70年代早期，傅立叶的名字还仍未出现在主要的法国百科全书及世界百科全书里。
尽管如此，如今他的名字尽人皆知。傅立叶变换是一种将信号分解成若干频率成分的方法，它的衍生形式用于产生和过滤手机和无线上网传输信号，压缩声音 、图象、 视频文件从而使它们占据更少的带宽，可以用来解微分方程，还有其他应用。它几乎无所不在，”你无需刻意去学傅立叶变换究竟是什么”，一位MIT应用数学的助理教授 Laurent Demanet这样说，“你上一堂信号处理的课，你就知道它是什么了，你无法避开它”。
傅立叶变换可分为三个类型：简单旧式傅立叶变换，傅立叶级数和离散傅立叶变换。但是只有离散傅立叶变换 或者叫DFT才引起了傅立叶的再流行。1965年，计算机科学家James Cooley和John Tukey描述了一个称之为快速傅立叶变换的算法，它能更容易地在电脑上计算DFTs。出乎意料地，DFT竟成为了处理数字信号的一个实用方法。
我们以一个接有喇叭的mp3播放器为例来大体了解一下DFT是什么。mp3播放器以电信号电压波动的形式传递给喇叭声音信息，这些波动引发喇叭鼓动，并依次引起空气粒子的运动，从而产生声音。
一个基于时域的音频信号波动可以用图表来描述：X轴为时间，Y轴为电信号电压，或者为喇叭鼓或空气粒子的运动。无论哪种方法，信号最终看到的都是看起来像不规则波浪形的波形曲线。但是当你听由波形曲线产生的声音时，你能清晰地分辨出一个交响乐团里的所有乐器，它们同时奏鸣各自特色的音符。
那是因为不规则的波形曲线事实上由多个规则波形曲线叠加起来的，而每一个代表着声音的不同频率。"频率"通常是指空气粒子来回运动的速率或者电压的波动，所以它能代表一个规则波形曲线上下波动的节律。当你将2个频率叠加起来时，频率成分都向上最终的波形曲线也向上，二者都向下最终的波形曲线也向下，在二者方向不同的地方也同样道理。
DFT以数学的方式来实现了人耳物理性的功能：把一个信号分解成它的频率成分。不同于录音机的模拟信号，mp3播放器的数字信号是由一系列代表真实世界声音的非常短小的样本组成的：是CD品质的的数字声音记录，比方说，一秒钟集合了44100份样本。如果你从一个数字信号中提取出一定数目的相邻值-8，或128，或1000-那么DFT就将它们表示为频率等价数目的加权和。（“加权”是指某些频率相较总量比其他所占的比重多。）
DFT应用于无线网络技术相当简便：比如，将信号分解成频率成分的性质可以使手机信号塔区分开不同用户的信息传输，容许更多的信息分享传输空间。
关于数据压缩的应用缺乏直观性的。但是如果你要从一副图像中提取出一个8×8大小的像素元块，每一行或列都是简单的8个数量的序列-就像有8个样品的数字信号。那么，整个元块就可以用64的频率的的加权和代表。如果元块内颜色变化范围不大的话，大多数这些频率的权重都是0或接近0。丢掉低权重的频率就能允许在少失保真度的前提下用更少的字节代表元块了。
Demanet指出DFT在其他领域还有许许多多的应用，比如像波谱学，核磁共振，和量子计算机。但是最后，他说：“很难解释傅立叶到底有何种的影响”，因为傅立叶变换如今是那样基本的概念，”它已经成为了一种语言。’
胭脂 edited on
关于丁香园