如果一个数列｛An｝已知数列an的前n项项和是Sn=...

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2011-10-04 04:28 标签： 已知数列an的前n项
已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1=a（a≠3），，设，n∈N*．（1）求证：数列{bn}是等比数列；（2）若an+1≥an，n∈N*，求实数a的最小值；（3）当a=4时，给出一个新数列{en}，其中，设这个新数列的前n项和为Cn，若Cn可以写成tp（t，p∈N*且t＞1，p＞1）的形式，则称Cn为“指数型和”．问{Cn}中的项是否存在“指数型和”，若存在，求出所有“指数型和”；若不存在，请说明理由．考点：等差数列与等比数列的综合；数列的求和．专题：综合题；新定义．分析：（1）依题意，可求得Sn+1=2Sn+3n，当a≠3时，=2，利用等比数列的定义即可证得数列{bn}是等比数列；（2）由（1）可得Sn﹣3n=（a﹣3）×2n﹣1，an=Sn﹣Sn﹣1，n≥2，n∈N*，从而可求得an=，由an+1≥an，可求得a≥﹣9，从而可求得实数a的最小值；（3）由（1）当a=4时，bn=2n﹣1，当n≥2时，Cn=3+2+4+…+2n=2n+1+1，C1=3，可证得对正整数n都有Cn=2n+1，依题意由tp=2n+1，tp﹣1=2n，（t，p∈N*且t＞1，p＞1），t只能是不小于3的奇数．分①当p为偶数时与②当p为奇数讨论即可得到答案．解答：解：（1）an+1=Sn+3n?Sn+1=2Sn+3n，bn=Sn﹣3n，n∈N*，当a≠3时，===2，所以{bn}为等比数列．b1=S1﹣3=a﹣3，bn=（a﹣3）×2n﹣1．（2）由（1）可得Sn﹣3n=（a﹣3）×2n﹣1，an=Sn﹣Sn﹣1，n≥2，n∈N*，∴an=，∵an+1≥an，∴a≥﹣9，又a≠3，所以a的最小值为﹣9；（3）由（1）当a=4时，bn=2n﹣1，当n≥2时，Cn=3+2+4+…+2n=2n+1+1，C1=3，所以对正整数n都有Cn=2n+1．由tp=2n+1，tp﹣1=2n，（t，p∈N*且t＞1，p＞1），t只能是不小于3的奇数．①当p为偶数时，tp﹣1=（+1）（﹣1）=2n，因为tp+1和tp﹣1都是大于1的正整数，所以存在正整数g，h，使得tp+1=2g，﹣1=2h，2g﹣2h=2，2h（2g﹣h﹣1）=2，所以2h=2且2g﹣h﹣1=1?h=1，g=2，相应的n=3，即有C3=32，C3为“指数型和”；②当p为奇数时，tp﹣1=（t﹣1）（1+t+t2+…+tp﹣1），由于1+t+t2+…+tp﹣1是p个奇数之和，仍为奇数，又t﹣1为正偶数，所以（t﹣1）（1+t+t2+…+tp﹣1）=2n不成立，此时没有“指数型和”．点评：本题考查等差数列与等比数列的综合，考查数列求和，突出逻辑思维与创新思维、综合分析、运算能力的考查，属于难题．上海市四区（杨浦、青浦、宝山、静安）2013届高三二模数学（理）试题解析版答案
考点：等差数列与等比数列的综合；数列的求和．专题：综合题；新定义．分析：（）依题意，可求得，当≠时，，利用等比数列的定义即可证得数列是等比数列；（）由（）可得﹣（﹣）×﹣，﹣﹣，≥，∈，从而可求得，由≥，可求得≥﹣，从而可求得实数的最小值；（）由（）当时，﹣，当≥时，…，，可证得对正整数都有，依题意由，﹣，（，∈且＞，＞），只能是不小于的奇数．分①当为偶数时与②当为奇数讨论即可得到答案．解答：解：（）?，﹣，∈，当≠时，，所以为等比数列．﹣﹣，（﹣）×﹣．（）由（）可得﹣（﹣）×﹣，﹣﹣，≥，∈，∴，∵≥，∴≥﹣，又≠，所以的最小值为﹣；（）由（）当时，﹣，当≥时，…，，所以对正整数都有．由，﹣，（，∈且＞，＞），只能是不小于的奇数．①当为偶数时，﹣（）（﹣），因为和﹣都是大于的正整数，所以存在正整数，，使得，﹣，﹣，（﹣﹣），所以且﹣﹣?，，相应的，即有，为“指数型和”；②当为奇数时，﹣（﹣）（…﹣），由于…﹣是个奇数之和，仍为奇数，又﹣为正偶数，所以（﹣）（…﹣）不成立，此时没有“指数型和”．点评：本题考查等差数列与等比数列的综合，考查数列求和，突出逻辑思维与创新思维、综合分析、运算能力的考查，属于难题．相关试题 上传我的文档
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【例1】 已知Sn是数列{an}的前n项和,Sn=pn(p&R,n&N),
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内容提示：【例1】 已知Sn是数列{an}的前n项和，Sn=pn(p&R，n&N)，，Sn，n1，数列，，nisinN，前n项和，nisinN，1n1，，Sn
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【例1】 已知Sn是数列{an}的前n项和,Sn=pn(p&R,n
官方公共微信已知数列{an}的前n项和Sn=1/3n(n+1)(n+2),试求数列(1/an)的前n项和那个1/3是n前面一个系数
Jie00732砠
an=Sn-Sn-1 =1/3 n(n+1)(n+2) - 1/3 n(n+1)(n-1) = n(n+1) 所以 1/an = 1/ n(n+1) = 1/n -1/ n+1 数列(1/an)的前n项和 = 1-1/2 + 1/2-1/3 +...+ 1/n -1/ n+1 =1- 1/n+1LZ 偶是沙发 此题决对正确.
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an=Sn-Sn-1=1/3[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]=n(n+1)1/an=1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)Tn=∑1/an=1-1/(n+1)
扫描下载二维码如果一个数列｛an｝的前n项和为Sn=p*(n的平方)+q*n+r 这个数列一定是等差数列吗?（pqr为常数 p不等于0）如果它是
它的首项与共差分别是什么
结论是：r=0 ｛an｝是等差数列.当 r≠0 时,除去第一项外,其余各项仍成等差数列,但整个数列不再是等差数列.证明：r=0 时,Sn=pn^2+qn ,则 a1=s1=p+q ,n>=2 时,an=Sn-S(n-1)=pn^2+qn-[p(n-1)^2+q(n-1)]=2pn-p+q ,所以 an-a(n-1)=2p ,因此 ｛an｝是首项为 p+q ,公差为 2p 的等差数列.
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扫描下载二维码如果Sn=an^2+bn+c是一个等差数列的前n项和,其中abc为常数,那么c的值为?
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结论：数列{an}的前n项和Sn=an²+bn+c(a≠0),则数列{an}是等差数列的充要条件是c=0.若{an}为等差数列,则其前n项和Sn=na1+n(n-1)d/2=nS1+n(n-1)d/2=n(a+b+c)+n(n-1)d/2=an²+bn+c故d=2[(an²+bn+c)-n(a+b+c)]/n(n-1)=2(an²-na+c-nc)/n(n-1)=2[na(n-1)-(n-1)c]/n(n-1)=2(n-1)(na-c)/n(n-1)=常量必有c=0,因为这时才有d=2a（n-1)n/n(n-1)=2a=常量
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