如图所示，菱形ABCD的边长为6厘米，∠B=60度．从初始时刻开始，点P、Q同时从A点出发，点P以1厘米/秒的速度沿A→C→B的方向运动，点Q以2厘米/秒的速度沿A→B→C→D的方向运动，当点Q运动到D点时，P、Q两点同时停止运动，设P、Q运动的时间为x秒时，△APQ与△ABC重叠部分的面积为y平方厘米（这里规定：点和线段是面积为0的三角形），解答下列问题：（1）点P、Q从出发到相遇所用时间是6秒；（2）点P、Q从开始运动到停止的过程中，当△APQ是等边三角形时x的值是8秒；（3）求y与x之间的函数关系式．【考点】．【专题】压轴题．【分析】（1）菱形ABCD的边长为6厘米，∠B=60°，则易证△ABC是等边三角形，边长是6厘米．点P、Q从出发到相遇，即两人所走的路程的和是18cm．设从出发到相遇所用的时间是x秒．列方程就可以求出时间．（2）当P在AC上，Q在AB上时，AP≠AQ，则一定不是等边三角形，当△APQ是等边三角形时，Q一定在边CD上，P一定在边CB上，若△APQ是等边三角形，则CP=DQ，根据这个相等关系，就可以得到一个关于x的方程，就可以得到x的值．（3）求y与x之间的函数关系式．应根据0≤x＜3和3≤x＜6以及6≤x≤9三种情况进行讨论．把x当作已知数值，就可以求出y．就可以得到函数的解析式．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形∴AB=BC又∵∠B=60°，∴△ABC是等边三角形，因而边长是6．设点P，Q从出发到相遇所用的时间是x秒．根据题意得到x+2x=18，解得x=6秒．（2）若△APQ是等边三角形，此时点P在BC上，点Q在CD上，且△ADQ≌△ACP，则CP=DQ，即x-6=18-2x，解得x=8；（3）①当0≤x＜3时，y=S△AP1Q1==2．②当3≤x＜6时，y=S△AP2Q2=2×P2Q2=2&×CQ2sin60°==-2+33x③当6≤x≤9时，设P3Q3与AC交于点O．（解法一）过Q3作Q3E∥CB交AC于E，则△CQ3E为等边三角形．∴Q3E=CE=CQ3=2x-12∵Q3E∥CB∴△COP3∽△EOQ3∴3EQ3=x-62x-12=12∴OC=（2x-12）y=S△AOP3=S△ACP3-S△COP3=3×ACsin60°-12OC×CP3sin60°==-2+732x-153；（解法二）如图2，过点O作OF⊥CP3于点F，OG⊥CQ3，于点G，过点P3作P3H⊥DC交DC延长线于点H．∵∠ACB=∠ACD∴OF=OG又CP3=x-6，CQ3=2x-12=2（x-6），∴S△COP3=△COQ3∴△COP3=13S△CP3Q33×P3H2又S△ACP3=3×AC×sin60°==（x-6）∴△AOP3=△ACP3-S△OCP3=2=-2+732x-153【点评】本题主要考查了利用图形的关系求函数的解析式．注意数形结合是解决本题的关键．声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。答题：zhjh老师　难度：0.31真题：15组卷：65
解析质量好中差
&&&&，V2.28021如图所示，菱形ABCD的边长为6cm，∠DAB＝60°，点M是边AD上一点，且DM＝2cm点E、F分别从A、C同时出发以1cm/s的速度分别沿边AB、CB向点B运动，EM、CD的延长线相交于G，GF交AD于O.设运动时间为x（s），△CGF的面积为y（cm2）. (1)求y与x之间的函数关系式 (2)当x为何值时GF垂直AD （3）是否存在某一时刻，使得线段GF把菱形ABCD分成的上、下两部分的面积之比为3：7？若存在，求出此时x的值；若不存在，说明理由.
