《概率论与平稳随机过程程》在电子信息工程中的...

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2011-10-07 13:24 标签： 概率论与随机过程
&&&&&& 随机过程(Stochastic Process)是一连串随机事件动态关系的定量描述。随机过程论与其他数学分支如位势论、微分方程、力学及复变函数论等有密切的联系，是在自然科学、工程科学及社会科学各领域研究随机现象的重要工具。随机过程论目前已得到广泛的应用，在诸如天气预报、统计物理、天体物理、运筹决策、经济数学、安全科学、人口理论、可靠性及计算机科学等很多领域都要经常用到随机过程的理论来建立数学模型。 　　一般来说，把一组随机变量定义为随机过程。在研究随机过程时人们透过表面的偶然性描述出必然的内在规律并以概率的形式来描述这些规律，从偶然中悟出必然正是这一学科的魅力所在。 　　随机过程整个学科的理论基础是由柯尔莫哥洛夫和杜布奠定的。这一学科最早源于对物理学的研究，如吉布斯、玻尔兹曼、庞加莱等人对统计力学的研究，及后来爱因斯坦、维纳、莱维等人对布朗运动的开创性工作。1907年前后，马尔可夫研究了一系列有特定相依性的随机变量，后人称之为马尔可夫链。1923年维纳给出布朗运动的数学定义，直到今日这一过程仍是重要的研究课题。随机过程一般理论的研究通常认为开始于20世纪30年代。1931年，柯尔莫哥洛夫发表了《概率论的解析方法》，1934年A·辛饮发表了《平稳过程的相关理论》，这两篇著作奠定了马尔可夫过程与平稳过程的理论基础。1953年，杜布出版了名著《随机过程论》，系统且严格地叙述了随机过程基本理论。 　　研究随机过程的方法多种多样，主要可以分为两大类：一类是概率方法，其中用到轨道性质、停时和随机微分方程等；另一类是分析的方法，其中用到测度论、微分方程、半群理论、函数堆和希尔伯特空间等。实际研究中常常两种方法并用。另外组合方法和代数方法在某些特殊随机过程的研究中也有一定作用。研究的主要内容有：多指标随机过程、无穷质点与马尔可夫过程、概率与位势及各种特殊过程的专题讨论等。中国学者在平稳过程、马尔科夫过程、鞅论、极限定理、随机微分方程等方面做出了较好的工作。 　　一个实际的随机过程是任意一个受概率支配的过程，例子有：①看做是受孟德尔遗传学支配的群体的发展；②受分子碰撞影响的微观质点的布朗运动，或者是宏观空间的星体运动；③赌场中一系列的赌博；④公路一指定点汽车的通行。 　　在每一种情形，一个随机系统在演化，这就是说它的状态随着时间而改变，于是，在时间t的状态具有偶然性，它是一个随机变量x(t)，参数t的集通常是一个区间(连续参数的随机过程)或一个整数集合(离散参数的随机过程)。然而，有些作者只把随机过程这个术语用于连续参数的情形。 　　如果系统的状态用一个数来表示，x(t)就是数值的，在其他情形，x(t)可以是向量值或者更为复杂。在本条的讨论中，通常限于数值的情形。当状态变化时，它的值确定一个时间的函数——样本函数，支配过程的概率规律确定赋予样本函数的各种可能性质的概率。 　　数学上的随机过程是由实际随机过程概念引起的一种数学结构。人们研究这种过程，是因为它是实际随机过程的数学模型，或者是因为它的内在数学意义以及它在概率论领域之外的应用。数学上的随机过程可以简单的定义为一组随机变量，即指定一参数集，对于其中每一参数点t指定一个随机变量x(t)。如果回忆起随机变量自身就是一个函数，以ω表示随机变量x(t)的定义域中的一点，并以x(t，ω)表示随机变量在ω的值，则随机过程就由刚才定义的点偶(t，ω)的函数以及概率的分配完全确定。如果固定t，这个二元函数就定义一个ω的函数，即以x(t)表示的随机变量。如果固定ω，这个二元函数就定义一个t的函数，这是过程的样本函数。概率 　　一个随机过程的概率分配通常是由指定它的随机变量的联合分布来给定的，这些联合分布以及由它们诱导出来的概率可以解释为样本函数的性质的概率。