数学建模全国大赛历年题目分析以及参赛成功方法【转自：数学中国】 - 南京邮电大学数学建模协会的日志,人人网,南京邮电大学数学建模协会的公共主页
本周数模协会培训安排在 周五（11月17号） ，18：30-19:30， 教2-309
主讲：张少波
主题：13年B题及C、C++的学习方法
数学建模全国大赛历年题目分析以及参赛成功方法【转自：数学中国】
建模更是一种精神
数学建模全国大赛历年题目分析以及参赛成功方法&数学建模竞赛的赛题分析1. CUMCM历年赛题简析2. &彩票中的数学&问题3. 长江水质的评估、预测与控制问题4. 煤矿瓦斯和煤尘的监测与控制问题5. 其他几个数学建模的问题数学建模竞赛的规模越来越大,水平越来越高；　竞赛的水平主要体现在赛题水平；　赛题的水平主要体现：（１）综合性、实用性、创新性、即时性等；（２）多种解题方法的创造性、灵活性、开放性等；（３）海量数据的复杂性、数学模型的多样性、求解结果的不唯一性等。&&& 纵览16年的本科组32个题目(专科组13个)，从问题的实际意义、解决问题的方法和题型三个方面作一些简单的分析。一、CUMCM历年赛题的简析1. CUMCM 的历年赛题浏览：1992年:(Ａ)作物生长的施肥效果问题(北理工：叶其孝）&&&&&& (B)化学试验室的实验数据分解问题（复旦：谭永基）1993年:(Ａ)通讯中非线性交调的频率设计问题（北大:谢衷洁）&&&&&& (Ｂ)足球甲级联赛排名问题（清华：蔡大用）1994年:(Ａ)山区修建公路的设计造价问题（西电大：何大可）&&&&&& (Ｂ)锁具的制造、销售和装箱问题（复旦:谭永基等）1995年:(Ａ)飞机的安全飞行管理调度问题（复旦:谭永基等）&&&&&& (Ｂ)天车与冶炼炉的作业调度问题（浙大:刘祥官等）1996年:(A)最优捕鱼策略问题（北师大：刘来福）&&&&&& (B)节水洗衣机的程序设计问题（重大：付鹂）1997年:(A)零件参数优化设计问题（清华：姜启源）&&&&&& (B)金刚石截断切割问题（复旦：谭永基等）1998年:(A)投资的收益和风险问题（浙大：陈淑平）&&&&&& (B)灾情的巡视路线问题（上海海运学院:丁颂康）1999年:(A)自动化机床控制管理问题（北大：孙山泽）&&&&&& (B)地质堪探钻井布局问题（郑州大学：林诒勋）　　　 (C)煤矸石堆积问题（太原理工大学：贾晓峰）2000年:(A)DNA序列的分类问题（北工大：孟大志）&&&&&& (B)钢管的订购和运输问题（武大：费甫生）&&&&&& (C)飞越北极问题（复旦：谭永基）　　　 (D)空洞探测问题（东北电力学院：关信）2001年:(A)三维血管的重建问题（浙大：汪国昭）&&&&&& (B)公交车的优化调度问题（清华：谭泽光）　　　 (C)基金使用计划问题（东南大学：陈恩水）2002年:(A)汽车车灯的优化设计问题（复旦:谭永基等）&&&&&& (B)彩票中的数学问题（信息工程大学：韩中庚）　　　 (D) 球队的赛程安排问题（清华大学：姜启源）2003年:(A)SARS的传播问题（集体）&&&&&& (B)露天矿生产的车辆安排问题（吉林大：方沛辰）&&&&&& (D)抢渡长江问题（华中农大：殷建肃）2004年:(A)奥运会临时超市网点设计问题(北工大：孟大志)&&&&&& (B)电力市场的输电阻塞管理问题(浙大:刘康生）　　　 (C)酒后开车问题（清华大学：姜启源）&&&&&& (D)公务员的招聘问题（信息工程大学：韩中庚）2005年:(A)长江水质的评价与预测问题（信息工大:韩中庚）&&&&&& (B)DVD在线租赁问题（清华大学：谢金星等）&&&&&& (C) 雨量预报方法的评价问题（复旦：谭永基）2006年:(A)出版社的资源管理问题（北工大:孟大志）&&&&&& (B)艾滋病疗法的评价及预测问题（天大：边馥萍）　　　 (C)易拉罐形状和尺寸的设计问题（北理工：叶其孝）&&&&&& (D)煤矿瓦斯和煤尘的监测与控制问题&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& （信息工程大学：韩中庚）2007年:(A)中国人口增长预测问题（清华大学:唐云）&&&&&& (B)&乘公交，看奥运&问题（吉大：方沛辰，&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &&国防科大：吴孟达）&&&&&& (C)&手机套餐&优惠几何问题(信息工程大学:韩中庚)&&&&&& (D)体能测试时间的安排问题(首都师大:刘雨林)2001年夏令营三个题:&&& (A)三峡工程高坡开挖优化设计(三峡大学:李建林等）&&& (B)城市交通拥阻的分析与治理(北京理工大学:叶其孝）&&& (C)乳房癌的诊断问题（复旦大学:谭永基）&2006年夏令营三个题:&&& (A)教材出版业的市场调查、评估和预测方法问题&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& （北工大:孟大志）&&& (B)铁路大提速下的京沪线列车调度问题&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& （信息工程大学:韩中庚）&&& (C)旅游需求的预测预报问题（北京理工：叶其孝）2、从问题的实际意义分析32个问题从实际意义分析大体上可分为：&&& 工业、农业、工程设计、交通运输、经济管理、生物医学和社会事业等七个大类。工业类：电子通信、机械加工&&&&&&& 与制造、机械设计与&&&&&&& 控制等行业,共有8个&&&&&&& 题，占25%。农业类：１个题，占3.1%。工程设计类: 3个题，占9.4%。交通运输类：4个题，占12.5%经济管理类：5个题，占15.6%生物医学类：5个题，占15.6%社会事业类: 6个题，占18.8%有的问题属于交叉的，或者是边缘的。3、从问题的解决方法上分析从问题的解决方法上分析，涉及到的数学建模方法：&&&&&&& 几何理论、组合概率、统计(回归)分析、优化方法（规划）、图论与网络优化、层次分析、插值与拟合、差分方法、微分方程、排队论、模糊数学、随机决策、多目标决策、随机模拟、灰色系统理论、神经网络、时间序列、综合评价、机理分析等方法。用的最多的方法是优化方法和概率统计的方法.&用到优化方法的共有22个题，占总数的68.8%，其中整数规划4个，线性规划6个，非线性规划14个,多目标规划6个。&用到概率统计方法的有16个题，占50%，平均每年至少有一个题目用到概率统计的方法。&用到图论与网络优化方法的问题有6个；&用到层次分析方法的问题有３个；用到插值拟合的问题有6个；&用到神经网络的4个；&用灰色系统理论的4个;&用到时间序列分析的至少2个;&用到综合评价方法的至少3个；&机理分析方法和随机模拟都多次用到;&其他的方法都至少用到一次。&大部分题目都可以用两种以上的方法来解决,即综合性较强的题目有26个，占81.3%。4、从问题的题型上分析（1）&即时性&较强的问题有11个,占34.4%：1993B：足球队排名问题；1998B：灾情巡视路线问题；2000A：DNA序列分类问题；2000B：钢管订购与运输问题；2001B：公交车的调度问题；2002B：彩票中的数学问题；2003A：SARS的传播问题；2004A：奥运会临时超市网点设计问题2004B：电力市场的输电阻塞管理问题2005A: 长江水质的评价和预测问题2007B: &乘公交,看奥运&问题&(2)理论性较强的问题有12个,占37.5%:04A,94B, 