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扫描下载二维码本题难度：0.45&&题型：综合题
已知菱形ABCD的边长为5，对角线AC的长为6，点E为边AB上的动点，点F在射线AD上，且∠ECF=∠B，直线CF交直线AB于点M．（1）求∠B的余弦值；（2）当点E与点A重合时，试画出符合题意的图形，并求出BM的长；（3）当点M在边AB的延长线上时，设BE=x，BM=y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域．
来源：2016年上海市杨浦区中考数学一模试卷 | 【考点】相似形综合题．
（2015秋o江阴市校级期中）阅读材料：“最值问题”是数学中的一类较具挑战性的问题．其实，数学史上也有不少相关的故事，如下即为其中较为经典的一则：海伦是古希腊精通数学、物理的学者，相传有位将军曾向他请教一个问题--如图1，从A点出发，到笔直的河岸l去饮马，然后再去B地，走什么样的路线最短呢？海伦轻松地给出了答案：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则PA+PB=A′B&的值最小．解答问题：（1）如图2，正方形ABCD的面积为16，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线BD上有一点P，使PC+PE的和最小，则这个最小值为&&&&．（2）如图3：菱形ABCD中，AB=2，∠B=120°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为&&&&3．（3）如图4，已知菱形ABCD的边长为6，∠DAB=60°．将此菱形放置于平面直角坐标系中，各顶点恰好在坐标轴上．现有一动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度，沿A→C的方向，向点C运动．当到达点C后，立即以相同的速度返回，返回途中，当运动到x轴上某一点M时，立即以每秒1个单位的速度，沿M→B的方向，向点B运动．当到达点B时，整个运动停止．为使点P能在最短的时间内到达点B处，则点M的坐标是什么？
如图，已知菱形ABCD的边AB长为8，∠ABC=60°．求：（1）对角线BD的长；（2）菱形的面积．
如图，已知菱形ABCD的边长为6cm，∠B=60°，E、F是BC、CD上的两个动点，且∠EAF=60°，试判断四边形AECF的面积是否变化？不变请求值．
（2016o无锡一模）如图：已知菱形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AC=8，BD=6，动点P在边AB上运动，以点O为圆心，OP为半径作⊙O，CQ切⊙O于点Q．则在点P运动过程中，切线CQ的长的最大值为&&&&．
如图，已知菱形ABCD中，AD∥BC，AD=，点O是AD上一点，以O为圆心，OD长为半径的⊙O与BC相切于点C，与BD相交于点E，连接OC，AC，分别与BD相交于点F，G．（1）求∠ACO的度数和tan∠ACO的值；（2）求图中阴影部分的面积．
解析与答案
（揭秘难题真相，上）
习题“已知菱形ABCD的边长为5，对角线AC的长为6，点E为边AB上的动点，点F在射线AD上，且∠ECF=∠B，直线CF交直线AB于点M．（1）求∠B的余弦值；（2）当点E与点A重合时，试画出符合题意的图形，并求出BM的长；（3）当点M在边AB的延长线上时，设BE=x，BM=y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域．”的学库宝（/）教师分析与解答如下所示：
【分析】（1）连接BD、AC交于点O作AH⊥BC于H由菱形的性质得出AO=OC=3BO=4由△ABC的面积求出AH=245由勾股定理得出BH即可得出结果（2）由菱形的性质得出∠FAC=∠ACB证出△ABC∽△ECF得出对应边成比例ABCE=ACEF求出EF由平行线得出△MBC∽△MAF得出BMAM=BCAF=2536即可得出结果（3）作EM⊥BC于M作EG∥BC交CF于G由（1）知cos∠B=725BE=x得出BM=725x由勾股定理得出EM=2425xCE=EM2+MC2=x2-145x+25由平行线得出∠GEC=∠ECBBCEG=BMME证出△BCE∽△CEG得出对应边成比例BCCE=CEEG得出EG=CE2BC=5x2-14x+12525代入比例式即可得出y关于x的函数解析式为y=5＜x≤5）．
【解答】解：（1）连接BD、AC交于点O作AH⊥BC于H如图1所示：则AO=OC=3BO=4∵S△ABC=12BC×AH=12AC×BO=12×6×4=12∴12×5×AH=12解得：AH=245由勾股定理得：BH=AB2-AH2=52-(245)2=75∴cos∠B=BHAB=755=725（2）当点E与点A重合时符合题意的图形如图2所示：∵四边形ABCD为菱形∴∠FAC=∠ACB∵∠ECF=∠B∴△ABC∽△ECF∴ABCE=ACEF即56=6EF解得：EF=365∵BC∥AF∴△MBC∽△MAF∴BMAM=BCAF=∴BMBM+5=2536解得：BM=12511（3）作EH⊥BC于H作EG∥BC交CF于G如图3所示：由（1）知cos∠B=725BE=x∴BH=725xEH=BE2-BH2=x2-(725x)2=2425x∴CE=EH2+CH2=(5-725x)2+(-145x+25∵EG∥BC∴∠GEC=∠ECBBCEG=BMME∴△BCE∽△CEG∴BCCE=CEEG则EG=CE2BC=5x2-14x+1-14x+12525=yx+y整理得：y=1255x-14即y关于x的函数解析式为y=5＜x≤5）．