例如，如果to是一个参数值，样本函数在to取正值的概率是随机变量x(to)有正值的概率。在这个水平上的基本定理：任意指定的自身相容的联合概率分布对应一随机过程。 　　随机过程的概念很广泛，因而随机过程的研究几乎包括概率论的全部。虽然不能给出一个有用而又狭窄的定义，但是概率论工作者在使用随机过程这个术语时，通常(除非他的兴趣在于一般理论的数学基础)想到的是其随机变量具有某种有意义的相互关系的随机过程，例如，独立性就是这样一种关系。在提出随机过程这个术语之前，独立变量序列就是研究了很长时间的一类随机过程。由于历史上的原因，一般不把这样的序列看做是随机过程(虽然后面将要讨论它的连续参数的类似物——具有独立增量的过程，它被看做是随机过程)。本条的余下部分是对某些特殊的随机过程类作一般的论述，由于这些过程类在数学上和非数学上的应用中十分重要，所以它们已引起了人们的极大注意。 　　平稳过程 这类随机过程中的任意有限多外随机变量的联合分布不受参数平移的影响，即x(t1+h)，…，x(tn+h)的分布与h无关。 　　在当今高等教育知识体系中，随机过程方面的基础知识主要在《应用随机过程》和《随机过程论》两门课程中介绍，前者是本科阶段课程，通常在大三开设，简单介绍离散时间Markov链、连续时间Markov链、Brown运动等；后者是研究生课程，介绍鞅论、严平稳过程等知识。另外，电子通信类科目如《通信原理与系统》也涉及这一理论。
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《概率论与随机过程》第3章习题答案
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概率论与随机过程（科学版）《概率论与随机过程》主要包括概率论与随机过程两部分内容。概率论部分包括概率空间、随机变量与分布函数、随机向量的数字特征与特征函数、极限定理等，对本科的概率论知识做了加强；随机过程部分包括基本概念、马尔可夫过程、泊松过程、更新过程、鞅简介、平稳过程等内容。《概率论与随机过程》从学生实际水平出发，既加强了理论，又注重理论与实践相结合，在例题和习题中配有许多实际例子，而且编排是"模块式"的，便于灵活使用。　　《概率论与随机过程》适用于高等院校工、农、林、水利、土木、医学、生物、管理、经济等非理科数学专业的硕士生以及从事该专业教学、科研的教师和工程技术人员。第1章 概率空间1.1 σ域1.2 概率空间习题1第2章 随机变量与分布函数2.1 随机变量及其分布2.2 随机向量，随机变量的独立性2.3 随机变量函数的分布习题2第3章 随机向量的数字特征与特征函数3.1 关于数学期望的一些说明3.2 条件数学期望及其性质3.3 随机向量的数字特征3.4 特征函数3.5 正态随机向量习题3第4章 极限定理4.1 分布函数的弱收敛4.2 随机变量的收敛性4.3 大数定律4.4 中心极限定理习题4第5章 随机过程的基本概念5.1 随机过程的定义5.2 随机过程的分布函数与数字特征5.3 几类重要的随机过程简介习题5第6章 马尔可夫过程6.1 马尔可夫链6.2 马尔可夫链的进一步讨论6.3 时间连续状态离散的马尔可夫过程习题6第7章 泊松过程7.1 齐次泊松过程及其性质7.2 非齐次泊松过程及其性质7.3 若干统计分析7.4 复合泊松过程习题7第8章 更新过程8.1 更新过程的定义8.2 更新过程的数字特征及其性质8.3 若干极限定理与基本更新定理8.4 更新方程与关键更新定理习题8第9章 鞅简介9.1 鞅的定义及例子9.2 上鞅与下鞅9.3 停止定理9.4 鞅收敛定理9.5 关于σ域的鞅习题9第10章 平稳过程10.1 随机分析10.2 平稳过程及其相关函数10.3 傅氏变换10.4 平稳过程的功率谱密度10.5 平稳过程的遍历性10.6 平稳序列的预报习题10参考文献附录常用分布表

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