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数学定理的再发现2
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【数学不讲理】02勾股定理和毕达哥拉斯
视频介绍：
勾股定理是一个最基本的几何定理，那么关于勾股定理的故事，你又知道哪些呢？赶紧来看看吧！
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学习考试热播榜谁有费马大定理的证明过程？
谁有费马大定理的证明过程？
08-12-04 &
历史上有许多人，他们在主要从事的工作方面没有取得什么成果，而在平常茶余饭后的闲暇时间里却取得了了不起的成就。费马就是一个典型。在今天，人们提到皮埃尔·德·费马（），主要不是因为他是一个政治家或法官，而是因为他是一个出色的业余数学家。费马在数学的许多领域都进行过研究并小有建树，但真正令他名满天下的是被后人称之为“费马大定理”的猜想。 费马大定理的表述很简单：对于正整数，不可能将一个高于2次的幂写成两个同次幂的和。换句话说就是，方程Xn＋Yn＝Zn，当n＞2时，不存在正整数解。在一本书的页边，费马写到：我有一个对这个命题的十分优美的证明，这里空白太小，写不下。 从此包括大数学家欧拉、柯西在内的无数智者都曾为此殚精竭智，虽然每次都能向前迈进一小步，但都未能最终证明费马大定理。300多年来，很多人声称找到了解决这个难题的办法，然而每一次均为人所推翻。从费马大定理本身来说，证明不证明它对数学的发展没有多大意义。但一方面，这是对智慧的挑战；另一方面，数学家们从证明费马大定理的过程中得到了许多意外的收获，一些新的数学分支和方法正是在对它的研究中产生的。因而，费马大定理的证明一直受到人们 的关注。 关于费马大定理也有不少小插曲，德国人保罗·沃尔夫斯凯尔为费马大定理设立专项基金即是其中之一。按照人们的一般说法，沃尔夫斯凯尔因为失恋而试图结束自己的生命。在他认为一切就绪，准备于某日午夜准时开枪自尽前的一段时间里，发现了一篇关于费马大定理的论文。碰巧的是，沃尔夫斯凯尔本人是一个数学爱好者，不知不觉中竟沉湎于论文中，结果错过了原定的自杀时间。之后，沃尔夫斯凯尔放弃了自杀的念头，并在死前留下遗嘱，把一大笔财富作为奖给第一个证明费马大定理的人，有效期到2007年。 美国普林斯顿大学教授安德鲁·怀尔斯经过7年的潜心研究，于1993年公布了他对费马大定理的证明。他的证明在1995年得到确认并最终获得了沃尔夫斯凯尔留下的奖金。 怀尔斯的证明长达一百多页，其中涉及许多最新的数学知识，目前在世界范围内能看懂的人也屈指可数。因此出现了这样的争议：有人认为这不可能是当年费马所想到的证明，应该还有种比这简单的证明未被发现；但也有许多人倾向于认为当年的费马其实毫无发现，或者只是想到了一个错误的方法。 1637年，费马在阅读丢番图《算术》拉丁文译本时，曾在第11卷第8命题旁写道：“将一个立方数分成两个立方数之和，或一个四次幂分成两个四次幂之和，或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和，这是不可能的。关于此，我确信已发现 一种美妙的证法 ，可惜这里空白的地方太小，写不下。”毕竟费马没有写下证明，而他的其他猜想对数学贡献良多，由此激发了许多数学家对这一猜想的兴趣。数学家们的有关工作丰富了数论的内容，推动了数论的发展。 对得多不同的 n，费马定理早被证明了。但数学家对一般情况在首二百年内仍一筹莫展。 1908年，德国佛尔夫斯克宣布以10万马克作为奖金奖给在他逝世后一百年内，第一个证明该定理的人。 1983年， Gerd Faltings 证明了 Mordell conjecture 从而得出当 n & 2 时（n为整数），不存在互质的 a，b，c 使得 an + bn = cn。 1986年，Gerhard Frey 提出了“epsilon 猜想”：若存在 a, b, c 使得an + bn = cn，即费马大定理是错的，则椭圆曲线 y2 = x(x-an)(x + bn) 会是谷山志村猜想的一个反例。