95A,96A,97A,98B,99A,00B,01A,02A,03A,04B;(3)实用性较强的问题有17个,占53.1% :93A,94B, 95B,96B,98B,99B,00B,01A,01B,02B,03A,04B,05A,05B，06A,06B,07B；(4)算法要求强的问题有7个,占21.9% :95A,97B，99B,00A,00B,05B,07B;(5)数据量大的问题有13个,占40.6%:00A,00B，01A,01B,02B,03A,04A,04B,05A,05B.06A,06B,07B5、近几年题目的特点(1)综合性：一题多解，方法融合，结果多样，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　学科交叉。(2)开放性：题意的开放性，思路的开放性，方法的开放性，结果的开放性。(3)实用性：问题和数据来自于实际，解决方法切合于实际，模型和结果可以应用于实际。(4)即时性：国内外的大事，社会的热点，生活的焦点，近期发生和即将发生被关注的问题。(5)数据结构的复杂性：数据的真实性，数据的海量性，数据的不完备性，数据的冗余性。6、近几年题目的剖析（１）2007Ａ：中国人口的增长预测问题&题型：属于社会事业问题，主要是利用人口发展方程(离散或连续)预测人口的增长,并分析人口的流动、老龄化等问题的影响。&特点：实用性强、要求分析细致，论文写作水平高。&方法：主题方法是差分方程，或微分方程，加随机模拟（特色）。&结果：不唯一。（2）2007B：&乘公交，看奥运&问题题型：属于交通运输管理问题，主要是为了&研制开发公交线路查询系统&研究问题，即包括换乘次数、最佳出行线路的选择模型和算法设计，要保证能满足各种不同乘客的需求。&特点：海量数据、数据结构复杂、综合性和实用性强、开放性较强。&方法：主题方法是优化，包括多目标规划、网络优化、优化求解算法的设计等。&结果：不唯一，但有一定的范围。（3）2006Ａ：出版社的资源配置问题题型：属于生产管理问题，包括生产资源开发利用和人力资源的合理分配问题，即要考虑经济效益，又要考虑社会效益。&特点：海量数据、数据不完备（冗余）、数据结构复杂、综合性和实用性强、开放性较强。&方法：主题方法是优化，包括线性规划、非线性规划、多目标规划、模糊优化和网络优化等。&结果：不唯一。(4) 2006Ｂ：艾滋病疗法的评价及预测问题题型：属于生物医学的管理问题，包括过去治疗方法的评价与未来治疗效果的预测问题。&特点：大数据量、数据的残缺、数据结构较复杂综合性强、实用性和开放性也较强。&方法：主题方法统计回归拟合，其他方法包括线性插值、二次插值、二次和三次曲线拟合方法，结合优化模型实现。有的用灰色预测、时间序列、模糊评价、神经网络等预测方法都有一定的问题。&结果：不唯一，也不是主要问题。&(5) 2005A：长江水质的评价与预测问题题型：属于社会事业和管理问题，主要包括长江水质现状的评价、未来污染的发展趋势与控制措施等的问题。&特点：数据量大、数据冗余、结构复杂，即时性、综合性、实用性和开放性强。&方法：主题方法数据的处理、综合评价、微分方程、回归拟合、灰色关联分析与预测、时间序列和神经网络等。&结果：不唯一，有些结果在一定的范围和确定的趋势。&(6) 2005B：DVD的在线租赁问题题型：属于经济管理问题，主要包括DVD的采购计划、客户在线订单的处理、DVD的合理分配，以及网站的科学管理等问题。&特点：海量数据、结构复杂，综合性、实用性和开放性强，算法要求强。&方法：主题方法概率统计、大规模随机整数规划（线性或非线性）、网络优化、随机决策分析等。&结果：不唯一，有些结果在一定的范围。