【考点】相似形综合题．
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知识点讲解
经过分析，习题“已知菱形ABCD的边长为5，对角线AC的长为6，点E为边AB”主要考察你对
等考点的理解。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
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如图，已知菱形ABCD的边长为6，∠BAD=60°，AC∩BD=O，将菱形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥B-ACD，点M是棱BC的中点，DM=3。
（1）求证：OM∥平面ABD；（2）求证：平面ABC⊥平面MDO；（3）求三棱锥M-ABD的体积。
题型：解答题难度：中档来源：北京模拟题
解：（1）证明：因为O是菱形ABCD的对角线的交点， 所以O是AC的中点又点M是棱BC的中点， 所以OM是△ABC的中位线，OM∥AB 因为OM平面ABD，AB平面ABD， 所以OM∥平面ABD。（2）证明：由题意，OM=OD=3因为所以∠DOM=90°，OD⊥OM又因为菱形ABCD，所以OD⊥AC 因为OM∩AC=O，所以OD⊥平面ABC，因为OD平面MDO，所以平面ABC⊥平面MDO。（3）三棱锥M-ABD的体积等于三棱锥D-ABM的体积由（2）知，OD⊥平面ABC，所以OD=3为三棱锥D-ABM的高△ABM的面积为所求体积等于。
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据魔方格专家权威分析，试题“如图，已知菱形ABCD的边长为6，∠BAD=60°，AC∩BD=O，将菱形ABCD沿..”主要考查你对&&直线与平面平行的判定与性质，柱体、椎体、台体的表面积与体积，平面与平面垂直的判定与性质&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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直线与平面平行的判定与性质柱体、椎体、台体的表面积与体积平面与平面垂直的判定与性质
线面平行的定义：
若直线和平面无公共点，则称直线和平面平行。
图形表示如下：
线面平行的判定定理：
平面外一条直线与此平面内一条直线平行，则该直线与此平面平行。 线线平行线面平行
符号语言：
&线面平行的性质定理：
如果一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 线面平行线线平行
&符号语言：
&证明直线与平面平行的常用方法：
(l)反证法，即&(2)判定定理法，即&(3)面面平行的性质定理，即&(4)向量法，平面外的直线的方向向量n与平面的法向量n垂直，则直线与平面平行，即 侧面积和全面积的定义：
(1)侧面积的定义：把柱、锥、台的侧面沿着它们的一条侧棱或母线剪开，所得到的展开图的面积，就是空间几何体的侧面积．(2)全面积的定义：空间几何体的侧面积与底面积的和叫做空间几何体的全面积，&
柱体、锥体、台体的表面积公式（c为底面周长，h为高，h′为斜高，l为母线）
柱体、锥体、台体的体积公式：
多面体的侧面积与体积：
旋转体的侧面积和体积：
&平面和平面垂直的定义：
如果两个平面相交，所成的二面角（从一条直线出发的两个半平面所组成的图形）是直二面角（平面角是直角），就说这两个平面垂直。如图，面面垂直的判定定理：
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。（线面垂直面面垂直）
面面垂直的性质定理：
如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。（面面垂直线面垂直）
性质定理符号表示：
&线线垂直、线面垂直、面面垂直的转化关系：
&证明面面垂直的方法：
证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直、线面垂直来实现的，在关于垂直问题的论证中要注意三者之间的相互转化，必要时可添加辅助线，如：已知面面垂直时，一般用性质定理，在一个平面内作出交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后转化为线线垂直，故要熟练掌握三者之间的转化条件及常用方法．线面垂直与面面垂直最终归纳为线线垂直，证共面的两直线垂直常用勾股定理的逆定理、等腰三角形的性质；证不共面的两直线垂直通常利用线面垂直或利用空间向量．常用结论：
（1）如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内，此结论可以作为性质定理用，（2）从该性质定理的条件看出：只要在其中一个平面内通过一点作另一个平面的垂线，那么这条垂线必在这个平面内，点的位置既可以在交线上，也可以不在交线上，如图．
发现相似题
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