若f（x）+f[（x-1）/x]=1+...

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2011-10-03 14:15 标签： 若1小于x小于5 化简
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（高三数学）20
已知函数f(x)＝2ex－ax－2(a∈R)
(1)讨论函数的单调性；
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display: 'inlay-fix'考点：利用导数研究函数的极值,导数在最大值、最小值问题中的应用
专题：导数的综合应用
分析：（1）由题意可得函数f（x）在区间（t，t+14）上存在极值，即f′（x）=0在（t，t+14）上有实数解，利用导数解得即可；（2）由（1）可得f（x）在[e，+∞）上单调递减，故x1＞x2≥e时，恒有|f（x1）-f（x2）|≥k|1x1-1x2|，等价于f(x2)-kx2≥f(x1)-kx1，在[e，+∞）上恒成立．令F（x）=f（x）-kx，则上述问题等价于函数f（x）在[e，+∞）上单调递减，利用导数解得即可；（3）由（1）知，在x∈（0，+∞）时，f（x）≤1，n≤1．结合函数f（x）的图象与直线y=x的交点可知，存在实数m，n符合题意，其中n=1．故只要证明f（x）=x在（0，1）内有一解，即x2-1-lnx=0在（0，1）内有一解，令g（x）=x2-1-lnx，（x＞0），利用判断函数的单调性，证明函数在（0，1）上有零点，即可得出结论．
解：（1）由f（x）=1+lnxx．x＞0得f′（x）=-lnxx2，∴当0＜x＜1时，f′（x）＞0，当x＞1时，f′（x）＜0，∴函数f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，∴f（x）在x=1处取得极大值，f（x）极大值=f（1）=1，∴t＜1＜t+14，解得34＜t＜1，即实数t的取值范围是（34，1）．（2）由（1）知f（x）在[e，+∞）上单调递减，∵x1＞x2≥e，由|f（x1）-f（x2）|≥k|1x1-1x2|得f（x2）-f（x1）≥kx2-kx1，即f(x2)-kx2≥f(x1)-kx1，恒成立．令F（x）=f（x）-kx，则上述问题等价于函数f（x）在[e，+∞）上单调递减，又F（x）=1+lnxx-kx，∴F′（x）=-k-lnxx2≤0在[e，+∞）上恒成立，得k≤lnx在[e，+∞）上恒成立，而lnx在[e，+∞）上的最小值为lne=1，故得k≤1．（3）由（1）知，在x∈（0，+∞）时，f（x）≤1，∴n≤1．结合函数f（x）的图象与直线y=x的交点可知，存在实数m，n符合题意，其中n=1．故只要证明f（x）=x在（0，1）内有一解，即x2-1-lnx=0在（0，1）内有一解，令g（x）=x2-1-lnx，（x＞0），则g′（x）=2x2-1x，由g′（x）=0得，x=22，∴当x∈(0，22)时，g′（x）＜0，当x∈(22，+∞)时，g′（x）＞0，∴在（0，1）上，g（x）min=g（22）=-12+12ln2=12（ln2-1）＜0．又g（1e）=1e2-1-ln1e=1e2＞0，∴存在x0∈(1e，22)?(0，1)，使得g（x0）=0，满足f（x0）=x0，即f（x）=x在（0，1）内有一解．综上所述，存在实数m，n（m＜n），满足当x∈[m，n]时f（x）的值域为[m，n]．
点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值等知识，考查学生分析问题、解决问题的能力及运算求解能力，综合性、逻辑性强，属于难题．
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