Frey 的猜想随即被 Kenneth Ribet 证实。此猜想显示了费马大定理与椭圆曲线及 modular forms 的密切关系。 1995年，怀尔斯和泰勒在一特例范围内证明了谷山志村猜想，Frey 的椭圆曲线刚好在这一特例范围内，从而证明了费马大定理。 怀尔斯证明费马大定理的过程亦甚具戏剧性。他用了七年时间，在不为人知的情况下，得出了证明的大部分；然后于1993年6月在一个学术会议上宣布了他的证明，并瞬即成为世界头条。但在审批证明的过程中，专家发现了一个极严重的错误。怀尔斯和泰勒然后用了近一年时间尝试补救，终在1994年9月以一个之前怀尔斯抛弃过的方法得到成功。他们的证明刊在1995年的Annals of Mathematics之上。
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费马大定理的“美妙证明”作者：易衍文（80岁）前  言中科院数学研究机关有个不成文的规定：“凡是涉及费马大定理和哥德巴赫猜想的文章，必须经过至少两名大学数学教授的推荐”，否则，他们不予受理。我的论文，高于“两名大学数学教授的推荐”，初稿已经发表在2000年第4期《科学》杂志，题目是：《费马大定理与丢番图数学命题的婚礼》。《科学》杂志是具有国际学术权威性的刊物，一般人看不到或者不去看。现在，为了让一般群众都能了解什么是费马大定理，点燃群众性的“数学热情”；现重新改写，使它更加通俗易懂，更加贴近群众；使它从高深的和神圣的“数学殿堂”中走出来，让广大群众一睹它的真面目。这就是大数学家陈省身大师所提倡的“通俗数学”。陈省身大师已逝。他的两个愿望我们应当牢记：一、希望数学走进千家万户；二、希望中国成为21世纪的“数学大国”。（一）什么是费马大定理的“美妙证明”？我们得从头说起。皮埃尔o费马（Fermat）是十七世纪法国一位业余数学家，他本人职业是律师。1637年他在阅读《丢番图著作》（Diuphantus）第八命题时，他在书的空白处写下一段话，他写道：“将一个立方数分为两个立方数，将一个四次幂或一般高于二次幂的数，分为两个同次幂的数，这是不可能的。”（重点号是笔者所加），他又说：“关于此，我确信已经发现了一种美妙的证明，可惜这里空白太小，写不下。”费马死后三百多年，人们承认他头脑中的那个“美妙证明”，故称之为定理，而不是猜想，更不是一般的称之为数学命题。可是，经过三百多年的时间，却没有一个人能够“破译”出费马的“美妙证明”，因而费马大定理成为了世界顶级数学难题。费马大定理用数学的语言表达出来，应当是：An+Bn≠Cn(当n≥3时)，或者说：An+Bn=Cn(当n≥3时)没有整数解。1994年英国数学教授威尔斯（Wiles）宣称他证明了费马大定理。1996年出席了在德国召开的“世界数学大会”，领到了德国颁发的数学奖金（为费马大定理设立的专项奖金），他的论文长达140页(有说200页)。事后，美国著名数学教授Kenneth  A  Ribet撰文《费马的最后抵抗》（《科学》杂志1998年2月号）提出了质疑，他指出：所有数学家一致认为，威尔斯（Wiles）的证明太复杂，太现代化了，不可能是费马当年在页边空白处写下的那一段话时脑中所想到的证明。二者必居其一：要么是费马自己弄错了；要么就真的还有一个简单而巧妙的证明等待数学家们去发现。这段话讲得对极了。（二）费马大定理的巧妙证明，被我发现了。可是花去了我二十多年的时间，走了不少的弯路。后来拜读了重庆师范学院方镇华教授所著《简明数学史》，发现费马大定理，不是放在月宫里的明珠，也不是放在第118层楼的宝石。方镇华老师告诉我：费马当年，世界还处在“初等数学时期”。费马其人，是一普通的业余数学爱好者，本人职业是律师。想必他还没学过什么变量数学、近代数学和现代数学。古希腊时代的丢番图数学、毕达哥拉斯定理和中国孔夫子时代的数学水平相比，似乎还有差距。勾股弦定理早于毕达哥拉斯定理。古希腊的历史，比中国奴隶社会（夏禹时期）要晚一千多年。据美国一位数学家讲：费马当年，对中国古数学很感兴趣，也许可称之为中国古数学的“门生”。美国的数学家讲：研究中国古数学，也许就是打开“未来数学”宝库 “芝麻开门” 的魔咒。