(7) 2004A：奥运会临时超市网点的设计问题题型：属于社会事业问题，主要包括观众的出行、用餐和购物的规律，各商区人流分布规律,以及各商区的大小超市的设计数量等问题。&特点：海量数据、数据冗余、结构复杂，即时性、综合性、实用性和开放性强。&方法：主题方法数据的处理、统计分析、数据挖掘、数学规划等。&结果：不唯一，对结果没有明确要求。&(8) 2004B：电力市场的输电阻塞管理问题题型：属于社会事业和经济管理问题，主要包括各发电机组的出力计算方法、报价的清算方法、出力分配方案和阻塞的调整等问题。&特点：数据量大、结构较复杂，即时性、综合性、实用性和开放性强。&方法：主题方法统计分析、多元线性回归、线性与非线性规划等。&结果：不唯一，但有大体上合理的范围。二、彩票中的数学问题1.问题的背景与提出&彩票飓风&席卷中华大地，媒体全关注；巨额诱惑使彩使全民变&彩民&，博彩成为人们生活的一部分；某些发达国家的彩票发行占GDP的1％，中国仅为0.08％左右&；专家关注，政府重视，出台一系列&彩票发行与销售管理办法&；31个省（市、区）的方案不尽相同，为什么？我们会想到什么问题呢？彩票中的数学知多少？制定彩票方案的根据是什么？现行的彩票方案是否合理？彩票方案与哪些相关的因素？各方案中奖的可能性有多大？如何评价方案的优劣？评价的依据是什么？如何提高对彩民的吸引力，使国家和彩民的利益双赢？中国的彩票业还有多大的发展空间？博彩有&技巧&或&规律&可寻吗？你们了解彩票吗？你们买过彩票吗？你们了解彩票的规则吗？根据33选7的方案，研究下面几个问题：（1）各等级奖项的中奖概率为多少？（2）虽然一般认为摇奖中每个号码的出现都是随机的，但从100期的中奖号码显示，各号码出现的概率并不均等，而且这些号码之间似乎存在着某种规律，请你就此进行研究。根据你的研究结果，给出最佳的2注、5注、10注、20注的投注方案，并给出中奖可能性的估计或评价。（3）你能否给出一个任意注数的投注方法或遵寻的一般原则？1、问题的背景与提出问题：&百万元之梦&能圆吗？奖金总额一般为销售总额的50%，投注者单注金额为2元，单注若已得到高级别的奖就不再兼得低级别的奖。&&& 常见的销售规则及相应的奖金设置共有29种不同的方案，其中一、二、三等奖为高项奖，后面的为低项奖。&&& 低项奖数额固定，高项奖按比例分配，但一等奖单注保底金额60万元，封顶金额500万元。&&& 高项奖额的计算方法为：&[(当期销售总额&总奖金比例)-低项奖总额]&单项奖比例（1）根据这些方案的具体情况，综合分析各种奖项出现的可能性、奖项和奖金额的设置以及对彩民的吸引力等因素评价各方案的合理性。&&& （2）设计一种&更好&的方案及相应的算法，并据此给彩票管理部门提出建议。&&& （3）给报纸写一篇短文，供彩民参考。2.问题的分析与解决思路评价一个方案的优劣，或合理性如何，主要取决于彩票公司和彩民两方面的利益。&&& 公司和彩民各得销售总额的50% 是确定的，双方的利益主要就取决于销售总额的大小，即双方的利益都与销售额成正比。&&& 问题是怎样才能有利于销售额的增加？即公司采用什么样的方案才能吸引广大的彩民积极踊跃购买彩票？问题涉及到一个方案的设置使彩民获奖的可能性有多大、奖金额有多少、中奖面怎样、各奖项的设置是否合理等因素。&& 这些都对彩民的购买彩票的吸引力产生一定的影响，在这里用彩民的心理曲线来描述一个方案对彩民的吸引力。&& 一个方案对彩民的影响程度可能与区域有关，即与地区的经济状况以及收入和消费水平有关。&& 要考查一个方案的合理性，需要综合考虑这些因素的影响，这是建立模型的关键所在。（1）彩民获各项奖的概率（2）彩民的心理曲线人的心理变化是一个模糊的概念。彩民对一个方案的各个奖项及奖金额的看法(即吸引力)的变化是一个典型的模糊概念。3.问题的解决方法问题（一）：要综合评价方案的合理性，应建立一个能充分反应各种因素合理性的指标函数。根据随机决策分析中风险决策的理论，取风险决策的效用函数作为指标函数。即即表示在考虑彩民的心理因素的条件下，一个方案的中奖率、中奖面、奖项和奖金设置等因素对彩民的吸引力。3.问题的解决方法用Matlab或Lingo软件交互式求解可以得最优的设计方案。4.存在的问题（1）对题目的把握不准，审题不清，偏了题，没有正确地解决好问题。例如：题目中彩票的设奖率为50%，单注彩票为2元等指标是给定的，现行的彩票方案也都有是如此，而用大量篇幅对此进行讨论是不合适的。（2）多数用层次分析法的队都是主观定权的，有的偏向于一等奖金额，有的偏向于中奖率，一般认为都是不合适的。凡是这样的答卷所得的&最好&方案必定是23号（7/35，无特别号）。（3）有很多队的概率计算有错误，较普遍的是&传统型&（6+1/10）中四、五、六等奖的概率和23号方案的概率的计算，错的最多的是6+1/10中六等奖的概率。（4）有些队，对问题（二）没有给出明确的优化模型，只是在评价已有方案的基础上，通过定性的分析、或综合几种认为较好的方案、或主观修改了某种方案的奖项和设奖比例等而得到一种方案，就认为是&最好&的了。三、长江水质的评价与预测问题1.问题的背景与提出该题目源于2004年11月《新民周刊》记者张静的一篇报道：&若不及时拯救,长江生态10年内将濒临崩溃&2004年，章琦又创意策划发起了旨在唤醒全民族环保意识，由全国政协和中国发展研究院共同举办的大型环保公益性活动&&&保护长江万里行&。　　　　他筹资55万元，组织20多位人大代表、政协委员、专家教授，10月10日从长江上游宜宾出发，历时12天抵达上海，对21个城市进行实地调研，揭示了一幅长江污染的真实画面。　　他因此被评为首届&中国十大民间环保杰出人物&、&2005中国最具影响力100人&之一，并被联合国有关机...
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浅谈初中数学分层教学
上传: 袁世满 &&&&更新时间： 17:27:21
& 浅谈初中数学分层教学 &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&南昌二十九中学& 袁世满 一、对分层教学的认识 传统的大班级授课是目前课堂教学的主要形式。在大班级授课制中，教师的出发点并不是完全针对和适应每一个具体的学生的，普遍出现&同内容、同进度、同目标要求、同评价标准&等&一刀切&作法，根本无视学生的个体差异，严重妨碍了学生的个性发展，致使优等生&吃不饱&，产生学习如同嚼蜡的感觉，学困生&难消化&，在&困进&的怪圈中愈陷愈深，无力自拔，导致他们（无论&优等生&还是&学困生&）的学习积极性受到严重挫伤，因而感到课堂是那么的乏味，进而厌恶数学，厌恶老师，厌恶课堂、厌恶学习，导致整个教学活动混乱、课堂效率差的严重后果。 而所谓分层教学法，就是教师充分考虑到班级学生中存在的差异程度，综合考虑每个学生的智力、非智力等因素，运用模糊学的方法，把全班学生分为短期性的（即处于发展变化状态而短期内又相对稳定的）A、B、C三个层次，并依据群体学生的差异，区别对待地制定分层教学目标、设计分层教案、采取分层施教、进行分层评价，并有针对性地加强对不同层次学生的学习指导，从而大面积提高教学质量的方法。 通过我们的实践。我们深切的感受到，过去一些学生视学习数学为苦役，视学校为拘留所，视教师为陌路，一见到老师，把头一扭就过去了。原因何在？我们对这些学生太漠视了。分层教学实现了真正意义上的关注每一位学生，你关注他了，他心里很清楚，怎么会不尊重你呢？现在有的老师说 &一些老大难学生，见了老师都一脸灿烂&。是啊！