美国数学家希望中国人：要珍惜自己的历史，要珍惜自己的宝藏，不要手捧“外国月亮”。中国有足够的条件，可以成为世界“数学大国”。这些也许是废话，不说不好，说了罗嗦，只好拉倒，书归正传：我的论文《费马大定理与丢番图数学命题的婚礼》，是把两个数学命题捆绑在一起来研究的。丢番图第八命题说：将一个平方数分为两个平方数，（如：52=32+42），用数学语言表达，记为：a2+b2=c2。费马大定理说：“将一个立方数分为两个立方数，将一个四次幂或一般高于二次幂的数，分为两个同次幂的数，这是不可能的。”用数学语言表达为：an+bn≠cn，(当n≥3时)；或者说：an+bn=cn，(当n≥3时)；没有整数解。为什么自然数的平方c2，可分为a2+b2？而3次幂以上的自然数不可能分为两个同次幂的数呢？费马发现：a2+b2=c2,也就是毕达哥拉斯定理(中国叫勾股弦定理)，它所表示的是直角三角形三个边长的关系。毕氏定理，有整数解，如：a=3 b=4 c=5;古希腊人将这种数称之为“毕氏三组数”。费马想到：按通常情况a2+b2是不等于c2的，应当是a2+b2≠c2.∵ 若a+b=c, 则(a+b)2=c2,  展开后 a2+2ab+b2=c2,右端多出 2ab,∴a2+b2≠c2可是，为什么在毕氏定理中a2+b2=c2能够成立呢？他终于发现了一个”秘密”。在毕氏定理中，引进了一个补数r,毕氏三数组，应该是毕氏四数组。于是   a+b=c+r,(a+b)2=(c+r)2,展开后 a2+2ab+b2=c2+2cr+r2；∵ 在直角三角形中，2ab=2cr+r2，两端减等量后得：a2+b2=c2 （简化式）    如：a=3 b=4 c=5 r=2(3+4)2=(5+2)2展开后 32+2o3o4+42=52+2o5o2+22，左端  2o3o4=24右端  2o5o2+22=24；∴ 可简化为 32+42=52。费马大定理的无整数解，或者说不可能分成两个3次幂以上的自然数，这是因为： an+bn=cn ，(当n≥3时)， 在数学中根本不能成立，它脱离了直角三角形那种数与形的特殊关系，即便也引进一个补数r,仍然不能成立。如：(a+b)3=(c+r)3，展开：a3+3a2b+3ab2+b3=a3+3c2r+3cr2+r3左端的3a2b+3ab2≠右端的3c2r+3cr2+r3∴ 不能将其简化为：a3+b3=c3,即a3+b3≠c3,在引进补数r后，n的幂次越高，则:an+bn越是不等于cn，∴an+bn≠cn,(当n≥3时),或者说：an+bn=cn,(当n≥3时),没有整数解。费马大定理就是这样简单地被我证明了, 我先是证明“毕达哥拉斯定理”，而最后推证费马大定理，步骤不是很多吧。结论：费马的“美妙证明”，大概就是因为他发现了a2+b2=c2是一个特殊的简化式，这个简化式，是经过引进一个补数r后，在直角三角形的三个边长关系中，才能简化成a2+b2=c2，若脱离了直角三角形“数和形”的关系，则a2+b2=c2是不能成立的。当然，an+bn=cn,(当n≥3时)，就更不能成立，即没有整数解。（三）在讲完费马大定理的证明后，我们再回到丢番图第八命题：“将一个平方数C2分为两个平方数a2+b2”，数学表达式：a2+b2=c2是能够成立的，并且有无限多的整数解，其解法：（A）公式：当a为奇数时，b=（a2-1）/2，c=（a2+1）/2，r=a-1;计算数据为：a 3 5 7 9 11 13 15 17 19 ……b 4 12 24 40 60 84 112 144 180 ……c 5 13 25 41 61 85 113 145 181 ……r 2 4 6 8 10 12 14 16 18 ……(A)表中所有的数,都符合: a2+b2=c2.(B)公式：当a为偶数时，b=a2/4-1,c=a2/4+1;r=a-2.计算数据为：a 4 6 8 10 12 14 16 18 ……b 3 8 15 24 35 48 63 80 ……c 5 10 17 26 37 50 65 82 ……r 2 4 6 8 10 12 14 16 ……(B)表中所有的数，都符合: a2+b2=c2.