基础差的他们被冷落得太久了，不少孩子整天心灰意懒，低着头，但通过分层学习，那些难得考好的学生也能在基础知识竞赛中获奖。他能不高兴吗？ 二、课题研究的理论依据以及原则 新的数学课程标准提出：数学教育面向全体学生，实现：人人都能获得必需的数学；不同的人在数学上得到不同的发展。我国古代伟大的教育家孔子的&因材施教&。苏联教育家巴班斯基的&分组教学法&以及美国心理学家布鲁姆的&掌握&。对不同程度的学生，制订不同的教学目标要求，让每个学生，特别是&学困生&能尝到成功的喜悦，以&成功&来激励自己，发挥求知的&内驱力&。 在分层教学中我们应注意了下列原则的使用： 1、相近性原则：在分层时应将学习状况相近的学生归为&同一层&。 2、模糊性原则：分层是动态的、可变的，有进步的可以&升级&，退步的应&转级&，且分层结果不予公布。 3、最近发展区原则：在制定各层次教学目标、方法、练习、作业时，应使学生跳一跳，才可够到苹果为宜。 4、整体与个体原则：教学内容的合与分，对学生的&放&与&扶&，以及课外的分层辅导都就遵守这个原则。 5、调控性原则：由于各层次学生要求不一，因此在课堂上以学、议为主，教师要善于激趣、指导、精讲、引思，调控好各层次学生的学习，做好分类指导。 6、激励性原则：对各层次学生的评价，以纵向性为主。教师通过观察、反馈信息，及时表扬激励，对进步大的学生及时调到高一层次，相对落后的同意转层，从而促进各层学生学习的积极性，使所有学生随时都处于最佳的学习状态。 三、我们的分层教学的实施 1、学生分层 学生分层并不是分好班、差班，而是①原班级建制不变；②原任教师及班主任不变；③原班同学不变；④大纲教材的目标不变。根据学生的学习状况：①智力因素；②前一阶段学习数学知识、技能的状况和学习能力；③心理素质；④学习习惯、方法；⑤学习的积极性和兴趣等方面的情况，将学生初步分为三个层次：A层&各方面能力较差，学习上困难大或能力一般，但又消极厌学的学生约占全班的20%；B层&各方面情况中等的学生约占全班的60%；C层&智力和非智力因素都较好的学生约占全班的20%。 在编排座位时，我们不是对学生的座位固定。有高矮个时的座位；有复式教学时的分层座位；有互帮互助时的学习小组座位（一般四个人1个A层2个B层1个C层）。分组是相对的，并非一成不变的。一段时间后学生进步了个人可申请调整分组。 在对学生分层实践中，我们充分的感受到对每一个学生，教师都要以爱动其心，热爱每一个学生，特别是&学困生&，只有对每一个学生都抱有诚挚的爱心，平等的尊重，让学生感受到你是在为他好。才能建立起良好的师生关系，而融洽的师生关系是使分层教育成功的思想基础和前提条件。 2、备课分层 分层次备课是搞好教学的关键。教师应在吃透教材、大纲的情况下，按照不同层次学生的实际情况，因材施教，设计好分层次教学的全过程。确定具体可行的教学目标，分清哪些属于共同的目标，哪些不属于共同的目标。最好能设立A、B、C三级目标。对不同层次的学生教学中有具体的要求，如对A层的学生应多给予指导，设计的问题可简单些，梯度缓一点，能掌握主要的知识，学习基本的方法，培养基本的能力；对B层的学生设计的问题应有点难度，要求学生能熟练掌握基本知识，灵活运用基本方法，发展理解能力和思维能力；对C层的学生要设计些灵活性和难度较大的问题，要求学生能深刻理解基础知识，灵活运用知识，培养学生的创造力和创新精神，发展学生的个性特长。如&因式分解&教学目标可定为： 共同目标：能够根据具体问题了解因式分解的意义，会简单的因式分解,应用公因式法、公式法、十字相乘法，解决因式分解简单的问题。 不同目标要求：&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& A层：理解简单的因式分解，能够根据实际问题中的数量关系，应用公因式法、公式法、十字相乘法，解决因式分解简单的问题。 