我的论文,一共证明了三个问题：(1) 毕达哥拉斯定理a2+b2=c2为什么能够成立；(2) 费马大定理：an+bn=cn,(当n≥3时)，不能成立，即没有整数解;(3) 丢番图第八命题（又称丢番图方程），有无限多的整数解；（见前面运算公式及A、B二表）。说明：这里（A）、（B）两个公式及其所计算的数据，只供证明丢番图第八命题（丢番图方程）的有解性，作为三个边长都是整数的直角三角形，还有其他解法，别人已经发现。此外，根据相似三角形可按等比例放大的原理，（A）、（B）两表中的数都可以“等比放大”。于是推导出公式：(ak)2+(bk)2=(ck)2      (k=1.2.3…………….n)（相似三角形等比放大原理）例如：a=5 b=12 c=13 k=113则有：（5×113）2+（12×113）2=（13×113）2      =14692另外：当n=4   an+bn=cn 可能有少数整数解，这是前人发现的，我没有读过，不敢对其发表意见。恳请广大群众及数学爱好者、数学家指正，谢谢。-------------------------------------------------------------------[论文作者]：易衍文，世界语笔名：Densa Arbaro，现年80岁，曾在中国人民解放军中任上尉炮兵参谋，学习过测量学、平面三角、球面三角、解析几何、概率论、数论等高等数学，1960年上半年曾被邀请到炮兵学院讲课，讲授《公算原理》（即概率论）及《炮兵射击分析》等课程，1963年转业后，在国营大中型企业任会计师，获得“会计师”职称，现退休已达20年。通讯地址：重庆市万州区北山路摩天巷9号3-503室邮编：404000      联系电话：023-
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网上公开感谢信尊敬的E-amo老师：向您表示诚挚的敬意和衷心的感谢！并想通过您打听：原重庆师范学院方镇华教授，请代我向他表示感谢！我在研究费马大定理过程中，如果不读他的书（《简明数学史》），那是“丈二和尚，摸不到头脑”；或者说“摸不到door的。”像我这样极普通的业余数学爱好者，怎敢闯进高深的和神圣的数学殿堂呢？所以我要感谢他！现在，我的那篇文章《费马大定理的美妙证明》已经上网（《通俗数学论坛》、《数学中国》、《数学爱好者》的相关专栏），它将公开接受各方面的严格审查，特别是数学家的审查。实践是检验真理的唯一标准。如果经不起审查，自垮了，那是活该。我以网上公开信的形式寄给您，也是希望得到更多人的审查，特别是希望我国重量级的学者何祚庥院士、方舟子博士、司马南等能够替我辩明真伪。有人说：数学是科学，它只有对与错，没有什么真伪之别，我不同意这个看法。在三位重量级的学者面前，照说我连申请审查的资格都不够。不过我请求出于对学术研究的认真态度和负责的精神，破个例吧！杀鸡不用牛刀，我的文章只用了初等数学，所以只需用一把小刀——初等数学来解剖即可。把话说得更明白点，如何审查?其实只需要一般的算术、代数之类的学问就足够，连初中学生都可以做我的老师、做审查员、裁判员，方法就是：把具体数字装入公式里，计算它一下就行了。数学中有些貌似高深的理论，看起来“雾里赏花、水中捞月”，需要借一双慧眼，才能看得清清楚楚、真真切切。而我的文章，能够识别真假的慧眼，我相信可以有千千万万“双”。毛泽东同志讲：世界上怕就怕“认真”二字。共产党就最讲“认真”。凡是对我的文章认真审查的人，我都衷心感谢！只有那种连看都不屑一看，就鼻子一哼说声“不得行”的人，我对他很厌恶。我不希望得到什么权威的承认，更没有想得什么大奖。我是80高龄的退休老人，死后一切都带不走。但是，为了探索真理，我的基本态度是：真心欢迎更多的人对我的文章作出辨析。致绿星之礼！Samideano sincere via真名：易衍文Esp-nomo：Densa Arbaro I08/21/2009  勿草。
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怎么证明2ab=2cr+r2
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