B层：理解简单的因式分解，能够根据实际问题中的数量关系，应用公因式法、公式法、十字相乘法，并能用它去解决一些稍为复杂点的因式分解问题。 C层：能将因式分解的知识与不等式的知识、方程、函数的知识结合起来，并能熟练运用它去解决一些有一定难度的灵活性、综合性的问题。 3、教学分层 教学分层是课堂教学中最难操作的部分，也是教师最富创造性的部分。荷兰数学教育家弗赖登塔尔说：教师的作用就是如何使每一个学生达到尽可能高的水平。因此我们在课堂教学中应采用：低起点、缓坡高、多层次立体化的弹性教学。为了能鼓励全体学生都能参与课堂活动，使课堂充满生机，教师应将有思维难度的问题让C层的学生回答，简单的问题优待A层的学生，适中的问题回答的机会让给B层学生，这样，每个层次的学生均能参与课堂活动，便于激活课堂。 学生回答问题有困难时，教师再给他们以适当的引导。对A、B层的学生要深入了解他们存在的问题和困难，帮助他们解答疑难问题，激发他们主动学习的精神，让他们始终保持强烈的求知欲。与&学困生&交朋友，使他们抛弃胆怯和怕错的心理，敢于发表自己的见解（包括错误），增强自信心。变要我学又不知道怎么学为我要学，主动地学。对这部分学生可以集中先讲或小组讲，再模仿练。总之，以&扶&为主，&扶&中有&放&，重在带领学生学习。对于C层的学生在教学中注意启发学生思考探索，领悟基础知识、基本方法，并归纳出一般的规律与结论，再引导学生变更问题帮助学生进行变式探求。对C层学生以&放&为主，&放&中有&扶&。突出教师的导，贵在指导，重在转化，妙在开窍。培养学生的独立思考和自学能力进而向创新精神和创造能力发展。 平时的课堂中我们的授课形式是多样的。全体参与的课占主导，既要让不同层次的学生得到发展又不能让A层学生知识有人为的断层。复式课的授课是一个补充。不同层次的学生练习同时练习不同层次的练习，评讲与练习交错进行。既不浪费时间又可各取所需，一举三得。这种形式在复习巩固课和初三的二、三轮复习中我们常用。老师讲综合题能掌握的人不多，但几个问题又有不同的层次，学生能听做到那一层就到哪一层，讲下面的你就复习基础题。充分发挥了45分钟的效益。 在大面积实验中我们还采用了&走班&的教学形式。即几个平行班的文化课教师配合。课调成一样，把几个班同层的学生临时编到一个班实施辅导教学。由于大体上处于同一层次便于教学和训练，充分利用了时间和最大限度的发展训练。 4、练习分层 分层练习是分层教学的核心环节，其意义在于强化各层学生的学习成果，及时反馈、矫正，检测学习目标的达成情况，把所理解的知识通过分层练习转化成技能，反馈教学信息，对各层学生进行补偿评价和发展训练，达到逐层落实目标的作用。因此教师要在备课时，针对学生实际和教材内容精心设计编排课堂练习，或重组教科书中的练习，或重新选编不同层次的练习，在选编三个不同层次的练习时，必须遵守基本要求一致，鼓励个体发展的原则。通俗点就是&下要保底，上不封顶&。在保证基本要求一致的前提下，习题综合与技巧分三个层次。 我们平时的练习要求：A层学生基础题全做全练，中档题选做；B层学生基础题大部分做，中档题必做，难题选做；C层学生基础、中档题选做，难题必做。有效的调控了作业量和完成的可能性。 5、作业分层 作业能及时反馈不同层次学生所掌握知识的情况，能反映一堂课的教学效果，又能达到初步巩固知识的目的。因此，作业应精心编排，针对不同层次的学生，设计不同题量、不同难度的作业。成绩不好的学生(A层)以重在对基础知识的记忆和理解，以模仿学会做一些简单的基本题，如课本中的练习题以及补充习题中的基础题，使他们尝到成功的喜悦；成绩中等(B层)学生，以把握概念，掌握一般解题方法为主，难度以例题的简单变式，一、二个知识点的小综合为主，除做基本题外，还做个别中档题，使他们感受学习数学的乐趣；成绩较好的学生(C层)则从深化对概念的理解，灵活熟练的运用，从数学思想方法和能力培养考虑，除课本基础题外，还应解决一些诸如想一想之类的问题，在平时通过小黑板或墙报出一些探索性，开放性，讨论型的思考题让他们来解，开拓他们的视野，使他们的数学才能得到发展，使他们感到学无止境。总之，作业的量和难度使每个学生都能&跳一跳，摘到苹果&。从而调动各层次的学生的学习积极性。 课堂作业我们是使用活页作业纸的形式，目的是使选题符合需要。为此我们要求A、B、C三层作业都要有，题量一般为6：3：1，题前标示级别便于选用。不同层次的学生做完自己层次内的题和以下层次的题。同时对B、C层次的学生提出了基础题完成时间和质上的要求。要速度快、正确率高。作业全批全改。 课外我们主要使用补充习题和同步导学上作业。补充习题难度较低为B层学生作业。同步导学为C层学生的主要作业。批改上对C层学生尽可能面批，发现问题及时订正，C层批改辅导B层，B层批改辅导A层。一方面减轻了教师过重的负担另外也是对学生的锻炼和提高，帮人纠错的同时也是对自己的一次提醒。集中的问题可集体讲评，反复训练。 6、测试分层 测试是检验一个学生对知识的理解和掌握程度，我们不可能用同一把&尺&去量尽世界上的万物，同样我们也不能用同样的要求、标准去衡量每一个学生。因为每个学生的识知水平，知识基础，接受能力都不一样，不能用同一张试卷去定&终身&。因此，要达到分层教学的最终目的一一使每个学生都获得成功从而提高整体水平，没有分层测试是不行的。分层测试题可以分基础题和分层题；或A、B卷；或基础题和选做题等。基础题是要求每个学生都做，而分层题是指同一大题出三个层次不同、难度不同、分数一样的题目供不同层次的学生选择，从而使成绩不太好的学生也可以尝试到高分的乐趣，进而提高对学习数学的兴趣；对优生又可避免因常得高分而产生自满情绪。教学目标完成情况的检测有课堂检测和单元测验，课堂检测一般采用问答的形式，出现问题及时矫正；单元测验一般采用试卷检测，命题可以确定基本目标题100分(适合完成一类教学目标的学生)，再加上两个层次的附加题，分别为20分和30分(完成二类教学目标的学生再答20分附加题，完成三类教学目标的学生再答30分附加题)。通过目标检测，及时掌握目标完成情况，再通过课后分层辅导巩固所学知识。 7、评价分层 分层评价是实施分层教学的保证。对不同层次的学生采取不同的评价标准，充分发挥评价的导向功能和激励功能。如对A层采用表扬评价，寻找其闪光点，及时肯定他们的每一点进步，唤起他们对数学的兴趣，培养他们对学习数学的自信心；对B层的学生采取激励性评价，既揭示不足又指明努力方向，促使他们积极向上；对C层的学生采用竞争性评价，坚持高标准，严要求，促使他们更加严谨、谦虚，不断超越自已。总之通过对作业评价，课堂学习评价，测试后评价等充分调动各层次学生学习数学的情感、意志、兴趣、爱好等多方面积极囚素，促进智商和情商的协调发展，以实现大面积提高数学的教学质量。正如一位德国教育家所说：&教学的艺术不在于传授本领，而在于激励、唤醒、鼓舞。& 8、课外分层 课外分层是分层教学的延伸，是发展学生个性特长的有效途径。对A层学生成立补差小组，着重帮助他们消化课堂上未能消化的内容，订正作业中的错误，同时指导他们学习方法，开发他们的非智力因素。时问可安排在每天中午、下午放学后进行。对于B层的学生重点是开拓视野，学习一些&趣味数学&，讲一些数学家的故事，使他们养成一种勤奋好学的精神和独立思考的习惯。对于C层的学生着重培养他们的数学特长，在平时可利用小黑板、墙报等出一些有一定思维度的题目让他们思考，建立数学竞赛小组，扩大视野，拓宽知识面，提高数学能力。
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